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Aufgabe 1B

Aufgaben
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Aufgabe 1B
Aufgabe 1B
Die nebenstehende Abbildung stellt einen Entwurf für das Profil einer Wasserrutsche dar. Dabei wird für den Startbereich für $-6\leq x<0$ die Funktion $f$ mit
$f(x)=0,03\cdot x^{3}+0,275\cdot x^{2}+4,5$
und für $x\geq0$ die Funktion $g$ mit
$g(x)=0,006\cdot x^{3}-0,1\cdot x^{2}+4,5$
verwendet; $x$ in Metern, $f(x)$ und $g(x)$ Höhe über dem Boden in Metern.
Der waagerechte Boden ist durch die $x$-Achse gegeben.
a) Bestimmen Sie die Höhe der Rutsche am Startpunkt, die durchschnittliche Steigung im Startbereich und die betragsmäßig größte Steigung im Startbereich.
Weisen Sie nach, dass der Übergang zwischen der Modellierung mit $f$ und $g$ sprung- und knickfrei ist.
Bestimmen Sie den Endpunkt so, dass die Rutsche knickfrei in einen waagerechten Auslaufbereich übergeht.
(15P)
b) Rutscht der Badegast schnell genug, so berührt er nach dem Startbereich die Rutsche nicht mehr und fliegt ein Stück durch die Luft. Seine Flugbahn lässt sich vereinfacht beschreiben durch eine Funktion $p$ mit $p(x)=a\cdot x^{2}+4,5$; $\quad$ $-0,1 < a < 0$ $\quad$ $x$ in Metern, $p(x)$ Höhe über dem Boden in Metern.
Bestimmen Sie $a$ so, dass der Badegast im Punkt $T\left(5\mid p(5)\right)$ wieder auf die Rutsche trifft.
(Zur Kontrolle: $a=-0,07$)
Untersuchen Sie, ob sich die Steigung seiner Flugbahn am Auftreffpunkt $T$ betragsmäßig um mehr als 0,1 von der Steigung der Rutsche an dieser Stelle unterscheidet.
(7P)
c) Die Seitenflächen der Rutsche sollen für $0\leq x\leq11,1$ bis zum Boden verkleidet werden.
Berechnen Sie den Flächeninhalt $A$ einer der zu verkleidenden Seitenflächen.
Jede Seitenfläche soll in zwei Teilflächen zerlegt werden, die mit verschiedenen Materialien verkleidet werden.
Durch den Term
(1)$\quad$ $x_{0}\cdot g(x_{0})+\mathop{\displaystyle\int}\limits_{x_{0}}^{11,1}g(x)\mathrm{dx}$
kann für $0$ $<$ $x_{0}$ $<$ $11,1 $ der Flächeninhalt einer Teilfläche berechnet werden.
Erläutern Sie die diesem Term zugrundeliegende Zerlegung auch mithilfe einer Skizze in der Abbildung 1 der Anlage für einen geeigneten Wert $x_{0}$.
Eine andere Zerlegung der Seitenfläche ergibt sich aus der Gleichung
(2)$\quad$ $\mathop{\displaystyle\int}\limits_{0}^{x_{0}}\left(g(x)-\dfrac{g(x_{0})}{x_{0}}\cdot x\right)\mathrm{dx}=\dfrac{A}{2}$.
Erläutern Sie die dieser Gleichung zugrundeliegende Zerlegung auch mithilfe einer Skizze in der Abbildung 2 der Anlage.
(12P)

(34P)

Material

Anlage: Abbildungen zu Teilaufgabe c)
Aufgabe 1B
Aufgabe 1B
Aufgabe 1B
Aufgabe 1B
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Für den Verlauf einer Rutsche werden für $-6\leq x < 0 $ die Funktion $f$ mit $f(x)=0,03\cdot x^{3}+0,275\cdot x^{2}+4,5$ und für $x \geq 0$ die Funktion $g$ mit $g(x)=0,006\cdot x^{3}-0,1\cdot x^{2}+4,5$ verwendet; $x$ in Metern, $f(x)$ und $g(x)$ Höhe über dem Boden in Metern. Der waagerechte Boden ist durch die $x$-Achse gegeben.
a) $\blacktriangleright$ Höhe der Rutsche am Startpunkt
Du sollst die Höhe der Rutsche am Startpunkt bestimmen. Dafür berechnest du $f(-6)$, da die Funktion $f$ den Startbereich der Rutsche modelliert und der Startpunkt bei $-6$ liegt.
