a) $\blacktriangleright$ Nullstelle bestimmen Du sollst die Nullstelle der Funktion $f$ angeben. Dafür setzt du den Funktionsterm von $f$ mit $0$ gleich ($f(x)=0$):

b) $\blacktriangleright$ Zeige, dass $\boldsymbol{F}$ Stammfunktion von $\boldsymbol{f}$ ist Zeige, dass die Funktion $F$ mit $F(x)=x\cdot\mathrm{e}^x$, $x\in\mathbb{R}$, eine Stammfunktion von $f$ ist. Leite die Funktion dafür mit Hilfe der Produktregel ab: $f(x) = g(x) \cdot h(x)$
$f'(x) = g'(x) \cdot h(x) + g(x) \cdot h'(x)$ Hier gilt $g(x) = x$ mit $g'(x) = 1$ und $h(x) = \mathrm e^x$ mit $h'(x) = \mathrm e^x$.
Überprüfe dann, ob die Ableitung der Funktion $f$ entspricht. $\blacktriangleright$ Weitere Stammfunktion finden Du sollst nun eine weitere Stammfunktion $G$ von $f$ angeben, für die $G(0)=\mathrm{e}$ ist. Für die Stammfunktion $F$ gilt $F(0) = 0$ und somit gilt $G(0) = F(0) + \mathrm e$. Eine weitere Stammfunktion, für die $G(0)=\mathrm{e}$ ist, erhältst du also mithilfe der Stammfunktion $F$

a) $\blacktriangleright$ Begründung für positives Integral Begründe mithilfe der Lage des Graphen von $f$ im Koordinatensystem, dass gilt: $\mathop{\displaystyle\int}\limits_{-1}^{1}\left(-x^{2}+1\right)\mathrm{dx}>0$. Schaue dir dafür die Gleichung von $f$ an. Überlege dir in welche Richtung der Graph geöffnet ist und ob er nach oben verschoben ist. Bestimme die Nullstellen, folgere dann daraus wo der Graph der Funktion verläuft und ob das Integral positiv oder negativ ist.

b) $\blacktriangleright$ Wert für $\boldsymbol{a}$ bestimmen Bestimme den Wert von $a$, für den $\int_{-1}^{1}\left(-x^{2}+a\right)\mathrm{dx}=0$ gilt. Finde dafür zuerst eine Stammfunktion $F$ von $f(x) = -x^2 + a$. Diese erhältst du mithilfe folgender Formel: Berechne nun das Integral, dann setze diese Gleichung nun $=0$ und löse nach $a$ auf:

a) $\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit für einen Treffer berechnen Um einen Term angeben zu können, mit dem die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis „genau ein Treffer“ berechnet werden kann, setzt du in die oben gegebene Formel $p=0,8$, $n=5$ und $k=1$ ein.

b) $\blacktriangleright$ Ereignis bestimmen Du hast folgende Wahrscheinlichkeit gegeben $\begin{pmatrix}5\\3\end{pmatrix}\cdot0,8^{3}\cdot0,2^{2}+\begin{pmatrix}5\\4\end{pmatrix} \cdot0,8^{4}\cdot0,2^{1}+\begin{pmatrix}5\\5\end{pmatrix}\cdot0,8^{5}$ du sollst nun das passende Ereignis bestimmen. Betrachtest du die oben angegebene Formel für die Wahrscheinlichkeit einer binomialverteilten Zufallsvariablen und überlege dir für welche Parameter der Term bzw. Teile des Terms mit der Formel übereinstimmen.

c) $\blacktriangleright$ Abbildung der Wahrscheinlichkeitsverteilung auswählen Du sollst entscheiden, welche der Abbildungen die Wahrscheinlichkeitsverteilung von $X$ darstellt. Dafür kannst du zum Beispiel den Erwartungswert $E(X) = n\cdot p$ bestimmen. Überlege dir wo der Erwartungswert für Abbildung 1 bzw. Abbildung 2 liegt.

