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Aufgabe 2A

Aufgaben
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Ein Hersteller bringt ein neues Smartphone auf den Markt. Die Geräte werden in vier Werken in jeweils großer Stückzahl hergestellt. Der Tabelle können für jedes Werk folgende Daten entnommen werden:
  • der Anteil der in diesem Werk hergestellten Geräte an der Gesamtzahl aller hergestellten Geräte,
  • der Anteil der fehlerhaften Geräte unter den in diesem Werk hergestellten Geräten.
WerkABCD
Anteil an der Gesamtzahl $10\,\%$$30\,\%$$20\,\%$$40\,\%$
Anteil der fehlerhaften Geräte$5\,\%$$3\,\%$$4\,\%$$2\,\%$
#zentraleraufgabenpool
a)
Von im Werk A hergestellten Geräten werden $250$ zufällig ausgewählt. Die Anzahl der fehlerhaften Geräte wird als binomialverteilt angenommen.
Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sich unter den ausgewählten Geräten genau $12$ fehlerhafte befinden.
Ermittle die Anzahl an fehlerhaften Geräten, die mit der größten Wahrscheinlichkeit auftritt.
(5 BE)
#binomialverteilung
b)
Gib einen Wert von $s$ an, für den mit dem Term
$200 \cdot 0,98^s \cdot 0,02 + 0,98^{200}$
im Sachzusammenhang die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses berechnet werden kann.
Beschreibe das zugehörige Ereignis.
Ermittle, wie viele im Werk C hergestellte Geräte mindestens zufällig ausgewählt werden müssen, damit sich darunter mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens $90\,\%$ mindestens $500$ Geräte befinden, die nicht fehlerhaft sind.
(7 BE)
c)
Weise nach, dass der Anteil der fehlerhaften Geräte unter allen hergestellten Geräten $3\,\%$ beträgt.
Ein unter allen hergestellten Geräten zufällig ausgewähltes Gerät ist fehlerhaft.
Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass es im Werk A hergestellt wurde.
(5 BE)
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a)
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit berechnen
Betrachtet wird die Zufallsgröße $X,$ die die Anzahl der fehlerhaften Geräte unter $250$ im Werk A hergestellten Geräten beschreibt. Diese wird laut Aufgabenstellung als binomialverteilt angenommen, wobei die Parameter $n =250$ und $p = 0,05$ sind.
Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ergibt sich dann mithilfe der Formel für die Binomialverteilung:
$\begin{array}[t]{rll} P(X=12)&=& \binom{250}{12} \cdot 0,05^{12}\cdot 0,95^{238} \\[5pt] &\approx& 0,1160 \end{array}$
$ P(X=12)\approx 0,1160 $
Mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. $11,60\,\%$ befinden sich unter den ausgewählten Geräten genau $12$ fehlerhafte.
$\blacktriangleright$  Anzahl mit der größten Wahrscheinlichkeit ermitteln
Die Anzahl mit der größten Wahrscheinlichkeit wird durch den Erwartungswert bestimmt. Der Erwartungswert der binomialverteilten Zufallsgröße $X$ kann mit der zugehörigen Formel berechnet werden:
$\mu = n\cdot p = 250\cdot 0,05 = 12,5$
Da aber eine Smartphone nur entweder fehlerhaft oder nicht fehlerhaft, aber nicht halb fehlerhaft sein kann, muss noch überprüft werden ob für eine Anzahl von $12$ oder $13$ die höchste Wahrscheinlichkeit gilt:
$\begin{array}[t]{rll} P(X=13)&=& \binom{250}{13} \cdot 0,05^{13}\cdot 0,95^{237} \\[5pt] &\approx& 0,1117 \end{array}$
$ P(X=13)\approx 0,1117 $
Mit der größten Wahrscheinlichkeit tritt eine Anzahl von $12$ fehlerhaften Geräten auf.
b)
$\blacktriangleright$  Wert angeben und Ereignis beschreiben
Teilt man den Term in zwei Teilterme auf und vergleicht diese mit der Formel für die Binomialverteilung erhält man für den ersten Term:
$\begin{array}[t]{rll} \binom{n}{k}\cdot p^k\cdot(1-p)^{n-k} \\[5pt] 200\cdot 0,98^s\cdot 0,02 \\[5pt] \end{array}$
Betrachtet man $0,02$ als $p,$ dann muss $k=1$ gelten und damit ergibt sich:
$\binom{n}{1} = 200$
Dies ist der Fall für $n=200.$
Für $s$ muss dementsprechend gelten $s= n-k = 200-1 =199.$
$p=0,02$ entspricht dem Anteil der fehlerhaften Geräte in Werk D. Analog zu Teilaufgabe a, beschreibt der erste Teilterm also für $s=199$ die Wahrscheinlichkeit dafür, dass von $200$ zufällig ausgewählten Geräten aus Werk D genau eins fehlerhaft ist.