$\blacktriangleright$ Durchschnittliche Steigung im Startbereich
Um die durchschnittliche Steigung im Startbereich zu berechnen, benötigst du die mittlere Änderungsrate:
$\Delta m = \dfrac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1}$
Der Startbereich beginnt bei $x_1 = -6$ und endet bei $x_2 = 0$. Berechne also mit diesen Werten und der Formel für die mittlere Änderungsrate die gesuchte durchschnittliche Steigung.
$\blacktriangleright$ Betragsmäßig größte Steigung im Startbereich
Außerdem sollst du die betragsmäßig größte Steigung im Startbereich berechnen. Die Ableitung der Funktion $f$ beschreibt die Steigung im Startbereich. Da $f$ auf dem Bereich $-6 \leq x< 0 $ monoton fällt (Steigung negativ), ist die betragsmäßig größte Steigung das Minimum der Ableitung von $f$. Berechne also zunächst die ersten 3 Ableitungen von $f$.
Um das Minimum der 1. Ableitung zu bestimmen, musst du die Nullstelle der 2. Ableitung berechnen.
Überprüfe, ob es sich tatsächlich um ein Minimum handelt.
Um die betragsmäßig größte Steigung zu berechnen, setze nun $x_0$ in die 1. Ableitung ein.
$\blacktriangleright$ Übergang zwischen $\boldsymbol{f}$ und $\boldsymbol{g}$
Du sollst nachweisen, dass der Übergang zwischen der Modellierung mit $f$ und $g$ sprung- und knickfrei ist. Dafür müssen zwei Bedingungen erfüllt sein:
  • $f(0) = g(0)$ (Vermeidung des Sprungs)
  • $f'(0) = g'(0)$ (Vermeidung des Knicks)
$\blacktriangleright$ Knickfreier Übergang in Auslaufbereich der Rutsche
Du sollst die Stelle berechnen, an der die Rutsche enden muss, damit sie knickfrei in einen waagerechten Auslaufbereich übergeht. Das heißt die Steigung muss übereinstimmen. Eine waagrechte Strecke hat eine Steigung von $0$, somit muss auch die Funktion $g$ eine Steigung von $0$ haben.
b) $\blacktriangleright$ Funktion der Flugbahn berechnen
Rutscht der Badegast schnell genug, so berührt er nach dem Startbereich die Rutsche nicht mehr und fliegt ein Stück durch die Luft. Seine Flugbahn lässt sich vereinfacht beschreiben durch eine Funktion $p$ mit $p(x)=a\cdot x^{2}+4,5$; $\quad$ $-0,1< a < 0 $; $\quad$ $x$ in Metern, $p(x)$ Höhe über dem Boden in Metern.
Du sollst $a$ so berechnen, dass der Badegast im Punkt $T\left(5\mid p(5)\right)$ wieder auf die Rutsche trifft. Der Badegast trifft also auf die Funktion $g$. Der Graph der Funktion $ g$ und der Graph der Funktion $p$ müssen dann an der Stelle $x=5$, an der der Badegast wieder auf die Rutsche trifft, die gleiche Höhe haben.
$\blacktriangleright$ Vergleich der Steigungen von Flugbahn und Rutsche im Auftreffpunkt
Du sollst untersuchen, ob sich die Steigung der Flugbahn des Badegasts am Auftreffpunkt $T$ betragsmäßig um mehr als 0,1 von der Steigung der Rutsche an dieser Stelle unterscheidet. Berechne dafür zunächst die Ableitung von $p$ und $g$.
Berechne nun die Steigung an der Stelle $x=5$ für beide Funktionen und bilde anschließend deren Differenz.
c) $\blacktriangleright$ Flächeninhalt der Seitenfläche berechnen
Die Seitenflächen der Rutsche sollen für $0\leq x\leq11,1$ bis zum Boden verkleidet werden. Du sollst nun den Flächeninhalt $A$ einer der zu verkleidenden Seitenflächen berechnen. Es ist also der Wert des folgenden Integrals gesucht:
$\mathop{\displaystyle\int}\limits_{0}^{11,1}g(x)\mathrm{dx}$
Das Integral kannst du mithilfe deines Graphiktaschenrechners lösen. Zeichne dazu den Graphen der Funktion $g$ und nutze eine passende Funktion deines Taschenrechners.
Du kannst das Integral jedoch auch von Hand berechnen.
$\blacktriangleright$ Seitenfläche zerlegen
Jede Seitenfläche soll in zwei Teilflächen zerlegt werden, die mit verschiedenen Materialien verkleidet werden.