a) $\blacktriangleright$ Matrix-Vektor-Multiplikation Berechnen Sie das Produkt $A\cdot\vec{u}$. Du berechnest dieses Produkt durch komponentenweise Multiplikation der Einträge der 1., 2. bzw. 3. Zeile von $A$ mit den Elementen von $\vec{u}$ und durch Summation über diese Produkte: $\blacktriangleright$ Vektoren bestimmen Du sollst nun zwei von $\vec{u}$ verschiedene Vektoren $\vec{v}$ und $\overrightarrow{w}$ angeben, sodass gilt:
$A\cdot\vec{u}=A\cdot\vec{v}=A\cdot\overrightarrow{w}$. Für die beiden Vektoren muss also gelten, dass bei Multiplikation mit $A$ die ersten beiden Einträge 0 ergeben und der dritte Eintrag $4$. Somit muss der dritte Eintrag beider Vektoren $2$ sein. Für die ersten beiden Einträge der Vektoren muss gelten, dass diese den gleichen Betrag haben und unterschiedliches Vorzeichen. Das ist der Fall, da diese jeweils mit 1 multipliziert werden und addiert jedoch 0 ergeben müssen.

b) $\blacktriangleright$ Beweise die Aussage Multipliziere dafür die Matrix $A$ mit $\vec{x}$, wende dafür die Matrix-Vektor-Multiplikation aus a) an.

a) $\blacktriangleright$ Nullstelle bestimmen Du sollst die Nullstelle der Funktion $f$ angeben. Dafür setzt du den Funktionsterm von $f$ mit $0$ gleich ($f(x)=0$): $\begin{array}{rll} 0&=&f(x)&\\ 0&=&(1+x)\cdot \mathrm{e}^x&\scriptsize \mid\; :\; \mathrm{e}^x\; (\mathrm{e}^x>0)\\ 0&=&1+x&\scriptsize \mid\; -\; 1\\ x&=&-1&\\ \end{array}$ Die Nullstelle von $f$ ist gegeben durch $x_0 = -1$.

b) $\blacktriangleright$ Zeige, dass $\boldsymbol{F}$ Stammfunktion von $\boldsymbol{f}$ ist Zeige, dass die Funktion $F$ mit $F(x)=x\cdot\mathrm{e}^x$, $x\in\mathbb{R}$, eine Stammfunktion von $f$ ist. Leite die Funktion dafür mit Hilfe der Produktregel ab: $f(x) = g(x) \cdot h(x)$
$f'(x) = g'(x) \cdot h(x) + g(x) \cdot h'(x)$ Hier gilt $g(x) = x$ mit $g'(x) = 1$ und $h(x) = \mathrm e^x$ mit $h'(x) = \mathrm e^x$. $\begin{array}{rll} F(x)&=&x\cdot \mathrm e^x&\\ F'(x)&=&1\cdot \mathrm e^x + x\cdot \mathrm e^x&\scriptsize \text{(Ausklammern der e-Funktion)} \\ &=&(1+x)\cdot \mathrm e^x & \end{array}$ Die Ableitung entspricht der Funktion $f$, somit ist $F$ eine Stammfunktion von $f$. $\blacktriangleright$ Weitere Stammfunktion finden Du sollst nun eine weitere Stammfunktion $G$ von $f$ angeben, für die $G(0)=\mathrm{e}$ ist. Für die Stammfunktion $F$ gilt $F(0) = 0$ und somit gilt $G(0) = F(0) + \mathrm e$. Eine weitere Stammfunktion, für die $G(0)=\mathrm{e}$ ist, erhältst du also mithilfe der Stammfunktion $\begin{array}{rll} G(x)&=&F(x) + \mathrm e&\\ G(x)&=& x\cdot \mathrm e^x + \mathrm e& \end{array}$ Eine weitere Stammfunktion $G$ ist gegeben durch $G(x)= x\cdot \mathrm e^x + \mathrm e$, diese erfüllt die Bedingung $G(0)=\mathrm{e}$.

a) $\blacktriangleright$ Begründung für positives Integral Begründe mithilfe der Lage des Graphen von $f$ im Koordinatensystem, dass gilt: $\mathop{\displaystyle\int}\limits_{-1}^{1}\left(-x^{2}+1\right)\mathrm{dx}>0$. Schaue dir dafür die Gleichung von $f$ an. Dabei stellst du fest, dass der Graph von $f$ eine nach unten geöffnete Normalparabel, die um 1 Einheit nach oben verschoben ist, darstellt. Die Nullstellen> sind gegeben durch $x_1 = -1$ und $x_2 = 1$, das bedeutet, dass der Graph von $f$ im Bereich $-1 < x < 1$ oberhalb der $x$-Achse verläuft. Das Integral $\int_{-1}^{1}\left(-x^{2}+1\right)\mathrm{dx}$ ist somit positiv.

