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Aufgabe 3A

Aufgaben
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Die Abbildung zeigt modellhaft den Entwurf eines Zeltes mit den Punkten $A(2\mid 1\mid 0),$ $B(2\mid 3\mid 0) ,$ $C(0 \mid 3 \mid 0),$ $D(0 \mid 1\mid 0) ,$ $E(1\mid 0 \mid 0),$ $S(1\mid 1\mid 2)$ und $T(1\mid 3\mid 2).$ Alle Koordinaten sind in der Einheit Meter angegeben.
a)
Zeige, dass die Zeltkanten $AB$ und $ST$ parallel zueinander sind.
Berechne
  • die Länge der Zeltstange zwischen den Punkten $E$ und $S,$
  • die Größe des Schnittwinkels, den die Zeltfläche, die durch die Punkte $A,$ $E$ und $S$ aufgespannt wird, mit der Bodenfläche in der $xy$-Ebene bildet.
(10 BE)
#schnittwinkel
b)
Eine im Punkt $S$ befestigte Spannleine wird entsprechend der Abbildung so gespannt, dass sie in der von den Punkten $D,$ $E$ und $S$ aufgespannten Ebene liegt. Der Befestigungspunkt $F$ der Spannleine liegt im durch die $xy$-Ebene dargestellten Boden.
Weise nach, dass $F$ die Koordinaten $(1+r\mid -r\mid 0)$ hat.
Berechne die Koordinaten von $F$ so, dass der Winkel zwischen Spannleine und Boden $45^{\circ}$ groß ist.
(7 BE)
Bildnachweise [nach oben]
[1]
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a)
$\blacktriangleright$  Parallele Zeltkanten zeigenAufgabe 3A
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{AB}&=&\pmatrix{0\\2\\0} \\[5pt] \overrightarrow{ST}&=& \pmatrix{0\\2\\0} \end{array}$
Die zu den Kanten $AB$ und $ST$ gehörenden Verbindungsvektoren sind identisch. Sie sind also insbesondere parallel. Die Zeltkanten $AB$ und $ST$ sind daher ebenfalls parallel.
$\blacktriangleright$  Länge der Zeltstange berechnen
$\begin{array}[t]{rll} \left|\overrightarrow{ES} \right|&=& \left|\pmatrix{0\\1\\2}\right| \\[5pt] &=& \sqrt{0^2+1^2+2^2} \\[5pt] &\approx& 2,24 \end{array}$
$ \left|\overrightarrow{ES} \right| \approx 2,24 $
Die Zeltstange zwischen den Punkten $E$ und $S$ ist ca. $2,24\,\text{m}$ lang.
$\blacktriangleright$  Größe des Schnittwinkels berechnen
Ein Normalenvektor der $xy$-Ebene ist $\overrightarrow{n}_1 = \pmatrix{0\\0\\1}.$ Ein Normalenvektor der Ebene, in der $A,$ $E$ und $S$ liegen kann mithilfe des Kreuzprodukts berechnet werden:
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{n}_2&=& \overrightarrow{EA}\times \overrightarrow{ES}\\[5pt] &=& \pmatrix{-1\\-1\\0}\times \pmatrix{0\\1\\2} \\[5pt] &=& \pmatrix{-1\cdot 2 - 0\cdot 1 \\ 0\cdot 0 -(-1)\cdot 2 \\ (-1)\cdot 1 -(-1)\cdot 0} \\[5pt] &=& \pmatrix{-2\\2\\-1} \\[5pt] \end{array}$
$ \overrightarrow{n}_2 = \pmatrix{-2\\2\\-1} $
Mit der Formel für den Schnittwinkel $\alpha$ zweier Ebenen folgt:
$\begin{array}[t]{rll} \cos \alpha &=& \dfrac{\left|\overrightarrow{n}_1 \circ \overrightarrow{n}_2 \right|}{\left|\overrightarrow{n}_1 \right| \cdot \left|\overrightarrow{n}_2 \right|} \\[5pt] \cos \alpha &=& \dfrac{\left|\pmatrix{0\\0\\1} \circ \pmatrix{-2\\2\\-1} \right|}{\left|\pmatrix{0\\0\\1} \right| \cdot \left|\pmatrix{-2\\2\\-1} \right|} \\[5pt] \cos \alpha &=& \dfrac{1}{1 \cdot \sqrt{(-2)^2+2^2+(-1)^2}} \\[5pt] \cos \alpha &=& \dfrac{1}{3} &\quad \scriptsize \mid\; \cos^{-1}\\[5pt] \alpha &\approx& 70,5^{\circ} \end{array}$
$ \alpha \approx 70,5^{\circ} $
Der Schnittwinkel zwischen der Zeltfläche und der Bodenfläche ist ca. $70,5^{\circ}$ groß.