Durch den Term
$x_{0}\cdot g(x_{0})+\mathop{\displaystyle\int}\limits_{x_{0}}^{11,1}g(x)\mathrm{dx}$
kann für $0< x_{0} < 11,1 $ der Flächeninhalt einer Teilfläche berechnet werden.
Du sollst nun die diesem Term zugrundeliegende Zerlegung erläutern, dazu sollst du auch mithilfe einer Skizze in der Abbildung 1 der Anlage für einen geeigneten Wert $x_{0}$ arbeiten.
Die Fläche wird durch eine horizontale Strecke, die durch den Punkt $P(x_0 \mid g(x_0))$ verläuft, zerlegt. Die untere Teilfläche besteht dann aus einem Rechteck mit den Kantenlängen $x_0$ und $g(x_0)$ und der Fläche unterhalb der Rutsche.
Eine andere Zerlegung der Seitenfläche ergibt sich aus der Gleichung
$\mathop{\displaystyle\int}\limits_{0}^{x_{0}}\left(g(x)-\dfrac{g(x_{0})}{x_{0}}\cdot x\right)\mathrm{dx}=\dfrac{A}{2}$.
Du sollst die dieser Gleichung zugrundeliegende Zerlegung auch mithilfe einer Skizze in der Abbildung 2 erläutern. Mit dieser Gleichung wird eine Stelle $x_0$ bestimmt, sodass eine Ursprungsgerade durch den Punkt $P(x_0 \mid g(x_0))$ existiert, die die Seitenfläche in zwei gleich große Teile teilt.
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Lösungen TI
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Für den Verlauf einer Rutsche werden für $-6\leq x < 0 $ die Funktion $f$ mit $f(x)=0,03\cdot x^{3}+0,275\cdot x^{2}+4,5$ und für $x \geq 0$ die Funktion $g$ mit $g(x)=0,006\cdot x^{3}-0,1\cdot x^{2}+4,5$ verwendet; $x$ in Metern, $f(x)$ und $g(x)$ Höhe über dem Boden in Metern. Der waagerechte Boden ist durch die $x$-Achse gegeben.
a) $\blacktriangleright$ Höhe der Rutsche am Startpunkt
Du sollst die Höhe der Rutsche am Startpunkt bestimmen. Dafür berechnest du $f(-6)$, da die Funktion $f$ den Startbereich der Rutsche modelliert und der Startpunkt bei $-6$ liegt.
$\begin{array}{rll} f(-6)&=&0,03\cdot (-6)^3 + 0,275 \cdot (-6)^2 +4,5&\\ &=&0,03\cdot (-216) + 0,275 \cdot 36 +4,5&\\ &=&-6,48 + 9,9 +4,5&\\ &=&7,92& \end{array}$
Die Höhe im Startpunkt der Rutsche beträgt $7,92 m$.
$\blacktriangleright$ Durchschnittliche Steigung im Startbereich
Um die durchschnittliche Steigung im Startbereich zu berechnen, benötigst du die mittlere Änderungsrate:
$\Delta m = \dfrac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1}$
Der Startbereich beginnt bei $x_1 = -6$ und endet bei $x_2 = 0$. Berechne also mit diesen Werten und der Formel für die mittlere Änderungsrate die gesuchte durchschnittliche Steigung:
$\begin{array}{rll} \Delta m&=&\dfrac{f(0) - f(-6)}{0 - (-6)} \\[5pt] &=&\dfrac{4,5 - 7,92}{0 +6} \\[5pt] &=&\dfrac{-3,42}{6} \\[5pt] &=& -0,57 \\[5pt] \end{array}$
Die durchschnittliche Steigung im Startbereich beträgt somit $-0,57$
$\blacktriangleright$ Betragsmäßig größte Steigung im Startbereich
Außerdem sollst du die betragsmäßig größte Steigung im Startbereich berechnen. Die Ableitung der Funktion $f$ beschreibt die Steigung im Startbereich. Da $f$ auf dem Bereich $-6 \leq x< 0 $ monoton fällt (Steigung negativ), ist die betragsmäßig größte Steigung das Minimum der Ableitung von $f$. Berechne also zunächst die ersten 3 Ableitungen von $f$:
$\begin{array}{rll} f(x)&=&0,03\cdot x^3 + 0,275 \cdot x^2 + 4,5\\[5pt] f'(x)&=&0,09\cdot x^2 + 0,55 \cdot x\\[5pt] f''(x)&=&0,18\cdot x + 0,55\\[5pt] f'''(x)&=&0,18\\[5pt] \end{array}$
Aufgabe 1B
Aufgabe 1B
Um das Minimum der 1. Ableitung zu bestimmen, musst du die Nullstelle der 2. Ableitung berechnen.
