Inhalt
Smarter Learning!
Inhalt
Bundesland, Schulart & Klasse
Bundesland, Schulart & Klasse
NI, Kooperative Gesamtschule
Baden-Württemberg
Berufl. Gymnasium (AG)
Berufl. Gymnasium (BTG)
Berufl. Gymnasium (EG)
Berufl. Gymnasium (SGG)
Berufl. Gymnasium (TG)
Berufl. Gymnasium (WG)
Berufskolleg - FH
Gemeinschaftsschule
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Hauptschule
Realschule
Werkrealschule
Bayern
Fachoberschule
Gymnasium
Mittelschule
Realschule
Berlin
Gymnasium
Integrierte Sekundarschule
Brandenburg
Gesamtschule
Gymnasium
Oberschule
Bremen
Gymnasium (G8)
Oberschule (G9)
Hamburg
Gymnasium
Stadtteilschule
Hessen
Berufl. Gymnasium
Gesamtschule
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Haupt- und Realschule
Hauptschule
Realschule
Mecklenburg-Vorpommern
Gesamtschule
Gymnasium
Niedersachsen
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Integrierte Gesamtschule
Kooperative Gesamtschule
Oberschule
Realschule
NRW
Gesamtschule
Gymnasium
Hauptschule
Realschule
Sekundarschule
Rheinland-Pfalz
Gesamtschule
Gymnasium
Saarland
Gemeinschaftsschule
Gesamtschule
Gymnasium
Realschule
Sachsen
Gymnasium
Oberschule
Sachsen-Anhalt
Fachgymnasium
Gesamtschule
Gymnasium
Sekundarschule
Schleswig-Holstein
Gemeinschaftsschule
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Thüringen
Berufl. Gymnasium
Gemeinschaftsschule
Gesamtschule
Gymnasium
Regelschule
Klasse 13
Klasse 13
Klasse 12
Klasse 11
Klasse 10
Klasse 9
Klasse 8
Klasse 7
Klasse 6
Klasse 5
Fach & Lernbereich
Fachauswahl: Mathe
Mathe
Deutsch
Englisch
Bio
Chemie
Physik
Geschichte
Geo
Lernbereich
Digitales Schulbuch
Abitur eA (GTR)
Abitur eA (CAS)
Abitur gA (GTR)
Abitur gA (CAS)
Realschulabschluss
Hauptschulabschluss 10 E-...
Hauptschulabschluss 10 G-...
Hauptschulabschluss 9 E-K...
Hauptschulabschluss 9 G-K...
VERA 8 E-Kurs
VERA 8 G-Kurs
Abitur gA (GT...
Prüfung
wechseln
Abitur eA (GTR)
Abitur eA (CAS)
Abitur gA (GTR)
Abitur gA (CAS)
Realschulabschluss
Hauptschulabschluss 10 E-Kurs
Hauptschulabschluss 10 G-Kurs
Hauptschulabschluss 9 E-Kurs
Hauptschulabschluss 9 G-Kurs
VERA 8 E-Kurs
VERA 8 G-Kurs
Smarter Learning!
Schneller lernen mit deinem SchulLV-Zugang
  • Zugang zu über 1.000 Original-Prüfungsaufgaben mit Lösungen von 2004-2019
  • Alle Bundesländer und Schularten, empfohlen von über 2.300 Schulen in Deutschland
  • Digitales Schulbuch: Über 1.700 Themen mit Aufgaben und Lösungen
  • Monatlich kündbar, lerne solange du möchtest
Jetzt Zugang freischalten!

Aufgabe 3A

Aufgaben
Download als Dokument:PDFWord
Aufgabe 3A
Aufgabe 3A
Stehende Gewässer weisen eine Schichtung des Wassers auf. Modellhaft werden zwei Schichten unterschieden: die kalte Tiefenschicht und die warme Oberflächenschicht.
Durch unterschiedliche Vorgänge kommt es zu einem gewissen Austausch zwischen den Schichten, sodass sich die Schichtdicken verändern.
Aufgabe 3A
Aufgabe 3A
Für ein Gewässer beschreibt der nebenstehende Übergangsgraph die Übergänge zwischen den Schichten pro Zeiteinheit. Für diese Modellierung wird vorausgesetzt, dass sich diese Entwicklung in der beschriebenen Weise fortsetzen wird.
a) Stellen Sie den Austauschvorgang in einer Übergangsmatrix $M$ dar.
