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Aufgabe 1A

Aufgaben
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Aufgabe 1A

In einem Betrieb wird im Produktionsprozess ein Gas verbraucht. Dazu wird das benötigte Gas durch eine Leitung aus dem Gastank in die Produktionsstätte geleitet. Das hierbei pro Zeit durch die Leitung strömende Gas wird als Gasstrom bezeichnet. Dieser wird in Litern pro Stunde $\left(\frac{\text{L}}{\text{h}}\right)$ gemessen, die Zeit in Stunden $(\text{h})$.
Der Arbeitstag in dem Betrieb dauert $14$ Stunden, am Ende des Arbeitstages wird das Ventil des Gastanks geschlossen.
Es wird eine Langzeitmessung durchgeführt, die folgende Werte ergibt:
Zeit in $\boldsymbol{\text{h}}$ nach Beginn des Arbeitstages$ 0 $$ 4 $$ 6 $$ 10 $
Gasstrom in $\boldsymbol{\frac{\text{L}}{\text{h}}}$$ 2.000 $$ 3.140 $$ 1.500 $$ 1.440 $
$2$ Stunden und $12,2$ Stunden nach Arbeitsbeginn treten Spitzenwerte im Gasstrom auf.
Für das aus diesen Werten entwickelte Modell wird die Funktion $f$ mit
$f(t)=-3\cdot t^4+88\cdot t^3-816\cdot t^2+2.304\cdot t+2.000$, $0\leq t\leq 14$, verwendet.
dabei wird $t$ in $\text{h}$ und $f(t)$ in $\frac{\text{L}}{\text{h}}$ angegeben.
Der Zeitpunkt $t=0$ entspricht dem Beginn des Arbeitstages.
a)
Der Betriebsleiter stimmt der Nutzung des Modells unter folgenden Bedingungen zu:
  • Die mit dem Modell berechneten Werte weichen nicht mehr als $5\,\%$ von den Tabellenwerten ab.
  • Die Zeitpunkte der mit dem Modell berechneten Spitzenwerte weichen nicht mehr als $15$ Minuten von den Zeitpunkten der Spitzenwerte der Messung ab.
Weise nach, dass mit der Funktion $f$ die Bedingungen des Betriebsleiters erfüllt werden und $f$ somit für die folgenden Berechnungen genutzt werden kann.
Bestimme den Zeitpunkt zwischen den Zeitpunkten der Spitzenwerte im Gasstrom, an dem der Gasstrom am stärksten abnimmt.
Berechne die Gesamtzeit im Laufe eines Arbeitstages, in welcher der Gasstrom mindestens $1.500$ $\frac{\text{L}}{\text{h}}$ beträgt.
(14P)
b)
Das Gas wird für den Verbrauch in einem Tank gespeichert. Dem Tank können $15.600$ $\text{L}$ Gas entnommen werden. Über eine Anzeige wird das noch entnehmbare Gasvolumen in Prozent angezeigt. Zu Beginn eines Arbeitstages ist der Tank vollständig gefüllt, die Anzeige zeigt $100\,\%$ an.
Bestimme das in der ersten Stunde des Arbeitstages entnommene Gasvolumen.
Begründe, dass das für die Produktion zu einem Zeitpunkt $x$ nach Arbeitsbeginn noch entnehmbare Gasvolumen durch die Funktion $g$ mit
$g(x)=15.600-\int\limits_{0}^{x}f(t)\;\text{d}t$, $x$ in $\text{h}$, $g(x)$ in $\text{L}$, beschrieben werden kann.
Der Tank muss aufgefüllt werden, sobald die Anzeige $20\,\%$ anzeigt.
Bestimme den Zeitpunkt des Beginns dieses Auftankvorgangs.
(9P)
c)
Unabhängig vom Sachzusammenhang ist die Funktionenschar $f_k$ mit
$f_k(x)=\dfrac{3}{4}\cdot x^4-k\cdot x^3-\dfrac{3}{2}\cdot x^2+3\cdot k\cdot x$, $x\in\mathbb{R}$, $k\in\mathbb{R}$, gegeben.
In der Abbildung sind zwei Graphen für $k=-1$ und $k=-2$ dargestellt.
Entscheide, welcher der beiden Graphen zu dem Parameterwert $k=-1$ gehört.
Entscheide, ob es einen Wert für $k$ gibt, sodass der Graph von $f_k$ symmetrisch zur $y$-Achse ist.
Es gilt: $f_k'(x)=3\cdot (x-1)\cdot (x+1)\cdot (x-k)$.
Begründe damit, dass die Graphen von $f_k$ entweder drei Extrempunkte oder nur einen Extrempunkt und einen Wendepunkt haben.
Aufgabe 1A
Abb. 1: Graphen von $f_k$ für $k=-1$ und $k=-2$.
Aufgabe 1A
Abb. 1: Graphen von $f_k$ für $k=-1$ und $k=-2$.
