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Pflichtteil

Aufgaben
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Aufgabe P1

#schnittpunkt

Aufgabe P2

a)
Bestimme die Gleichung der Tangente an den Graphen von $f$ in seinem Schnittpunkt mit der $y$-Achse.
(2 BE)
b)
Zeichne in die Abbildung ein Flächenstück ein, das vom Graphen von $f,$ der $x$-Achse, der $y$-Achse, sowie einer zur $y$-Achse parallelen Geraden eingeschlossen wird und dessen Flächeninhalt etwa $1,5$ beträgt.
Gib einen Term an, mit dem der Inhalt des von dir eingezeichneten Flächenstücks berechnet werden kann.
(3 BE)
#tangente#ableitung#zentraleraufgabenpool

Aufgabe P3

In einer Urne $U_1$ befinden sich vier rote und zwei gelbe Kugeln, in einer Urne $U_2$ zwei rote, eine gelbe und eine blaue Kugel.
a)
Eine der beiden Urnen wird zufällig ausgewählt. Anschließend wird daraus zweimal hintereinander jeweils eine Kugel zufällig entnommen und wieder zurückgelegt.
Gib einen Term an, mit dem die Wahrscheinlichkeit dafür bestimmt werden kann, dass beide entnommenen Kugeln rot sind.
(2 BE)
b)
Eine der beiden Urnen wurde zufällig ausgewählt; aus dieser wurde eine Kugel zufällig entnommen. Die entnommene Kugel ist gelb oder blau.
Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die entnommene Kugel aus der Urne $U_1$ stammt.
(3 BE)
#zentraleraufgabenpool#wahrscheinlichkeit

Aufgabe P4

Gegeben sind die Punkte $A(-2\mid 1\mid -2),$ $B(1\mid 2\mid -1)$ und $C(1\mid 1\mid 4)$ sowie für eine reelle Zahl $d$ der Punkt $D(d\mid 1\mid 4).$
a)
Zeige, dass $A,$ $B$ und $C$ Eckpunkte eines Dreiecks sind.
Gib eine Gleichung der Ebene an, in der dieses Dreieck liegt.
(3 BE)
b)
Das Dreieck $ABD$ ist im Punkt $B$ rechtwinklig.
Ermittle den Wert von $d.$
(2 BE)
#ebenengleichung#rechtwinkligesdreieck
Bildnachweise [nach oben]
[1],[2]
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Aufgabe P1

a)
$\blacktriangleright$  Schnittstellen angeben
$\begin{array}[t]{rll} g(x) &=& f(x) \\[5pt] -3\cdot x^2 +9\cdot x&=& 3\cdot x &\quad \scriptsize \mid\;-3\cdot x \\[5pt] -3\cdot x^2 +6\cdot x&=& 0 \\[5pt] x\cdot \left(-3\cdot x +6\right)&=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; x_1 =0 \\[5pt] -3\cdot x_2 +6&=& 0 &\quad \scriptsize \mid\;-6 \\[5pt] -3\cdot x_2&=& -6 &\quad \scriptsize \mid\;:(-3) \\[5pt] x_2&=& 2 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} x_1&=& 0 \\[5pt] x_2&=& 2 \end{array}$
Die Schnittstellen der beiden Graphen sind $x_1= 0$ und $x_2=2.$
b)
$\blacktriangleright$  Flächeninhalt berechnen
Die beschriebene Fläche setzt sich aus zwei Teilflächen zusammen:
  • Das Dreieck mit den Eckpunkten $(0\mid f(0)),$ $(2\mid 0)$ und $(2\mid f(2)).$
  • Die Fläche unter dem Graphen von $g$ im Bereich von $a = 2$ bis zur zweiten Nullstelle von $g.$
Es ist $f(0)=0$ und $f(2)=3\cdot 2 = 6.$ Das Dreieck ist rechtwinklig, wobei die beiden Katheten $a= 6$ und $b= 2$ Längeneinheiten lang sind.
$\begin{array}[t]{rll} A_{1}&=& \frac{1}{2}\cdot 6\cdot 2\\[5pt] &=& 6 \end{array}$
Die Nullstellen von $g$ ergeben sich zu:
$\begin{array}[t]{rll} g(x)&=& 0 \\[5pt] -3\cdot x^2 +9\cdot x&=& 0 &\quad \scriptsize \mid\;x_1 =0 \\[5pt] -3\cdot x_2 +9 &=&0 &\quad \scriptsize \mid\;+3\cdot x_2 \\[5pt] 9&=& 3\cdot x_2 &\quad \scriptsize \mid\; :3 \\[5pt] 3&=& x_2 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} x_1&=& 0 \\[5pt] x_2&=& 3 \end{array}$
Der Flächeninhalt der zweiten Fläche kann daher mit folgendem Integral berechnet werden:
$\begin{array}[t]{rll} A_2&=& \displaystyle\int_{2}^{3}g(x)\;\mathrm dx \\[5pt] &=& \displaystyle\int_{2}^{3}\left(-3\cdot x^2 +9\cdot x\right)\;\mathrm dx \\[5pt] &=& \left[\frac{-3}{3}\cdot x^3+\frac{9}{2}\cdot x^2 \right]_2^3\\[5pt] &=& \left[-x^3+\frac{9}{2}\cdot x^2 \right]_2^3 \\[5pt] &=& -3^3+\frac{9}{2}\cdot 3^2 +2^3-\frac{9}{2}\cdot 2^2 \\[5pt] &=& -27 + \frac{81}{2}+8-18 \\[5pt] &=& 3,5 \end{array}$
$ A_2 = 3,5 $
Der Gesamtflächeninhalt ergibt sich zu:
$A= 6+ 3,5 = 9,5$
Der Inhalt des angegebenen Flächenstücks beträgt $9,5$ Flächeneinheiten.
#rechtwinkligesdreieck#integral

