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Aufgabe 2A

Aufgaben
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Bei einem 10 km-Lauf in Hannover wurden für $1879$ Teilnehmende die Zeiten in Minuten $(\text{min})$ gemessen. Die Tabelle in der Anlage stellt eine zugehörige Häufigkeitsverteilung der Zeiten in Klassen dar.
a)
Gib mithilfe der Tabelle den Anteil der Teilnehmenden an, deren Zeit einer der Klassen $\text{V},$ $\text{VI}$ oder $\text{VII}$ angehört.
Gib einen möglichen Zeitbereich an, in dem $51\,\%$ aller gemessenen Zeiten liegen.
Berechne den arithmetischen Mittelwert der in Klassen zusammengefassten Zeiten.
(6 BE)
#mittelwert
b)
Die relativen Häufigkeiten der Tabelle werden im Folgenden als Wahrscheinlichkeiten verwendet. Es werden $32$ Teilnehmende zufällig ausgewählt und für jede dieser Personen überprüft, ob die Zeit, die sie für die Strecke benötigt hat, weniger als $51,5$ Minuten beträgt.
Begründe, dass man diese Auswahl und Überprüfung als binomialverteilten Zufallsversuch mit $n = 32$ und $p = 0,25$ auffassen kann.
Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass unter $32$ zufällig ausgewählten Teilnehmenden mindestens $6$ und höchstens $10$ Personen weniger als $51,5$ Minuten für die Strecke benötigt haben.
(6 BE)
#binomialverteilung
c)
Unabhängig vom Sachzusammenhang werden binomialverteilte Zufallsgrößen $X$ mit jeweils identischer Erfolgswahrscheinlichkeit $p$ und unterschiedlicher Stichprobengröße $n$ betrachtet. Für jedes $n \geq 5$ gibt es eine Wahrscheinlichkeit $P(X \geq 5).$ Diese Wahrscheinlichkeiten sind in der Abbildung der Anlage grafisch dargestellt.
Begründe, dass der Graph der Wahrscheinlichkeiten für $n\to \infty$ die $n$-Achse als Asymptote hat.
Für $n = 21$ nimmt $P(X = 5)$ seinen größten Wert an.
Bestimme diese Wahrscheinlichkeit.
(5 BE)
#binomialverteilung
Material
Tabelle zu den Teilaufgaben a) und b)
KlasseBereich der gemessenen Zeit in MinutenHäufigkeit in ProzentKlassenmitte in Minuten
$\text{I}$ab $18,5$ und weniger als $32,0$$0$$25,25$
$\text{II}$ab $32,0$ und weniger als $45,0$$8$$38,5$
$\text{III}$ab $45,0$ und weniger als $51,5$$17$$48,25$
$\text{IV}$ab $51,5$ und weniger als $57,5$$26$$54,5$
$\text{V}$ab $57,5$ und weniger als $63,5$$26$$60,5$
$\text{VI}$ab $63,5$ und weniger als $70$$14$$66,75$
$\text{VII}$ab $70$ und weniger als $83,0$$8$$76,5$
$\text{VIII}$ab $83,0$ und weniger als $96,5$$1$$89,75$
Graph zu Teilaufgabe c)
Aufgabe 2A
Abb. 1: Wahrscheinlichkeit $P(X=5)$ in Abhängigkeit von der Stichprobengröße $n$
Aufgabe 2A
Abb. 1: Wahrscheinlichkeit $P(X=5)$ in Abhängigkeit von der Stichprobengröße $n$
Bildnachweise [nach oben]
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Lösungen
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a)
$\blacktriangleright$  Anteil der Teilnehmenden angebenAufgabe 2A
$26\,\% + 14\,\% +8\,\% = 48\,\%$
Die Zeit von $48\,\%$ der Teilnehmenden liegt in einer der Klassen $\text{V},$ $\text{VI}$ oder $\text{VII}.$
$\blacktriangleright$  Zeitbereich angeben
Wähle Zeitbereiche aus der Tabelle so, dass die Summe der zugehörigen Häufigkeiten $51$ ergibt.
Im Bereich ab $32,0\,\text{min}$ und weniger als $57,5\,\text{min}$ liegen $51\,\%$ der gemessenen Zeiten.