Erläutern Sie die Werte der ersten Zeile von $M$ im Sachzusammenhang.
Bestimmen Sie die Verteilung der Schichten nach fünf Zeiteinheiten auf Zentimeter genau, wenn zu Beginn beide Schichten 6 m dick sind.
(8P)
b) Im Laufe des Sommers stabilisiert sich die Schichtenverteilung.
Bestimmen Sie die Dicke der einzelnen Schichten eines 12 m tiefen Gewässers in der stationären Verteilung.
(4P)
c) In einem anderen Gewässer liegt ein anderes Übergangsverhalten vor. Zu Beginn sind beide Schichten unterschiedlich dick.
Erstellen Sie begründet ein Beispiel für eine Übergangsmatrix so, dass beide Schichten auf lange Sicht gleich dick werden.
(5P)

(17P)
Weiter lernen mit SchulLV-PLUS!
Jetzt freischalten
Infos zu SchulLV PLUS
Ich habe bereits einen Zugang
Zugangscode einlösen
Login
Tipps
Download als Dokument:PDF
a) $\blacktriangleright$ Übergangsmatrix bestimmen
Du sollst den Austauschvorgang in einer Übergangsmatrix $M$ darstellen. Auf der Diagonalen stehen die Anteile, die in der jeweiligen Schicht erhalten bleiben, die anderen Einträge geben die Anteile an, die in die jeweils andere Schicht übergehen. Trägst du die Oberflächenschicht in der ersten Zeile und Spalte ein und dementsprechend die Tiefenschicht in der zweiten Zeile und Spalte.
$\blacktriangleright$ Werte der ersten Zeile von $\boldsymbol{M}$
Erläutere nun die Werte der ersten Zeile von $M$ im Sachzusammenhang.
$\blacktriangleright$ Verteilung der Schichten nach fünf Zeiteinheiten
Du sollst die Verteilung der Schichten nach fünf Zeiteinheiten auf Zentimeter genau bestimmen, wenn zu Beginn beide Schichten 6 m dick sind.
Die Übergangsmatrix $M$ gibt die Übergänge pro Zeiteinheit an, das bedeutet, dass du die Matrix 5 mal mit sich selbst multiplizieren musst, um die Verteilung pro 5 Zeiteinheiten zu erhalten. Jetzt musst du noch die Schichtdicke von je 6 m beachten, diese also mit der Verteilung pro 5 Zeiteinheiten multiplizieren.
b) $\blacktriangleright$ Dicke der einzelnen Schichten bestimmen
Im Laufe des Sommers stabilisiert sich die Schichtenverteilung. Bestimme die Dicke der einzelnen Schichten eines 12 m tiefen Gewässers in der stationären Verteilung. Dies ist eine Verteilung $\overrightarrow{s}$, sodass folgende Gleichung gilt:
$M \cdot \overrightarrow{s} = \overrightarrow{s}$
Dafür definiere:
$x$: Dicke der Oberflächenschicht
$y$: Dicke der Tiefenschicht
Stelle das Gleichungssystem für die Schichtdicken mit Hilfe der Übergangsmatrix aus Aufgabenteil a) auf. Außerdem kannst du der Aufgabenstellung $x + y = 12$ entnehmen. Löse diese Gleichung nach $x$ auf und setze das Ergebnis in eine der beiden Zeilen des Gleichungssystems ein, um $y$ zu bestimmen:
c) $\blacktriangleright$ Übergangsmatrix bestimmen
In einem anderen Gewässer liegt ein anderes Übergangsverhalten vor. Zu Beginn sind beide Schichten unterschiedlich dick, doch auf lange Sicht sollen beide Schichten gleich dick werden. Das bedeutet, dass die Anteile, die ausgetauscht werden, gleich groß sein sollten. Also der Übergangsanteil von Oberflächenschicht in die Tiefenschicht entspricht dem Übergangsanteil von Tiefenschicht in die Oberflächenschicht. Die Übergangsmatrix ist somit symmetrisch zur Hauptdiagonalen und die Einträge auf der Hauptdiagonalen sind die gleichen. Es gibt viele Übergangsmatrizen, die das Übergangsverhalten beschreiben.