Aufgabe P2

a)
$\blacktriangleright$  Tangentengleichung bestimmen
$\begin{array}[t]{rll} f(0)&=&2\cdot \mathrm e^{-\frac{1}{2}\cdot 0} \\[5pt] &=&2\cdot 1 \\[5pt] &=&2 \end{array}$
Der Graph von $f$ schneidet die $y$-Achse im Punkt $S(0\mid 2).$
Gesucht ist also eine Gerade $t: \, y = m\cdot x +b,$ die durch den Punkt $S$ mit der gleichen Steigung wie der Graph von $f$ in diesem Punkt verläuft.
$\begin{array}[t]{rll} f'(0)&=&-\mathrm e^{-\frac{1}{2}\cdot 0} \\[5pt] &=& -1 \end{array}$
Die Steigung der Tangente beträgt also $m = -1.$ Eine Punktprobe mit $S$ liefert:
$\begin{array}[t]{rll} t: \, y&=& m\cdot x + b&\quad \scriptsize \mid\; m= -1, S(0\mid 2) \\[5pt] 2&=& -1\cdot 0 + b \\[5pt] 2&=&b \end{array}$
$2 = b $
Die Gleichung der Tangente $t$ an den Graphen von $f$ in seinem Schnittpunkt $S(0\mid 2)$ mit der $y$-Achse lautet:
$t: \, y = -x +2$
b)
$\blacktriangleright$  Flächenstück einzeichnen
Pflichtteil
Abb. 1: $A\approx 1,5$
Pflichtteil
Abb. 1: $A\approx 1,5$
$\blacktriangleright$  Term angeben
Der Inhalt der Fläche zwischen einem Funktionsgraphen und der $x$-Achse im Intervall $[a,b]$ kann mit einem Integral berechnet werden.
$A\approx \displaystyle\int_{0}^{1}f(x)\;\mathrm dx$
#integral

