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Aufgabe 1B

Aufgaben
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Aufgabe 1B

Gegeben ist die Funktion $f$ mit $f(x)=\mathrm{e}^{-x}$, $x\in\mathbb{R}$.
a)
Die Abbildung 1 zeigt die Graphen der Funktionen $f$ und $f'$.
Entscheide, welche der Funktionen zu welchem Graphen gehört.
Begründe, dass der Graph von $f$ keinen Extrempunkt hat.
Berechne die Koordinaten des Punktes $A$, in dem die Tangente an den Graphen von $f$ die Steigung $-0,5$ hat.
Die Koordinatenachsen, der Graph der Funktion $f$ und die Gerade zu $x=a$ mit $a>0$ schließen eine Fläche ein.
Berechne einen Wert für $a$ so, dass der Inhalt dieser Fläche $0,5$ Flächeneinheiten beträgt. Ohne Nachweis kannst du verwenden, dass $F$ mit $F(x)=-\mathrm{e}^{-x}$ eine Stammfunktion zu $f$ ist.
Aufgabe 1B
Abb. 1: Graphen von $f$ und $f'$.
Aufgabe 1B
Abb. 1: Graphen von $f$ und $f'$.
(11P)
b)
Für eine Stelle $u>0$ sind $O\;(0\mid 0)$, $B\;(u\mid 0)$ und $C\;(u\mid f(u))$ die Eckpunkte eines rechtwinkligen Dreiecks. Es gibt einen Punkt $C$ auf dem Graphen von $f$ so, dass der Flächeninhalt des Dreiecks maximal ist.
Bestimme die Koordinaten der Punkte $B$ und $C$.
Betrachtet werden alle Punkte, die auf dem Graphen von $f$ liegen.
Bestimme die Koordinaten des Punktes $D$, der vom Ursprung den kleinsten Abstand hat.
Die Gerade $g$ verläuft durch den Punkt $E\;(1\mid \mathrm{e}^{-1})$ und ist senkrecht zur Tangente an den Graphen von $f$ im Punkt $E$.
Untersuche, ob $g$ eine Ursprungsgerade ist. Ohne Nachweis kannst du verwenden: Wenn für die Steigungen $m_1$ und $m_2$ zweier Geraden die Beziehung gilt: $m_1\cdot m_2=-1$, dann stehen die zugehörigen Geraden senkrecht aufeinander.
(13P)
c)
Gegeben sind die Funktion $h$ mit $h(x)=-x\cdot \mathrm{e}^{-x}$, $x\in\mathbb{R}$ und ihre Ableitungsfunktion $h'$ mit $h'(x)=-\mathrm{e}^{-x}+x\cdot\mathrm{e}^{-x}$.
Die Graphen von $f$ und $h$ schneiden sich im Punkt $F\;(-1\mid \mathrm{e})$.
Die Graphen von $f$ und $h$ und die $y$-Achse schließen für $x\leq 0$ eine Fläche ein.
Bestimme deren Inhalt.
Beurteile mithilfe der Ableitungen von $f$ und $h$ die Behauptung, dass für $x<0$ weitere Schnittpunkte existieren können.
Untersuche mithilfe des Graphen der Funktion $h$, für welche Stellen die zugehörigen Funktionswerte von $h$ nur einmal auftreten.
(10P)
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a)
$\blacktriangleright$  Zuordnung begründen
Du sollst den beiden Graphen die Funktion $f(x)=\mathrm e^{-x}$ bzw. die Ableitung $f'$ zuordnen.
Die Ableitung der Funktion ist nach der Kettenregel gegeben mit $f'(x)=-\mathrm e^{-x}$.
$\blacktriangleright$  Fehlen von Extrempunkte begründen
Um das Fehlen von Extrempunkten zu begründen, betrachtest du die Nullstellen der Ableitung. Diese sind nämlich notwendige Voraussetzung für Extrempunkte.
$\blacktriangleright$  Koordinaten berechnen
Du sollst die Koordinaten des Berührpunktes berechnen, an welchem die Tangente an den Graphen die Steigung $-0,5$ hat.
Die Steigung der Tangenten ist dabei die Gleiche, wie die der Funktion $f$ und somit mit $f'$ zu berechnen.
$\blacktriangleright$  Parameter $\boldsymbol a$ bestimmen
Du sollst den Parameter $a$ so bestimmen, dass die Fläche unter der Kurve den Flächeninhalt $0,5$ besitzt.
