Aufgabe 1A
In einem Krankenhaus muss das Operationsbesteck sterilisiert werden. Es wird nach klassischer Definition als steril bezeichnet, wenn sich keine lebenden Erreger mehr darauf befinden. Die Sterilisation mit heißem Wasserdampf kann näherungsweise durch die Funktion 
mit 
modelliert werden. Hierbei bezeichnet 
die Anzahl der noch lebenden Erreger, 
die Anzahl der zu Beginn lebenden Erreger, 
die Zeit in Minuten 
nach Beginn des Sterilisationsprozesses und 
eine positive Konstante in 
Bildnachweise [nach oben]
mit modelliert werden. Hierbei bezeichnet die Anzahl der noch lebenden Erreger, die Anzahl der zu Beginn lebenden Erreger, die Zeit in Minuten nach Beginn des Sterilisationsprozesses und eine positive Konstante in
a)
Auf einem Operationsbesteck befinden sich 
lebende Erreger, die durch eine Dampfsterilisation mit 
abgetötet werden sollen.
Bestimme die Anzahl der
Minuten nach dem Beginn der Dampfsterilisation noch lebenden Erreger.
Berechne auf Minuten genau den frühesten Zeitpunkt, zu dem sich auf dem Operationsbesteck weniger als
lebende Erreger befinden.
Beurteile die Eignung des Modells im Hinblick auf die klassische Definition von „steril“.
Der Wert für die Konstante soll nun verändert werden.
Berechne den Wert für so, dass auf dem Operationsbesteck nach 
Minuten noch 
der Erreger leben.
lebende Erreger, die durch eine Dampfsterilisation mit abgetötet werden sollen.
Bestimme die Anzahl der
Minuten nach dem Beginn der Dampfsterilisation noch lebenden Erreger.
Berechne auf Minuten genau den frühesten Zeitpunkt, zu dem sich auf dem Operationsbesteck weniger als
lebende Erreger befinden.
Beurteile die Eignung des Modells im Hinblick auf die klassische Definition von „steril“.
Der Wert für die Konstante
soll nun verändert werden.
Berechne den Wert für
so, dass auf dem Operationsbesteck nach Minuten noch der Erreger leben.
(12 BE)
b)
Untersuche, wie sich eine Verdoppelung von auf die Änderungsrate von auswirkt.
Als Maß für die Widerstandsfähigkeit der Erreger wird der sogenannte D-Wert verwendet. Er gibt die Zeit an, wie lange ein Sterilisationsprozess auf die Erreger einwirken muss, um eine Reduzierung auf ein Zehntel ihrer aktuellen Anzahl zu erreichen.
Zeige, dass für den D-Wert gilt:
Vergleiche die Bedeutung von 
und 
im Sachzusammenhang.
auf die Änderungsrate von auswirkt.
Als Maß für die Widerstandsfähigkeit der Erreger wird der sogenannte D-Wert verwendet. Er gibt die Zeit an, wie lange ein Sterilisationsprozess auf die Erreger einwirken muss, um eine Reduzierung auf ein Zehntel ihrer aktuellen Anzahl zu erreichen.
Zeige, dass für den D-Wert gilt:
Vergleiche die Bedeutung von und im Sachzusammenhang.
(12 BE)
c)
Unabhängig vom Sachzusammenhang wird die Funktion 
mit 
betrachtet. Ohne Nachweis kannst du verwenden, dass der Graph von punktsymmetrisch zu seinem Wendepunkt ist.
Die Abbildung in der Anlage zeigt den Graphen von mit der Wendestelle 
Gegeben ist folgende Gleichung: Zeichne die zu den beiden Integralen gehörigen Flächenstücke in die Abbildung der Anlage ein.
Erläutere ausgehend davon die Richtigkeit der obigen Gleichung.
Material
Anlage - Graph zu Teilaufgabe c)
mit betrachtet. Ohne Nachweis kannst du verwenden, dass der Graph von punktsymmetrisch zu seinem Wendepunkt ist.
Die Abbildung in der Anlage zeigt den Graphen von
mit der Wendestelle
Gegeben ist folgende Gleichung: Zeichne die zu den beiden Integralen gehörigen Flächenstücke in die Abbildung der Anlage ein.
Gleichung anzeigen
für 
Erläutere ausgehend davon die Richtigkeit der obigen Gleichung.
(10 BE)
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a)
Anzahl der noch lebenden Erreger berechnen
Aus der Aufgabenstellung ergibt sich:
und 
Die Anzahl der nach Minuten seit Beobachtungsbeginn noch lebenden Bakterien wird daher durch folgende Funktion beschrieben:
Gesucht ist also 
![\(\begin{array}[t]{rll}
N(30)&=& 1.000.000 \cdot \mathrm e^{-0,25\cdot 30} \\[5pt]
&\approx& 553
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/6abd9ffac8c82f661b5d08a2f22144504650530fc50dfa9d5f2aa1945e842cf0_light.svg)
Minuten nach Beginn der Sterilisation leben noch ca. 
Erreger.
