Aufgabe 3B

Zeige: Das Dreieck ist gleichschenklig und rechtwinklig mit dem rechten Winkel im Punkt .
Berechne die Koordinaten des vierten Punktes so, dass , , und Eckpunkte eines Quadrats sind.

Zeige, dass es Punkte es gibt, dass das jeweilige Dreieck ein rechtwinkliges Dreieck mit dem rechten Winkel bei ist.

Die Punkte , und liegen in einer Ebene .
Zeige, dass es in der Ebene einen Punkt gibt, der drei gleiche Koordinaten hat und gib dessen Koordinaten an.
Untersuche, ob jede beliebige Ebene einen Punkt hat, der drei gleiche Koordinaten hat.

  Zeigen, dass das Dreieck gleischenklig ist Ein Dreieck ist gleichschenklig, wenn zwei der drei Seiten gleich lang sind. Bilde als erstes die Verbindungsvektoren , und . Die Länge eines Vektors ist gerade der Betrag des Vektors. Den Betrag des Vektors kannst du mit deinem Taschenrechner berechnen. Aus folgt, dass die beiden Vektoren und gleich lang sind. Somit hast du gezeigt, dass das Dreieck gleichschenklig ist.   Zeige, dass das Dreieck am Punkt einen rechten Winkel hat Das Dreieck besitzt im Punkt einen rechten Winkel, wenn die beiden Vektoren und senkrecht zueinander stehen. Das Skalarprodukt der Vektoren und muss somit null sein. Da das Skalarprodukt null ist, stehen die Vektoren und senkrecht aufeinander. Das Dreieck hat im Punkt einen rechten Winkel.   Koordinaten des Punktes berechnen In dieser Aufgabe sollst du die Koordinaten des Punktes berechnen, sodass die Punkte , , und die Eckpunkte eines Quadrates sind. Um das Dreieck zu einem Quadrat zu ergänzen, kannst du den Vektor an den Ortsvektor, der zum Punkt zeigt addieren. Die Koordinaten des gesuchten Punktes kannst du jetzt ablesen. Die Koordinaten des vierten Punktes sind .   Winkel zwischen der Streck und der Diagonalen berechnen Den Winkel zwischen zwei Vektoren kannst du mit der Cosinus-Formel berechnen. Um den Winkel zwischen den beiden Strecken zu berechnen, bildest du als erstes die beiden Verbindungsvektoren und und setzt diese anschließend in die Cosinus-Formel ein. Der Winkel zwischen den Strecken und beträgt .

  Zeigen, dass es Punkte gibt, sodass das Dreieck rechtwinklig ist Das Dreieck besitzt im Punkt einen rechten Winkel, wenn das Skalarprodukt zwischen den beiden Verbindungsvektoren und null ist. Berechne als erstes die beiden Verbindungsvektoren und anschließend kannst du das Skalarprodukt der beiden Vektoren berechnen. Du erhältst eine Gleichung mit einer Variablen. Ist die Gleichung lösbar, gibt es Punkte , sodass das Dreieck rechtwinklig ist. 1. Schritt: Verbindungsvektoren berechnen 2. Schritt: Skalarprodukt berechnen 3. Schritt: Gleichung lösen Du hast zwei Werte für gefunden, für welche die Gleichung erfüllt ist. Somit hast du gezeigt, dass es Punkte gibt, sodass das jeweilige Dreieck einen rechten Winkel beim Punkt hat.

  Prüfen, ob es einen Punkt in der Ebene gibt, der drei gleiche Koordinaten hat Um dies zu prüfen, stellst du als erstes die Ebenengleichung in Parameterform der Ebene auf und berechnest mit dieser die Koordinatengleichung der Ebene . Setze dann einen Punkt mit drei gleichen Koordinaten, zum Beispiel , in die Koordinatengleichung ein. Ist die Gleichung lösbar, liegt ein Punkt mit drei gleichen Koordinaten in der Ebene . 1. Schritt: Ebenengleichung in Paramterform aufstellen Bestimme mit den Punkten , und eine Ebenengleichung. 2. Schritt: Ebenegleichung in Koordinatenform Mit Hilfe des Vektorprodukts kannst du einen Normalenvektor der Ebene berechnen. Diesen Vektor kannst du noch mit 2 kürzen. Die Normalengleichung der Ebene ist dann: Setze die Koordinaten des Punktes ein, um zu berechnen. Eine Ebenengleichung in Koordinatenform ist: 3. Schritt: Punkt mit drei gleichen Koordinaten einsetzen Setze den Punkt mit den Koordinaten in die Ebenengleichung ein und löse die Gleichung nach auf. In der Ebene gibt es einen Punkt bei dem alle Koordinaten gleich sind. Dieser Punkt hat die Koordinaten .   Prüfen, ob jede beliebige Ebene einen Punkt hat, der drei gleiche Koordinaten hat Hier kannst du ähnlich wie im Aufgabenteil zuvor vorgehen. Bestimme eine allgemeine Form einer Ebene in Koordinatenform und setze einen beliebigen Punkt mit drei gleichen Koordinaten in die Ebenengleichung ein. Setze den Punkt in die Ebenengleichung ein und löse die Gleichung nach auf. In einer beliebigen Ebene gibt es einen Punkt, bei dem alle drei Koordinaten gleich sind, wenn gilt . Somit liegt nicht in jeder Ebene ein Punkt, bei dem alle drei Koordinaten gleich sind.