Weiter lernen mit SchulLV-PLUS!
Jetzt freischalten
Infos zu SchulLV PLUS
Ich habe bereits einen Zugang
Zugangscode einlösen
Login
Lösungen TI
Download als Dokument:PDF
a) $\blacktriangleright$ Übergangsmatrix bestimmen
Du sollst den Austauschvorgang in einer Übergangsmatrix $M$ darstellen. Auf der Diagonalen stehen die Anteile, die in der jeweiligen Schicht erhalten bleiben, die anderen Einträge geben die Anteile an, die in die jeweils andere Schicht übergehen. Trägst du die Oberflächenschicht in der ersten Zeile und Spalte ein und dementsprechend die Tiefenschicht in der zweiten Zeile und Spalte, so ergibt sich folgende Übergangsmatrix $M$:
$M = \begin{pmatrix}0,9& 0,2\\ 0,1 & 0,8\end{pmatrix}$
$\blacktriangleright$ Werte der ersten Zeile von $\boldsymbol{M}$
Erläutere nun die Werte der ersten Zeile von $M$ im Sachzusammenhang. Der Eintrag $0,9$ der ersten Zeile gibt an, welcher Anteil in der Oberflächenschicht erhalten bleibt. Der Eintrag $0,2$ der ersten Zeile gibt an, welcher Anteil von der Tiefenschicht zur Oberflächenschicht hinzu kommt.
$\blacktriangleright$ Verteilung der Schichten nach fünf Zeiteinheiten
Du sollst die Verteilung der Schichten nach fünf Zeiteinheiten auf Zentimeter genau bestimmen, wenn zu Beginn beide Schichten 6 m dick sind.
Die Übergangsmatrix $M$ gibt die Übergänge pro Zeiteinheit an, das bedeutet, dass du die Matrix 5 mal mit sich selbst multiplizieren musst, um die Verteilung pro 5 Zeiteinheiten zu erhalten. Jetzt musst du noch die Schichtdicke von je 6 m beachten, diese also mit der Verteilung pro 5 Zeiteinheiten multiplizieren. Du erhältst dann für die Verteilung nach 5 Zeiteinheiten:
$\begin{array}{rll} M^5\cdot \begin{pmatrix}6\\6\end{pmatrix}&=&\begin{pmatrix}0,9& 0,2 \\ 0,1 & 0,8\end{pmatrix}^5 \cdot \begin{pmatrix}6\\6\end{pmatrix} &\\ &=&\begin{pmatrix}0,723& 0,555 \\ 0,277 & 0,445\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}6\\6\end{pmatrix} &\\ &=&\begin{pmatrix}7,66\\ 4,34\end{pmatrix}& \end{array}$
Nach fünf Zeiteinheiten beträgt die Dicke der Oberflächenschicht $7,66 m$ und die der Tiefenschicht beträgt $4,34 m$.
b) $\blacktriangleright$ Dicke der einzelnen Schichten bestimmen
Im Laufe des Sommers stabilisiert sich die Schichtenverteilung. Bestimme die Dicke der einzelnen Schichten eines 12 m tiefen Gewässers in der stationären Verteilung. Dies ist eine Verteilung $\overrightarrow{s}$, sodass folgende Gleichung gilt:
$M \cdot \overrightarrow{s} = \overrightarrow{s}$
Dafür definiere:
$x$: Dicke der Oberflächenschicht
$y$: Dicke der Tiefenschicht
Du erhältst folgendes Gleichungssystem für die Schichtdicken:
$\begin{array}{rll} M\cdot \begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}&=&\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}&\\ \begin{pmatrix}0,9 & 0,2 \\ 0,1 & 0,8\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}&=&\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}&\\ \begin{pmatrix}0,9\cdot x + 0,2 \cdot y\\ 0,1 \cdot x + 0,8 \cdot y\end{pmatrix}&=&\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}& \end{array}$
$\begin{array}{l@{\qquad}*{3}{rc}r@{\qquad}l} (1)&x&=&0,9x&+&0,2y&&\\ (2)&y&=&0,1x&+&0,8y&& \end{array}$
Außerdem kannst du der Aufgabenstellung $x + y = 12$ entnehmen. Löse diese Gleichung nach $x$ auf und setze das Ergebnis in eine der beiden Zeilen des Gleichungssystems ein, um $y$ zu bestimmen:
$\begin{array}{rll} x+y&=&12&\\ x&=&12-y&\\ \end{array}$
Einsetzen in (2) ergibt:
$\begin{array}{rll} y&=&0,8 \cdot y + 0,1 \cdot (12-y)&\\ y&=&0,8 \cdot y + 1,2 -0,1 \cdot y&\\ y&=&0,7 \cdot y + 1,2&\scriptsize \mid\; - 0,7 \cdot y\\ 0,3 \cdot y &=& 1,2 &\scriptsize \mid\; : 0,3\\ y &=& 4 & \end{array}$
Für $x$ ergibt sich dann $x=8$. scriptsize Die Oberflächenschicht ist somit $8 m$ dick, die Tiefenschicht ist $4 m$ dick.