Das kannst du mit Hilfe des CAS machen. Definiere dazu die zweite Ableitung und ermittle mit Hilfe des solve-Befehls die Nullstelle.
Die Nullstelle der 2. Ableitung ist gegeben durch $x_0 = -3,056$. Es handelt sich tatsächlich um ein Minimum, da die 3. Ableitung an der Stelle $x_0$ positiv ist:
$f'''(-3,056) = 0,18 > 0$
Um die betragsmäßig größte Steigung zu berechnen, setze nun $x_0$ in die 1. Ableitung ein:
$m_{min} = f'(-3,056) = 0,09\cdot (-3,056)^2 + 0,55 \cdot (-3,056) = -0,84$
Die betragsmäßig größte Steigung ist somit gegeben durch $\mid m_{min}\mid = 0,84$.
$\blacktriangleright$ Übergang zwischen $\boldsymbol{f}$ und $\boldsymbol{g}$
Du sollst nachweisen, dass der Übergang zwischen der Modellierung mit $f$ und $g$ sprung- und knickfrei ist. Dafür müssen zwei Bedingungen erfüllt sein:
  • $f(0) = g(0)$ (Vermeidung des Sprungs)
  • $f'(0) = g'(0)$ (Vermeidung des Knicks)
Die Ableitung von $f$ hast du bereits berechnet. Berechne also noch die Ableitung von $g$.
$\begin{array}{rll} g(x)&=&0,006\cdot x^3 - 0,1 \cdot x^2 + 4,5\\ g'(x)&=&0,018\cdot x^2 - 0,2 \cdot x\\ \end{array}$
Überprüfe nun die beiden Bedingungen.
$\begin{array}{rll} f(0)&=&g(0) = 4,5\\ f'(0)&=&g'(0) = 0 \end{array}$
Da beide Bedingungen erfüllt sind, verläuft der Übergang zwischen der Modellierung von $\boldsymbol{f}$ und $\boldsymbol{g}$ sprung- und knickfrei.
$\blacktriangleright$ Knickfreier Übergang in Auslaufbereich der Rutsche
Du sollst die Stelle berechnen, an der die Rutsche enden muss, damit sie knickfrei in einen waagerechten Auslaufbereich übergeht.
Aufgabe 1B
Aufgabe 1B
Das heißt die Steigung muss übereinstimmen. Eine waagrechte Strecke hat eine Steigung von $0$, somit muss auch die Funktion $g$ eine Steigung von $0$ haben. Berechne also $g'(x) = 0$, um die gesuchte Übergangsstelle zu berechnen.
Dazu kannst du den solve-Befehl deines CAS verwenden. Gib die Bedingung an und bestätige mit Enter.
Das CAS liefert dir zwei Lösungen:
  • $x_1=0$
  • $x_2=11,11$
Da aber $x_1=0$ eine Stelle „mitten“ auf der Rutsche darstellt, ist $x_2=11,11$ die gesuchte Lösung.
Die Stelle, an der die Rutsche knickfrei in einen waagrechten Auslaufbereich übergeht, ist gegeben durch $x = 11,11$.
b) $\blacktriangleright$ Funktion der Flugbahn berechnen
Rutscht der Badegast schnell genug, so berührt er nach dem Startbereich die Rutsche nicht mehr und fliegt ein Stück durch die Luft. Seine Flugbahn lässt sich vereinfacht beschreiben durch eine Funktion $p$ mit $p(x)=a\cdot x^{2}+4,5$; $\quad$ $-0,1< a < 0 $; $\quad$ $x$ in Metern, $p(x)$ Höhe über dem Boden in Metern.
Du sollst $a$ so berechnen, dass der Badegast im Punkt $T\left(5\mid p(5)\right)$ wieder auf die Rutsche trifft. Der Badegast trifft also auf die Funktion $g$. Der Graph der Funktion $ g$ und der Graph der Funktion $p$ müssen dann an der Stelle $x=5$, an der der Badegast wieder auf die Rutsche trifft, die gleiche Höhe haben. Es gilt also:
$p(5) = g(5) = 0,006 \cdot 5^3 - 0,1 \cdot 5^2 + 4,5 = 2,75$
Der Punkt $T$ hat dann folgende Form $T(5\mid 2,75)$.
