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Aufgabe 1A

Aufgaben
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Unter der Körpertemperatur eines Menschen versteht man die Temperatur des Körperinneren.
Die Körpertemperatur eines gesunden Menschen (Normaltemperatur) wird mit $37,0^{\circ}\text C$ angenommen.
Bei Temperaturen ab $37,9 ^{\circ} \text {C}$ spricht man von Fieber.
Koerpertemperatur
Der zeitliche Verlauf der Körpertemperatur einer erkrankten Person lässt sich bei bestimmten Erkrankungen modellhaft mithilfe der Funktion $f$ mit $f(t)=37+t\cdot e^{-\frac {1}{10}\cdot t}$, $t\geq 0,$ beschreiben.
Dabei ist $t$ die Zeit in Stunden nach dem Ausbruch der Krankheit und $f(t)$ die Körpertemperatur in $^{\circ} \text C$.
Die zu ermittelnden Zeiten sollen in Stunden, auf eine Nachkommastelle gerundet, angegeben werden.
a)
Berechne
  • die Körpertemperatur bei Ausbruch der Krankheit,
  • die durchschnittliche Temperaturänderung in den ersten $5$ Stunden,
  • die maximale Körpertemperatur der erkrankten Person.
Berechne $f'(2)$ und deute diesen Wert im Sachzusammenhang.
Ermittle den Zeitpunkt, zu dem die Körpertemperatur der erkrankten Person am stärksten abnimmt.
(14 BE)
b)
Hat eine Person Fieber, wird der Inhalt der Fläche zwischen dem Graphen von $f$ und der Geraden zu $y=37,9$ als ein Maß für die Belastung der erkrankten Person angenommen.
Bestimme den Wert der Belastung für den gesamten Zeitraum, in dem die erkrankte Person Fieber hat.
Berechne den Zeitpunkt, an dem die Belastung der erkrankten Person den Wert von $25$ überschreitet.
Die erkrankte Person nimmt $20$ Stunden nach Ausbruch der Krankheit ein fiebersenkendes Medikament ein. Man geht davon aus, dass ab diesem Zeitpunkt die Temperatur linear abnimmt. Dabei nimmt die Temperatur im linearen Modell doppelt so schnell ab wie die Temperatur nach $20$ Stunden im durch $f$ beschriebenen Modell.
Berechne, wie viel früher die erkrankte Person mit Medikamenteneinnahme fieberfrei ist.
(15 BE)
c)
Die Funktion $f$ wird jetzt unabhängig vom Sachzusammenhang betrachtet.
Durch jeden Punkt $P(p \mid f(p))$, $p \geq 0$, verläuft eine Tangente an den Graphen von $f$. Für jeden Wert von $p$ wird die Tangente durch die Gleichung
$y=(1-\frac{1}{10}p)\cdot e^{-\frac{1}{10} p}\cdot x+37+\frac{1}{10}p^2\cdot e^{-\frac{1}{10}p}$
$ y= … $
beschrieben.
Zeige, dass es genau eine Tangente mit kleinstem $y$-Achsenabschnitt und genau eine Tangente mit größstem $y$-Achsenabschnitt gibt.
(5 BE)
#tangente#cas
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Lösungen
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a)
$\blacktriangleright$  Körpertemperatur beim Ausbruch berechnen
$\begin{array}[t]{rll} f(0) &=& 37+ 0\cdot \mathrm e^{-0,1\cdot 0} \\[5pt] &=& 37 \end{array}$
Beim Ausbruch der Krankheit beträgt die Körpertemperatur $37^{\circ}C.$
$\blacktriangleright$  Durchschnittliche Änderung berechnen
$\begin{array}[t]{rll} \overline{m} &=& \dfrac{f(5)-f(0)}{5-0} \\[5pt] &=& \dfrac{37+5\cdot \mathrm e^{-0,1\cdot 5}-37}{5} \\[5pt] &\approx& 0,61 \end{array}$
$ \overline{m}\approx 0,61 $
In den ersten $5$ Stunden steigt die Körpertemperatur durchschnittlich um ca. $0,61^{\circ}C$ pro Stunde.