(11P)
Bildnachweise [nach oben]
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Aufgabe 1A

a)
$\blacktriangleright$ Funktion auf Bedingungen überprüfen
Du kannst der Aufgabenstellung die Tabelle mit den Daten und die folgende Funktion für $0 \le t \le 14$ entnehmen:
$f(t)=-3\cdot t^4+88\cdot t^3-816 \cdot t^2 + 2304 \cdot t + 2000$
$f(t)=…$
Du sollst überprüfen, ob der Betriebsleiter dem Modell zustimmen kann. Dafür musst du die folgenden Punkte überprüfen:
  1. Die mit dem Modell berechneten Werte weichen nicht mehr als $5 \%$ von den Tabellenwerten ab.
  2. Die Zeitpunkte der mit dem Modell berechneten Spitzenwerte weichen nicht mehr als $15$ Minuten von den Zeitpunkten der Spitzenwerte der Messung ab.
Punkt 1
Um das zu überprüfen kannst du die Tabelle aus der Aufgabenstellung erweitern. Erstelle eine neue Zeile, welche die Funktionswerte an den Stellen $0, 4, 6$ und $10$ enthält. Die Werte kannst du mit deinem Taschenrechners bestimmen.
Die Abweichung bestimmst du, indem du den Funktionswert durch den Tabellenwert teilst. Der Wert den du dadurch erhältst, ist der prozentuale Anteil des Funktionswertes vom Tabellenwert:
Punkt 2
Die Spitzenwerte der Messung treten $2$ und $12,2$ Stunden nach Arbeitsbeginn auf. Um die Spitzenwerte des Modells zu bestimmen, musst du die Hochpunkte der Funktion bestimmen und die $x$-Werte ablesen. Nutze dafür deinen Taschenrechner.
$\blacktriangleright$ Zeitpunkt der stärksten Abnahme bestimmen
Der Zeitpunkt, zu welchem der Gasstrom am stäksten abnimmt entspricht dem $x$-Wert des Tiefpunktes der Ableitung. Bestimme zuerst die Ableitung und den Tiefpunkt
$\blacktriangleright$ Gesamtzeit, in welcher der Gasstrom mindestens $\boldsymbol{1500 \frac{L}{h}}$ beträgt, berechnen
Um diese Zeitspanne zu bestimmen, lässt du dir von deinem Taschenrechner die Funktion $f(t)$ zusammen mit der Geraden $y=1500$ zeichnen und bestimmt die Schnittpunkte der beiden Graphen. Der Bereich, in dem $f(t)$ größer ist, als die Gerade bei $y=1500$ ist der gesuchte Bereich.
b)
$\blacktriangleright$ Entnommenes Gasvolumen der ersten Stunde nach Beginn des Arbeitstags bestimmen
Die Funktion $f(t)$ gibt den momentanen Gasstrom an. Es handelt sich bei $f(t)$ also um eine momentane Änderungsrate. Das Integral über eine momentane Änderungsrate entspricht der Gesamtänderung in einem Zeitintervall.
Du sollst jetzt das Gasvolumen berechnen, dass in der ersten Stunde geflossen ist. Setzte als obere Integrationsgrenze also $x=1$ ein.
$\blacktriangleright$ Funktion $\boldsymbol{g}$ für noch entnehmbares Gasvolumen begründen
Die Funktion $f(t)$ gibt, wie bereits im vorherigen Aufgabenteil beschrieben, den momentanen Gasstrom an. Und das Integral, das bis zum Zeitpunkt $x$ entnommene Gas.
$\blacktriangleright$ Zeitpunkt zu dem der Auftankvorgang beginnt bestimmen
Du kannst der Aufgabenstellung entnehmen, dass $15600\text{L}$ $100\%$ entsprechen. Berechne zuerst, wieviel Liter noch im Tank sind, wenn die Anzeige $20\%$ anzeigt, also $20\%$ von $15600\text{L}$:
Im nächsten Schritt musst du berechnen, zu welchem Zeitpunkt noch $20\%$ von $15600\text{L}$ im Tank sind.
c)
$\blacktriangleright$ Graphen den Werte $\boldsymbol{k=-1}$ und $\boldsymbol{k=-2}$ zuordnen
Der Aufgabenstellung kannst du folgende Funktionenschar entnehmen:
$f_k(x)=0,75\cdot x^4-k\cdot x^3-1,5 \cdot x^2+3\cdot k\cdot x$
$ f_k(x)=… $
Du sollst entscheiden, welches der beiden Schaubilder zu $k=-1$ und welches zu $k=-2$ gehört. Setzte dafür zuerst die beiden Werte für $k$ ein.
Betrachte die Funktionswerte der beiden Graphen an der Stelle $x=-1$
$\blacktriangleright$ $\boldsymbol{f_k}$ Auf Werte $\boldsymbol{k}$, für die Symmetrie vorliegt untersuchen
Ein Graph ist genau dann symmetrisch zur $y$-Achse, wenn folgende Gleichung erfüllt ist:
$f_k(x)=f_k(-x)$
Du musst also $f_k(-x)$ berechnen und dann überprüfen, ob es ein $k$ gibt, sodass die Gleichung erfüllt ist.
