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Aufgabe 3B

Aufgaben
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Aufgabe 3B

Von einer Pyramide sind folgende Eckpunkte gegeben:
$A(2\mid0\mid1)$, $B(4\mid2\mid1)$, $C(2\mid4\mid1)$ und $S(2\mid2\mid6)$.
Aufgabe 3B
Abb. 1: Pyramide mit Eckpunkten $A$, $B$, $C$, $D$ und $S$
Aufgabe 3B
Abb. 1: Pyramide mit Eckpunkten $A$, $B$, $C$, $D$ und $S$
a)
Zeige: Das Dreieck $ABC$ ist gleichschenklig und rechtwinklig mit dem rechten Winkel im Punkt $B$.
Berechne die Koordinaten des vierten Punktes $D$ so, dass $A$, $B$, $C$ und $D$ Eckpunkte eines Quadrats sind.
(6P)
b)
Zeige, dass es Punkte $S_{z}(2\mid2\mid z)$ es gibt, dass das jeweilige Dreieck $ACS_{z}$ ein rechtwinkliges Dreieck mit dem rechten Winkel bei $S_{z}$ ist.
(4P)
c)
Die Punkte $B$, $C$ und $S$ liegen in einer Ebene $E$.
Zeige, dass es in der Ebene $E$ einen Punkt gibt, der drei gleiche Koordinaten hat und gib dessen Koordinaten an.
Untersuche, ob jede beliebige Ebene einen Punkt hat, der drei gleiche Koordinaten hat.
(7P)
Bildnachweise [nach oben]
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a)
$\blacktriangleright$  Zeigen, dass das Dreieck $\boldsymbol{ABC}$ gleischenklig ist
Ein Dreieck ist gleichschenklig, wenn zwei der drei Seiten gleich lang sind. Bilde als erstes die Verbindungsvektoren $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{BC}$ und $\overrightarrow{CA}$. Die Länge eines Vektors ist gerade der Betrag des Vektors.
$|\overrightarrow{a}|= \sqrt{a_1^2 + a_2^2 +a_3^2} $
$|\overrightarrow{a}|= \sqrt{a_1^2 + a_2^2 +a_3^2} $
$\blacktriangleright$  Zeige, dass das Dreieck am Punkt $\boldsymbol{B}$ einen rechten Winkel hat
Das Dreieck besitzt im Punkt $B$ einen rechten Winkel, wenn die beiden Vektoren $\overrightarrow{AB}$ und $\overrightarrow{BC}$ senkrecht zueinander stehen. Das Skalarprodukt der Vektoren $\overrightarrow{AB}$ und $\overrightarrow{BC}$ muss somit null sein.
$\blacktriangleright$  Koordinaten des Punktes $\boldsymbol{D}$ berechnen
In dieser Aufgabe sollst du die Koordinaten des Punktes $D$ berechnen, sodass die Punkte $A$, $B$, $C$ und $D$ die Eckpunkte eines Quadrates sind.
Um das Dreieck zu einem Quadrat zu ergänzen, kannst du den Vektor $\overrightarrow{BC}$ an den Ortsvektor, der zum Punkt $A$ zeigt addieren.
b)
$\blacktriangleright$  Zeigen, dass es Punkte $\boldsymbol{S_z}$ gibt, sodass das Dreieck $\boldsymbol{ACS_z}$ rechtwinklig ist
Das Dreieck $ACS_z$ besitzt im Punkt $S_z$ einen rechten Winkel, wenn das Skalarprodukt zwischen den beiden Verbindungsvektoren $\overrightarrow{AS_z}$ und $\overrightarrow{CS_z}$ null ist. Berechne als erstes die beiden Verbindungsvektoren und anschließend kannst du das Skalarprodukt der beiden Vektoren berechnen. Du erhältst eine Gleichung mit einer Variablen. Ist die Gleichung lösbar, gibt es Punkte $S_z$, sodass das Dreieck $ACS_z$ rechtwinklig ist.
c)
$\blacktriangleright$  Prüfen, ob es einen Punkt in der Ebene $\boldsymbol{E}$ gibt, der drei gleiche Koordinaten hat
Um dies zu prüfen, stellst du als erstes die Ebenengleichung in Parameterform der Ebene $E$ auf und berechnest mit dieser die Koordinatengleichung der Ebene $E$.
Setze dann einen Punkt mit drei gleichen Koordinaten, zum Beispiel $(x \;|\; x \;|\; x\;)$, in die Koordinatengleichung ein. Ist die Gleichung lösbar, liegt ein Punkt mit drei gleichen Koordinaten in der Ebene $E$.
$\blacktriangleright$  Prüfen, ob jede beliebige Ebene einen Punkt hat, der drei gleiche Koordinaten hat
Hier kannst du ähnlich wie im Aufgabenteil zuvor vorgehen. Bestimme eine allgemeine Form einer Ebene in Koordinatenform und setze einen beliebigen Punkt mit drei gleichen Koordinaten in die Ebenengleichung ein.