$\blacktriangleright$  Maximale Körpertemperatur berechnen
1. Schritt: Ableitungsfunktionen bestimmen
Mit der Produktregel folgt:
$\begin{array}[t]{rll} f(t) &=& 37 + t\cdot \mathrm e^{-0,1t} \\[10pt] f'(t) &=& 1\cdot \mathrm e^{-0,1t} + t\cdot (-0,1)\cdot\mathrm e^{-0,1t} \\[5pt] &=& (1-0,1t)\cdot\mathrm e^{-0,1t} \\[10pt] f''(t) &=& -0,1\cdot \mathrm e^{-0,1t} + (1-0,1t)\cdot (-0,1)\cdot \mathrm e^{-0,1t} \\[5pt] &=& (-0,2+0,01t)\cdot \mathrm e^{-0,1t} \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} f(t) &=& 37 + t\cdot \mathrm e^{-0,1t} \\[10pt] f'(t) &=& … \\[10pt] f''(t) &=& … \end{array}$
2. Schritt: Notwendiges Kriterium für Extremstellen anwenden
$\begin{array}[t]{rll} f'(t) &=& 0 \\[5pt] (1-0,1t)\cdot\mathrm e^{-0,1t} &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\;:\mathrm e^{-0,1t}\neq 0 \\[5pt] 1-0,1t&=& 0 &\quad \scriptsize \mid\;-1 \\[5pt] -0,1t &=& -1 &\quad \scriptsize \mid\; :(-0,1) \\[5pt] t &=& 10 \end{array}$
$ t=10 $
3. Schritt: Hinreichendes Kriterium für Extremstellen überprüfen
$\begin{array}[t]{rll} f''(10)&=& (-0,2+0,01\cdot 10)\cdot \mathrm e^{-0,1\cdot 10} \\[5pt] &=& -0,1\cdot \mathrm e^{-1} < 0 \end{array}$
$ f''(10) < 0 $
An der Stelle $t=10$ besitzt $f$ also ein lokales Maximum. Da dies die einzige Extremstelle von $f$ ist, ist dies auch gleichzeitig die Stelle des globalen Maximums.
4. Schritt: Funktionswert berechnen
$\begin{array}[t]{rll} f(10)&=& 37 + 10\cdot \mathrm e^{-0,1\cdot 10}\\[5pt] &=& 37 +10 \cdot \mathrm e^{-1} \\[5pt] &\approx& 40,68[^{\circ}C] \end{array}$
$ f(10)\approx 40,68[^{\circ}C] $
Die maximale Körpertemperatur der erkrankten Person beträgt ca. $40,68^{\circ}C.$
$\blacktriangleright$  Wert berechnen und im Sachzusammenhang deuten
$\begin{array}[t]{rll} f'(2) &=& (1-0,1\cdot 2)\cdot\mathrm e^{-0,1\cdot 2} \\[5pt] &=& 0,8\cdot \mathrm e^{-0,2} \\[5pt] &\approx& 0,65 \end{array}$
$ f'(2)\approx 0,65 $
Nach zwei Stunden nimmt die Körpertemperatur der Person mit einer momentanen Änderungsrate von ca. $0,65^{\circ}\,C$ pro Stunde zu.
$\blacktriangleright$  Zeitpunkt mit der stärksten Abnahme ermitteln
Die Zunahme und Abnahme der Körpertemperatur wird durch die erste Ableitungsfunktion $f'$ beschrieben.
Bestimme mit dem CAS also das $t,$ für das $f'$ minimal wird:
$\blacktriangleright$ TI nspire CAS
Mit dem fMin-Befehl erhältst du die Stelle $t$ an der der Funktionswert von $f'$ am kleinsten ist.
$\text{fMin(f'(t),t)}$
$\text{fMin(f'(t),t)}$
$\blacktriangleright$ Casio Classpad II
Mit dem fMin-Befehl erhältst du den kleinsten Funktionswert von $f$ im angegebenen Intervall und die zugehörige Stelle $t_{\text{min}}$.
$\text{fMin(f'(t),t)}$
$\text{fMin(f'(t),t)}$
$t_{\text{min}} = 20$
Die Körpertemperatur der Person nimmt $20$ Stunden nach dem Ausbruch der Krankheit am stärksten ab.
#ableitung#cas#extrempunkt#produktregel
b)
$\blacktriangleright$  Belastungswert bestimmen
1. Schritt: Grenzen des Fieberzeitraums bestimmen
Die Gleichung $f(t)= 37,9$ kannst du mit deinem solve-Befehl deines CAS lösen und erhältst:
$t_1\approx 1,0$ und $t_2\approx 37,2 $
Zwischen diesen beiden Stellen liegt die Stelle mit der höchsten Körpertemperatur. Also handelt es sich bei $[t_1;t_2]$ um den Zeitraum, in dem die Person Fieber hat.
