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Aufgabe 3B

Aufgaben
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a)
Ein Sonnensegel wird im Punkt $C(5\mid 5,5\mid 2)$ an der Haltestange befestigt.
Zeige, dass die Kanten $CA$ und $CB$ dieses Sonnensegels gleich lang sind und das Sonnensegel somit die Form eines gleichschenkligen Dreiecks hat.
Bestimme den Winkel des Sonnensegels im Eckpunkt C.
Berechne die Größe der Fläche dieses Sonnensegels.
(11 BE)
#gleichschenkligesdreieck#schnittwinkel
b)
An der Haltestange können unterschiedliche Sonnensegel in beliebiger Höhe befestigt werden.
Untersuche, ob es Befestigungspunkte $D(5 \mid 5,5 \mid z)$ an der Haltestange gibt, sodass das jeweils zugehörige Sonnensegel die Form eines rechtwinkligen Dreiecks hat. Der rechte Winkel soll dabei im Befestigungspunkt an der Haltestange liegen.
(6 BE)
Bildnachweise [nach oben]
[1]
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a)
$\blacktriangleright$  Länge der Seiten nachweisen
Die Längen der beiden Kanten können über die Beträge der zugehörigen Verbindungsvektoren berechnet werden:
$\begin{array}[t]{rll} \left|\overrightarrow{CA} \right| &=& \left|\pmatrix{-4\\3,5\\1} \right| \\[5pt] &=& \sqrt{(-4)^2+3,5^2+1^2} \\[5pt] &=& \sqrt{29,25} \\[10pt] \left|\overrightarrow{CB} \right| &=& \left|\pmatrix{-3\\-4,5\\0} \right| \\[5pt] &=& \sqrt{(-3)^2+(-4,5)^2+0^2} \\[5pt] &=& \sqrt{29,25} \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} \left|\overrightarrow{CA} \right| &=& \sqrt{29,25} \\[10pt] \left|\overrightarrow{CB} \right| &=& \sqrt{29,25} \end{array}$
Die beiden Kanten $CA$ und $CB$ sind also gleich lang.
$\blacktriangleright$  Winkel bestimmen
Gesucht ist der Winkel $\alpha$ zwischen den beiden Vektoren $\overrightarrow{CA}$ und $\overrightarrow{CB}.$ Dieser kann mit der entsprechenden Formel berechnet werden:
$\begin{array}[t]{rll} \cos \alpha &=& \dfrac{\overrightarrow{CA}\circ \overrightarrow{CB}}{\left|\overrightarrow{CA}\right| \cdot \left|\overrightarrow{CB} \right|} \\[5pt] \cos \alpha &=& \dfrac{\pmatrix{-4\\3,5\\1}\circ \pmatrix{-3\\-4,5\\0}}{\left|\pmatrix{-4\\3,5\\1}\right| \cdot \left|\pmatrix{-3\\-4,5\\0} \right|} \\[5pt] \cos \alpha&=& \dfrac{-3,75}{\sqrt{29,25}\cdot \sqrt{29,25}} \\[5pt] \cos \alpha&=& \dfrac{-3,75}{29,25} \\[5pt] \cos \alpha&=& -\dfrac{5}{39} &\quad \scriptsize \mid\;\cos^{-1} \\[5pt] \alpha&\approx& 97,37^{\circ} \end{array}$
$\alpha\approx 97,37^{\circ} $
Im Punkt $C$ beträgt der Winkel des Sonnensegels ca. $97,37^{\circ}.$
$\blacktriangleright$  Flächeninhalt berechnen
Mithilfe des Kreuzprodukts kann der Flächeninhalt des von zwei Vektoren aufgespannten Dreiecks berechnet werden:
Das Sonnensegel wird von den beiden Vektoren $\overrightarrow{CA}$ und $\overrightarrow{CB}$ aufgespannt.
