Aufgabe 2B

Beim Vereinsfest eines Angelvereins kann man aus zwei Becken Plastikfische angeln, von denen einige auf der Unterseite mit einem Gewinnpunkt markiert sind.

a) Im ersten Becken befinden sich 15 Fische, von denen fünf mit einem Gewinnpunkt markiert sind. Es werden zufällig drei Fische ohne Zurücklegen geangelt.
Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeiten der folgenden Ereignisse:

$E_1$ : $\quad$ Es werden genau zwei Gewinnpunkte erzielt.
$E_2$ : $\quad$ Es wird mindestens ein Gewinnpunkt erzielt.

(6P)

b) Beim zweiten Becken wird jeder geangelte Fisch vor dem nächsten Angeln wieder ins Becken zurückgelegt. Der Term $\begin{pmatrix}5\\4\end{pmatrix}\cdot0,25^{4}\cdot0,75^{1}$ beschreibt die Wahrscheinlichkeit für einen einfachen Gewinn und der Term $0,25^{5}$ die Wahrscheinlichkeit für einen Hauptgewinn.
Geben Sie an, welche Aussagen sich aus den obigen Termen

über den Anteil der Fische mit Gewinnpunkt und
über die Spielregeln

ergeben.
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass bei diesem Spiel genau drei Gewinnpunkte erzielt werden.

(6P)

c) Der Präsident des Angelvereins behauptet, dass im großen See mindestens 10.000 Fische leben. Zur Schätzung der tatsächlichen Fischanzahl wurden 283 Fische gefangen, markiert und wieder im See ausgesetzt. Anschließend werden bei einer Zufallsstichprobe 639 Fische gefangen, von denen 25 markiert sind.
Untersuchen Sie mit einem Vertrauensintervall $(\gamma=0,95 %$ ), ob die Behauptung des Präsidenten auf Basis dieser Stichprobe widerlegt werden kann.

(5P)

(17P)

a) $\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeiten berechnen

Deine Aufgabe ist es, die Wahrscheinlichkeiten zweier Ereignisse zu berechnen. Hierbei sind 15 Fische in dem betrachteten Becken, von denen 5 Fische einen Gewinnpunkt tragen, und es werden nacheinander drei Fische geangelt. Dabei handelt es sich um ein Ziehen ohne Zurücklegen. Zur Hilfe kannst du ein Baumdiagramm wie das folgende skizzieren. Dabei steht G für einen Gewinn und N für eine Niete.

Diagramm eines Entscheidungsbaums mit verschiedenen Wahrscheinlichkeiten und Ergebnissen.

Du kannst die gesuchten Wahrscheinlichkeiten mit Hilfe der Pfadregeln berechnen.
Definiere dazu zunächst eine Zufallsvariable $X$ . Díe Zufallsvariable $X$ beschreibt die Anzahl der Gewinne.

Ereignis $\boldsymbol{E_1}$

Hierbei handelt es sich um das Ereignis, dass genau zwei Gewinnfische geangelt werden. Mit Hilfe der Pfadregeln und dem Baumdiagramm ergibt sich hier:

$P(X= 2) = \frac{5}{15}\cdot\frac{4}{14}\cdot\frac{10}{13} + \frac{5}{15}\cdot \frac{10}{14}\cdot\frac{4}{13} + \frac{10}{15}\cdot\frac{5}{14}\cdot \frac{4}{13} = \frac{20}{91} \approx 0,2198 = 21,98\,\%$

Mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. $21,98\,\%$ werden genau zwei Gewinnpunkte erzielt.

Ereignis $\boldsymbol{E_2}$

Hierbei handelt es sich um das Ereignis, dass mindestens ein Gewinnfisch geangelt wird. Du suchst also die Wahrscheinlichkeit $P(X\geq 1)$ .
Diese kannst du wieder mit Hilfe der Pfadregeln und des obigen Baumdiagramms berechnen. Du kannst hierbei auch den Trick des Gegenereignisses anwenden, damit du weniger Pfade addieren musst:

$P(X\geq1) = 1- P(X< 1) = 1- P(X =0)$

Dann ergibt sich:

$P(X \geq1) = 1- P(X =0) = 1- \frac{10}{15}\cdot \frac{9}{14}\cdot \frac{8}{13} = \frac{67}{91}\approx 0,7363 = 73,63\,\%$

Mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. $73,63\,\%$ wird mindestens ein Gewinnpunkt erzielt.

b) $\blacktriangleright$ Aussagen ableiten

In diesem Aufgabenteil sollst du dich mit dem zweiten Becken beschäftigen. In diesem Becken wird jeder Fisch vor dem nächsten Angelversuch zurück ins Becken gelegt. Hierbei handelt es sich also um ein Ziehen mit Zurücklegen.
Du weißt hier nicht, wie viele Fische im Becken sind, und auch nicht wie hoch der Anteil der Gewinnfische ist. Dir ist der folgende Term gegeben, der die Wahrscheinlichkeit für einen einfachen Gewinn beschreibt:

$\begin{pmatrix}5\\4\end{pmatrix}\cdot0,25^{4}\cdot0,75^{1}$

Zusätzlich ist dir noch ein zweiter Term gegeben, der die Wahrscheinlichkeit für einen Hauptgewinn darstellt:

$0,25^{5}$

Aus diesen beiden Termen sollst du nun Aussagen über die Spielregeln, sowie über den Anteil der Gewinnfische ableiten.

Du kannst dazu beide Terme getrennt betrachten. Beginne mit dem ersten Term und überlege dir, ob dich dieser Term an eine Formel erinnert, die du bereits kennst.

Mit dieser Erkenntnis kannst du dann den zweiten Term interpretieren.

1. Schritt: Ersten Term betrachten

$\begin{pmatrix}5\\4\end{pmatrix}\cdot0,25^{4}\cdot0,75^{1}$

Dieser Term hat Ähnlichkeit mit der Formel für die Binomialverteilung. Ist $X$ eine binomialverteilte Zufallsvariable mit den Parametern $n$ und $p$ , so gilt:

$P(X=k) = \binom{n}{k}\cdot p^k\cdot (1-p)^{n-k}$

Vergleichst du nun, den obigen Term mit dieser Formel, so kannst du davon ausgehen, dass der Term eine Wahrscheinlichkeit der Form $P(X = k)$ für eine binomialverteilte Zufallsvariable $X$ beschreibt. Die Parameter kannst du dabei ablesen, sodass du erhältst:

$p = 0,25$ , $n = 5$ und $k = 4$

Da es sich im gegebenen Sachverhalt um ein Ziehen mit Zurücklegen handelt und nur zwei Merkmalsausprägungen unterschieden werden, kannst du nun diese Erkenntnisse auf den Sachzusammenhang übertragen.

Nimmst du $p = 0,25$ als Wahrscheinlichkeit dafür, einen Gewinnfisch zu angeln , und $n =5$ als Anzahl der Angelversuche an, so kannst du den obigen Term als Wahrscheinlichkeit dafür in fünf Versuchen vier Gewinnpunkte zu erzielen interpretieren.
Daran kannst du auch erkennen, dass ein einfacher Gewinn darin besteht, in fünf Versuchen vier Gewinnpunkte zu erzielen.

2. Schritt: Zweiten Term betrachten

Der zweite Term ist dir gegeben mit:

$0,25^{5}$

Dieser Term beschreibt die Wahrscheinlichkeit dafür, einen Hauptgewinn zu erzielen. Du weißt bereits, dass in diesem Spiel fünfmal geangelt wird und der Anteil der Gewinnfische $0,25$ beträgt. Daraus kannst du ableiten, dass der hier betrachtete Term die Wahrscheinlichkeit beschreibt, dass in fünf Versuchen genau fünf Gewinnfische geangelt werden.
Der Hauptgewinn besteht also darin in fünf Versuchen fünf Fische mit einem Gewinnpunkt zu angeln.

Insgesamt lässt sich aus den beiden Termen also folgendes ableiten:

Der Anteil der Fische mit Gewinnpunkt liegt bei $0,25= 25\,\%$ .
Es wird fünfmal geangelt.
Werden vier Gewinnpunkte erzielt, so gibt es einen einfachen Gewinn.
Werden fünf Gewinnpunkte erzielt, so gibt es einen Hauptgewinn.