Zeitpunkt berechnen
Es ist das kleinste 
gesucht mit 
Mit dem Define-Befehl und dem solve-Befehl des CAS ergibt sich:
![\(\begin{array}[t]{rll}
N(t)&=&100\\[5pt]
t &\approx& 36,8
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/88471c751449f3a88fd1acceb0ac440ae812fd9297855766e75d1efe00d35b51_light.svg)
Abb. 1: Gleichung mit dem CAS lösen
Minuten nach Beginn der Sterilisation der erste Zeitpunkt auf Minuten gerundet, zu dem weniger als Erreger übrig sind.
Eignung des Modells beurteilen
Bei handelt es sich um eine Exponentialfunktion der Form 
Diese kann für 
keine Nullstelle besitzen. Es gibt also keinen Wert für 
für den 
oder 
gilt. Es kann nach diesem Modell also streng genommen keinen Zeitpunkt geben, zu dem keine lebenden Erreger mehr existieren.
Nach der klassischen Definition ist der Zustand „steril“ erst erreicht, wenn keine lebenden Erreger mehr vorhanden sind. Dieser kann nach dem Modell nicht erreicht werden.
Da Erreger aber nur in ganzzahliger Anzahl vorkommen können, kann man zum Beispiel davon ausgehen, dass ab dem ersten Zeitpunkt
mit 
oder einer noch niedrigeren Schranke für einen Sicherheitsabschlag, keine lebenden Erreger mehr vorhanden sind. Streng genommen wäre das Modell so aber nicht geeignet, da sich kein sicherer Zeitpunkt bestimmen lässt, zudem definitiv kein lebender Erreger mehr übrig ist.
Wert für 
berechnen
Es soll gelten 
Für 
![\(\begin{array}[t]{rll}
0,25\cdot 1.000.000 &=& 1.000.000 \cdot \mathrm e^{-k\cdot 15} &\quad \scriptsize \mid\; :1.000.000\\[5pt]
0,25&=& \mathrm e^{-k\cdot 15}&\quad \scriptsize \mid\; \ln\\[5pt]
\ln(0,25)&=& -k\cdot 15 &\quad \scriptsize \mid\;:(-15) \\[5pt]
0,092 &\approx& k \\[5pt]
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/7da658f99f447dd80f0dbeb23bcab18617d19f32dcc3bec0c4ae246c985b9c2e_light.svg)
leben nach Minuten noch ca. der Erreger.
b)
Auswirkung der Verdopplung untersuchen
Für die Änderungsrate ergibt sich folgende Funktionsgleichung:
Bei verdoppeltem Anfangsbestand 
![\(\begin{array}[t]{rll}
N‘(t)&=& N_0\cdot (-k)\cdot \mathrm e^{-k\cdot t} \\[5pt]
&=&-k\cdot N_0\cdot \mathrm e^{-k\cdot t}
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/a81f4238f9b7b56680d21de90b4e632943009ebb8eb5e5a29191e9040be04138_light.svg)
ergibt sich:
Bei Verdopplung des Anfangsbestands verdoppelt sich also auch die Änderungsrate zu jedem Zeitpunkt 
![\(\begin{array}[t]{rll}
N‘(t)&=& -k\cdot 2\cdot N_0 \cdot \mathrm e^{-k\cdot t} \\[5pt]
&=& 2\cdot (-k)\cdot N_0 \cdot \mathrm e^{-k\cdot t} \\[5pt]
&=& 2\cdot N‘(t)
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/734d5e6e546f91f6722f1cd0f5586127030b7e437562f09cc176b73f63e6bc28_light.svg)
Formel für den D-Wert zeigen
Der D-Wert ist der Wert 
für den zum ersten mal 
ist. Gleichsetzen liefert:
![\(\begin{array}[t]{rll}
N(D)&=& \frac{1}{10}\cdot N_0 \\[5pt]
...
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/e59f561e6e5a7179f55a7022853bb2b29e62af98a60512a1dfbd5f2f2c2473e0_light.svg)
![\(\begin{array}[t]{rll}
N(D)&=& \frac{1}{10}\cdot N_0 \\[5pt]
N_0\cdot \mathrm e^{-k\cdot D}&=& \frac{1}{10}\cdot N_0 &\quad \scriptsize \mid\;:N_0 \\[5pt]
\mathrm e^{-k\cdot D}&=& \frac{1}{10} &\quad \scriptsize \mid\;\ln \\[5pt]
-k\cdot D &=& \ln \left(\frac{1}{10}\right)&\quad \scriptsize \mid\;: (-k) \\[5pt]
D&=& -\frac{1}{k}\cdot \ln \left(\frac{1}{10}\right)\\[5pt]
D&=& -\frac{1}{k}\cdot \left( \ln \left(1\right) - \ln (10)\right)\\[5pt]
D&=& -\frac{1}{k}\cdot \left( 0- \ln \left(10\right)\right)\\[5pt]
D&=& -\frac{1}{k}\cdot\left( -\ln \left(10\right)\right)\\[5pt]
D&=& \frac{1}{k}\cdot \ln \left(10\right)\\[5pt]
D&=& \dfrac{ \ln \left(10\right)}{k}\\[5pt]
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/6ad7b15082cf8f1358f576be4bd7a8db4a6e30bc678b2bafd66083791cdba98c_light.svg)
Bedeutung der Werte im Sachzusammenhang vergleichen
Da die Anzahl der Erreger beschreibt, beschreibt der Wert die Anzahl der Erreger Minuten nach Sterilisationsbeginn.