Der zweite Teilterm gibt die Wahrscheinlichkeit dafür an, dass sich unter $200$ zufällig ausgewählten Geräten aus Werk D kein fehlerhaftes befindet.
Insgesamt gibt der Term also für $s=199$ die Wahrscheinlichkeit dafür an, dass sich unter $200$ zufällig ausgewählten Geräten aus Werk D höchstens ein fehlerhaftes befindet.
$\blacktriangleright$  Anzahl der Geräte ermitteln
Betrachtet wird die Zufallsgröße $Y_n,$ die die zufällige Anzahl der nicht fehlerhaften Geräte in einer Stichprobe von $n$ zufällig ausgewählten Geräten aus Werk C beschreibt.
Diese kann aus den gleichen Gründen wie $X$ als binomialverteilt mit unbekanntem $n$ und $p= 1-0,04= 0,96$ angenommen werden.
Gesucht ist das kleinste $n,$ sodass gerade noch folgende Ungleichung erfüllt ist:
$P(Y_n\geq 500) \geq 0,9$
Diese muss noch umgeformt werden, sodass der BinomialCDf-Befehl des CAS verwendet werden kann:
$\begin{array}[t]{rll} P(Y_n\geq 500)&\geq& 0,9 \\[5pt] 1-P(Y_n\leq 499)&\geq& 0,9 &\quad \scriptsize \mid\;-1 \\[5pt] -P(Y_n\leq 499)&\geq& -0,1 &\quad \scriptsize \mid\;\cdot (-1) \\[5pt] P(Y_n\leq 499)&\leq& 0,1 \end{array}$
$ P(Y_n\leq 499)\leq 0,1$
Aufgabe 2A
Abb. 1: menu $\to$ 4: Statistik $\to$ 2: Verteilungen $\to$ E: Binomial Cdf
Aufgabe 2A
Abb. 1: menu $\to$ 4: Statistik $\to$ 2: Verteilungen $\to$ E: Binomial Cdf
#binomialverteilung
c)
$\blacktriangleright$  Anteil der fehlerhaften Geräte nachweisen
Wird das Ereignis eines fehlerhaften Geräts mit $F$ bezeichnet, ergibt sich mit den Pfadregeln folgendes:
$\begin{array}[t]{rll} P(F)&=& 0,1\cdot 0,05 + 0,3\cdot 0,03+0,2\cdot 0,04+ 0,4\cdot 0,02 \\[5pt] &=& 0,03\\[5pt] &=& 3\,\% \end{array}$
$ P(F)=3\,\% $
Unter allen hergestellten Geräten befinden sich $3\,\%$ fehlerhafte Geräte.
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit berechnen
Gesucht ist die bedingte Wahrscheinlichkeit $P_F(A).$ Mit dem Satz von Bayes ergibt sich:
$\begin{array}[t]{rll} P_F(A)&=& \dfrac{P_A(F)\cdot P(A)}{P(F)}\\[5pt] &=& \dfrac{0,05\cdot 0,1}{0,03}\\[5pt] &\approx& 0,1667\\[5pt] &=& 16,67\,\% \end{array}$
$ P_F(A) \approx 16,67\,\%$
Mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. $16,67\,\%$ stammt ein von allen hergestellten Geräten zufällig ausgewähltes Gerät aus Werk A.
#satzvonbayes#pfadregeln
Bildnachweise [nach oben]
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a)
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit berechnen
Betrachtet wird die Zufallsgröße $X,$ die die Anzahl der fehlerhaften Geräte unter $250$ im Werk A hergestellten Geräten beschreibt. Diese wird laut Aufgabenstellung als binomialverteilt angenommen, wobei die Parameter $n =250$ und $p = 0,05$ sind.
Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ergibt sich dann mithilfe der Formel für die Binomialverteilung:
$\begin{array}[t]{rll} P(X=12)&=& \binom{250}{12} \cdot 0,05^{12}\cdot 0,95^{238} \\[5pt] &\approx& 0,1160 \end{array}$
$ P(X=12)\approx 0,1160 $
Mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. $11,60\,\%$ befinden sich unter den ausgewählten Geräten genau $12$ fehlerhafte.