$\blacktriangleright$ Existens von drei Extrempunkten oder einem Extrempunkt und einem Wendepunkt begründen
Du kannst der Aufgabenstellung die erste Ableitung entnehmen:
$f_k'(x)=3\cdot (x-1)\cdot (x+1)\cdot (x-k)$
Bestimme die Nullstellen und unterscheide zwischen $k=1$ oder $k=-1$ und $k\neq 1$ und $k\neq -1$.
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Aufgabe 1A

a)
$\blacktriangleright$ Funktion auf Bedingungen überprüfen
Du kannst der Aufgabenstellung die Tabelle mit den Daten und die folgende Funktion für $0 \le t \le 14$ entnehmen:
$f(t)=-3\cdot t^4+88\cdot t^3-816 \cdot t^2 + 2304 \cdot t + 2000$
$f(t)=…$
Du sollst überprüfen, ob der Betriebsleiter dem Modell zustimmen kann. Dafür musst du die folgenden Punkte überprüfen:
  1. Die mit dem Modell berechneten Werte weichen nicht mehr als $5 \%$ von den Tabellenwerten ab.
  2. Die Zeitpunkte der mit dem Modell berechneten Spitzenwerte weichen nicht mehr als $15$ Minuten von den Zeitpunkten der Spitzenwerte der Messung ab.
Punkt 1
Um das zu überprüfen kannst du die Tabelle aus der Aufgabenstellung erweitern. Erstelle eine neue Zeile, welche die Funktionswerte an den Stellen $0, 4, 6$ und $10$ enthält. Die Werte kannst du mit deinem Taschenrechners bestimmen.
Aufgabe 1A
Abb. 1: Tabellenwerte mit dem Taschenrechner bestimmen
Aufgabe 1A
Abb. 1: Tabellenwerte mit dem Taschenrechner bestimmen
Zeit in $h$ nach Beginn des Arbeitstages$0$$4$$6$$10$
Gasstrom in $\dfrac{L}{h}$ $2000$$3140$$1500$$1440$
Funktionswerte$2000$$3024$$1568$$1440$
Zeit in $h$ nach Beginn des ArbeitstagesGas- strom in $\dfrac{L}{h}$ Funktions- werte
$0$$2000$$2000$
$4$$3140$$3024$
$6$$1500$$1568$
$10$$1440$$1440$
Du siehst, dass der erste und der letzte Wert mit dem jeweiligen Funktionswert übereinstimmen. Deswegen musst du nur überprüfen, um wieviel die mittleren beiden Funktionswerte von den Tabellenwerten abweichen. Die Abweichung bestimmst du, indem du den Funktionswert durch den Tabellenwert teilst. Der Wert den du dadurch erhältst, ist der prozentuale Anteil des Funktionswertes vom Tabellenwert:
Für $h=4$:
$\begin{array}[t]{rll} 3024 : 3140&=& 0,963 \end{array}$
und für $h=6$:
$\begin{array}[t]{rll} 1568:1500 &=& 1,045 \end{array}$
Für $h=4$ entspricht der Funktionswert $96,3 \%$ des Tabellenwertes. Die Abweichung beträgt $3,7\%$. Für $h=6$ entspricht der Funktionswert $104,5 \%$ des Tabellenwertes. Die Abweichung beträgt $4,5\%$.
Die Abweichung ist für jeden der Werte kleiner als $5\%$.
Punkt 2
Die Spitzenwerte der Messung treten $2$ und $12,2$ Stunden nach Arbeitsbeginn auf. Um die Spitzenwerte des Modells zu bestimmen, musst du die Hochpunkte der Funktion bestimmen und die $x$-Werte ablesen. Nutze dafür deinen Taschenrechner und gehe wie folgt vor:
Du hast die Funktion $f$ gegeben und sollst deren Graph auf Hochpunkte untersuchen. Dies kannst du mit deinem Taschenrechner tun.
Aufgabe 1A
Abb. 2: Hochpunkte mit dem Taschenrechner bestimmen
Aufgabe 1A
Abb. 2: Hochpunkte mit dem Taschenrechner bestimmen
Der Hochpunkt bei $x=2$ weicht zeitlich nicht von dem ersten Spitzenwert der Messung ab. Der zweite Hochpunkt bei $x=12$ weicht um $0,2$ vom Zeitpunkt des zweiten Spitzenwertes ab, welcher nach $12,2$ Stunden erreicht wird.
Da $0,2$ Stunden $12$ Minuten entsprechen, ist die Abweichung kleiner als $15$ Minuten und damit noch im Toleranzbereich des Betriebsleiters.
Da beide Bedingungen des Betriebsleiters erfüllt sind, kann das Modell für folgenden Berechnungen genutzt werden.
