Aufgabe 1B

Die Abbildung 1 zeigt die Graphen der Funktionen und . Entscheide, welche der Funktionen zu welchem Graphen gehört. Begründe, dass der Graph von keinen Extrempunkt hat. Berechne die Koordinaten des Punktes , in dem die Tangente an den Graphen von die Steigung hat. Die Koordinatenachsen, der Graph der Funktion und die Gerade zu mit schließen eine Fläche ein. Berechne einen Wert für so, dass der Inhalt dieser Fläche Flächeneinheiten beträgt. Ohne Nachweis kannst du verwenden, dass mit eine Stammfunktion zu ist.

Für eine Stelle sind , und die Eckpunkte eines rechtwinkligen Dreiecks. Es gibt einen Punkt auf dem Graphen von so, dass der Flächeninhalt des Dreiecks maximal ist. Bestimme die Koordinaten der Punkte und . Betrachtet werden alle Punkte, die auf dem Graphen von liegen. Bestimme die Koordinaten des Punktes , der vom Ursprung den kleinsten Abstand hat. Die Gerade verläuft durch den Punkt und ist senkrecht zur Tangente an den Graphen von im Punkt . Untersuche, ob eine Ursprungsgerade ist. Ohne Nachweis kannst du verwenden: Wenn für die Steigungen und zweier Geraden die Beziehung gilt: , dann stehen die zugehörigen Geraden senkrecht aufeinander.

Gegeben sind die Funktion mit , und ihre Ableitungsfunktion mit . Die Graphen von und schneiden sich im Punkt . Die Graphen von und und die -Achse schließen für eine Fläche ein. Bestimme deren Inhalt. Beurteile mithilfe der Ableitungen von und die Behauptung, dass für weitere Schnittpunkte existieren können. Untersuche mithilfe des Graphen der Funktion , für welche Stellen die zugehörigen Funktionswerte von nur einmal auftreten.

  Zuordnung begründen Du sollst den beiden Graphen die Funktion bzw. die Ableitung zuordnen. Die Ableitung der Funktion ist nach der Kettenregel gegeben mit . Die Funktion und somit auch verläuft nur im positiven. Deshalb ist aber auch jeder Funktionswert der Ableitung negativ. Der Graph von ist somit der grüne in der Abbildung während durch den Grauen dargestellt wird.   Fehlen von Extrempunkte begründen Um das Fehlen von Extrempunkten zu begründen, betrachtest du die Nullstellen der Ableitung. Diese sind nämlich notwendige Voraussetzung für Extrempunkte. Die Ableitung ist gegeben durch . Diese Gleichung hat keine Lösung, da nicht exisitert. Die Ableitung hat also keine Nullstelle und die Funktion keine Extremstelle. Der Graph kann keine Extrempunkte besitzen.   Koordinaten berechnen Du sollst die Koordinaten des Berührpunktes berechnen, an welchem die Tangente an den Graphen die Steigung hat. Die Steigung der Tangenten ist dabei die Gleiche, wie die der Funktion und somit mit zu berechnen. 1. Schritt: Stelle berechnen Du löst somit die Gleichung : Für hat der Graph der Funktion die Steigung . 2. Schritt: -Koordinate berechnen Mit der -Koordinate berechnest du die -Koordinate durch einsetzen in die Funktion. Der Punkt am Graphen, bei welchem die Tangente die Steigung besitzt ist .   Parameter bestimmen Du sollst den Parameter so bestimmen, dass die Fläche unter der Kurve den Flächeninhalt besitzt. Die Fläche unter der Kurve mit den Grenzen und berechnest du mit dem Integral. Für den Wert hat die Fläche unter der Kurve den Inhalt .