$\blacktriangleright$  Anzahl mit der größten Wahrscheinlichkeit ermitteln
Die Anzahl mit der größten Wahrscheinlichkeit wird durch den Erwartungswert bestimmt. Der Erwartungswert der binomialverteilten Zufallsgröße $X$ kann mit der zugehörigen Formel berechnet werden:
$\mu = n\cdot p = 250\cdot 0,05 = 12,5$
Da aber eine Smartphone nur entweder fehlerhaft oder nicht fehlerhaft, aber nicht halb fehlerhaft sein kann, muss noch überprüft werden ob für eine Anzahl von $12$ oder $13$ die höchste Wahrscheinlichkeit gilt:
$\begin{array}[t]{rll} P(X=13)&=& \binom{250}{13} \cdot 0,05^{13}\cdot 0,95^{237} \\[5pt] &\approx& 0,1117 \end{array}$
$ P(X=13)\approx 0,1117 $
Mit der größten Wahrscheinlichkeit tritt eine Anzahl von $12$ fehlerhaften Geräten auf.
b)
$\blacktriangleright$  Wert angeben und Ereignis beschreiben
Teilt man den Term in zwei Teilterme auf und vergleicht diese mit der Formel für die Binomialverteilung erhält man für den ersten Term:
$\begin{array}[t]{rll} \binom{n}{k}\cdot p^k\cdot(1-p)^{n-k} \\[5pt] 200\cdot 0,98^s\cdot 0,02 \\[5pt] \end{array}$
Betrachtet man $0,02$ als $p,$ dann muss $k=1$ gelten und damit ergibt sich:
$\binom{n}{1} = 200$
Dies ist der Fall für $n=200.$
Für $s$ muss dementsprechend gelten $s= n-k = 200-1 =199.$
$p=0,02$ entspricht dem Anteil der fehlerhaften Geräte in Werk D. Analog zu Teilaufgabe a, beschreibt der erste Teilterm also für $s=199$ die Wahrscheinlichkeit dafür, dass von $200$ zufällig ausgewählten Geräten aus Werk D genau eins fehlerhaft ist.
Der zweite Teilterm gibt die Wahrscheinlichkeit dafür an, dass sich unter $200$ zufällig ausgewählten Geräten aus Werk D kein fehlerhaftes befindet.
Insgesamt gibt der Term also für $s=199$ die Wahrscheinlichkeit dafür an, dass sich unter $200$ zufällig ausgewählten Geräten aus Werk D höchstens ein fehlerhaftes befindet.
$\blacktriangleright$  Anzahl der Geräte ermitteln
Betrachtet wird die Zufallsgröße $Y_n,$ die die zufällige Anzahl der nicht fehlerhaften Geräte in einer Stichprobe von $n$ zufällig ausgewählten Geräten aus Werk C beschreibt.
Diese kann aus den gleichen Gründen wie $X$ als binomialverteilt mit unbekanntem $n$ und $p= 1-0,04= 0,96$ angenommen werden.
Gesucht ist das kleinste $n,$ sodass gerade noch folgende Ungleichung erfüllt ist:
$P(Y_n\geq 500) \geq 0,9$
Aufgabe 2A
Abb. 1: binomialCDf(k,n,p)
Aufgabe 2A
Abb. 1: binomialCDf(k,n,p)
Es müssen mindestens $527$ Geräte untersucht werden.
#binomialverteilung
c)
$\blacktriangleright$  Anteil der fehlerhaften Geräte nachweisen
Wird das Ereignis eines fehlerhaften Geräts mit $F$ bezeichnet, ergibt sich mit den Pfadregeln folgendes:
$\begin{array}[t]{rll} P(F)&=& 0,1\cdot 0,05 + 0,3\cdot 0,03+0,2\cdot 0,04+ 0,4\cdot 0,02 \\[5pt] &=& 0,03\\[5pt] &=& 3\,\% \end{array}$
$ P(F)=3\,\% $
Unter allen hergestellten Geräten befinden sich $3\,\%$ fehlerhafte Geräte.
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit berechnen
Gesucht ist die bedingte Wahrscheinlichkeit $P_F(A).$ Mit dem Satz von Bayes ergibt sich:
$\begin{array}[t]{rll} P_F(A)&=& \dfrac{P_A(F)\cdot P(A)}{P(F)}\\[5pt] &=& \dfrac{0,05\cdot 0,1}{0,03}\\[5pt] &\approx& 0,1667\\[5pt] &=& 16,67\,\% \end{array}$
$ P_F(A) \approx 16,67\,\%$
Mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. $16,67\,\%$ stammt ein von allen hergestellten Geräten zufällig ausgewähltes Gerät aus Werk A.
#satzvonbayes#pfadregeln
Bildnachweise [nach oben]
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