$\blacktriangleright$  Arithmetischen Mittelwert berechnen
Verwende aus der Tabelle die Häufigkeiten in Prozent und die Klassenmitten in Minuten:
$0 + 0,08 \cdot 38,5 + 0,17 \cdot 48,25 + 0,26\cdot 54,5 + 0,26\cdot 60,5 +0,14\cdot 66,75 +0,08\cdot 76,5 + 0,01\cdot 89,75$
$ …\approx 57,545 $
$\approx 57,545 $
Der arithmetische Mittelwert der in Klassen zusammengefassten Zeiten beträgt ungefähr $57,5\,\text{min}.$
b)
$\blacktriangleright$  Binomialverteilung begründen
Die benötigte Zeit wird nur dahingehend überprüft, ob sie unter $51,5$ Minuten liegt. Es gibt also bei jedem Teilnehmer, dessen Zeit überprüft wird nur zwei mögliche Ausgänge. Aus der Tabelle kann man entnehmen, dass $25\,\%$ aller Teilnehmenden eine Zeit unter $52,5$ Minuten benötigt haben. Ein zufällig ausgewählter Teilnehmende benötigt also mit einer Wahrscheinlichkeit von $p=0,25$ weniger als $52,5$ Minuten.
Auch wenn es sich streng genommen bei der Überprüfung von $32$ Teilnehmenden um Ziehen ohne Zurücklegen handelt, kann man doch bei der großen Grundgesamtheit von $1879$ Teilnehmenden von einer Bernoullikette der Länge $32$ und damit von einem binomialverteilten Zufallsversuch mit $n=32$ und $p=0,25$ sprechen.
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit berechnen
Betrachte die Zufallsgröße $X,$ die die Anzahl der Teilnehmenden mit einer Zeit unter $51,5$ Minuten unter den $32$ zufällig überprüften Teilnehmenden beschreibt. Diese kann wegen obiger Begründung als binomialverteilt mit $n=32$ und $p=0,25$ angenommen werden. Die Wahrscheinlichkeit kannst du daher mithilfe deines CAS berechnen.
$\blacktriangleright$ Casio Classpad II
Interaktiv $\to$ Verteilungsfunktionen $\to$ Diskret $\to$ binomial CDf
Interaktiv $\to$ Verteilungsfunktionen $\to$ Diskret $\to$ binomial CDf
$P(6\leq X \leq 10)\approx 0,693$
Mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. $69,3\,\%$ befinden sich unter den $32$ zufällig ausgewählten Teilnehmenden mindestens $6$ und höchstens $10$ Personen mit einer Zeit von weniger als $51,5$ Minuten.
c)
$\blacktriangleright$  Asymptote begründen
Für größer werdende Werte von $n$ werden die zugehörigen Graphen immer breiter. Die Gesamtwahrscheinlichkeit $P(X_n\leq n)$ muss aber immernoch $100\,\%$ betragen. Daher wird der Graph flacher und die Einzelwahrscheinlichkeiten $P(X_n=k)$ kleiner. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass $x$ den Wert $5$ annimmt, wird daher ebenfalls immer kleiner und nähert sich immer weiter dem Wert $0$ an.
Es gilt also $P(X=5)\to 0$ für $n\to \infty.$ Der Graph der Wahrscheinlichkeit $P(X=5)$ hat also für $n\to \infty$ die $n$-Achse als Asymptote.
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit bestimmen
Bekannt ist der Parameter $n=21$ der binomialverteilten Zufallsgröße $X.$ Außerdem weißt du, dass die größte Wahrscheinlichkeit bei einer binomialverteilten Zufallsgröße immer ein Wert in der Nähe des Erwartungswerts besitzt. Der Erwartungswert von $X$ ist also in etwa $5.$ Mit der Formel für den Erwartungswert $\mu$ einer binomialverteilten Zufallsgröße kannst du nun die Erfolgswahrscheinlichkeit $p$ berechnen:
$\begin{array}[t]{rll} \mu &=& n\cdot p &\quad \scriptsize \mid\; \mu = 5, n=21 \\[5pt] 5&\approx& 21\cdot p &\quad \scriptsize \mid\;:21 \\[5pt] \frac{5}{21}&\approx & p \end{array}$
Mit diesen Werten kannst du nun die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P(X=5)$ berechnen. Dazu kannst du entweder die Formel für die Binomialverteilung oder dein CAS verwenden.
$\begin{array}[t]{rll} P(X=5)&\approx& \binom{21}{5}\cdot \left(\frac{5}{21} \right)^5 \cdot \left( \frac{5}{21}\right)^{16} \\[5pt] &\approx& 0,201 \end{array}$
$ P(X=5)\approx 0,201 $
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