Die Fläche unter der Kurve mit den Grenzen $0$ und $a$ berechnest du mit dem Integral.
b)
$\blacktriangleright$  Koordinaten des Punktes $\boldsymbol C$ bestimmen
Aufgabe 1B
Abb. 1: Skizze des Dreiecks
Aufgabe 1B
Abb. 1: Skizze des Dreiecks
$\blacktriangleright$  Koordinaten berechnen
Du sollst die Koordinaten des Punktes $D$ auf dem Graphen von $f$ berechnen, welcher den kleinsten Abstand $d$ zu $O$ hat.
Für den Abstand zwischen zwei Punkte mit den Koordinaten $(x_1\mid y_1)$ und $(x_2\mid y_2)$ gilt:
$d=\sqrt{\left(x_2-x_1\right)^2+\left(y_2-y_1\right)^2}$
$d=\sqrt{\left(x_2-x_1\right)^2+\left(y_2-y_1\right)^2}$
Für den Punkt $D$ gilt aber weiterhin $D\;(x\mid f(x))$.
$\blacktriangleright$  Ursprungsgerade überprüfen
Du sollst überprüfen, ob es sich bei der, auf der Tangente des Graphen im Punkt $E\;(1\mid \dfrac{1}{\mathrm e})$, senkrecht stehenden Geraden $g$ um eine Ursprungsgerade handelt.
Zuerst benötigst du die Geradengleichung dieser Geraden, welche durch die Normale des Graphen im Punkt $E$ beschrieben wird. Dazu verwendest du die allgemeine Normalengleichung für eine Normale an den Graphen von $f$ an der Stelle $u$:
$n:\; y=-\dfrac{1}{f'(u)}\cdot (x-u)+f(u)$
$n:\; y=-\dfrac{1}{f'(u)}\cdot (x-u)+f(u)$
c)
$\blacktriangleright$  Flächeninhalt berechnen
Die Graphen von $f$ und $h$ mit $h(x)=-x\cdot \mathrm e^{-x}$ schließen zusammen mit der $y$-Achse eine Fläche ein. Der Schnittpunkt der Graphen ist dabei $F\;(-1\mid e)$. Du sollst den Flächeninhalt zwischen den Graphen bestimmen. Für den Flächeninhalt gilt:
$A=\int\limits_a^b f(x)-g(x)\;\mathrm d x$
$A=\int\limits_a^b f(x)-g(x)\;\mathrm d x$
$\blacktriangleright$  Aussage beurteilen
Du sollst die Aussage begründen, ob es möglich ist, dass sich die Graphen erneut schneiden. Betrachte dazu die Ableitungsfunktionen.
$\blacktriangleright$  Einmalige Werte feststellen
Untersuche den Graph auf Hoch- oder Tiefpunkte und betrachte Konvergenzen.
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a)
$\blacktriangleright$  Zuordnung begründen
Du sollst den beiden Graphen die Funktion $f(x)=\mathrm e^{-x}$ bzw. die Ableitung $f'$ zuordnen.
Die Ableitung der Funktion ist nach der Kettenregel gegeben mit $f'(x)=-\mathrm e^{-x}$.
Die Funktion $\mathrm e^x$ und somit auch $f(x)=\mathrm e^{-x}$ verläuft nur im positiven. Deshalb ist aber auch jeder Funktionswert der Ableitung $f'(x)=-\mathrm e^{-x}$ negativ.
Der Graph von $f$ ist somit der grüne in der Abbildung während $f'$ durch den Grauen dargestellt wird.
$\blacktriangleright$  Fehlen von Extrempunkte begründen
Um das Fehlen von Extrempunkten zu begründen, betrachtest du die Nullstellen der Ableitung. Diese sind nämlich notwendige Voraussetzung für Extrempunkte.
Die Ableitung ist gegeben durch $f'(x)=-\mathrm e^{-x}$.
$\begin{array}[t]{rll} 0&=& f'(x) & \\[5pt] &=& -\mathrm e^{-x} &\quad\scriptsize\mid\; \cdot (-1) \\[5pt] &=& \mathrm e^{-x} &\quad\scriptsize\mid\; \ln \\[5pt] \ln(0)&=& -x \end{array}$
Diese Gleichung hat keine Lösung, da $\ln(0)$ nicht exisitert. Die Ableitung hat also keine Nullstelle und die Funktion keine Extremstelle.
Der Graph kann keine Extrempunkte besitzen.
$\blacktriangleright$  Koordinaten berechnen
Du sollst die Koordinaten des Berührpunktes berechnen, an welchem die Tangente an den Graphen die Steigung $-0,5$ hat.