b) $\blacktriangleright$ Wert für $\boldsymbol{a}$ bestimmen Bestimme den Wert von $a$, für den $\int_{-1}^{1}\left(-x^{2}+a\right)\mathrm{dx}=0$ gilt. Finde dafür zuerst eine Stammfunktion $F$ von $f(x) = -x^2 + a$. Diese erhältst du mithilfe folgender Formel: Eine Stammfunktion von $f$ ist also gegeben durch $F(x) = -\frac{1}{3} \cdot x^3 + a\cdot x$. Berechne nun das Integral: $\begin{array}{rll} \int_{-1}^{1}\left(-x^{2}+a\right)\mathrm{dx}&=& \big[ - \frac{1}{3} x^3 + a\cdot x\big]_{-1}^{1}&\\ &=&-\frac{1}{3} + a - (\frac{1}{3} - a)&\\ &=&-\frac{2}{3} + 2\cdot a& \end{array}$ Setze diese Gleichung nun $=0$ und löse nach $a$ auf: $\begin{array}{rll} 0&=&-\frac{2}{3} + 2\cdot a&\scriptsize \mid\;+ \frac{2}{3} \\ \frac{2}{3}&2\cdot a&=&\scriptsize\mid\;: 2 \\ a &=& \frac{1}{3} \end{array}$ Der gesuchte Wert ist gegeben durch $a=\frac{1}{3}$

a) $\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit für einen Treffer berechnen Um einen Term angeben zu können, mit dem die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis „genau ein Treffer“ berechnet werden kann, setzt du in die oben gegebene Formel $p=0,8$, $n=5$ und $k=1$ ein: $\mathcal{P}(X=1) = \binom{5}{1} \cdot 0,8^1 \cdot (1-0,8)^{5-1} = \binom{5}{1} \cdot 0,8^1 \cdot 0,2^4$ Mit dem Term $\binom{5}{1} \cdot 0,8^1 \cdot 0,2^4$ kannst du die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis „genau ein Treffer“ berechnen.

b) $\blacktriangleright$ Ereignis bestimmen Du hast folgende Wahrscheinlichkeit gegeben $\begin{pmatrix}5\\3\end{pmatrix}\cdot0,8^{3}\cdot0,2^{2}+\begin{pmatrix}5\\4\end{pmatrix} \cdot0,8^{4}\cdot0,2^{1}+\begin{pmatrix}5\\5\end{pmatrix}\cdot0,8^{5}$ du sollst nun das passende Ereignis bestimmen. Betrachtest du die oben angegebene Formel für die Wahrscheinlichkeit einer binomialverteilten Zufallsvariablen, stellst du fest, dass die gegebene Wahrscheinlichkeit aus drei Termen, die je der oben angegebenen Formel entsprechen, bestehen. Der erste Teil entspricht der Formel für $k=3$, der zweite Teil entspricht der Formel für $k=4$ und der dritte Teil entspricht der Formel für $k=5$.
Somit wäre ein mögliches Ereignis „mindestens drei Treffer“.

c) $\blacktriangleright$ Abbildung der Wahrscheinlichkeitsverteilung auswählen Du sollst entscheiden, welche der Abbildungen die Wahrscheinlichkeitsverteilung von $X$ darstellt. Dafür kannst du zum Beispiel den Erwartungswert $E(X) = n\cdot p$ bestimmen: $E(X) = 5 \cdot 0,8 = 4$ Bei Abbildung 2 würde man den Erwartungswert bei ungefähr 1 vermuten, da der höchste Balken für $k=1$ gegeben ist. In Abbildung 1 ist der höchste Balken bei $k=4$, das stimmt mit dem gerade berechneten Erwartungswert überein.
Somit stellt Abbildung 1 die Wahrscheinlichkeitsverteilung von $X$ dar.