$\blacktriangleright$  Lage in einer Ebene begründen
Es ist $\overrightarrow{AB} = \pmatrix{0\\2\\0}$ und $\overrightarrow{ST} = \pmatrix{0\\2\\0}.$ Die beiden Geraden, die jeweils durch $A$ und $B$ bzw. $S$ und $T$ verlaufen sind also parallel. Durch zwei parallele Geraden ist eine Ebene eindeutig festgelegt. Die vier Punkte $A,$ $B,$ $S$ und $T$ liegen also in einer Ebene.
#kreuzprodukt#vektorbetrag
b)
$\blacktriangleright$  Koordinaten nachweisen
$F$ liegt in der Ebene, die durch $E,$ $S$ und $D$ festgelegt ist und gleichzeitig in der $xy$-Ebene. $F$ muss also auf der Schnittgeraden dieser beiden Ebenen liegen. Da $E$ und $D$ diese beiden Eigenschaften ebenso erfüllen, liegen auch diese auf der Schnittgeraden. Eine Gleichung der Schnittgeraden kann also durch die Koordinaten von $D$ und $E$ bestimmt werden:
$\begin{array}[t]{rll} s:\quad \overrightarrow{x} &=& \overrightarrow{OE} + r\cdot \overrightarrow{DE} \\[5pt] &=& \pmatrix{1\\0\\0} +r\cdot \pmatrix{1\\-1\\0} \\[5pt] \end{array}$
$ s:\;\overrightarrow{x}= … $
$F$ hat also Koordinaten der Form $F(1+r\mid -r \mid 0).$
$\blacktriangleright$  Koordinaten berechnen
Die Kante $FS$ kann also durch den Vektor $\overrightarrow{FS} = \pmatrix{-r\\1+r\\2}$ beschrieben werden. Der Schnittwinkel dieser Kante mit der $xy$-Ebene soll $45^{\circ}$ groß sein. Mithilfe des Normalenvektors $\overrightarrow{n}_1 = \pmatrix{0\\0\\1}$ der $xy$-Ebene ergibt sich dadurch folgende Gleichung:
$\begin{array}[t]{rll} \sin 45^{\circ} &=& \dfrac{\left| \overrightarrow{FS} \circ \overrightarrow{n}_1\right|}{\left|\overrightarrow{FS} \right| \cdot \left| \overrightarrow{n}_1\right|} \\[5pt] \sin 45^{\circ} &=& \dfrac{\left| \pmatrix{-r\\1+r\\2} \circ \pmatrix{0\\0\\1}\right|}{\left| \pmatrix{-r\\1+r\\2} \right| \cdot \left| \pmatrix{0\\0\\1}\right|} \\[5pt] \sin 45^{\circ} &=& \dfrac{2}{ \sqrt{(-r)^2+(1+r)^2+2^2} \cdot 1} \\[5pt] \sin 45^{\circ} &=& \dfrac{2}{ \sqrt{r^2+1+2r+r^2+2^2} } \\[5pt] \sin 45^{\circ} &=& \dfrac{2}{ \sqrt{5+2r+2r^2} } &\quad \scriptsize \mid\;\cdot \sqrt{5+2r+2r^2} \\[5pt] \sqrt{5+2r+2r^2} \cdot \sin 45^{\circ} &=& 2 &\quad \scriptsize \mid\;:\sin 45^{\circ} \\[5pt] \sqrt{5+2r+2r^2} &=& \dfrac{2}{\sin 45^{\circ}} \end{array}$
$ \sqrt{5+2r+2r^2} = … $
Diese Gleichung kannst du nun mit dem solve-Befehl deines CAS lösen und erhältst dann:
$r_1 \approx - 1,82 $ und $r_2 \approx 0,82 $
Es ergeben sich also die beiden möglichen Punkte $F_1(-0,82 \mid 1,82 \mid 0)$ und $F_2(1,82\mid -0,82\mid 0 ).$
Betrachtet man die Abbildung und die Tatsache, dass $E$ auf der $x$-Achse und alle übrigen bisher bekannten Punkte rechts der $x$-Achse liegen, muss $F$ links der $x$-Achse liegen, also eine negative $y$-Koordinate haben. $F_2$ ist also der gesuchte Punkt.
#schnittwinkel#vektorbetrag
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