Stochastik

Aufgabe 2A

Bei einer Naturkostkette besitzen die meisten Kundinnen und Kunden ein Konto für Online-Bestellungen. Im Folgenden werden ausschließlich diese Personen betrachtet. $72 \, \%$ der Personen sind jünger als $50$ Jahre. $18 \, \%$ der Personen sind jünger als $50$ Jahre und wohnen nicht in einer Großstadt. Der Anteil der Personen, die in einer Großstadt wohnen, beträgt $75 \, \%.$ Es soll davon ausgegangen werden, dass in einer zufälligen Auswahl von Personen die Anzahl derjenigen, die in einer Großstadt wohnen, binomialverteilt ist.

Stelle den Sachzusammenhang in einer vollständig ausgefüllten Vierfeldertafel dar.

(3 BE)

Beurteile die folgende Aussage:

Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine zufällig ausgewählte Person entweder in einer Großstadt wohnt oder nicht jünger als $50$ Jahre ist, ist kleiner als $60 \,\%.$

(3 BE)

Beschreibe im Sachzusammenhang ein Zufallsexperiment, bei dem die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses wie folgt berechnet werden kann:

$\displaystyle\sum_{k=40}^{110}\binom{160}{k} \cdot 0,75^k \cdot 0,25^{160-k}$

Gib den Wert des Terms an und gib die Bedeutung des Terms im Sachzusammenhang an.

(4 BE)

Die Naturkostkette produziert Gläser mit veganem Brotaufstrich. Diese Gläser werden in Kisten verpackt; jede Kiste enthält $50$ Gläser. Für die Naturkostkette belaufen sich die Gesamtkosten auf $2,00 \,\text{€}$ pro Glas.
Ein Glas weist mit einer Wahrscheinlichkeit von $10 \,\%$ einen optischen Mangel auf. Die Naturkostkette legt daher generell für die Bezahlung einer gelieferten Kiste Folgendes fest:

Wenn höchstens sechs Gläser diesen Mangel aufweisen, so muss für die Kiste der vollständige Preis bezahlt werden.
Wenn genau sieben oder genau acht Gläser diesen Mangel aufweisen, so muss für die Kiste der halbe Preis bezahlt werden.
Wenn mehr als acht Gläser diesen Mangel aufweisen, so muss für die Kiste nichts bezahlt werden.

Die in den folgenden Teilaufgaben aufgeführten Näherungswerte für Wahrscheinlichkeiten sollen bei Verwendung in weiteren Rechnungen als exakte Werte betrachtet werden.

Zeige, dass die Wahrscheinlichkeit dafür, dass in einer der Produktion entnommenen Kiste höchstens sechs Gläser den Mangel aufweisen, etwa $0,77$ beträgt.

(2 BE)

Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass in einer der Produktion entnommenen Kiste genau sieben oder genau acht Gläser diesen Mangel aufweisen, beträgt etwa $0,17.$
Es wird davon ausgegangen, dass bei jeder Lieferung alle Gläser von der Kundin bzw. vom Kunden überprüft werden und die Anzahl der Gläser mit diesem Mangel der Naturkostkette wahrheitsgemäß rückgemeldet wird.

Ermittle den geringsten Preis pro Glas mit veganem Brotaufstrich auf Cent genau, so dass die Naturkostkette im Mittel einen Gewinn von mindestens $0,50 \,\text{€}$ pro Glas erwarten kann.

(3 BE)

Aufgabe 2B

Betrachtet wird ein Brettspiel mit zwei Würfeln, deren Seiten jeweils mit den Zahlen $1$ bis $6$ durchnummeriert sind. In jedem Spielzug werden beide Würfel geworfen. Wenn sich dabei die Augensumme $8$ oder $9$ ergibt, wird eine Ereigniskarte aufgedeckt, ansonsten nicht.

Begründe, dass die Wahrscheinlichkeit dafür, dass in einem Spielzug eine Ereigniskarte aufgedeckt wird, $\frac{1}{4}$ beträgt.

(3 BE)

Betrachtet werden die ersten fünf Spielzüge.

Beschreibe im Sachzusammenhang ein Ereignis, dessen Wahrscheinlichkeit mit dem Term $\left(\frac{1}{4}\right)^5+\left(\frac{3}{4}\right)^5$ berechnet werden kann.