$\blacktriangleright$ Zeitpunkt der stärksten Abnahme bestimmen
Der Zeitpunkt, zu welchem der Gasstrom am stäksten abnimmt entspricht dem $x$-Wert des Tiefpunktes der Ableitung. Bestimme zuerst die Ableitung und den Tiefpunkt
Die Ableitung ist:
$f'(t)=-12\cdot t^3+264\cdot t^2 -1632 \cdot t +2304$
$f'(t)=…$
Aufgabe 1A
Abb. 3: Tiefpunkt mit dem Taschenrechner bestimmen
Aufgabe 1A
Abb. 3: Tiefpunkt mit dem Taschenrechner bestimmen
Der Zeitpunkt, zu dem der Gasstrom am stärksten abnimmt, ist $4,43\text{h}$ nach Beginn des Arbeitstages.
$\blacktriangleright$ Gesamtzeit, in welcher der Gasstrom mindestens $\boldsymbol{1500 \frac{L}{h}}$ beträgt, berechnen
Um diese Zeitspanne zu bestimmen, lässt du dir von deinem Taschenrechner die Funktion $f(t)$ zusammen mit der Geraden $y=1500$ zeichnen und bestimmt die Schnittpunkte der beiden Graphen. Die Schnittpunkte bestimmst du wie folgt:
menu $\to$ 6: Graph analysieren $\to$ 4: Schnittpunkt
menu $\to$ 6: Graph analysieren $\to$ 4: Schnittpunkt
Die Schnittpunkte sind bei $x=6,12$, $x=10,16$ und $x=13,63$. Der Gasstrom ist von Beginn des Arbeitstages bis $x=6,12$ und zwischen den beiden anderen Zeitpunkten größer als $1500\frac{L}{h}$. Die Gesamtzeit beträgt:
$6,12+(13,26-10.16) \text{ h}= 9,22\text{h}$.
b)
$\blacktriangleright$ Entnommenes Gasvolumen der ersten Stunde nach Beginn des Arbeitstags bestimmen
Die Funktion $f(t)$ gibt den momentanen Gasstrom an. Es handelt sich bei $f(t)$ also um eine momentane Änderungsrate. Da das Integral über eine momentane Änderungsrate der Gesamtänderung in einem Zeitintervall entspricht, beschreibt das folgende Integral die Gasmenge, die insgesamt bis zum Zeitpunkt $x$ geflossen ist:
$\displaystyle\int_{0}^{x}\;f(t)\mathrm dt$
Du sollst jetzt das Gasvolumen berechnen, dass in der ersten Stunde geflossen ist. Setzte als obere Integrationsgrenze also $x=1$ ein. Berechne das Integral mit deinem Taschenrechner
$\begin{array}[t]{rll} \displaystyle\int_{0}^{1}\;f(t)\mathrm dt&=& 2901,4 \\[5pt] \end{array}$
$\blacktriangleright$ Funktion $\boldsymbol{g}$ für noch entnehmbares Gasvolumen begründen
Die Funktion $f(t)$ gibt, wie bereits im vorherigen Aufgabenteil beschrieben, den momentanen Gasstrom an. Und das Integral, gas bis zum Zeitpunkt $x$ entnommene Gas.
$\displaystyle\int_{0}^{x}\;f(t)\mathrm dt$
Zieht man diese, bereits verbrauchte Gasmenge von der Anfangsmenge $15600\text{L}$ ab, so erhält man das Gasvolumen, welches zum Zeitpunkt $x$ noch entnommen werden kann.
$\blacktriangleright$ Zeitpunkt zu dem der Auftankvorgang beginnt bestimmen
Du kannst der Aufgabenstellung entnehmen, dass $15600\text{L}$ $100\%$ entsprechen. Berechne zuerst, wieviel Liter noch im Tank sind, wenn die Anzeige $20\%$ anzeigt, also $20\%$ von $15600\text{L}$:
$15600\text{L} \cdot 0,2=3120\text{L}$
Im nächsten Schritt musst du berechnen, zu welchem Zeitpunkt noch $3120\text{L}$ im Tank sind. Dafür bestimmst du den Wert $x$ für den folgende Gleichung erfüllt ist:
$\begin{array}[t]{rll} g(x)&=& 3120 &\quad \\[5pt] 15600-\displaystyle\int_{0}^{x}\;f(t)\mathrm dt&=&3120 &\quad \mid -15600 \\[5pt] -\displaystyle\int_{0}^{x}\;f(t)\mathrm dt &=& -12480 &\quad \mid \cdot (-1) \\[5pt] \displaystyle\int_{0}^{x}\; -3\cdot t^4+88\cdot t^3-816 \cdot t^2 + 2304 \cdot t + 2000 \mathrm dt &=& 12480 \\[5pt] \big[-\frac{3}{5}t^5+22 t^4- 272t^3+1152t^2+2000t\big]_0^x &=& 12480 \\[5pt] -\frac{3}{5}x^5+22 x^4- 272x^3+1152x^2+2000x &=& 12480 \end{array}$
$ g(x)= 3120$
Benutze deinen Taschenrechner, um diese Gleichung zu lösen. Gebe dafür sowohl die linke, als auch die rechte Seite der Gleichung als Funktionen ein und bestimme den Schnittpunkt. Den Schnittpunkt bestimmst du, wie im letzten Aufgabenteil:
Aufgabe 1A
Abb. 4: Schnittpunkt bestimmen
Aufgabe 1A
Abb. 4: Schnittpunkt bestimmen
Der Auftankvorgang beginnt also nach $3,5\text{h}$.