c) $\blacktriangleright$ Übergangsmatrix bestimmen
In einem anderen Gewässer liegt ein anderes Übergangsverhalten vor. Zu Beginn sind beide Schichten unterschiedlich dick, doch auf lange Sicht sollen beide Schichten gleich dick werden. Das bedeutet, dass die Anteile, die ausgetauscht werden, gleich groß sein sollten. Also der Übergangsanteil von Oberflächenschicht in die Tiefenschicht entspricht dem Übergangsanteil von Tiefenschicht in die Oberflächenschicht. Die Übergangsmatrix ist somit symmetrisch zur Hauptdiagonalen und die Einträge auf der Hauptdiagonalen sind die gleichen. Es gibt viele Übergangsmatrizen, die das Übergangsverhalten beschreiben. Ein mögliches Beispiel ist gegeben durch:
$U = \begin{pmatrix}0,7 & 0,3 \\ 0,3 & 0,7\end{pmatrix}$
Mit $\boldsymbol{U}$ ergibt sich die entsprechende Verteilung.
Weiter lernen mit SchulLV-PLUS!
Jetzt freischalten
Infos zu SchulLV PLUS
Ich habe bereits einen Zugang
Zugangscode einlösen
Login
Lösungen Casio
Download als Dokument:PDF
a) $\blacktriangleright$ Übergangsmatrix bestimmen
Du sollst den Austauschvorgang in einer Übergangsmatrix $M$ darstellen. Auf der Diagonalen stehen die Anteile, die in der jeweiligen Schicht erhalten bleiben, die anderen Einträge geben die Anteile an, die in die jeweils andere Schicht übergehen. Trägst du die Oberflächenschicht in der ersten Zeile und Spalte ein und dementsprechend die Tiefenschicht in der zweiten Zeile und Spalte, so ergibt sich folgende Übergangsmatrix $M$:
$M = \begin{pmatrix}0,9& 0,2\\ 0,1 & 0,8\end{pmatrix}$
$\blacktriangleright$ Werte der ersten Zeile von $\boldsymbol{M}$
Erläutere nun die Werte der ersten Zeile von $M$ im Sachzusammenhang. Der Eintrag $0,9$ der ersten Zeile gibt an, welcher Anteil in der Oberflächenschicht erhalten bleibt. Der Eintrag $0,2$ der ersten Zeile gibt an, welcher Anteil von der Tiefenschicht zur Oberflächenschicht hinzu kommt.
$\blacktriangleright$ Verteilung der Schichten nach fünf Zeiteinheiten
Du sollst die Verteilung der Schichten nach fünf Zeiteinheiten auf Zentimeter genau bestimmen, wenn zu Beginn beide Schichten 6 m dick sind.
Die Übergangsmatrix $M$ gibt die Übergänge pro Zeiteinheit an, das bedeutet, dass du die Matrix 5 mal mit sich selbst multiplizieren musst, um die Verteilung pro 5 Zeiteinheiten zu erhalten. Dies kannst du mit deinem GTR tun. Eine Matrix kannst du im CALC-Menü unter
F4: MATH $\to$ F1: MAT
eingeben, indemdu zunächst die entsprechende Dimension auswählst. Anschließend kannst du die Matrix potenzieren.