Durch Einsetzen des Punktes $T$ in $p$ kannst du den Parameter $a$ berechnen:
$\begin{array}{rll} p(5)&=&a\cdot 5^2 + 4,5&\\[5pt] 2,75&=&a\cdot 25 + 4,5&\scriptsize \mid\; -4,5\\[5pt] -1,75&=&a\cdot 25 &\scriptsize \mid\; :25\\[5pt] a&=&-0,07 &\scriptsize \mid\; :25\\[5pt] \end{array}$
Die Flugbahn des Badegasts wird modelliert durch $p(x) = -0,07 \cdot x^2 + 4,5$.
$\blacktriangleright$ Vergleich der Steigungen von Flugbahn und Rutsche im Auftreffpunkt
Du sollst untersuchen, ob sich die Steigung der Flugbahn des Badegasts am Auftreffpunkt $T$ betragsmäßig um mehr als 0,1 von der Steigung der Rutsche an dieser Stelle unterscheidet. Berechne dafür zunächst die Ableitung von $p$, die Ableitung von $g$ hast du bereits etwas früher in dieser Aufgabe berechnet.
$\begin{array}{rll} p(x)&=&-0,07 \cdot x^2 + 4,5& \\ p'(x)&=&-0,14 \cdot x& \end{array}$
Berechne nun die Steigung an der Stelle $x=5$ für beide Funktionen:
$\begin{array}{rll} p'(5)&=&-0,14 \cdot 5 = -0,7&\\ g'(5)&=&0,018 \cdot 5^2 - 0,2 \cdot 5 = -0,55& \\ \end{array}$
Berechne nun die Steigungsdifferenz:
$\mid -0,7 - (-0,55) \mid = 0,15 > 0,1$
Der Steigungsunterschied ist größer als 0,1.
c) $\blacktriangleright$ Flächeninhalt der Seitenfläche berechnen
Die Seitenflächen der Rutsche sollen für $0\leq x\leq11,1$ bis zum Boden verkleidet werden. Du sollst nun den Flächeninhalt $A$ einer der zu verkleidenden Seitenflächen berechnen. Es ist also der Wert des folgenden Integrals gesucht:
$\mathop{\displaystyle\int}\limits_{0}^{11,1}g(x)\mathrm{dx}$
Das Integral kannst du mithilfe des CAS berechnen. Den entsprechenden Befehl findest du unter:
menu $\to$ 4 $\to$ 3
Gib obere und untere Grenze, sowie den Integranden an und bestätige mit Enter.
Aufgabe 1B
Aufgabe 1B
Alternativ
Du kannst das Integral jedoch auch von Hand berechnen:
$\begin{array}{rll} \displaystyle\int_{0}^{11,1} g(x) \mathrm{dx}&=&\displaystyle\int_{0}^{11,1} (0,006\cdot x^3 - 0,1\cdot x^2 +4,5) \mathrm{dx}&\\[5pt] &=& \left[0,0015\cdot x^4 - \frac{1}{30}\cdot x^3 +4,5\cdot x\right]_0^{11,1}&\\[5pt] &=& 0,0015\cdot 11,1^4 - \frac{1}{30}\cdot 11,1^3 +4,5\cdot 11,1 - (0,0015\cdot 0^4 - \frac{1}{30}\cdot 0^3 +4,5\cdot 0)&\\[5pt] &=& 22,7711 - 45,5877 +49,95 - 0&\\[5pt] &=& 27,13& \end{array}$
Der gesuchte Flächeninhalt beträgt $27,13 m^2$.
$\blacktriangleright$ Seitenfläche zerlegen
Jede Seitenfläche soll in zwei Teilflächen zerlegt werden, die mit verschiedenen Materialien verkleidet werden.
Durch den Term
$x_{0}\cdot g(x_{0})+\mathop{\displaystyle\int}\limits_{x_{0}}^{11,1}g(x)\mathrm{dx}$
kann für $0< x_{0} < 11,1 $ der Flächeninhalt einer Teilfläche berechnet werden.
Du sollst nun die diesem Term zugrundeliegende Zerlegung erläutern, dazu sollst du auch mithilfe einer Skizze in der Abbildung 1 der Anlage für einen geeigneten Wert $x_{0}$ arbeiten.