c)
$\blacktriangleright$ Graphen den Werte $\boldsymbol{k=-1}$ und $\boldsymbol{k=-2}$ zuordnen
Der Aufgabenstellung kannst du folgende Funktionenschar entnehmen:
$f_k(x)=0,75\cdot x^4-k\cdot x^3-1,5 \cdot x^2+3\cdot k\cdot x$
$f_k(x)=…$
Du sollst entscheiden, welches der beiden Schaubilder zu $k=-1$ und welches zu $k=-2$ gehört. Setzte dafür zuerst die beiden Werte für $k$ ein.
$f_{-1}(x)=0,75\cdot x^4+1\cdot x^3-1,5 \cdot x^2-3\cdot x$
$f_{-1}(x)=…$
$f_{-2}(x)=0,75\cdot x^4+2\cdot x^3-1,5 \cdot x^2+3\cdot (-2)\cdot x$
$f_{-2}(x)=…$
Betrachtest du die Funktionswerte der beiden Graphen an der Stelle $x=-1$, siehst du, dass der Funktionswert in Abbildung 1 kleiner als $3$ und in Abbildung $2$ größer als $3$ ist. Setzte den Wert $x=-1$ in die Funktionsgleichungen $f_{-1}$ und $f{-2}$ ein und untersuche die Funktionswerte:
$f_{-1}(-1)=0,75-1-1,5+3=1,25$
$f{-2}(-1)=0,75-2-1,5+6=3,25$
Wegen $f_{-1}(-1)< 3$ und $f{-2}(-1)>3$ gehört der erste Funktionsgraph zu $k=-1$ und der zweite Funktionsgraph zu $k=-2$.
$\blacktriangleright$ $\boldsymbol{f_k}$ Auf Werte $\boldsymbol{k}$, für die Symmetrie vorliegt untersuchen
Ein Graph ist genau dann symmetrisch zur $y$-Achse, wenn folgende Gleichung erfüllt ist:
$f_k(x)=f_k(-x)$
Du musst also $f_k(-x)$ berechnen und dann überprüfen, ob es ein $k$ gibt, sodass die Gleichung erfüllt ist.
$\begin{array}[t]{rll} f_k(-x)&=& 0,75\cdot (-x)^4-k\cdot (-x)^3-1,5 \cdot (-x)^2+3\cdot k\cdot (-x) &\quad \scriptsize \mid\; \\[5pt] &=&0,75\cdot x^4+k\cdot x^3-1,5\cdot x^2-3\cdot k\cdot x \end{array}$
$ f_k(-x)= …$
Setze jetzt $f_k(-x)$ mit $f_k(x)$ gleich. Da die Terme $0,75\cdot x^4$ und $-1,5\cdot x^2$ in beiden Gleichungen vorkommen, kannst du diese direkt weglassen:
$\begin{array}[t]{rll} f_k(-x)&=&f_k(x)\\[5pt] k\cdot x^3-3\cdot k\cdot x &=& -k\cdot x^3+3\cdot k\cdot x &\quad \scriptsize \mid\; +k\cdot x^3-3\cdot k\cdot x \\[5pt] 2\cdot k\cdot x^3 -6\cdot k\cdot x &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; \text{k Ausklammern} \\[5pt] k\cdot (2\cdot x^2-6\cdot x) &=& 0 \end{array}$
$ f_k(-x)=f_k(x)$
Weil die Gleichung für jedes $x$ erfüllt sein soll, muss $k=0$ gelten. Für den Wert $k=0$ ist der Graph $f_0$ somit symmetrisch zur $y$-Achse. Dass der Graph für $k00$ symmetrisch zur $y$- Achse ist, kannst du auch daran erkennen, dass sich für $k=0$ eine ganzrationale Funktion ergibt, die nur gerade Exponenten besitzt.
$\blacktriangleright$ Existens von drei Extrempunkten oder einem Extrempunkt und einem Wendepunkt begründen
Du kannst der Aufgabenstellung die erste Ableitung entnehmen:
$f_k'(x)=3\cdot (x-1)\cdot (x+1)\cdot (x-k)$
Du kannst direkt erkennen, dass die zweite Ableitung drei Nullstellen hat. Diese sind $x=1$, $x=-1$ und $x=k$.
Falls alle drei Nullstellen verschieden sind und es an jeder Nullstelle eine Vorzeichenwechsel gibt, liegen drei Extrempunkte vor. Das ist der Fall, wenn $k\neq 1$ und $k \neq -1$.