Jetzt musst du noch die Schichtdicke von je 6 m beachten, diese also mit der Verteilung pro 5 Zeiteinheiten multiplizieren. Du erhältst dann für die Verteilung nach 5 Zeiteinheiten:
$\begin{array}{rll} M^5\cdot \begin{pmatrix}6\\6\end{pmatrix}&=&\begin{pmatrix}0,9& 0,2 \\ 0,1 & 0,8\end{pmatrix}^5 \cdot \begin{pmatrix}6\\6\end{pmatrix} &\\ &=&\begin{pmatrix}0,723& 0,555 \\ 0,277 & 0,445\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}6\\6\end{pmatrix} &\\ &=&\begin{pmatrix}7,66\\ 4,34\end{pmatrix}& \end{array}$
Aufgabe 3A
Aufgabe 3A
Nach fünf Zeiteinheiten beträgt die Dicke der Oberflächenschicht $7,66 m$ und die der Tiefenschicht beträgt $4,34 m$.
b) $\blacktriangleright$ Dicke der einzelnen Schichten bestimmen
Im Laufe des Sommers stabilisiert sich die Schichtenverteilung. Bestimme die Dicke der einzelnen Schichten eines 12 m tiefen Gewässers in der stationären Verteilung. Dies ist eine Verteilung $\overrightarrow{s}$, sodass folgende Gleichung gilt:
$M \cdot \overrightarrow{s} = \overrightarrow{s}$
Dafür definiere:
$x$: Dicke der Oberflächenschicht
$y$: Dicke der Tiefenschicht
Du erhältst folgendes Gleichungssystem für die Schichtdicken:
$\begin{array}{rll} M\cdot \begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}&=&\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}&\\ \begin{pmatrix}0,9 & 0,2 \\ 0,1 & 0,8\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}&=&\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}&\\ \begin{pmatrix}0,9\cdot x + 0,2 \cdot y\\ 0,1 \cdot x + 0,8 \cdot y\end{pmatrix}&=&\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}& \end{array}$
$\begin{array}{l@{\qquad}*{3}{rc}r@{\qquad}l} (1)&x&=&0,9x&+&0,2y&&\\ (2)&y&=&0,1x&+&0,8y&& \end{array}$
Außerdem kannst du der Aufgabenstellung $x + y = 12$ entnehmen. Löse diese Gleichung nach $x$ auf und setze das Ergebnis in eine der beiden Zeilen des Gleichungssystems ein, um $y$ zu bestimmen:
$\begin{array}{rll} x+y&=&12&\\ x&=&12-y&\\ \end{array}$
Einsetzen in (2) ergibt:
$\begin{array}{rll} y&=&0,8 \cdot y + 0,1 \cdot (12-y)&\\ y&=&0,8 \cdot y + 1,2 -0,1 \cdot y&\\ y&=&0,7 \cdot y + 1,2&\scriptsize \mid\; - 0,7 \cdot y\\ 0,3 \cdot y &=& 1,2 &\scriptsize \mid\; : 0,3\\ y &=& 4 & \end{array}$
Für $x$ ergibt sich dann $x=8$. scriptsize Die Oberflächenschicht ist somit $8 m$ dick, die Tiefenschicht ist $4 m$ dick.
c) $\blacktriangleright$ Übergangsmatrix bestimmen
In einem anderen Gewässer liegt ein anderes Übergangsverhalten vor. Zu Beginn sind beide Schichten unterschiedlich dick, doch auf lange Sicht sollen beide Schichten gleich dick werden. Das bedeutet, dass die Anteile, die ausgetauscht werden, gleich groß sein sollten. Also der Übergangsanteil von Oberflächenschicht in die Tiefenschicht entspricht dem Übergangsanteil von Tiefenschicht in die Oberflächenschicht. Die Übergangsmatrix ist somit symmetrisch zur Hauptdiagonalen und die Einträge auf der Hauptdiagonalen sind die gleichen. Es gibt viele Übergangsmatrizen, die das Übergangsverhalten beschreiben. Ein mögliches Beispiel ist gegeben durch:
$U = \begin{pmatrix}0,7 & 0,3 \\ 0,3 & 0,7\end{pmatrix}$
Mit $\boldsymbol{U}$ ergibt sich die entsprechende Verteilung.
Weiter lernen mit SchulLV-PLUS!
Jetzt freischalten
Infos zu SchulLV PLUS
Ich habe bereits einen Zugang
Zugangscode einlösen
Login
Folge uns auf
SchulLV als App