Die Fläche wird durch eine horizontale Strecke, die durch den Punkt $P(x_0 \mid g(x_0))$ verläuft, zerlegt. Die untere Teilfläche besteht dann aus einem Rechteck mit den Kantenlängen $x_0$ und $g(x_0)$ und der Fläche unterhalb der Rutsche, also der Fläche unter $g(x)$ für $x_0 \leq x \leq 11,1$. Die Skizze sieht beispielsweise folgendermaßen aus:
Aufgabe 1B
Aufgabe 1B
Eine andere Zerlegung der Seitenfläche ergibt sich aus der Gleichung
$\mathop{\displaystyle\int}\limits_{0}^{x_{0}}\left(g(x)-\dfrac{g(x_{0})}{x_{0}}\cdot x\right)\mathrm{dx}=\dfrac{A}{2}$.
Du sollst die dieser Gleichung zugrundeliegende Zerlegung auch mithilfe einer Skizze in der Abbildung 2 erläutern. Mit dieser Gleichung wird eine Stelle $x_0$ bestimmt, sodass eine Ursprungsgerade durch den Punkt $P(x_0 \mid g(x_0))$ existiert, die die Seitenfläche in zwei gleich große Teile teilt. Eine solche Gerade sollst du dann noch in Abbildung 2 einzeichnen:
Aufgabe 1B
Aufgabe 1B
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Für den Verlauf einer Rutsche werden für $-6\leq x < 0 $ die Funktion $f$ mit $f(x)=0,03\cdot x^{3}+0,275\cdot x^{2}+4,5$ und für $x \geq 0$ die Funktion $g$ mit $g(x)=0,006\cdot x^{3}-0,1\cdot x^{2}+4,5$ verwendet; $x$ in Metern, $f(x)$ und $g(x)$ Höhe über dem Boden in Metern. Der waagerechte Boden ist durch die $x$-Achse gegeben.
a) $\blacktriangleright$ Höhe der Rutsche am Startpunkt
Du sollst die Höhe der Rutsche am Startpunkt bestimmen. Dafür berechnest du $f(-6)$, da die Funktion $f$ den Startbereich der Rutsche modelliert und der Startpunkt bei $-6$ liegt.
$\begin{array}{rll} f(-6)&=&0,03\cdot (-6)^3 + 0,275 \cdot (-6)^2 +4,5&\\ &=&0,03\cdot (-216) + 0,275 \cdot 36 +4,5&\\ &=&-6,48 + 9,9 +4,5&\\ &=&7,92& \end{array}$
Die Höhe im Startpunkt der Rutsche beträgt $7,92 m$.
$\blacktriangleright$ Durchschnittliche Steigung im Startbereich
Um die durchschnittliche Steigung im Startbereich zu berechnen, benötigst du die mittlere Änderungsrate:
$\Delta m = \dfrac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1}$
Der Startbereich beginnt bei $x_1 = -6$ und endet bei $x_2 = 0$. Berechne also mit diesen Werten und der Formel für die mittlere Änderungsrate die gesuchte durchschnittliche Steigung:
$\begin{array}{rll} \Delta m&=&\dfrac{f(0) - f(-6)}{0 - (-6)} \\[5pt] &=&\dfrac{4,5 - 7,92}{0 +6} \\[5pt] &=&\dfrac{-3,42}{6} \\[5pt] &=& -0,57 \\[5pt] \end{array}$
Die durchschnittliche Steigung im Startbereich beträgt somit $-0,57$
$\blacktriangleright$ Betragsmäßig größte Steigung im Startbereich
Außerdem sollst du die betragsmäßig größte Steigung im Startbereich berechnen. Die Ableitung der Funktion $f$ beschreibt die Steigung im Startbereich. Da $f$ auf dem Bereich $-6 \leq x< 0$ monoton fällt (Steigung negativ), ist die betragsmäßig größte Steigung das Minimum der ersten Ableitung von $f$. Für eine Minimalstelle $x_M$ einer Funktion $f$ gibt es zwei Bedingungen:
  • Notwendige Bedingung: $f'(x_M) = 0$
  • Hinreichende Bedingung: $f''(x_M)>0$
Definiere also zunächst $f$ und die ersten 3 Ableitungen von $f$ mit dem Define-Befehl deines CAS.
Den Befehl für eine Ableitung findest du unter:
Keyboard $\to$ 2D $\to$ CALC
Aufgabe 1B
Aufgabe 1B
Um das Minimum der 1. Ableitung zu bestimmen, musst du die Nullstelle der 2. Ableitung berechnen.
Das kannst du mit Hilfe des solve-Befehl des CAS tun.
Setzt du das Ergebnis anschließend noch in die dritte Ableitung von $f$ ein, so siehst du, dass es sich hierbei tatsächlich um ein Minimum handelt.
Um die betragsmäßig größte Steigung zu berechnen, setze nun $x_0$ in die 1. Ableitung ein.