Der Wert beschreibt dagegen die Abnahme des Bestandes in den ersten Minuten, also wie viele Erreger in den ersten Minuten abgetötet wurden.
Die beiden Werte unterscheiden sich also um den Summanden des Anfangsbestands der Erreger.
c)
Flächenstücke einzeichnen
Abb. 2: Einzeichnen der Flächenstücke
Richtigkeit der Gleichung erläutern
Der Graph von besitzt zwei waagerechte Asymptoten, die -Achse und die Gerade zu 
Zudem ist in der Aufgabenstellung angegeben, dass der Graph von
punktsymmetrisch zum Wendepunkt ist.
Aufgrund dieser beiden Eigenschaften ergibt die Differenz des Rechtecks, das von der Gerade 
der -Achse und den Geraden zu 
und 
eingeschlossen wird, und der Fläche 
eine Fläche der Größe 
Die Flächen und 
können also zu einem Rechteck zusammengesetzt werden, das die Seitenlängen 
und 
und demnach den Flächeninhalt 
besitzt.
Die Summe der beiden Flächeninhalte, die durch die angegebenen Integrale berechnet werden können, ergibt demnach 
© - SchulLV.
a)
Anzahl der noch lebenden Erreger berechnen
Aus der Aufgabenstellung ergibt sich:
und
Die Anzahl der nach Minuten seit Beobachtungsbeginn noch lebenden Bakterien wird daher durch folgende Funktion beschrieben:
Gesucht ist also
Minuten nach Beginn der Sterilisation leben noch ca. Erreger.
Zeitpunkt berechnen
Es ist das kleinste gesucht mit Mit dem Define-Befehl und dem solve-Befehl des CAS ergibt sich:
Abb. 1: Gleichung lösen mit dem CAS
Minuten nach Beginn der Sterilisation der erste Zeitpunkt auf Minuten gerundet, zu dem weniger als Erreger übrig sind.
Eignung des Modells beurteilen
Bei handelt es sich um eine Exponentialfunktion der Form Diese kann für keine Nullstelle besitzen. Es gibt also keinen Wert für für den oder gilt. Es kann nach diesem Modell also streng genommen keinen Zeitpunkt geben, zu dem keine lebenden Erreger mehr existieren.
Nach der klassischen Definition ist der Zustand „steril“ erst erreicht, wenn keine lebenden Erreger mehr vorhanden sind. Dieser kann nach dem Modell nicht erreicht werden.
Da Erreger aber nur in ganzzahliger Anzahl vorkommen können, kann man zum Beispiel davon ausgehen, dass ab dem ersten Zeitpunkt
mit oder einer noch niedrigeren Schranke für einen Sicherheitsabschlag, keine lebenden Erreger mehr vorhanden sind. Streng genommen wäre das Modell so aber nicht geeignet, da sich kein sicherer Zeitpunkt bestimmen lässt, zudem definitiv kein lebender Erreger mehr übrig ist.
Wert für berechnen
Es soll gelten
Für leben nach Minuten noch ca. der Erreger.
b)
Auswirkung der Verdopplung untersuchen
Für die Änderungsrate ergibt sich folgende Funktionsgleichung:
Bei verdoppeltem Anfangsbestand ergibt sich:
Bei Verdopplung des Anfangsbestands verdoppelt sich also auch die Änderungsrate zu jedem Zeitpunkt
Formel für den D-Wert zeigen
Der D-Wert ist der Wert für den zum ersten mal ist. Gleichsetzen liefert:
Bedeutung der Werte im Sachzusammenhang vergleichen
Da die Anzahl der Erreger beschreibt, beschreibt der Wert die Anzahl der Erreger Minuten nach Sterilisationsbeginn.
Der Wert beschreibt dagegen die Abnahme des Bestandes in den ersten Minuten, also wie viele Erreger in den ersten Minuten abgetötet wurden.
Die beiden Werte unterscheiden sich also um den Summanden des Anfangsbestands der Erreger.
c)
Flächenstücke einzeichnen
Abb. 2: Einzeichnen der Flächenstücke
Richtigkeit der Gleichung erläutern
Der Graph von besitzt zwei waagerechte Asymptoten, die -Achse und die Gerade zu
Zudem ist in der Aufgabenstellung angegeben, dass der Graph von
punktsymmetrisch zum Wendepunkt ist.
Aufgrund dieser beiden Eigenschaften ergibt die Differenz des Rechtecks, das von der Gerade der -Achse und den Geraden zu und eingeschlossen wird, und der Fläche eine Fläche der Größe
Die Flächen und können also zu einem Rechteck zusammengesetzt werden, das die Seitenlängen und und demnach den Flächeninhalt besitzt.
Die Summe der beiden Flächeninhalte, die durch die angegebenen Integrale berechnet werden können, ergibt demnach
© 2017 - SchulLV.