Falls $k= 1$ oder $k = -1$, hat die Ableitung eine doppelte Nullstelle, an welcher kein Vorzeichenwechsel vorliegt. Es handelt sich also um einen Extermstelle in der Ableitung und damit um eine Wendestelle in der Funktion.
Bildnachweise [nach oben]
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Aufgabe 1A

a)
$\blacktriangleright$ Funktion auf Bedingungen überprüfen
Du kannst der Aufgabenstellung die Tabelle mit den Daten und die folgende Funktion für $0 \le t \le 14$ entnehmen:
$f(t)=-3\cdot t^4+88\cdot t^3-816 \cdot t^2 + 2304 \cdot t + 2000$
$f(t)=…$
Du sollst überprüfen, ob der Betriebsleiter dem Modell zustimmen kann. Dafür musst du die folgenden Punkte überprüfen:
  1. Die mit dem Modell berechneten Werte weichen nicht mehr als $5 \%$ von den Tabellenwerten ab.
  2. Die Zeitpunkte der mit dem Modell berechneten Spitzenwerte weichen nicht mehr als $15$ Minuten von den Zeitpunkten der Spitzenwerte der Messung ab.
Punkt 1
Um das zu überprüfen kannst du die Tabelle aus der Aufgabenstellung erweitern. Erstelle eine neue Zeile, welche die Funktionswerte an den Stellen $0, 4, 6$ und $10$ enthält. Die Werte kannst du mit deinem Taschenrechners bestimmen.
Aufgabe 1A
Abb. 1: Tabellenwerte mit dem Taschenrechner bestimmen
Aufgabe 1A
Abb. 1: Tabellenwerte mit dem Taschenrechner bestimmen
Zeit in $h$ nach Beginn des Arbeitstages$0$$4$$6$$10$
Gasstrom in $\dfrac{L}{h}$ $2000$$3140$$1500$$1440$
Funktionswerte$2000$$3024$$1568$$1440$
Zeit in $h$ nach Beginn des ArbeitstagesGas- strom in $\dfrac{L}{h}$ Funktions- werte
$0$$2000$$2000$
$4$$3140$$3024$
$6$$1500$$1568$
$10$$1440$$1440$
Du siehst, dass der erste und der letzte Wert mit dem jeweiligen Funktionswert übereinstimmen. Deswegen musst du nur überprüfen, um wieviel die mittleren beiden Funktionswerte von den Tabellenwerten abweichen. Die Abweichung bestimmst du, indem du den Funktionswert durch den Tabellenwert teilst. Der Wert den du dadurch erhältst, ist der prozentuale Anteil des Funktionswertes vom Tabellenwert:
Für $h=4$:
$\begin{array}[t]{rll} 3024 : 3140&=& 0,963 \end{array}$
und für $h=6$:
$\begin{array}[t]{rll} 1568:1500 &=& 1,045 \end{array}$
Für $h=4$ entspricht der Funktionswert $96,3 \%$ des Tabellenwertes. Die Abweichung beträgt $3,7\%$. Für $h=6$ entspricht der Funktionswert $104,5 \%$ des Tabellenwertes. Die Abweichung beträgt $4,5\%$.
Die Abweichung ist für jeden der Werte kleiner als $5\%$.
Punkt 2
Die Spitzenwerte der Messung treten $2$ und $12,2$ Stunden nach Arbeitsbeginn auf. Um die Spitzenwerte des Modells zu bestimmen, musst du die Hochpunkte der Funktion bestimmen und die $x$-Werte ablesen. Nutze dafür deinen Taschenrechner und gehe wie folgt vor:
Du hast die Funktion $f$ gegeben und sollst deren Graph auf Hochpunkte untersuchen. Dies kannst du mit deinem Taschenrechner tun.
Aufgabe 1A
Abb. 2: Hochpunkte mit dem Taschenrechner bestimmen
Aufgabe 1A
Abb. 2: Hochpunkte mit dem Taschenrechner bestimmen
Der Hochpunkt bei $x=2$ weicht zeitlich nicht von dem ersten Spitzenwert der Messung ab. Der zweite Hochpunkt bei $x=12$ weicht um $0,2$ vom Zeitpunkt des zweiten Spitzenwertes ab, welcher nach $12,2$ Stunden erreicht wird.
Da $0,2$ Stunden $12$ Minuten entsprechen, ist die Abweichung kleiner als $15$ Minuten und damit noch im Toleranzbereich des Betriebsleiters.
Da beide Bedingungen des Betriebsleiters erfüllt sind, kann das Modell für folgenden Berechnungen genutzt werden.