2. Schritt: Belastungswert bestimmen
Der gesuchte Wert lässt sich über ein Integral mithilfe des CAS bestimmen:
$\blacktriangleright$ Casio Classpad II
keyboard $\to$ Math2 $\to$ $\int_{\Box}^{\Box}\Box$
keyboard $\to$ Math2 $\to$ $\int_{\Box}^{\Box}\Box$
$\begin{array}[t]{rll} & \displaystyle\int_{1,0}^{37,2}(f(t)-37,9)\;\mathrm dt \\[5pt] =& \displaystyle\int_{1,0}^{37,2}(37+t\cdot \mathrm e^{-0,1t} -37,9)\;\mathrm dt \\[5pt] =& \displaystyle\int_{1,0}^{37,2}(t\cdot \mathrm e^{-0,1t} -0,9)\;\mathrm dt&\quad \scriptsize \mid\; CAS \\[5pt] \approx& 55,51 \\[5pt] \end{array}$
$ …\approx 55,51 $
In dem gesamten Zeitraum, in dem die Person Fieber hat, beträgt der Belastungswert ca. $55,51.$
$\blacktriangleright$  Zeitpunkt der Überschreitung ermitteln
Gesucht ist der Zeitpunkt $b,$ für den gilt:
$\displaystyle\int_{1,0}^{b}(f(t)-37,9)\;\mathrm dt\approx 25$
Durch Ausprobieren mit dem CAS erhältst du folgende Werte:
$\begin{array}[t]{rll} \displaystyle\int_{1,0}^{13}(t\cdot \mathrm e^{-0,1t} -0,9)\;\mathrm dt &\approx& 26,05 \\[5pt] \displaystyle\int_{1,0}^{12}(t\cdot \mathrm e^{-0,1t} -0,9)\;\mathrm dt &\approx& 23,37 \\[5pt] \displaystyle\int_{1,0}^{12,5}(t\cdot \mathrm e^{-0,1t} -0,9)\;\mathrm dt &\approx& 24,72 \\[5pt] \displaystyle\int_{1,0}^{12,7}(t\cdot \mathrm e^{-0,1t} -0,9)\;\mathrm dt &\approx& 25,25 \\[5pt] \displaystyle\int_{1,0}^{12,6}(t\cdot \mathrm e^{-0,1t} -0,9)\;\mathrm dt &\approx& 24,99\\[5pt] \end{array}$
$ \displaystyle\int_{1,0}^{13}(t\cdot \mathrm e^{-0,1t} -0,9)\;\mathrm dt … $
Ca. $12,7$ Stunden nach Ausbruch der Krankheit überschreitet die Belastung der erkrankten Person den Wert von $25.$
$\blacktriangleright$  Früheren Zeitraum berechnen
1. Schritt: Abnahmegeschwindigkeit nach dem Modell berechnen
$\begin{array}[t]{rll} f'(20) &=& (1-0,1\cdot 20)\cdot \mathrm e^{-0,1\cdot 20} \\[5pt] &=& - \mathrm e^{-2} \end{array}$
$ f'(20) = - \mathrm e^{-2} $
Die lineare Abnahme erfolgt also mit der Geschwindigkeit von $ -2\mathrm e^{-2}.$
2. Schritt: Funktion für die lineare Abnahme bestimmen
Die lineare Abnahme wird durch eine Gerade $g$ mit der Steigung $ - 2\mathrm e^{-2}$ beschrieben. Diese muss an der Stelle $t=20$ an den Graphen von $f$ anschließen. Es muss also $g(20)= f(20)$ sein.
$\begin{array}[t]{rll} f(20) &=& 37 + 20\cdot \mathrm e^{-0,1\cdot 20} \\[5pt] &=& 37 +20\cdot \mathrm e^{-2} \end{array}$
$ f(20) = 37 +20\cdot \mathrm e^{-2}$
Für die Gerade $g$ folgt dann:
$\begin{array}[t]{rll} g(t) &=& m\cdot t + b &\quad \scriptsize \mid\; m = -2\mathrm e^{-2} \\[5pt] g(t) &=& -2\mathrm e^{-2} \cdot t +b &\quad \scriptsize \mid\; g(20) = 37 +20\cdot \mathrm e^{-2} \\[5pt] 37 +20\cdot \mathrm e^{-2} &=& -2\mathrm e^{-2} \cdot 20 +b \\[5pt] 37 +20\cdot \mathrm e^{-2} &=& -40\mathrm e^{-2} +b &\quad \scriptsize \mid\;+40\mathrm e^{-2} \\[5pt] 37 +60\cdot \mathrm e^{-2} &=& b \end{array}$
$ b=37 +60\cdot \mathrm e^{-2} $
Die lineare Abnahme nach der Einnahme des fiebersenkenden Medikaments kann also durch folgende Funktionsgleichung beschrieben werden:
$g(t)= - 2\mathrm e^{-2} t + 37 +60\cdot \mathrm e^{-2}$
$ g(t)= … $
3. Schritt: Fieberfreien Zeitpunkt bestimmen
$\begin{array}[t]{rll} g(t) &=& 37,9 \\[5pt] - 2\mathrm e^{-2} t + 37 +60\cdot \mathrm e^{-2} &=& 37,9 &\quad \scriptsize \mid\; GTR \\[5pt] t &\approx& 26,7 \end{array}$
$ t \approx 26,7 $
Bei der Einnahme des Medikaments wird die Person also bereits $26,7$ Stunden nach Ausbruch der Krankheit fieberfrei. Ohne das Medikament wird sie erst ca. $37,2$ Stunden nach Ausbruch fieberfrei. Durch das Medikament wird die Person also $10,5$ Stunden früher fieberfrei.