$\blacktriangleright$ Übergang zwischen $\boldsymbol{f}$ und $\boldsymbol{g}$
Du sollst nachweisen, dass der Übergang zwischen der Modellierung mit $f$ und $g$ sprung- und knickfrei ist. Dafür müssen zwei Bedingungen erfüllt sein:
  • $f(0) = g(0)$ (Vermeidung des Sprungs)
  • $f'(0) = g'(0)$ (Vermeidung des Knicks)
Die Ableitung von $f$ hast du bereits berechnet. Berechne also noch die Ableitung von $g$.
$\begin{array}{rll} g(x)&=&0,006\cdot x^3 - 0,1 \cdot x^2 + 4,5\\ g'(x)&=&0,018\cdot x^2 - 0,2 \cdot x\\ \end{array}$
Überprüfe nun die beiden Bedingungen.
$\begin{array}{rll} f(0)&=&g(0) = 4,5\\ f'(0)&=&g'(0) = 0 \end{array}$
Da beide Bedingungen erfüllt sind, verläuft der Übergang zwischen der Modellierung von $\boldsymbol{f}$ und $\boldsymbol{g}$ sprung- und knickfrei.
Aufgabe 1B
Aufgabe 1B
$\blacktriangleright$ Knickfreier Übergang in Auslaufbereich der Rutsche
Du sollst die Stelle berechnen, an der die Rutsche enden muss, damit sie knickfrei in einen waagerechten Auslaufbereich übergeht.
Aufgabe 1B
Aufgabe 1B
Das heißt die Steigung muss übereinstimmen. Eine waagrechte Strecke hat eine Steigung von $0$, somit muss auch die Funktion $g$ eine Steigung von $0$ haben. Berechne also $g'(x) = 0$, um die gesuchte Übergangsstelle zu berechnen.
Dazu kannst du den solve-Befehl deines CAS verwenden. Gib die Bedingung an und bestätige mit Enter.
Das CAS liefert dir zwei Lösungen:
  • $x_1=0$
  • $x_2=11,11$
Da aber $x_1=0$ eine Stelle „mitten“ auf der Rutsche darstellt, ist $x_2=11,11$ die gesuchte Lösung.
Die Stelle, an der die Rutsche knickfrei in einen waagrechten Auslaufbereich übergeht, ist gegeben durch $x = 11,11$.
b) $\blacktriangleright$ Funktion der Flugbahn berechnen
Rutscht der Badegast schnell genug, so berührt er nach dem Startbereich die Rutsche nicht mehr und fliegt ein Stück durch die Luft. Seine Flugbahn lässt sich vereinfacht beschreiben durch eine Funktion $p$ mit $p(x)=a\cdot x^{2}+4,5$; $\quad$ $-0,1< a < 0 $; $\quad$ $x$ in Metern, $p(x)$ Höhe über dem Boden in Metern.
Du sollst $a$ so berechnen, dass der Badegast im Punkt $T\left(5\mid p(5)\right)$ wieder auf die Rutsche trifft. Der Badegast trifft also auf die Funktion $g$. Der Graph der Funktion $ g$ und der Graph der Funktion $p$ müssen dann an der Stelle $x=5$, an der der Badegast wieder auf die Rutsche trifft, die gleiche Höhe haben. Es gilt also:
$p(5) = g(5) = 0,006 \cdot 5^3 - 0,1 \cdot 5^2 + 4,5 = 2,75$
Der Punkt $T$ hat dann folgende Form $T(5\mid 2,75)$.
Durch Einsetzen des Punktes $T$ in $p$ kannst du den Parameter $a$ berechnen:
$\begin{array}{rll} p(5)&=&a\cdot 5^2 + 4,5&\\[5pt] 2,75&=&a\cdot 25 + 4,5&\scriptsize \mid\; -4,5\\[5pt] -1,75&=&a\cdot 25 &\scriptsize \mid\; :25\\[5pt] a&=&-0,07 &\scriptsize \mid\; :25\\[5pt] \end{array}$
Die Flugbahn des Badegasts wird modelliert durch $p(x) = -0,07 \cdot x^2 + 4,5$.
$\blacktriangleright$ Vergleich der Steigungen von Flugbahn und Rutsche im Auftreffpunkt
Du sollst untersuchen, ob sich die Steigung der Flugbahn des Badegasts am Auftreffpunkt $T$ betragsmäßig um mehr als 0,1 von der Steigung der Rutsche an dieser Stelle unterscheidet. Berechne dafür zunächst die Ableitung von $p$, die Ableitung von $g$ hast du bereits etwas früher in dieser Aufgabe berechnet.