a) $\blacktriangleright$ Matrix-Vektor-Multiplikation Berechnen Sie das Produkt $A\cdot\vec{u}$. Du berechnest dieses Produkt durch komponentenweise Multiplikation der Einträge der 1., 2. bzw. 3. Zeile von $A$ mit den Elementen von $\vec{u}$ und durch Summation über diese Produkte: $A\cdot \overrightarrow{u} = \begin{pmatrix}1&1&0\\ 1&1&0\\ 0&0&2\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}2\\-2\\2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1\cdot2 + 1 \cdot (-2) + 0 \cdot 2\\ 1\cdot2 + 1 \cdot (-2) + 0 \cdot 2\\ 0\cdot2 + 0 \cdot (-2) + 2 \cdot 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2 -2 + 0\\ 2 -2 + 0\\ 0 + 0 + 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 \\ 0 \\ 4\end{pmatrix}$ $\blacktriangleright$ Vektoren bestimmen Du sollst nun zwei von $\vec{u}$ verschiedene Vektoren $\vec{v}$ und $\overrightarrow{w}$ angeben, sodass gilt:
$A\cdot\vec{u}=A\cdot\vec{v}=A\cdot\overrightarrow{w}$. Für die beiden Vektoren muss also gelten, dass bei Multiplikation mit $A$ die ersten beiden Einträge 0 ergeben und der dritte Eintrag $4$. Somit muss der dritte Eintrag beider Vektoren $2$ sein. Für die ersten beiden Einträge der Vektoren muss gelten, dass diese den gleichen Betrag haben und unterschiedliches Vorzeichen. Das ist der Fall, da diese jeweils mit 1 multipliziert werden und addiert jedoch 0 ergeben müssen.
Somit sind zwei mögliche Vektoren gegeben durch $\overrightarrow{v} = \begin{pmatrix}1\\-1\\2\end{pmatrix}$ und $\overrightarrow{w} = \begin{pmatrix}-3\\3\\2\end{pmatrix}$.

b) $\blacktriangleright$ Beweise die Aussage Du sollst zeigen, dass für alle Vektoren $\vec{x}=\begin{pmatrix}0\\4\\2\end{pmatrix}+k\cdot\begin{pmatrix}1\\-1\\0\end{pmatrix}$ $\quad$ $(k\in\mathbb{R})$ $\quad$ gilt: $\quad$ $A\cdot\vec{x}=\begin{pmatrix}4\\4\\4\end{pmatrix}$.
Multipliziere dafür die Matrix $A$ mit $\vec{x}$: $\begin{array}{rll} A\cdot \vec{x}&=&\begin{pmatrix}1&1&0\\ 1&1&0\\ 0&0&2\end{pmatrix} \cdot \left(\begin{pmatrix}0\\4\\2\end{pmatrix}+k\cdot\begin{pmatrix}1\\-1\\0\end{pmatrix}\right) &\\ &=&\begin{pmatrix}1&1&0\\ 1&1&0\\ 0&0&2\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}0\\4\\2\end{pmatrix} + k\cdot \begin{pmatrix}1&1&0\\ 1&1&0\\ 0&0&2\end{pmatrix} \cdot\begin{pmatrix}1\\-1\\0\end{pmatrix}&\\ &=&\begin{pmatrix}1\cdot 0+1 \cdot 4+0 \cdot 2\\ 1 \cdot 0+1 \cdot 4+0 \cdot 2\\ 0\cdot 0+0\cdot 4+2\cdot 2\end{pmatrix} + k \cdot \begin{pmatrix}1\cdot 1+1 \cdot (-1)+0 \cdot 0\\ 1 \cdot 1+1 \cdot (-1)+0 \cdot 0\\ 0\cdot 1+0\cdot (-1)+2\cdot 0\end{pmatrix}&\\ &=&\begin{pmatrix}0+ 4+0 \\ 0+ 4+0 \\ 0+0+4\end{pmatrix} + k \cdot \begin{pmatrix}1-1+0 \\ 1 -1+0 \\ 0+0+0\end{pmatrix}&\\ &=&\begin{pmatrix}4 \\ 4\\ 4\end{pmatrix} + k \cdot \begin{pmatrix}0 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix}&\\ &=&\begin{pmatrix}4 \\ 4\\ 4\end{pmatrix}& \end{array}$ Da das Ergebnis von $A\cdot \vec{x}$ $\begin{pmatrix}4\\4\\4\end{pmatrix}$ und somit unabhängig von $k$ ist, ist die Aussage damit bewiesen.