$\begin{array}[t]{rll} A&=& \frac{1}{2}\cdot \left|\overrightarrow{CA}\times \overrightarrow{CB}\right| \\[5pt] &=& \frac{1}{2}\cdot \left|\pmatrix{-4\\3,5\\1}\times \pmatrix{-3\\-4,5\\0}\right| \\[5pt] &=&\frac{1}{2} \cdot \left| \pmatrix{4,5\\ -3\\ 28,5} \right| \\[5pt] &=& \frac{1}{2} \cdot\sqrt{4,5^2 + (-3)^2+ 28,5^2} \\[5pt] &=&\frac{1}{2} \cdot\sqrt{841,5}\\[5pt] &\approx& 14,50 \end{array}$
$ A\approx 14,50 $
Die Fläche des Sonnensegels ist ca. $14,50\,\text{m}^2$ groß.
#kreuzprodukt#vektorbetrag
b)
$\blacktriangleright$  Dreiecke auf Rechtwinkligkeit überprüfen
Das Dreieck $ABD$ soll im Punkt $D$ einen rechten Winkel besitzen. Dies ist der Fall, wenn das Skalarprodukt der beiden Verbindungsvektoren der anliegenden Seiten null ergibt. Daraus ergibt sich folgende Gleichung in Abhängigkeit von $z:$
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{AD}\circ\overrightarrow{BD}&=& 0 \\[5pt] \pmatrix{4\\-3,5\\z-3}\circ\pmatrix{3\\4,5\\z-2}&=& 0 \\[5pt] 12-15,75+z^2-2z-3z+6&=& 0 \\[5pt] z^2-5z+2,25&=&0 &\quad \scriptsize pq\text{-Formel} \\[5pt] z_{1/2}&=& -\frac{-5}{2}\pm \sqrt{\left(\frac{-5}{2} \right)^2 -2,25} \\[5pt] &=& 2,5\pm 2 \\[5pt] z_1&=& 2,5+2 \\[5pt] &=& 4,5\\[10pt] z_2&=& 2,5-2\\[5pt] &=& 0,5 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} z_1&=& 4,5\\[10pt] z_2&=& 0,5 \end{array}$
Für $D(5\mid 5,5\mid 4,5)$ und $D(5\mid 5,5\mid 0,5)$ wäre das Sonnensegel rechtwinklig im Punkt $D.$ Da die Haltestange aber nur $4$ Meter lang ist und im Punkt $F(5\mid 5,5\mid 0)$ beginnt, liegen nur diejenigen Punkte $D$ auf der Haltestange, für die $0\leq z \leq 4$ gilt.
Der einzige Befestigungspunkt, für den das Sonnensegel im Befestigungspunkt $D$ einen rechten Winkel besitzt, ist $D(5\mid 5,5\mid 0,5).$
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$\blacktriangleright$  Länge der Seiten nachweisen
Die Längen der beiden Kanten können über die Beträge der zugehörigen Verbindungsvektoren berechnet werden:
$\begin{array}[t]{rll} \left|\overrightarrow{CA} \right| &=& \left|\pmatrix{-4\\3,5\\1} \right| \\[5pt] &=& \sqrt{(-4)^2+3,5^2+1^2} \\[5pt] &=& \sqrt{29,25} \\[10pt] \left|\overrightarrow{CB} \right| &=& \left|\pmatrix{-3\\-4,5\\0} \right| \\[5pt] &=& \sqrt{(-3)^2+(-4,5)^2+0^2} \\[5pt] &=& \sqrt{29,25} \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} \left|\overrightarrow{CA} \right| &=& \sqrt{29,25} \\[10pt] \left|\overrightarrow{CB} \right| &=& \sqrt{29,25} \end{array}$
Die beiden Kanten $CA$ und $CB$ sind also gleich lang.