$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit berechnen

Hier sollst du nun die Wahrscheinlichkeit dafür berechnen, genau drei Gewinnpunkte zu erzielen. Oben hast du die Formel für die Binomialverteilung bereits gesehen und weißt, dass solche Wahrscheinlichkeiten mit dieser berechnet werden können. Betrachtest du hier die Zufallsvariable $W$ , die die zufällige Anzahl der Fische mit Gewinnpunkten beschreibt, so ist $W$ binomialverteilt mit den Parametern $p =0,25$ und $n =5$ . Du suchst hier also $P(W= 3)$ .
Diese kannst du handschriftlich mit der obigen Formel für die Binomialverteilung berechnen, oder auch mit dem CAS.

$\blacktriangleright\blacktriangleright$ Lösungsweg A: Formel für die Binomialverteilung

$\begin{array}{rll} P(W=5) &=&\begin{pmatrix}5\\3\end{pmatrix}\cdot0,25^{3}\cdot0,75^{2}&\scriptsize \\ &\approx&0,0879&\scriptsize \\ &=&8,79\,\%&\scriptsize \\ \end{array}$

$\blacktriangleright\blacktriangleright$ Lösungsweg B: CAS

Hierbei kannst du den binompdf-Befehl des CAS verwenden. Diesen findest du unter:

menu 5: Wahrscheinlichkeit 5: Verteilungen D: Binomial Pdf

Gibst du dort die entsprechenden Parameter $n = 5$ , $p = 0,25$ und $k = 3$ ein, so erhältst du das folgende Ergebnis:

$P(W = 3) \approx 0,0879 = 8,79\,\%$

Screenshot einer Software zur Berechnung der Binomialverteilung mit Eingabefeldern und Ergebnissen.

Mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. $8,79\,\%$ werden in diesem Spiel genau drei Gewinnpunkte erzielt.

c) $\blacktriangleright$ Behauptung des Präsidenten mit Hilfe eines Vertrauensintervalls untersuchen

In diesem Aufgabenteil geht es nun um einen See. Der Präsident des Angelvereins behauptet, dass in diesem See mindestens $10.000$ Fische leben. Um die tatsächliche Anzahl der Fische zu schätzen wurden $283$ Fische gefangen, markiert und wieder zurückgelegt.
Nun wird eine Stichprobe von $639$ Fischen entnommen. Davon sind $25$ Fische markiert. Anhand dieser Stichprobe sollst du nun ein Vertrauensintervall mit einer Vertrauenswahrscheinlichkeit von $\gamma = 95\,\%$ aufstellen, und so überprüfen, ob die Behauptung des Präsidenten widerlegt werden kann.

Wenn der Präsident Recht hat, dann darf der Anteil $p$ der markierten Fische höchstens $p = \frac{283}{10.000}$ betragen. Gesucht ist nun also ein Vertrauensintervall über den Anteil der markierten Fische im See. Liegt $p = \frac{283}{10.000}$ innerhalb dieses Intervalls, so kann nicht ausgeschlossen werden, dass der Präsident Recht hat, andernfalls, kann davon ausgegangen werden, dass der Präsident mit seiner Behauptung falsch liegt.

Das Vertrauensintervall wird dabei ausgehend von der Stichprobe mit $n = 639$ Fischen, von denen $25$ markiert sind, bestimmt.

Das Vertrauensintervall soll sich auf den Anteil $p$ der Fische im See beziehen, der in diesem Fall unbekannt ist. Einen ersten Schätzwert für $p$ kannst du über die Angabe ermitteln, dass von $639$ Fischen $25$ markiert sind:

$\frac{25}{639}=0,0391$ .

Gesucht ist nun ein Intervall, in dem der tatsächliche Anteil $p$ der markierten Fische mit einer Wahrscheinlichkeit von 95 % liegt. Einen Ansatz für dieses Problem bieten die $\sigma$ -Regeln.