$\blacktriangleright$ Zeitpunkt der stärksten Abnahme bestimmen
Der Zeitpunkt, zu welchem der Gasstrom am stäksten abnimmt entspricht dem $x$-Wert des Tiefpunktes der Ableitung. Bestimme zuerst die Ableitung und den Tiefpunkt
Die Ableitung ist:
$f'(t)=-12\cdot t^3+264\cdot t^2 -1632 \cdot t +2304$
$f'(t)=…$
Aufgabe 1A
Abb. 3: Tiefpunkt mit dem Taschenrechner bestimmen
Aufgabe 1A
Abb. 3: Tiefpunkt mit dem Taschenrechner bestimmen
Der Zeitpunkt, zu dem der Gasstrom am stärksten abnimmt, ist $4,43\text{h}$ nach Beginn des Arbeitstages.
$\blacktriangleright$ Gesamtzeit, in welcher der Gasstrom mindestens $\boldsymbol{1500 \frac{L}{h}}$ beträgt, berechnen
Um diese Zeitspanne zu bestimmen, lässt du dir von deinem Taschenrechner die Funktion $f(t)$ zusammen mit der Geraden $y=1500$ zeichnen und bestimmt die Schnittpunkte der beiden Graphen. Die Schnittpunkte bestimmst du wie folgt:
Analysis $\to$ G-Solve $\to$ 4: Intersection
Analysis $\to$ G-Solve $\to$ 4: Intersection
Die Schnittpunkte sind bei $x=6,12$, $x=10,16$ und $x=13,63$. Der Gasstrom ist von Beginn des Arbeitstages bis $x=6,12$ und zwischen den beiden anderen Zeitpunkten größer als $1500\frac{L}{h}$. Die Gesamtzeit beträgt:
$6,12+(13,26-10.16) \text{ h}= 9,22\text{h}$.
b)
$\blacktriangleright$ Entnommenes Gasvolumen der ersten Stunde nach Beginn des Arbeitstags bestimmen
Die Funktion $f(t)$ gibt den momentanen Gasstrom an. Es handelt sich bei $f(t)$ also um eine momentane Änderungsrate. Da das Integral über eine momentane Änderungsrate der Gesamtänderung in einem Zeitintervall entspricht, beschreibt das folgende Integral die Gasmenge, die insgesamt bis zum Zeitpunkt $x$ geflossen ist:
$\displaystyle\int_{0}^{x}\;f(t)\mathrm dt$
Du sollst jetzt das Gasvolumen berechnen, dass in der ersten Stunde geflossen ist. Setzte als obere Integrationsgrenze also $x=1$ ein. Berechne das Integral mit deinem Taschenrechner
$\begin{array}[t]{rll} \displaystyle\int_{0}^{1}\;f(t)\mathrm dt&=& 2901,4 \\[5pt] \end{array}$
$\blacktriangleright$ Funktion $\boldsymbol{g}$ für noch entnehmbares Gasvolumen begründen
Die Funktion $f(t)$ gibt, wie bereits im vorherigen Aufgabenteil beschrieben, den momentanen Gasstrom an. Und das Integral, gas bis zum Zeitpunkt $x$ entnommene Gas.
$\displaystyle\int_{0}^{x}\;f(t)\mathrm dt$
Zieht man diese, bereits verbrauchte Gasmenge von der Anfangsmenge $15600\text{L}$ ab, so erhält man das Gasvolumen, welches zum Zeitpunkt $x$ noch entnommen werden kann.
$\blacktriangleright$ Zeitpunkt zu dem der Auftankvorgang beginnt bestimmen
Du kannst der Aufgabenstellung entnehmen, dass $15600\text{L}$ $100\%$ entsprechen. Berechne zuerst, wieviel Liter noch im Tank sind, wenn die Anzeige $20\%$ anzeigt, also $20\%$ von $15600\text{L}$:
$15600\text{L} \cdot 0,2=3120\text{L}$
Im nächsten Schritt musst du berechnen, zu welchem Zeitpunkt noch $3120\text{L}$ im Tank sind. Dafür bestimmst du den Wert $x$ für den folgende Gleichung erfüllt ist:
$\begin{array}[t]{rll} g(x)&=& 3120 &\quad \\[5pt] 15600-\displaystyle\int_{0}^{x}\;f(t)\mathrm dt&=&3120 &\quad \mid -15600 \\[5pt] -\displaystyle\int_{0}^{x}\;f(t)\mathrm dt &=& -12480 &\quad \mid \cdot (-1) \\[5pt] \displaystyle\int_{0}^{x}\; -3\cdot t^4+88\cdot t^3-816 \cdot t^2 + 2304 \cdot t + 2000 \mathrm dt &=& 12480 \\[5pt] \big[-\frac{3}{5}t^5+22 t^4- 272t^3+1152t^2+2000t\big]_0^x &=& 12480 \\[5pt] -\frac{3}{5}x^5+22 x^4- 272x^3+1152x^2+2000x &=& 12480 \end{array}$
$ g(x)= 3120 $
Benutze deinen Taschenrechner, um diese Gleichung zu lösen. Gebe dafür sowohl die linke, als auch die rechte Seite der Gleichung als Funktionen ein und bestimme den Schnittpunkt. Den Schnittpunkt bestimmst du, wie im letzten Aufgabenteil:
Aufgabe 1A
Abb. 4: Schnittpunkt bestimmen
Aufgabe 1A
Abb. 4: Schnittpunkt bestimmen
Der Auftankvorgang beginnt also nach $3,5\text{h}$.