  Zeigen, dass das Dreieck gleischenklig ist Ein Dreieck ist gleichschenklig, wenn zwei der drei Seiten gleich lang sind. Bilde als erstes die Verbindungsvektoren , und . Die Länge eines Vektors ist gerade der Betrag des Vektors. Den Betrag des Vektors kannst du mit deinem Taschenrechner berechnen. Aus folgt, dass die beiden Vektoren und gleich lang sind. Somit hast du gezeigt, dass das Dreieck gleichschenklig ist.   Zeige, dass das Dreieck am Punkt einen rechten Winkel hat Das Dreieck besitzt im Punkt einen rechten Winkel, wenn die beiden Vektoren und senkrecht zueinander stehen. Das Skalarprodukt der Vektoren und muss somit null sein. Da das Skalarprodukt null ist, stehen die Vektoren und senkrecht aufeinander. Das Dreieck hat im Punkt einen rechten Winkel.   Koordinaten des Punktes berechnen In dieser Aufgabe sollst du die Koordinaten des Punktes berechnen, sodass die Punkte , , und die Eckpunkte eines Quadrates sind. Um das Dreieck zu einem Quadrat zu ergänzen, kannst du den Vektor an den Ortsvektor, der zum Punkt zeigt addieren. Die Koordinaten des gesuchten Punktes kannst du jetzt ablesen. Die Koordinaten des vierten Punktes sind .   Winkel zwischen der Streck und der Diagonalen berechnen Um den Winkel zwischen den beiden Strecken zu berechnen, bildest du als erstes die beiden Verbindungsvektoren und und berechnest den Winkel mit deinem Taschenrechner. Der Winkel zwischen den Strecken und beträgt .

  Zeigen, dass es Punkte gibt, sodass das Dreieck rechtwinklig ist Das Dreieck besitzt im Punkt einen rechten Winkel, wenn das Skalarprodukt zwischen den beiden Verbindungsvektoren und null ist. Berechne als erstes die beiden Verbindungsvektoren und anschließend kannst du das Skalarprodukt der beiden Vektoren berechnen. Du erhältst eine Gleichung mit einer Variablen. Ist die Gleichung lösbar, gibt es Punkte , sodass das Dreieck rechtwinklig ist. 1. Schritt: Verbindungsvektoren berechnen 2. Schritt: Skalarprodukt berechnen 3. Schritt: Gleichung lösen Du hast zwei Werte für gefunden, für welche die Gleichung erfüllt ist. Somit hast du gezeigt, dass es Punkte gibt, sodass das jeweilige Dreieck einen rechten Winkel beim Punkt hat.

  Prüfen, ob es einen Punkt in der Ebene gibt, der drei gleiche Koordinaten hat Um dies zu prüfen, stellst du als erstes die Ebenengleichung in Parameterform der Ebene auf und berechnest mit dieser die Koordinatengleichung der Ebene . Setze dann einen Punkt mit drei gleichen Koordinaten, zum Beispiel , in die Koordinatengleichung ein. Ist die Gleichung lösbar, liegt ein Punkt mit drei gleichen Koordinaten in der Ebene . 1. Schritt: Ebenengleichung in Paramterform aufstellen Bestimme mit den Punkten , und eine Ebenengleichung. 2. Schritt: Ebenegleichung in Koordinatenform Mit Hilfe des Vektorprodukts kannst du einen Normalenvektor der Ebene berechnen. Diesen Vektor kannst du noch mit 2 kürzen. Die Normalengleichung der Ebene ist dann: Setze die Koordinaten des Punktes ein, um zu berechnen. Eine Ebenengleichung in Koordinatenform ist: 3. Schritt: Punkt mit drei gleichen Koordinaten einsetzen Setze den Punkt mit den Koordinaten in die Ebenengleichung ein und löse die Gleichung nach auf. In der Ebene gibt es einen Punkt bei dem alle Koordinaten gleich sind. Dieser Punkt hat die Koordinaten .   Prüfen, ob jede beliebige Ebene einen Punkt hat, der drei gleiche Koordinaten hat Hier kannst du ähnlich wie im Aufgabenteil zuvor vorgehen. Bestimme eine allgemeine Form einer Ebene in Koordinatenform und setze einen beliebigen Punkt mit drei gleichen Koordinaten in die Ebenengleichung ein. Setze den Punkt in die Ebenengleichung ein und löse die Gleichung nach auf. In einer beliebigen Ebene gibt es einen Punkt, bei dem alle drei Koordinaten gleich sind, wenn gilt . Somit liegt nicht in jeder Ebene ein Punkt, bei dem alle drei Koordinaten gleich sind.