Aufgabe P3

a)
$\blacktriangleright$  Term angeben
Da es sich um ein Ziehen mit Zurücklegen handelt, ist die Wahrscheinlichkeit für eine rote Kugel in jedem Zug gleich. Geht man davon aus, dass beide Urnen mit gleicher Wahrscheinlichkeit $\frac{1}{2}$ ausgewählt werden, folgt mit der Pfadadditionsregel und der Pfadmultiplikationsregel:
$\begin{array}[t]{rll} P(r-r)&=& P(U_1)\cdot P_{U_1}(r-r)+ P(U_2)\cdot P_{U_2}(r-r) \\[5pt] &=& \frac{1}{2}\cdot \frac{4}{6}\cdot \frac{4}{6} +\frac{1}{2}\cdot \frac{2}{4}\cdot \frac{2}{4} \\[5pt] &=& \frac{1}{2}\cdot \frac{2}{3}\cdot \frac{2}{3} +\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}\\[5pt] &=& \frac{1}{2}\cdot \left(\frac{2}{3}\right)^2 + \frac{1}{2}\cdot \left(\frac{1}{2}\right)^2\\[5pt] &=& \frac{1}{2}\cdot \left(\left(\frac{2}{3}\right)^2 + \left(\frac{1}{2}\right)^2\right) \end{array}$
$P(r-r) = $ $\frac{1}{2}\cdot \left(\left(\frac{2}{3}\right)^2 + \left(\frac{1}{2}\right)^2\right) $
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass beide Kugeln rot sind, kann mit folgendem Term berechnet werden: $\frac{1}{2}\cdot \left(\left(\frac{2}{3}\right)^2 + \left(\frac{1}{2}\right)^2\right).$
b)
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit berechnen
Mit dem Satz von Bayes ergibt sich die gesuchte Wahrscheinlichkeit, dass die Urne $U_1$ gewählt wurde, wenn die Kugel gelb oder blau ist, wie folgt:
$\begin{array}[t]{rll} P_{g,b}(U_1)&=& \dfrac{P_{U_1}(g,b)\cdot P(U_1)}{P(g,b)} \\[5pt] &=& \dfrac{\frac{2}{6}\cdot \frac{1}{2}}{\frac{2}{6}\cdot \frac{1}{2}+ \frac{1}{2}\cdot \frac{2}{4}}\\[5pt] &=& \dfrac{\frac{1}{6}}{\frac{1}{6}+ \frac{1}{4}} \\[5pt] &=&\dfrac{\frac{1}{6}}{\frac{5}{12}} \\[5pt] &=& \frac{1}{6}\cdot\frac{12}{5}\\[5pt] &=& \frac{2}{5}\\[5pt] &=& 0,4\\[5pt] \end{array}$
$ P_{g,b}(U_1) = 0,4 $
Mit einer Wahrscheinlichkeit von $40\,\%$ stammt eine gezogene Kugel die blau oder gelb, also nicht rot, ist aus Urne $U_1.$
#pfadregeln#satzvonbayes

Aufgabe P4

a)
$\blacktriangleright$  Zeigen, dass die Punkte ein Dreieck bilden
Die drei Punkte $A,$ $B$ und $C$ wären nur dann nicht die Eckpunkte eines Dreiecks, wenn sie auf einer Geraden lägen. Das ist genau dann der Fall, wenn die beiden Verbindungsvektoren $\overrightarrow{AB}$ und $\overrightarrow{AC}$ linear abhängig sind, wenn es also einen Faktor $a\in \mathbb{R}$ gibt, sodass gilt:
$\overrightarrow{AB} = a\cdot \overrightarrow{AC}$
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{AB}&=& a\cdot \overrightarrow{AC} \\[5pt] \pmatrix{3\\1\\1}&=&a\cdot \pmatrix{3\\0\\6} \\[5pt] \end{array}$
Aufgrund der zweiten Zeile, für die $1 = 0\cdot a$ gelten müsste, kann die Gleichung niemals erfüllt sein. Die beiden Vektoren sind nicht linear abhängig und die drei zugehörigen Punkte liegen damit nicht auf einer Geraden, bilden also ein Dreieck.
$\blacktriangleright$  Ebenengleichung angeben
Eine Ebenengleichung in Parameterform ergibt sich beispielsweise mit $A$ als Stützpunkt und den beiden Verbindungsvektoren $\overrightarrow{AB}$ und $\overrightarrow{AC}$ als Spannvektoren:
$E: \quad \overrightarrow{x} = \pmatrix{-2\\1\\-2} +s\cdot \pmatrix{3\\1\\1} + t\cdot \pmatrix{3\\0\\6} $
$ E: \quad \overrightarrow{x} = … $
b)
$\blacktriangleright$  Wert von $\boldsymbol{d}$ ermitteln
Damit das Dreieck $ABD$ rechtwinklig im Punkt $B$ ist, müssen die beiden an $B$ angrenzenden Dreiecksseiten und damit auch die zugehörigen Verbindungsvektoren $\overrightarrow{AB}$ und $\overrightarrow{BD}$ orthogonal zueinander verlaufen.
Das ist der Fall, wenn das Skalarprodukt der beiden Vektoren null ergibt.
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{AB}\circ \overrightarrow{BD}&=& 0 \\[5pt] \pmatrix{3\\1\\1}\circ \pmatrix{d-1\\-1\\ 5}&=& 0 \\[5pt] 3\cdot(d-1)+1\cdot (-1)+1\cdot 5 &=& 0 \\[5pt] 3d-3 -1+ 5 &=& 0 \\[5pt] 3d+1 &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; -1 \\[5pt] 3d&=& -1 &\quad \scriptsize \mid\; :3\\[5pt] d&=& -\frac{1}{3} \\[5pt] \end{array}$
$ d = -\frac{1}{3} $
Damit das Dreieck $ABD$ bei $B$ einen rechten Winkel besitzt, muss $d=-\frac{1}{3}$ sein.
#parameterform#skalarprodukt
Bildnachweise [nach oben]
[1]
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