Die Steigung der Tangenten ist dabei die Gleiche, wie die der Funktion $f$ und somit mit $f'$ zu berechnen.
1. Schritt: Stelle berechnen
Du löst somit die Gleichung $f'(x)=-0,5$:
$\begin{array}[t]{rll} f'(x)&=& -0,5 &\\[5pt] -\mathrm e^{-x}&=& -0,5 &\quad\scriptsize\mid\; \cdot (-1)\\[5pt] \mathrm e^{-x}&=& 0,5 &\quad\scriptsize\mid\; \ln \\[5pt] -x &=& \ln(0,5) \\[5pt] &=& \ln(\dfrac{1}{2})\\[5pt] &=& \ln(1)-\ln(2) \\[5pt] &=& -\ln(2) &\quad\scriptsize\mid\; \cdot (-1)\\[5pt] x &=& \ln(2) \end{array}$
$ x=\ln(2) $
Für $x=\ln(2)$ hat der Graph der Funktion die Steigung $-0,5$.
2. Schritt: $\boldsymbol{y}$-Koordinate berechnen
Mit der $x$-Koordinate $\ln(2)$ berechnest du die $y$-Koordinate durch einsetzen in die Funktion.
$\begin{array}[t]{rll} f\left(\ln(2)\right)&=& \mathrm e^{-\ln(2)} &\\[5pt] &=& \mathrm e^{\ln(2^{-1})} \\[5pt] &=& 2^{-1} \\[5pt] &=& \dfrac{1}{2} \end{array}$
Der Punkt am Graphen, bei welchem die Tangente die Steigung $-0,5$ besitzt ist $A\;\left(\ln(2)\mid\dfrac{1}{2}\right)$.
$\blacktriangleright$  Parameter $\boldsymbol a$ bestimmen
Du sollst den Parameter $a$ so bestimmen, dass die Fläche unter der Kurve den Flächeninhalt $0,5$ besitzt.
Die Fläche unter der Kurve mit den Grenzen $0$ und $a$ berechnest du mit dem Integral.
$\begin{array}[t]{rll} 0,5&=& \int\limits_0^a f(x)\,\mathrm d x &\\[5pt] &=& \int\limits_0^a \mathrm e^{-x}\,\mathrm d x &\\[5pt] &=& \left[ -\mathrm e^{-x} \right]_0^a \\[5pt] &=& -\mathrm e^{-a}+\mathrm e^0 \\[5pt] &=& 1-\mathrm e^{-a} &\quad\scriptsize\mid\; +\mathrm e^{-a}-0,5 \\[5pt] \mathrm e^{-a} &=& 0,5 &\quad\scriptsize\mid\;\ln \\[5pt] -a &=& -\ln(2) &\quad\scriptsize\mid\; \cdot (-1)\\[5pt] a &=& \ln(2) \end{array}$
$ a=\ln(2) $
Für den Wert $a=\ln(2)$ hat die Fläche unter der Kurve den Inhalt $0,5$.
b)
$\blacktriangleright$  Koordinaten des Punktes $\boldsymbol C$ bestimmen
Aufgabe 1B
Abb. 1: Skizze des Dreiecks
Aufgabe 1B
Abb. 1: Skizze des Dreiecks
1. Schritt: Flächeninhalt bestimmen
Der Flächeninhalt eines rechtwinkligen Dreiecks wird mit folgender Formel berechnet, wobei $a$ und $b$ die Längen der zueinander senkrecht stehenden Seiten sind:
$A=\dfrac{1}{2}\cdot a\cdot b$
$A=\dfrac{1}{2}\cdot a\cdot b$
Die zueinander rechtwinklig stehenden Seiten sind dabei die Verbindungen der Punkte $O$ und $B$ sowie $B$ und $C$. Diese haben die Länge $u-0$ und $f(u)-0$.
$\begin{array}[t]{rll} A(u)&=& \dfrac{1}{2}\cdot u\cdot f(u) &\\[5pt] &=& \dfrac{1}{2}\cdot u\cdot \mathrm e^{-u} \end{array}$
Das Dreieck hat den Flächeninhalt $A(u)=\dfrac{1}{2}\cdot u\cdot \mathrm e^{-u}$.
2. Schritt: Ableitung bestimmen
Um das Maximum der Funktion zu bestimmen, leitest du die Funktion $A(u)$ nach $u$ ab und setzt die Ableitung $0$.