#integral#cas
c)
$\blacktriangleright$  Zeigen, dass es genau einen kleinsten und einen größten $y$-Achsenabschnitt gibt
Der $y$-Achsenabschnitt der Tangente wird durch den Term $37+0,1p^2\cdot \mathrm e^{-0,1p}$ beschrieben. Untersuche also die zugehörige Funktion $y(p)$ auf Extrema.
1. Schritt: Ableitungsfunktionen bilden
$\begin{array}[t]{rll} y(p) &=& 37+0,1p^2\cdot \mathrm e^{-0,1p} \\[10pt] y'(p) &=& 0,2p\cdot \mathrm e^{-0,1p}+0,1p^2\cdot (-0,1)\cdot \mathrm e^{-0,1p} \\[5pt] &=& (0,2p -0,01p^2)\cdot \mathrm e^{-0,1p} \\[10pt] y''(p) &=& (0,2 -0,02p)\cdot \mathrm e^{-0,1p} + (0,2p -0,01p^2)\cdot (-0,1)\cdot\mathrm e^{-0,1p}\\[5pt] &=& (0,2 -0,02p-0,02p+0,001p^2)\cdot \mathrm e^{-0,1p} \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} y(p) &=&… \\[10pt] y'(p) &=& … \\[10pt] y''(p) &=& … \\[5pt] \end{array}$
2. Schritt: Notwendiges Kriterium für Extremstellen anwenden
$\begin{array}[t]{rll} y'(p) &=& 0 \\[5pt] (0,2p -0,01p^2)\cdot \mathrm e^{-0,1p} &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\;: \mathrm e^{-0,1p} \\[5pt] 0,2p -0,01p^2 &=& 0 \\[5pt] p\cdot(0,2-0,01p)&=& 0 &\quad \scriptsize \mid\;p_1= 0 \\[5pt] 0,2-0,01p_2 &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\;-0,2 \\[5pt] -0,01p_2 &=& -0,2 &\quad \scriptsize \mid\; :(-0,01)\\[5pt] p_2 &=& 20 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} y'(p) &=& 0 \\[5pt] p_1 &=& 0 \\[5pt] p_2 &=& 20 \end{array}$
3. Schritt: Hinreichendes Kriterium überprüfen
$\begin{array}[t]{rll} y''(0)&=& (0,2 -0,02\cdot 0-0,02\cdot 0+0,001\cdot 0^2)\cdot \mathrm e^{-0,1\cdot 0} \\[5pt] &=& 0,2 > 0 \\[10pt] y''(20)&=& (0,2 -0,02\cdot 20-0,02\cdot 20+0,001\cdot 20^2)\cdot \mathrm e^{-0,1\cdot 20} \\[5pt] &=& -0,2\cdot \mathrm e^{-2} < 0 \\[10pt] \end{array}$
$ y''(20) < 0 $
4. Schritt: Grenzwertbetrachtung
Für $p\to \infty$ gilt:
$y(p) = 37+0,1\underbrace{p^2}_{\to\infty}\cdot \underbrace{\mathrm e^{-0,1p}}_{\to 0} \to 37 $
$ y(p) \to 37 $
5. Schritt: Werte vergleichen
$\begin{array}[t]{rll} y(0) &=& 37+0,1\cdot 0^2\cdot \mathrm e^{-0,1\cdot 0} \\[5pt] &=& 37 \\[10pt] y(20) &=& 37+0,1\cdot 20^2\cdot \mathrm e^{-0,1\cdot 20} \\[5pt] &=& 37 + 40\cdot \mathrm e^{-2} \\[5pt] \end{array}$
$ y(20)=37 + 40\cdot \mathrm e^{-2} $
Es ist also $y(0) = 37,$ $y(20)=37+40\cdot \mathrm e^{-2}$ und $y(p)\to 37$ für $p\to \infty.$
Der Graph von $y,$ der den Verlauf der $y$-Achsenabschnitte beschreibt, nimmt für $p=0$ den kleinsten Funktionswert an. Anschließend steigt er bis er bei $p=20$ seinen höchsten Punkt erreicht. Danach fällt der Graph nur noch und nähert sich dabei der Asymptote $y=37$ an. Er erreicht also nur einmal seinen höchsten Wert mit $37+40\cdot \mathrm e^{-2}$ und seinen kleinsten Wert von $37.$
Es gibt daher genau eine Tangente mit größtem $y$-Achsenabschnitt $(p =20)$ und eine Tangente mit kleinstem $y$-Achsenabschnitt $(p=0).$
#extrempunkt
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