c)
$\blacktriangleright$ Graphen den Werte $\boldsymbol{k=-1}$ und $\boldsymbol{k=-2}$ zuordnen
Der Aufgabenstellung kannst du folgende Funktionenschar entnehmen:
$f_k(x)=0,75\cdot x^4-k\cdot x^3-1,5 \cdot x^2+3\cdot k\cdot x$
$f_k(x)…$
Du sollst entscheiden, welches der beiden Schaubilder zu $k=-1$ und welches zu $k=-2$ gehört. Setzte dafür zuerst die beiden Werte für $k$ ein.
$f_{-1}(x)=0,75\cdot x^4+1\cdot x^3-1,5 \cdot x^2-3\cdot x$
$f_{-1}(x)=…$
$f_{-2}(x)=0,75\cdot x^4+2\cdot x^3-1,5 \cdot x^2+3\cdot (-2)\cdot x$
$f_{-2}(x)=…$
Betrachtest du die Funktionswerte der beiden Graphen an der Stelle $x=-1$, siehst du, dass der Funktionswert in Abbildung 1 kleiner als $3$ und in Abbildung $2$ größer als $3$ ist. Setzte den Wert $x=-1$ in die Funktionsgleichungen $f_{-1}$ und $f{-2}$ ein und untersuche die Funktionswerte:
$f_{-1}(-1)=0,75-1-1,5+3=1,25$
$f{-2}(-1)=0,75-2-1,5+6=3,25$
Wegen $f_{-1}(-1)< 3$ und $f{-2}(-1)>3$ gehört der erste Funktionsgraph zu $k=-1$ und der zweite Funktionsgraph zu $k=-2$.
$\blacktriangleright$ $\boldsymbol{f_k}$ Auf Werte $\boldsymbol{k}$, für die Symmetrie vorliegt untersuchen
Ein Graph ist genau dann symmetrisch zur $y$-Achse, wenn folgende Gleichung erfüllt ist:
$f_k(x)=f_k(-x)$
Du musst also $f_k(-x)$ berechnen und dann überprüfen, ob es ein $k$ gibt, sodass die Gleichung erfüllt ist.
$\begin{array}[t]{rll} f_k(-x)&=& 0,75\cdot (-x)^4-k\cdot (-x)^3-1,5 \cdot (-x)^2+3\cdot k\cdot (-x) &\quad \scriptsize \mid\; \\[5pt] &=&0,75\cdot x^4+k\cdot x^3-1,5\cdot x^2-3\cdot k\cdot x \end{array}$
$ f_k(-x)=…$
Setze jetzt $f_k(-x)$ mit $f_k(x)$ gleich. Da die Terme $0,75\cdot x^4$ und $-1,5\cdot x^2$ in beiden Gleichungen vorkommen, kannst du diese direkt weglassen:
$\begin{array}[t]{rll} f_k(-x)&=&f_k(x)\\[5pt] k\cdot x^3-3\cdot k\cdot x &=& -k\cdot x^3+3\cdot k\cdot x &\quad \scriptsize \mid\; +k\cdot x^3-3\cdot k\cdot x \\[5pt] 2\cdot k\cdot x^3 -6\cdot k\cdot x &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; \text{k Ausklammern} \\[5pt] k\cdot (2\cdot x^2-6\cdot x) &=& 0 \end{array}$
$ f_k(-x)=f_k(x)$
Weil die Gleichung für jedes $x$ erfüllt sein soll, muss $k=0$ gelten. Für den Wert $k=0$ ist der Graph $f_0$ somit symmetrisch zur $y$-Achse. Dass der Graph für $k00$ symmetrisch zur $y$- Achse ist, kannst du auch daran erkennen, dass sich für $k=0$ eine ganzrationale Funktion ergibt, die nur gerade Exponenten besitzt.
$\blacktriangleright$ Existens von drei Extrempunkten oder einem Extrempunkt und einem Wendepunkt begründen
Du kannst der Aufgabenstellung die erste Ableitung entnehmen:
$f_k'(x)=3\cdot (x-1)\cdot (x+1)\cdot (x-k)$
Du kannst direkt erkennen, dass die zweite Ableitung drei Nullstellen hat. Diese sind $x=1$, $x=-1$ und $x=k$.
Falls alle drei Nullstellen verschieden sind und es an jeder Nullstelle eine Vorzeichenwechsel gibt, liegen drei Extrempunkte vor. Das ist der Fall, wenn $k\neq 1$ und $k \neq -1$.
Falls $k= 1$ oder $k = -1$, hat die Ableitung eine doppelte Nullstelle, an welcher kein Vorzeichenwechsel vorliegt. Es handelt sich also um einen Extermstelle in der Ableitung und damit um eine Wendestelle in der Funktion.
Bildnachweise [nach oben]
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