Du kannst also so vorgehen:

Wähle die $\sigma$ -Regel, welche eine Aussage über ein 95\,\%-Konfidenzintervall um den Erwartungswert $\mu$ macht.
Bedenke: $\mu=n\cdot p$ . Forme den Ausdruck in der $\sigma$ -Regel also so um, dass er eine Aussage über $p$ trifft. Hieraus ergibt sich: $P\left(\left|\dfrac{X}{n}-p\right|\leq1,96\sqrt{\dfrac{p\cdot (1-p)}{n}}\right)\leq0,95$ .
Löse die Ungleichung nach $p$ auf und berechne so die Grenzen des Intervalls.
Vergiss nicht, zum Schluss die Aussage des Präsidenten anhand des Vertrauensintervalls zu überprüfen.

1. Schritt: $\boldsymbol{\sigma}$ -Regel auswählen

Du findest die Regel

$P(\mu-1,96\sigma\leq X\leq\mu+1,96\sigma)\approx0,95$

2. Schritt: Ausdruck umformen

Betrachte nur den Ausdruck in Klammern und forme ihn so um, dass er eine Aussage über $p$ macht. Du kennst bereits:

$n=639$
$\sigma=\sqrt{n\cdot p\cdot (1-p)}$
die relative Häufigkeit $\dfrac{X}{n}=0,0391$

$\begin{array}{rrrl} \mu-1,96\sigma &\leq & X &\leq& \mu+1,96\sigma&\scriptsize \mid\; \mu=n\cdot p\\[5pt] n\cdot p-1,96\sigma &\leq & X &\leq& n\cdot p+1,96\sigma&\scriptsize \mid\; \sigma=\sqrt{n\cdot p\cdot (1-p)}\\[5pt] n\cdot p-1,96\cdot\sqrt{n\cdot p\cdot (1-p)} &\leq& X &\leq& n\cdot p+1,96\sqrt{n\cdot p\cdot (1-p)}&\scriptsize \mid\; :n\\[5pt] p-1,96\cdot\sqrt{\frac{p\cdot (1-p)}{n}} &\leq& \frac{X}{n} &\leq& p+1,96\sqrt{\frac{p\cdot (1-p)}{n}}&\scriptsize \mid\; -p\\[5pt] -1,96\cdot\sqrt{\frac{p\cdot (1-p)}{n}} &\leq& \frac{X}{n}-p &\leq& 1,96\sqrt{\frac{p\cdot (1-p)}{n}}\\[5pt] \left|\frac{X}{n}-p\right| &\leq& 1,96\sqrt{\frac{p\cdot (1-p)}{n}}&&&\scriptsize \mid\; \frac{X}{n}=0,0391;\qquad n=639\\[5pt] \left|0,0391-p\right| &\leq& 1,96\sqrt{\frac{p\cdot (1-p)}{639}}&\scriptsize \\ \end{array}$

3. Schritt: Ungleichung lösen

Du kannst auf beiden Seiten quadrieren und die Ungleichung nach $p$ auflösen.

$\begin{array}{rll} \left|0,0391-p\right| &\leq& 1,96\sqrt{\frac{p\cdot (1-p)}{639}}&\scriptsize \mid\; (\;)^2\\[5pt] (0,0391-p)^2 &\leq& (1,96)^2\cdot\frac{p\cdot(1-p)}{639}&\scriptsize \\[5pt] 0,0391^2-2\cdot0,0391\cdot p+p^2 &\leq& \frac{3,8416}{639}\cdot p\cdot(1-p)&\scriptsize \\[5pt] 0,0391^2-2\cdot0,0391\cdot p+p^2 &\leq& \frac{3,8416}{639}p-\frac{3,8416}{639}p^2&\scriptsize \mid\; -\frac{3,8416}{639}p+\frac{3,8416}{639}p^2\\[5pt] p^2+\frac{3,8416}{639}p^2-2\cdot0,0391\cdot p-\frac{3,8416}{639}p+0,0391^2 &\leq& 0&\scriptsize \\[5pt] \end{array}$

Fasse den Ausdruck links vom Gleichheitszeichen als Funktionsterm $f(p)$ einer Funktion $f$ auf. Der Graph von $f$ ist eine nach oben geöffnete Parabel.

Diese Ungleichung kannst du nun mit dem solve-Befehl des CAS nach $p$ umformen. So erhältst du das gesuchte Intervall.
Das CAS liefert dir die folgenden Grenzen für $p$ : $0,0266 \leq p \leq 0,0571$ .