  Koordinaten des Punktes bestimmen 1. Schritt: Flächeninhalt bestimmen Der Flächeninhalt eines rechtwinkligen Dreiecks wird mit folgender Formel berechnet, wobei und die Längen der zueinander senkrecht stehenden Seiten sind: Die zueinander rechtwinklig stehenden Seiten sind dabei die Verbindungen der Punkte und sowie und . Diese haben die Länge und . Das Dreieck hat den Flächeninhalt . 2. Schritt: Ableitung bestimmen Um das Maximum der Funktion zu bestimmen, leitest du die Funktion nach ab und setzt die Ableitung . Um die Ableitung zu bestimmen benötigst du die Produktregel: Für die Funktion ergibt sich mit und : Die Funktion hat die Ableitung . 3. Schritt: Nullstellen bestimmen Um die Extremstellen zu berechnen, setzt du die Ableitung , denke auch daran den Satz vom Nullprodukt anzuwenden: An der Stelle liegt ein Extrempunkt vor, damit es sich um einen Hochpunkt handelt, muss die zweite Ableitung an der Stelle kleiner als sein. 4. Schritt: Art der Extremstelle prüfen Die zweite Ableitung bestimmst du erneut mit der Produktregel: Dieser Term ist kleiner als und somit handelt es sich bei um die Stelle eines Hochpunktes. 5. Schritt: -Koordinate berechnen Um die Koordinaten des Punktes angeben zu können, benötigst du noch die -Koordinate mit . Die Punkte haben die Koordinaten und .   Koordinaten berechnen Du sollst die Koordinaten des Punktes auf dem Graphen von berechnen, welcher den kleinsten Abstand zu hat. Für den Abstand zwischen zwei Punkte mit den Koordinaten und gilt: Für den Punkt gilt aber weiterhin . 1. Schritt: Abstandsfunktion aufstellen Die Abstandsfunktion erhälst du durch einsetzen der Koordinaten in die Wurzel zur Abstandsbestimmung. Die Abstandsfunktion ist gegeben mit . Zeichne diese mit dem GTR und bestimme des Minimum. Das Minimum der Abstandsfunktion liegt bei . Für die Koordinaten des Punktes benötigst du weiterhin die -Koordinate. Der Punkt auf dem Graphen von , mit dem kleinsten Abstand zum Ursprung hat die Koordinaten .   Ursprungsgerade überprüfen Du sollst überprüfen, ob es sich bei der, auf der Tangente des Graphen im Punkt , senkrecht stehenden Geraden um eine Ursprungsgerade handelt. Zuerst benötigst du die Geradengleichung dieser Geraden, welche durch die Normale des Graphen im Punkt beschrieben wird. Dazu verwendest du die allgemeine Normalengleichung für eine Normale an den Graphen von an der Stelle : Um diese auf zu stellen benötigst du den Funktionswert an der Stelle , welchen du bereits gegeben hast mit , sowie den Wert der Ableitung . Mit stellst du die Normalengleichung auf. Der Ordinatenabschnitt dieser Geraden ist nicht , wie es für eine Ursprungsgerade nötig wäre.

  Flächeninhalt berechnen Die Graphen von und mit schließen zusammen mit der -Achse eine Fläche ein. Der Schnittpunkt der Graphen ist dabei . Du sollst den Flächeninhalt zwischen den Graphen bestimmen. Für den Flächeninhalt gilt: Trage die Funktion in den GTR ein und berechne das Integral mit den Grenzen und graphisch. Die Fläche hat einen Inhalt von ungefähr .   Aussage beurteilen Die Ableitung der Funktion ist für Werte mit positiv, währen negativ ist. Somit wächst nach dem Schnittpunkt weiter, während fällt. Allerdings ist diese Änderung durch den Anteil der -Funktion klein, sodass es unwahrscheinlich ist, dass ein weiterer Schnittpunkt existiert. Die analytische Lösung der Gleichung zeigt auch, dass keine weitere Lösung exsistiert.   Einmalige Werte feststellen Du sollst untersuchen, welche Funktionswerte von nur einmal auftreten. im Graph erkennst du einen Tiefpunkt bei . Der Funktionswert an dieser Stelle ist einmalig, da die Funktion danach monoton gegen strebt. Aus dem gleichen Grund, der monotonen Konvergenz, sind auch alle Funktionswerte an Stellen einmalig.