Um die Ableitung zu bestimmen benötigst du die Produktregel:
$\begin{array}[t]{rll} f(x)&=& g(x)\cdot h(x) &\\[5pt] f'(x)&=& g'(x)\cdot h(x)+g(x)\cdot h'(x) \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} f(x)&=& u(x)\cdot v(x) &\\[5pt] f'(x)&=& u'(x)\cdot v(x)+u(x)\cdot v'(x) \end{array}$
Für die Funktion $A$ ergibt sich mit $g(x)=\dfrac{1}{2}\cdot u$ und $h(x)=\mathrm e^{-u}$:
$\begin{array}[t]{rll} A'(u)&=& \dfrac{1}{2}\cdot\mathrm e^{-u}+\dfrac{1}{2}\cdot u\cdot(-1)\cdot\mathrm e^{-u} &\\[5pt] &=& \dfrac{1}{2}\cdot\mathrm e^{-u}\cdot (1-u) \end{array}$
$ A'(u)=\dfrac{1}{2}\cdot\mathrm e^{-u}\cdot (1-u) $
Die Funktion hat die Ableitung $A'(u)=\dfrac{1}{2}\cdot\mathrm e^{-u}\cdot (1-u)$.
3. Schritt: Nullstellen bestimmen
Um die Extremstellen zu berechnen, setzt du die Ableitung $0$, denke auch daran den Satz vom Nullprodukt anzuwenden:
$\begin{array}[t]{rll} 0&=& A'(u) & \\[5pt] &=& \dfrac{1}{2}\cdot\mathrm e^{-u}\cdot (1-u) \\[5pt] &=& 1-u &\quad\scriptsize\mid\; +u \\[5pt] u&=& 1 \end{array}$
An der Stelle $u=1$ liegt ein Extrempunkt vor, damit es sich um einen Hochpunkt handelt, muss die zweite Ableitung $A''$ an der Stelle kleiner als $0$ sein.
4. Schritt: Art der Extremstelle prüfen
Die zweite Ableitung bestimmst du erneut mit der Produktregel:
$\begin{array}[t]{rll} A''(u)&=& -\dfrac{1}{2}\cdot \mathrm e^{-u}\cdot (1-u)-\dfrac{1}{2}\cdot\mathrm e^{-u} &\\[5pt] &=& -\dfrac{1}{2}\cdot \mathrm e^{-u}\cdot (2-u) \\[5pt] A''(1)&=& -\dfrac{1}{2}\cdot \mathrm e^{-1}\cdot (2-1) \\[5pt] &=& -\dfrac{1}{2\cdot \mathrm e} \\[5pt] \end{array}$
$ A''(1)=-\dfrac{1}{2\cdot \mathrm e} $
Dieser Term ist kleiner als $0$ und somit handelt es sich bei $u=1$ um die Stelle eines Hochpunktes.
5. Schritt: $\boldsymbol y$-Koordinate berechnen
Um die Koordinaten des Punktes $C$ angeben zu können, benötigst du noch die $y$-Koordinate mit $u=1$.
$\begin{array}[t]{rll} f(1)&=& e^{-1} & \end{array}$
Die Punkte haben die Koordinaten $B\;(1\mid 0)$ und $C\;\left(1\mid \dfrac{1}{e}\right)$.
$\blacktriangleright$  Koordinaten berechnen
Du sollst die Koordinaten des Punktes $D$ auf dem Graphen von $f$ berechnen, welcher den kleinsten Abstand $d$ zu $O$ hat.
Für den Abstand zwischen zwei Punkte mit den Koordinaten $(x_1\mid y_1)$ und $(x_2\mid y_2)$ gilt:
$d=\sqrt{\left(x_2-x_1\right)^2+\left(y_2-y_1\right)^2}$
$d=\sqrt{\left(x_2-x_1\right)^2+\left(y_2-y_1\right)^2}$
Für den Punkt $D$ gilt aber weiterhin $D\;(x\mid f(x))$.
1. Schritt: Abstandsfunktion aufstellen
Die Abstandsfunktion erhälst du durch einsetzen der Koordinaten in die Wurzel zur Abstandsbestimmung.
$\begin{array}[t]{rll} d(x)&=& \sqrt{x^2+\left(f(x)\right)^2} &\\[5pt] &=& \sqrt{x^2+\mathrm e^{-2\cdot x}} \end{array}$
Die Abstandsfunktion ist gegeben mit $d(x)=\sqrt{x^2+\mathrm e^{-2\cdot x}}$. Zeichne diese mit dem GTR und bestimme des Minimum.
Aufgabe 1B
Abb. 2: Minimum der Abstandsfunktion
Aufgabe 1B
Abb. 2: Minimum der Abstandsfunktion
Das Minimum der Abstandsfunktion liegt bei $x\approx 0,43$. Für die Koordinaten des Punktes $D$ benötigst du weiterhin die $y$-Koordinate.