Mathematische Berechnung in einer Software mit binomialer Verteilung und Gleichungslösung.

Damit folgt: der tatsächliche Anteil $p$ der markierten Fische liegt mit einer Wahrscheinlichkeit von 95 % im Intervall $[0,0266\,;\,0,0571]$ .

4. Schritt: Aussage des Präsidenten überprüfen

Wenn nun der Präsident des Angelvereins Recht hat, so darf der Anteil der markierten Fische höchstens $p = \frac{283}{10.000} = 0,0283$ betragen.

Dieser Wert liegt innerhalb des Vertrauensintervalls. Der Präsident könnte also Recht haben.

Insgesamt ergibt sich, dass der Anteil der markierten Fische mit einer Wahrscheinlichkeit von $95\,\%$ im Intervall $[0,0266\,;\,0,0571]$ liegt. Aus der Behauptung des Präsidenten des Angelvereins ergäbe sich der Anteil der markierten Fische mit höchstens $p = \frac{283}{10.000} = 0,0283$ . Dieser Wert liegt innerhalb des angegebenen Vertrauensintervalls. Daher kann die Behauptung des Präsidenten nicht widerlegt werden.

a) $\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeiten berechnen

Du kannst die gesuchten Wahrscheinlichkeiten mit Hilfe der Pfadregeln berechnen.
Definiere dazu zunächst eine Zufallsvariable $X$ . Díe Zufallsvariable $X$ beschreibt die Anzahl der Gewinne.

Ereignis $\boldsymbol{E_1}$

Hierbei handelt es sich um das Ereignis, dass genau zwei Gewinnfische geangelt werden. Mit Hilfe der Pfadregeln und dem Baumdiagramm ergibt sich hier:

Mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. $21,98\,\%$ werden genau zwei Gewinnpunkte erzielt.

Ereignis $\boldsymbol{E_2}$

$P(X\geq1) = 1- P(X< 1) = 1- P(X =0)$

Dann ergibt sich:

$P(X \geq1) = 1- P(X =0) = 1- \frac{10}{15}\cdot \frac{9}{14}\cdot \frac{8}{13} = \frac{67}{91}\approx 0,7363 = 73,63\,\%$

Mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. $73,63\,\%$ wird mindestens ein Gewinnpunkt erzielt.

b) $\blacktriangleright$ Aussagen ableiten

$\begin{pmatrix}5\\4\end{pmatrix}\cdot0,25^{4}\cdot0,75^{1}$

Zusätzlich ist dir noch ein zweiter Term gegeben, der die Wahrscheinlichkeit für einen Hauptgewinn darstellt:

$0,25^{5}$

Aus diesen beiden Termen sollst du nun Aussagen über die Spielregeln, sowie über den Anteil der Gewinnfische ableiten.

Du kannst dazu beide Terme getrennt betrachten. Beginne mit dem ersten Term und überlege dir, ob dich dieser Term an eine Formel erinnert, die du bereits kennst.

Mit dieser Erkenntnis kannst du dann den zweiten Term interpretieren.

1. Schritt: Ersten Term betrachten

$\begin{pmatrix}5\\4\end{pmatrix}\cdot0,25^{4}\cdot0,75^{1}$

Dieser Term hat Ähnlichkeit mit der Formel für die Binomialverteilung. Ist $X$ eine binomialverteilte Zufallsvariable mit den Parametern $n$ und $p$ , so gilt:

$P(X=k) = \binom{n}{k}\cdot p^k\cdot (1-p)^{n-k}$

$p = 0,25$ , $n = 5$ und $k = 4$

2. Schritt: Zweiten Term betrachten

Der zweite Term ist dir gegeben mit:

$0,25^{5}$

Insgesamt lässt sich aus den beiden Termen also folgendes ableiten:

Der Anteil der Fische mit Gewinnpunkt liegt bei $0,25= 25\,\%$ .
Es wird fünfmal geangelt.
Werden vier Gewinnpunkte erzielt, so gibt es einen einfachen Gewinn.
Werden fünf Gewinnpunkte erzielt, so gibt es einen Hauptgewinn.

