Aufgabe 1B

Die Grafik zeigt die Schulden Deutschlands zu Beginn eines Jahres für die Jahre 1950 bis 2010 in Mrd. Euro.

Gib die beiden Fünfjahreszeiträume an, in denen sich die Schulden mindestens verdoppelt haben.

(2 BE)

Gib ein Verfahren an zur Bestimmung einer Funktion, die für den Zeitraum von 1950 bis 2010 die Schulden in Abhängigkeit von der Zeitdauer seit 1950 näherungsweise beschreibt. Nenne drei Schritte der Durchführung des Verfahrens.

(4 BE)

In der nebenstehenden Abbildung sind die Daten aus der Grafik eingetragen. Die auf ganz $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$ mit $f(x)=11 \cdot \mathrm e^{0,089 x}$ beschreibt für $0 \leq x \leq 60$ näherungsweise die Schulden Deutschlands von 1950 bis 2010. Dabei gibt $x$ die Zeit in Jahren seit 1950 an und $f(x)$ die Schulden in Mrd. Euro.

ni abi ga gtr 2022 aufgabe 1b abbildung staatsschulden deutschland seit 1950 bis 2010

Zeichne den Graphen von $f$ in die Abbildung.

(3 BE)

Bestimme mithilfe der Funktion $f$ die jährliche prozentuale Zunahme der Schulden.
Untersuche, ob es einen Zeitpunkt gibt, zu dem die momentane Änderungsrate der Schulden größer als 250 Mrd. Euro pro Jahr ist.

(5 BE)

Im Folgenden wird in einem anderen Modell die momentane Änderungsrate der Schulden Deutschlands zu Beginn eines Jahres ab dem Jahr 2005 betrachtet. Sie wird für $x \geq 0$ durch die auf ganz $\mathbb{R}$ definierte Funktion $g$ mit $g(x)=250 \cdot \mathrm e^{-0,25 x}-38$ beschrieben.
Dabei gibt $x$ die Zeit in Jahren seit 2005 und $g(x)$ die momentane Änderungsrate der Schulden in Mrd. Euro pro Jahr an.

Begründe, dass in der Modellierung mit $g$ die momentane Änderungsrate der Schulden ab Beginn des Jahres 2005 abnimmt.
Berechne das Jahr, in dem die Schulden ihren Höchststand erreichen.

(6 BE)

Im Folgenden werden die zu erwartenden Schulden Deutschlands $m$ Jahre nach dem Jahr 2005 für $0 \leq m \leq 70$ betrachtet.

Begründe, dass sich die zu erwartenden Schulden zu Beginn des Jahres $2005+m$ mithilfe des folgenden Terms berechnen lassen: $1490+\displaystyle\int_{0}^{m} g(x) \mathrm d x.$ Bestimme das Jahr, in dem die Schulden vollständig abgebaut sind.

(7 BE)

Begründe, dass die Lösungen der Gleichung $\dfrac{g(m)}{1490+\displaystyle \int_{0}^{m} g(x) \mathrm d x}=0,05$ Zeitpunkte nach dem Jahr 2005 angeben, zu denen die Schulden um $5 \%$ der vorhandenen Schulden wachsen.
Bestimme den Zeitraum, in dem die momentane Änderungsrate der Schulden weniger als $5 \%$ der Schulden beträgt.

(8 BE)

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1950 bis 1955 und 1970 bis 1975

Ein geeignetes Verfahren ist die Regression. Hierbei müssen folgende drei Schritte durchgeführt werden:

Auswahl des Funktionstyps
Eingabe aller Wertepaare in den Taschenrechner
Bestimmung des Funktionsterms

Die jährliche prozentuale Zunahme der Schulden lässt sich wie folgt berechnen:

Rechenweg anzeigen

$\dfrac{f(x+1)-f(x)}{f(x)} \approx 0,093$

Die Schulden nehmen jährlich um etwa $9,3\%$ zu.

Da $f$ exponentielles Wachstum beschreibt, erreicht $f^{\prime}$ sein Maximum am rechten Rand des Definitionsbereichs. Es gilt: $\(f$

Folglich gibt es keinen Zeitpunkt, zu dem die momentane Änderungsrate der Schulden größer als 250 Mrd. Euro pro Jahr ist.

Wegen $250>0$ und $\mathrm e^{-0,25} \lt1$ beschreibt der Term $250 \cdot \mathrm e^{-0,25 x}$ eine exponentielle Abnahme. Somit ist $g$ monoton fallend.

$g(x)=0$ hat die Lösung $x_1$ mit $x_1 \approx 7,54$

Der Höchststand der Schulden wird also im Verlauf des Jahres 2012 erreicht.

Da $g$ die momentane Änderungsrate der Schulden ab 2005 beschreibt, lassen sich mit $\displaystyle\int_{0}^{m}g(x)\;\mathrm dx$ die seit Beginn des Jahres 2005 im Zeitraum von $m$ Jahren insgesamt hinzugekommenen Schulden berechnen. Der Summand 1490 beschreibt die im Jahr 2005 bereits vorhandenen Schulden, sodass sich als Summe die Schulden im Jahr $2005+m$ ergeben.

$1490+\displaystyle\int_{0}^{m}g(x)\;\mathrm dx =0$ besitzt die positive Lösung $m_1$ mit $m_1 \approx 65,5$ . Im Verlauf des Jahres 2070 sind die Schulden vollständig abgebaut.

Der Quotient beschreibt den Anteil der momentanen Änderungsrate der Schulden im Jahr $m$ nach 2005 an den Schulden im Jahr $m$ nach 2005. Damit sind die Lösungen der Gleichung die Zeitpunkte nach dem Jahr 2005, zu denen dieser Anteil $5 \%$ beträgt.

$\dfrac{g(m)}{1490+\displaystyle \int_0^m g(x) d x}=0,05$ wird mit dem solve-Befehl des Taschenrechners gelöst und besitzt im betrachteten Zeitraum die Lösung $m_1$ mit $m_1 \approx 2,6.$

Wegen $\dfrac{g(m)}{1490+\displaystyle\int_0^m g(x) d x}>0,05$ für $m\lt m_1$ ist $2005+m_1$ der Anfang des gesuchten Zeitraums.

$\dfrac{g(m)}{1490+\displaystyle\int_0^m g(x) d x}=-0,05$ besitzt die Lösung $m_2$ mit $m_2 \approx 45,5$ .

Somit ist $2005+m_2$ das Ende des gesuchten Zeitraums. Der gesuchte Zeitraum beginnt im Jahr 2007 und endet im Jahr 2050.

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