$\blacktriangleright$  Winkel bestimmen
Gesucht ist der Winkel $\alpha$ zwischen den beiden Vektoren $\overrightarrow{CA}$ und $\overrightarrow{CB}.$ Dieser kann mit der entsprechenden Formel berechnet werden:
$\begin{array}[t]{rll} \cos \alpha &=& \dfrac{\overrightarrow{CA}\circ \overrightarrow{CB}}{\left|\overrightarrow{CA}\right| \cdot \left|\overrightarrow{CB} \right|} \\[5pt] \cos \alpha &=& \dfrac{\pmatrix{-4\\3,5\\1}\circ \pmatrix{-3\\-4,5\\0}}{\left|\pmatrix{-4\\3,5\\1}\right| \cdot \left|\pmatrix{-3\\-4,5\\0} \right|} \\[5pt] \cos \alpha&=& \dfrac{-3,75}{\sqrt{29,25}\cdot \sqrt{29,25}} \\[5pt] \cos \alpha&=& \dfrac{-3,75}{29,25} \\[5pt] \cos \alpha&=& -\dfrac{5}{39} &\quad \scriptsize \mid\;\cos^{-1} \\[5pt] \alpha&\approx& 97,37^{\circ} \end{array}$
$\alpha\approx 97,37^{\circ} $
Im Punkt $C$ beträgt der Winkel des Sonnensegels ca. $97,37^{\circ}.$
$\blacktriangleright$  Flächeninhalt berechnen
Mithilfe des Kreuzprodukts kann der Flächeninhalt des von zwei Vektoren aufgespannten Dreiecks berechnet werden:
Das Sonnensegel wird von den beiden Vektoren $\overrightarrow{CA}$ und $\overrightarrow{CB}$ aufgespannt.
$\begin{array}[t]{rll} A&=& \frac{1}{2}\cdot \left|\overrightarrow{CA}\times \overrightarrow{CB}\right| \\[5pt] &=& \frac{1}{2}\cdot \left|\pmatrix{-4\\3,5\\1}\times \pmatrix{-3\\-4,5\\0}\right| \\[5pt] &=&\frac{1}{2} \cdot \left| \pmatrix{4,5\\ -3\\ 28,5} \right| \\[5pt] &=& \frac{1}{2} \cdot\sqrt{4,5^2 + (-3)^2+ 28,5^2} \\[5pt] &=&\frac{1}{2} \cdot\sqrt{841,5}\\[5pt] &\approx& 14,50 \end{array}$
$ A\approx 14,50 $
Die Fläche des Sonnensegels ist ca. $14,50\,\text{m}^2$ groß.
#kreuzprodukt#vektorbetrag
b)
$\blacktriangleright$  Dreiecke auf Rechtwinkligkeit überprüfen
Das Dreieck $ABD$ soll im Punkt $D$ einen rechten Winkel besitzen. Dies ist der Fall, wenn das Skalarprodukt der beiden Verbindungsvektoren der anliegenden Seiten null ergibt. Daraus ergibt sich folgende Gleichung in Abhängigkeit von $z:$
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{AD}\circ\overrightarrow{BD}&=& 0 \\[5pt] \pmatrix{4\\-3,5\\z-3}\circ\pmatrix{3\\4,5\\z-2}&=& 0 \\[5pt] 12-15,75+z^2-2z-3z+6&=& 0 \\[5pt] z^2-5z+2,25&=&0 &\quad \scriptsize pq\text{-Formel} \\[5pt] z_{1/2}&=& -\frac{-5}{2}\pm \sqrt{\left(\frac{-5}{2} \right)^2 -2,25} \\[5pt] &=& 2,5\pm 2 \\[5pt] z_1&=& 2,5+2 \\[5pt] &=& 4,5\\[10pt] z_2&=& 2,5-2\\[5pt] &=& 0,5 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} z_1&=& 4,5\\[10pt] z_2&=& 0,5 \end{array}$
Für $D(5\mid 5,5\mid 4,5)$ und $D(5\mid 5,5\mid 0,5)$ wäre das Sonnensegel rechtwinklig im Punkt $D.$ Da die Haltestange aber nur $4$ Meter lang ist und im Punkt $F(5\mid 5,5\mid 0)$ beginnt, liegen nur diejenigen Punkte $D$ auf der Haltestange, für die $0\leq z \leq 4$ gilt.
Der einzige Befestigungspunkt, für den das Sonnensegel im Befestigungspunkt $D$ einen rechten Winkel besitzt, ist $D(5\mid 5,5\mid 0,5).$
#skalarprodukt
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