$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit berechnen

$\blacktriangleright\blacktriangleright$ Lösungsweg A: Formel für die Binomialverteilung

$\begin{array}{rll} P(W=5) &=&\begin{pmatrix}5\\3\end{pmatrix}\cdot0,25^{3}\cdot0,75^{2}&\scriptsize \\ &\approx&0,0879&\scriptsize \\ &=&8,79\,\%&\scriptsize \\ \end{array}$

$\blacktriangleright\blacktriangleright$ Lösungsweg B: CAS

Hierbei kannst du den binompdf-Befehl des CAS verwenden. Diesen findest du im Statistik unter:

CALC Verteilung Binom. Einzelwkt.

Gibst du dort die entsprechenden Parameter $n =5$ , $p = 0,25$ und $k = 3$ ein, so erhältst du das folgende Ergebnis:

$P(W= 3) \approx 0,0879 = 8,79\,\%$

Zwei Bildschirmansichten mit Eingabefeldern und Schaltflächen für mathematische Berechnungen.

Mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. $8,79\,\%$ werden in diesem Spiel genau drei Gewinnpunkte erzielt.

c) $\blacktriangleright$ Behauptung des Präsidenten mit Hilfe eines Vertrauensintervalls untersuchen

Das Vertrauensintervall wird dabei ausgehend von der Stichprobe mit $n = 639$ Fischen, von denen $25$ markiert sind, bestimmt.

$\frac{25}{639}=0,0391$ .

Gesucht ist nun ein Intervall, in dem der tatsächliche Anteil $p$ der markierten Fische mit einer Wahrscheinlichkeit von 95 % liegt. Einen Ansatz für dieses Problem bieten die $\sigma$ -Regeln.

Du kannst also so vorgehen:

Wähle die $\sigma$ -Regel, welche eine Aussage über ein 95\,\%-Konfidenzintervall um den Erwartungswert $\mu$ macht.
Bedenke: $\mu=n\cdot p$ . Forme den Ausdruck in der $\sigma$ -Regel also so um, dass er eine Aussage über $p$ trifft. Hieraus ergibt sich: $P\left(\left|\dfrac{X}{n}-p\right|\leq1,96\sqrt{\dfrac{p\cdot (1-p)}{n}}\right)\leq0,95$ .
Löse die Ungleichung nach $p$ auf und berechne so die Grenzen des Intervalls.
Vergiss nicht, zum Schluss die Aussage des Präsidenten anhand des Vertrauensintervalls zu überprüfen.

1. Schritt: $\boldsymbol{\sigma}$ -Regel auswählen

Du findest die Regel

$P(\mu-1,96\sigma\leq X\leq\mu+1,96\sigma)\approx0,95$

2. Schritt: Ausdruck umformen

Betrachte nur den Ausdruck in Klammern und forme ihn so um, dass er eine Aussage über $p$ macht. Du kennst bereits:

$n=639$
$\sigma=\sqrt{n\cdot p\cdot (1-p)}$
die relative Häufigkeit $\dfrac{X}{n}=0,0391$

3. Schritt: Ungleichung lösen

Du kannst auf beiden Seiten quadrieren und die Ungleichung nach $p$ auflösen.

Fasse den Ausdruck links vom Gleichheitszeichen als Funktionsterm $f(p)$ einer Funktion $f$ auf. Der Graph von $f$ ist eine nach oben geöffnete Parabel.

Diese Ungleichung kannst du nun mit dem solve-Befehl im Main-Menu des CAS nach $p$ umformen. So erhältst du das gesuchte Intervall.
Das CAS liefert dir die folgenden Grenzen für $p$ : $0,0266 \leq p \leq 0,0571$ .

Screenshot einer mathematischen Software mit Gleichung und Berechnungsergebnissen.

Damit folgt: der tatsächliche Anteil $p$ der markierten Fische liegt mit einer Wahrscheinlichkeit von 95 % im Intervall $[0,0266\,;\,0,0571]$ .

4. Schritt: Aussage des Präsidenten überprüfen

Wenn nun der Präsident des Angelvereins Recht hat, so darf der Anteil der markierten Fische höchstens $p = \frac{283}{10.000} = 0,0283$ betragen.

Dieser Wert liegt innerhalb des Vertrauensintervalls. Der Präsident könnte also Recht haben.