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Lerninhalte in Mathe

Aufgabe R1

Gegeben ist die in \(\mathbb{R}\) definierte Funktion \(f\) mit \(f(x)=x^4-x^2.\) Die Abbildung zeigt ein zu beiden Koordinatenachsen symmetrisches Quadrat mit der Seitenlänge \(2\) sowie den Graphen von \(f.\)

a)

Der Graph von \(f\) wird um \(1\) in \(y\)-Richtung verschoben.

Skizziere den verschobenen Graphen in der Abbildung.

(1 BE)
b)

Der Graph von \(f\) wird nun um \(c\) mit \(c \gt 0\) in \(y\)-Richtung verschoben, sodass der Graph das Quadrat in zwei Flächen gleichen Inhalts teilt.

Berechne \(c.\)

(4 BE)

Abbildung

Aufgabe R2

Die Abbildung zeigt die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer binomialverteilten Zufallsgröße \(X\) mit den Parametern \(n\) und \(p=0,5.\)

Abbildung

a)

Es gilt \(P(X=10)=P(X=11).\)

Begründe, dass \(n\) nicht gerade ist.

(2 BE)
b)

Es gilt \(P(X \geq 9) \approx 0,81\) und \(P(X=12) \approx 0,14.\)

Berechne unter Verwendung dieser Werte näherungsweise die Wahrscheinlichkeit \(P(X=10).\)

(3 BE)

Aufgabe R3

Die Ebene \(E\) wird durch die Gleichung \(\overrightarrow{x}=\pmatrix{1\\-3\\0}+r \cdot \pmatrix{-3\\4\\1}+s \cdot \pmatrix{3\\-4\\0}\) mit \(r, s \in \mathbb{R}\) beschrieben.

a)

Zeige, dass der Vektor \(\pmatrix{4\\3\\0}\) senkrecht zur Ebene \(E\) steht.

(2 BE)
b)

Bestimme die Koordinaten eines Punkts \(P\) mit folgender Eigenschaft:

Wird der Punkt \(P\) an der Ebene \(E\) gespiegelt, so hat der entstehende Punkt vom Punkt \(P\) den Abstand \(20.\)

(3 BE)

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