$\begin{array}[t]{rll} f(0,43)&=& \sqrt{0,43^2+\mathrm e^{-2\cdot 0,43}} &\\[5pt] &\approx & 0,78 \end{array}$
Der Punkt auf dem Graphen von $f$, mit dem kleinsten Abstand zum Ursprung hat die Koordinaten $D\;(0,43\mid 0,78)$.
$\blacktriangleright$  Ursprungsgerade überprüfen
Du sollst überprüfen, ob es sich bei der, auf der Tangente des Graphen im Punkt $E\;(1\mid \dfrac{1}{\mathrm e})$, senkrecht stehenden Geraden $g$ um eine Ursprungsgerade handelt.
Zuerst benötigst du die Geradengleichung dieser Geraden, welche durch die Normale des Graphen im Punkt $E$ beschrieben wird. Dazu verwendest du die allgemeine Normalengleichung für eine Normale an den Graphen von $f$ an der Stelle $u$:
$n:\; y=-\dfrac{1}{f'(u)}\cdot (x-u)+f(u)$
$n:\; y=-\dfrac{1}{f'(u)}\cdot (x-u)+f(u)$
Um diese auf zu stellen benötigst du den Funktionswert an der Stelle $1$, welchen du bereits gegeben hast mit $f(1)=\dfrac{1}{\mathrm e}$, sowie den Wert der Ableitung $f'(1)$.
$\begin{array}[t]{rll} f'(1)&=& -\mathrm e^{-1} &\\[5pt] &=& -\dfrac{1}{\mathrm e} \end{array}$
Mit $f'(1)=-\dfrac{1}{\mathrm e}$ stellst du die Normalengleichung auf.
$\begin{array}[t]{rll} y&=& -\dfrac{1}{-\dfrac{1}{\mathrm e}} \cdot (x-1)+\dfrac{1}{e}&\\[5pt] &=&\mathrm e\cdot (x-1)+\dfrac{1}{e} \\[5pt] &=& \mathrm e\cdot x-\mathrm e+\dfrac{1}{e} \end{array}$
Der Ordinatenabschnitt dieser Geraden $\dfrac{1}{e}-\mathrm e$ ist nicht $0$, wie es für eine Ursprungsgerade nötig wäre.
c)
$\blacktriangleright$  Flächeninhalt berechnen
Die Graphen von $f$ und $h$ mit $h(x)=-x\cdot \mathrm e^{-x}$ schließen zusammen mit der $y$-Achse eine Fläche ein. Der Schnittpunkt der Graphen ist dabei $F\;(-1\mid e)$. Du sollst den Flächeninhalt zwischen den Graphen bestimmen. Für den Flächeninhalt gilt:
$A=\int\limits_a^b f(x)-g(x)\;\mathrm d x$
$A=\int\limits_a^b f(x)-g(x)\;\mathrm d x$
Trage die Funktion $f(x)-g(x)$ in den GTR ein und berechne das Integral mit den Grenzen $-1$ und $0$ graphisch.
Aufgabe 1B
Abb. 3: Integral graphisch berechnen
Aufgabe 1B
Abb. 3: Integral graphisch berechnen
Die Fläche hat einen Inhalt von ungefähr $0,72$.
$\blacktriangleright$  Aussage beurteilen
Die Ableitung der Funktion $h$ ist für Werte mit $x>1$ positiv, währen $f'$ negativ ist. Somit wächst $h$ nach dem Schnittpunkt weiter, während $f$ fällt.
Allerdings ist diese Änderung durch den Anteil der $\mathrm e$-Funktion klein, sodass es unwahrscheinlich ist, dass ein weiterer Schnittpunkt existiert.
Die analytische Lösung der Gleichung $f(x)=h(x)$ zeigt auch, dass keine weitere Lösung exsistiert.
$\blacktriangleright$  Einmalige Werte feststellen
Du sollst untersuchen, welche Funktionswerte von $h$ nur einmal auftreten. im Graph erkennst du einen Tiefpunkt bei $x=1$. Der Funktionswert an dieser Stelle ist einmalig, da die Funktion danach monoton gegen $0$ strebt.
Aus dem gleichen Grund, der monotonen Konvergenz, sind auch alle Funktionswerte an Stellen $x\in\mathbb{R}^-\cup \lbrace 0\rbrace$ einmalig.
Aufgabe 1B
Abb. 4: Graph der Funktion $h$
Aufgabe 1B
Abb. 4: Graph der Funktion $h$
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