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Aufgabe 2B

Aufgaben
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Alle Patienten eines Krankenhauses müssen sich aufgrund von Verdachtsfällen einem Schnelltest zur Erkennung des Norovirus unterziehen.
Ein positives Testergebnis bedeutet, dass ein Patient als infiziert eingestuft wird. Ein negatives Testergebnis bedeutet, dass ein Patient als nicht infiziert eingestuft wird.
In Schnelltests treten die folgenden Fehler auf:
Ein infizierter Patient erhält ein negatives Testergebnis.
Ein nicht infizierter Patient erhält ein positives Testergebnis.
Im vorliegenden Schnelltest gilt: $P(A) = 0,08 ;$ $P(B) = 0,02.$
a)
Man schätzt, dass bereits $5\,\%$ der Patienten infiziert sind.
Gib die fehlenden Wahrscheinlichkeiten im Baumdiagramm in der Abbildung an. Betrachtet werden nun die Ereignisse $C$ und $D.$
Wenn ein Patient ein positives Testergebnis erhält, ist er infiziert.
Wenn ein Patient ein negatives Testergebnis erhält, ist er nicht infiziert.
$P(C)$ beträgt etwa $70,8\,\%.$
Zeige: $P(D)$ etwa $99,6\,\%.$
Erläutere auf Grundlage dieser beiden Wahrscheinlichkeiten, wie aussagekräftig ein positives und wie aussagekräftig ein negatives Testergebnis für den Patienten ist.
(8 BE)
#baumdiagramm
b)
In der Intensivstation des Krankenhauses wird der Test ebenfalls durchgeführt. Es wird geschätzt, dass dort nur $1\,\%$ der Patienten infiziert sind.
Untersuche für diesen Test die Gültigkeit der folgenden Aussage:
Wenn der Anteil infizierter Patienten geringer ist, verschlechtert sich die Aussagekraft des Testergebnisses, die auf Grundlage von P(C) möglich ist.
(4 BE)
c)
Das Ereignis $G,$ dass ein beliebiger Patient ein falsches Testergebnis erhält, nennt man Gesamtfehler des Tests.
In einem anderen Krankenhaus wird geschätzt, dass $5\,\%$ der Patienten infiziert sind. Dort wird ein neuer Test gesucht, bei dem $P(G)$ geringer als im alten Test ist. Zwei Tests stehen zur Auswahl:
  • In Variante $\text{I}$ ist $P(A)=0,04$ und $P(B)=0,02.$
  • In Variante $\text{II}$ ist $P(A)=0,08$ und $P(B)<0,02.$
Bestimme, wie groß $P(B)$ in Variante $\text{II}$ sein darf, damit $P(G)$ in Variante $\text{II}$ nicht größer ist als in Variante $\text{I}.$
(5 BE)
Bildnachweise [nach oben]
[1]
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Lösungen
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a)
$\blacktriangleright$  Baumdiagramm vervollständigenAufgabe 2B
Aufgabe 2B
Abb. 1: Baumdiagramm
Aufgabe 2B
Abb. 1: Baumdiagramm
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit zeigen
Verwende folgende Bezeichnungen:
  • $i:$ ein Patient ist infiziert
  • $\overline{i}:$ ein Patient ist nicht infiziert
  • $p:$ ein Testergebnis ist positiv
  • $n:$ ein Testergebnis ist negativ
Verwende den Satz von Bayes:
$\begin{array}[t]{rll} P(D)&=& P(\overline{i}\mid n) \\[5pt] &=& \dfrac{P(n\mid \overline{i})\cdot P(\overline{i})}{P(n)} \\[5pt] &=& \dfrac{0,98\cdot 0,95}{0,004+0,931} \\[5pt] &\approx& 0,9957 \\[5pt] &\approx& 99,6\,\%\\[10pt] \end{array}$
$\blacktriangleright$  Aussagekraft beurteilen
Da die Wahrscheinlichkeit $P(C)$ nur ca. $70,8\,\%$ beträgt, ist es in etwa $30\,\%$ der Fälle möglich, dass der Patient trotz eines positiven Testergebnisses nicht infiziert ist. Ein positives Testergebnis ist also nicht sehr aussagekräftig.
Dafür beträgt die Wahrscheinlichkeit $P(D)$ allerdings ca. $99,6\,\%,$ wodurch es nahezu ausgeschlossen werden kann, dass ein Patient mit einem negativen Testergebnis dennoch infiziert ist. Ein negatives Testergebnis kann also als aussagekräftig bezeichnet werden.
#pfadregeln#satzvonbayes
b)
$\blacktriangleright$  Gültigkeit der Aussage untersuchen
Berechne die neue Wahrscheinlichkeit $P(C)$ für $P(i) = 0,01.$ Dazu kannst du den Satz von Bayes verwenden.
$\begin{array}[t]{rll} P(C)&=& P(i\mid p) \\[5pt] &=& \dfrac{P(p\mid i)\cdot P(i)}{P(p)} \\[5pt] &=& \dfrac{0,92\cdot 0,01}{0,01\cdot 0,92 + 0,99\cdot 0,02} \\[5pt] &\approx& 0,317 \end{array}$
$ P(C) \approx 0,317 $
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein als infiziert deklarierter Patient auch wirklich infiziert ist, sinkt mit dem geringeren Infiziertenanteil auf $31,7\,\%.$ Bezogen auf $P(C)$ verschlechtert sich die Aussagekraft des Tests also deutlich mit einem geringeren Anteil infizierter Patienten.
#satzvonbayes#pfadregeln
c)
$\blacktriangleright$  Höchstwahrscheinlichkeit bestimmen
Berechne für beide Varianten die Wahrscheinlichkeit für den Gesamtfehler $P(G).$
$\begin{array}[t]{rll} P_{\text{I}}(G)&=& 0,05\cdot P(A) + 0,95\cdot P(B) \\[5pt] &=& 0,05\cdot 0,04 + 0,95\cdot 0,02 \\[5pt] &=& 0,021 \\[10pt] P_{\text{II}}(G)&=& 0,05\cdot P(A) + 0,95\cdot P(B) \\[5pt] &=& 0,05\cdot 0,08 + 0,95\cdot P(B) \\[5pt] &=& 0,004 + 0,95\cdot P(B) \\[10pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} P_{\text{I}}(G)&= 0,021 \\[10pt] P_{\text{II}}(G)&=…\\[10pt] \end{array}$
Gleichsetzen liefert:
$\begin{array}[t]{rll} P_{\text{I}}(G) &=& P_{\text{II}}(G) \\[5pt] 0,021 &=& 0,004 + 0,95\cdot P(B) &\quad \scriptsize \mid\; -0,004 \\[5pt] 0,017 &=& 0,95\cdot P(B) &\quad \scriptsize \mid\; :0,95 \\[5pt] 0,018&\approx& P(B) \end{array}$
$ P(B)\approx 0,018 $
$P(B)$ darf in Variante $\text{II}$ höchstens $1,8\,\%$ betragen, damit $P(G)$ in Variante $\text{II}$ nicht größer ist als in Variante $\text{I}.$
#pfadregeln
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