(2 BE)

Die Zufallsgröße $X$ beschreibt die Anzahl der in einem Spiel mit $60$ Spielzügen insgesamt aufgedeckten Ereigniskarten.

Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass im Laufe dieses Spiels weniger als zwölf Ereigniskarten aufgedeckt werden.

(2 BE)

Die Abbildung 1 zeigt die Wahrscheinlichkeitsverteilung von $X.$

Skaliere in der Abbildung die beiden Achsen, indem du jeweils einen geeigneten Wert ermittelst und diesen auf der zugehörigen Achse einträgst.

(4 BE)

Abbildung

Abbildung 1

Zu dem Brettspiel gehören Plättchen, auf denen Landschaften und Tiere abgebildet sind. Es kommen genau drei verschiedene Landschaftssymbole und zwei verschiedene Tiersymbole vor. Auf jedem Plättchen sind genau zwei Landschaftssymbole und ein oder zwei Tiersymbole abgebildet, wobei kein Symbol doppelt vorkommt. Zwei Plättchen gelten als gleich, wenn auf ihnen genau die gleichen Symbole abgebildet sind.

Ermittle die Anzahl der verschiedenen Plättchen, die es bei diesem Spiel höchstens geben kann.

(4 BE)

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Aufgabe 2A

$J:$

„Die Person ist jünger als $50$ Jahre.“

$G:$

„Die Person wohnt in einer Großstadt.“

	$\color{#fff}{J}$	$\color{#fff}{\overline{J}}$
$\color{#fff}{G}$	$0,54$	$0,21$	$0,75$
$\color{#fff}{\overline{G}}$	$0,18$	$0,07$	$0,25$
	$0,72$	$0,28$	$1$

Die Aussage ist falsch, da $0,54+0,07=0,61 \gt 0,6$ ist.

In einem Zufallsexperiment werden insgesamt $160$ Personen nach dem Zufallsprinzip ausgewählt. Jede dieser Personen hat mit einer Wahrscheinlichkeit von $0,75$ ihren Wohnsitz in einer Großstadt. Der gegebene Summen-Term beschreibt die Wahrscheinlichkeit dafür, dass unter diesen $160$ ausgewählten Personen mindestens $40$ und höchstens $110$ Personen in einer Großstadt leben.

Durch Ausrechnen mit dem CAS folgt für den Wert des Terms ungefähr $0,04.$ Das bedeutet: Die Wahrscheinlichkeit, dass zwischen $40$ und $110$ der $160$ zufällig gewählten Personen in einer Großstadt leben, liegt bei etwa $4 \,\%.$

$X$ ist eine binomialverteilte Zufallsgröße mit den Parametern $n=50$ und $p=0,1.$ Sie gibt die Anzahl der Gläser in der Kiste, die den Mangel aufweisen, an.

$P_{0,1}^{50}(X \leq 6) \approx 0,77$

Wahrscheinlichkeit für volle Bezahlung (höchstens 6 mangelhafte Gläser): $p_1=0,77$

Wahrscheinlichkeit für halbe Bezahlung (genau 7 oder 8 mangelhafte Gläser): $p_2=0,17$

Wahrscheinlichkeit für keine Bezahlung (mehr als 8 mangelhafte Gläser): $p_3=1-0,77-0,17= 0,06$

$\begin{array}[t]{rlll} E &\geq& 0,5 \\[5pt] p_1 \cdot(x-2)+p_2 \cdot(0,5 x-2)+p_3 \cdot(0-2) &\geq& \\[5pt] 0,77 \cdot(x-2)+0,17 \cdot(0,5 x-2)+0,06 \cdot(-2) &\geq& \end{array}$

Mit dem solve-Befehl des CAS folgt:

$x \approx 2,93$

Der geringstmögliche Preis pro Glas beträgt also $2,93$ Euro.

Aufgabe 2B

Um die Augensumme $8$ mit zwei Würfeln zu erzielen gibt es $5$ verschiedene Kombinationen: $2+6;3+5;4+4;5+3;6+2.$
Somit beträgt die Wahrscheinlichkeit, die Augensumme $8$ zu erzielen $\dfrac{5}{36}.$

Um die Augensumme $9$ mit zwei Würfeln zu erzielen gibt es $4$ verschiedene Kombinationen: $3+6;4+5;5+4;6+3.$
Somit beträgt die Wahrscheinlichkeit, die Augensumme $9$ zu erzielen $\dfrac{4}{36}.$