$\begin{array}{rll} p(x)&=&-0,07 \cdot x^2 + 4,5& \\ p'(x)&=&-0,14 \cdot x& \end{array}$
Berechne nun die Steigung an der Stelle $x=5$ für beide Funktionen:
$\begin{array}{rll} p'(5)&=&-0,14 \cdot 5 = -0,7&\\ g'(5)&=&0,018 \cdot 5^2 - 0,2 \cdot 5 = -0,55& \\ \end{array}$
Berechne nun die Steigungsdifferenz:
$\mid -0,7 - (-0,55) \mid = 0,15 > 0,1$
Der Steigungsunterschied ist größer als 0,1.
c) $\blacktriangleright$ Flächeninhalt der Seitenfläche berechnen
Die Seitenflächen der Rutsche sollen für $0\leq x\leq11,1$ bis zum Boden verkleidet werden. Du sollst nun den Flächeninhalt $A$ einer der zu verkleidenden Seitenflächen berechnen. Es ist also der Wert des folgenden Integrals gesucht:
$\mathop{\displaystyle\int}\limits_{0}^{11,1}g(x)\mathrm{dx}$
Das Integral kannst du mithilfe des CAS berechnen. Den entsprechenden Befehl findest du unter:
Keyboard $\to$ 2D $\to$ CALC
Gib obere und untere Grenze, sowie den Integranden ein und bestätige mit EXE.
Aufgabe 1B
Aufgabe 1B
Alternativ
Du kannst das Integral jedoch auch von Hand berechnen:
$\begin{array}{rll} \displaystyle\int_{0}^{11,1} g(x) \mathrm{dx}&=&\displaystyle\int_{0}^{11,1} (0,006\cdot x^3 - 0,1\cdot x^2 +4,5) \mathrm{dx}&\\[5pt] &=& \left[0,0015\cdot x^4 - \frac{1}{30}\cdot x^3 +4,5\cdot x\right]_0^{11,1}&\\[5pt] &=& 0,0015\cdot 11,1^4 - \frac{1}{30}\cdot 11,1^3 +4,5\cdot 11,1 - (0,0015\cdot 0^4 - \frac{1}{30}\cdot 0^3 +4,5\cdot 0)&\\[5pt] &=& 22,7711 - 45,5877 +49,95 - 0&\\[5pt] &=& 27,13& \end{array}$
Der gesuchte Flächeninhalt beträgt $27,13 m^2$.
$\blacktriangleright$ Seitenfläche zerlegen
Jede Seitenfläche soll in zwei Teilflächen zerlegt werden, die mit verschiedenen Materialien verkleidet werden.
Durch den Term
$x_{0}\cdot g(x_{0})+\mathop{\displaystyle\int}\limits_{x_{0}}^{11,1}g(x)\mathrm{dx}$
kann für $0< x_{0} < 11,1 $ der Flächeninhalt einer Teilfläche berechnet werden.
Du sollst nun die diesem Term zugrundeliegende Zerlegung erläutern, dazu sollst du auch mithilfe einer Skizze in der Abbildung 1 der Anlage für einen geeigneten Wert $x_{0}$ arbeiten.
Die Fläche wird durch eine horizontale Strecke, die durch den Punkt $P(x_0 \mid g(x_0))$ verläuft, zerlegt. Die untere Teilfläche besteht dann aus einem Rechteck mit den Kantenlängen $x_0$ und $g(x_0)$ und der Fläche unterhalb der Rutsche, also der Fläche unter $g(x)$ für $x_0 \leq x \leq 11,1$. Die Skizze sieht beispielsweise folgendermaßen aus:
Aufgabe 1B
Aufgabe 1B
Eine andere Zerlegung der Seitenfläche ergibt sich aus der Gleichung
$\mathop{\displaystyle\int}\limits_{0}^{x_{0}}\left(g(x)-\dfrac{g(x_{0})}{x_{0}}\cdot x\right)\mathrm{dx}=\dfrac{A}{2}$.
Du sollst die dieser Gleichung zugrundeliegende Zerlegung auch mithilfe einer Skizze in der Abbildung 2 erläutern. Mit dieser Gleichung wird eine Stelle $x_0$ bestimmt, sodass eine Ursprungsgerade durch den Punkt $P(x_0 \mid g(x_0))$ existiert, die die Seitenfläche in zwei gleich große Teile teilt. Eine solche Gerade sollst du dann noch in Abbildung 2 einzeichnen:
Aufgabe 1B
Aufgabe 1B
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