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a)
$\blacktriangleright$  Zeigen, dass das Dreieck $\boldsymbol{ABC}$ gleischenklig ist
Ein Dreieck ist gleichschenklig, wenn zwei der drei Seiten gleich lang sind. Bilde als erstes die Verbindungsvektoren $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{BC}$ und $\overrightarrow{CA}$. Die Länge eines Vektors ist gerade der Betrag des Vektors. Den Betrag des Vektors kannst du mit deinem Taschenrechner berechnen.
Aufgabe 3B
Abb. 1: Betrag der Vektoren berechnen
Aufgabe 3B
Abb. 1: Betrag der Vektoren berechnen
Aus $|\overrightarrow{AB}| = |\overrightarrow{BC}|$ folgt, dass die beiden Vektoren $\overrightarrow{AB}$ und $\overrightarrow{BC}$ gleich lang sind. Somit hast du gezeigt, dass das Dreieck $ABC$ gleichschenklig ist.
$\blacktriangleright$  Zeige, dass das Dreieck am Punkt $\boldsymbol{B}$ einen rechten Winkel hat
Das Dreieck besitzt im Punkt $B$ einen rechten Winkel, wenn die beiden Vektoren $\overrightarrow{AB}$ und $\overrightarrow{BC}$ senkrecht zueinander stehen. Das Skalarprodukt der Vektoren $\overrightarrow{AB}$ und $\overrightarrow{BC}$ muss somit null sein.
$\overrightarrow{AB} {\circ} \overrightarrow{BC} $
Aufgabe 3B
Abb. 2: Skalarprodukt berechnen
Aufgabe 3B
Abb. 2: Skalarprodukt berechnen
Da das Skalarprodukt null ist, stehen die Vektoren $\overrightarrow{AB}$ und $\overrightarrow{BC}$ senkrecht aufeinander. Das Dreieck $ABC$ hat im Punkt $B$ einen rechten Winkel.
$\blacktriangleright$  Koordinaten des Punktes $\boldsymbol{D}$ berechnen
In dieser Aufgabe sollst du die Koordinaten des Punktes $D$ berechnen, sodass die Punkte $A$, $B$, $C$ und $D$ die Eckpunkte eines Quadrates sind.
Um das Dreieck zu einem Quadrat zu ergänzen, kannst du den Vektor $\overrightarrow{BC}$ an den Ortsvektor, der zum Punkt $A$ zeigt addieren.
$\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{BC} = \pmatrix{2\\ 0 \\ 1} + \pmatrix{-2 \\2 \\ 0} = \pmatrix{0 \\2 \\ 1}$
$\overrightarrow{OD}= \pmatrix{0 \\2 \\ 1}$
Die Koordinaten des gesuchten Punktes $D$ kannst du jetzt ablesen.
Die Koordinaten des vierten Punktes sind $D(\;0 \;|\; 2 \;|\; 1 \;)$.
$\blacktriangleright$  Winkel zwischen der Streck $\boldsymbol{\overline{AS}}$ und der Diagonalen $\boldsymbol{\overline{AC}}$ berechnen
Den Winkel zwischen zwei Vektoren kannst du mit der Cosinus-Formel berechnen.
$\cos \alpha = \dfrac{\overrightarrow{a} {\circ} \overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}| \cdot |\overrightarrow{b}| } $
$\cos \alpha = \dfrac{\overrightarrow{a} {\circ} \overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}| \cdot |\overrightarrow{b}| } $
Um den Winkel zwischen den beiden Strecken zu berechnen, bildest du als erstes die beiden Verbindungsvektoren $\overrightarrow{AS}$ und $\overrightarrow{AC}$ und setzt diese anschließend in die Cosinus-Formel ein.
$\overrightarrow{AS} = \pmatrix{2-2 \\ 2-0 \\ 6-1} =\pmatrix{0 \\ 2 \\ 5} $
$\overrightarrow{AC} = (-1)\cdot \overrightarrow{CA} = \pmatrix{0 \\ 4 \\ 0}$
$\begin{array}[t]{rll} \cos \alpha&=& \dfrac {\pmatrix{0 \\ 2 \\ 5} {\circ} \pmatrix{0 \\ 4 \\ 0}}{\left|\pmatrix{0 \\ 2 \\ 5} \right| \cdot \left|\pmatrix{0 \\ 4 \\ 0} \right| } \\[5pt] &=&\dfrac{2\cdot 4}{\sqrt{0^2+2^2+5^2}\cdot \sqrt{4^2}} \\[5pt] &=& \dfrac{8}{\sqrt{29}\cdot 4} &\quad \scriptsize \mid\; \cos^{-1} \\[5pt] \alpha&=& \cos^{-1}\left(\dfrac{8}{\sqrt{29}\cdot 4} \right) \\[5pt] &=&68,199° \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} \cos \alpha&=& 68,199° \end{array}$
Der Winkel zwischen den Strecken $\overline{AS}$ und $\overline{AC}$ beträgt $68,12°$.
b)
$\blacktriangleright$  Zeigen, dass es Punkte $\boldsymbol{S_z}$ gibt, sodass das Dreieck $\boldsymbol{ACS_z}$ rechtwinklig ist
Das Dreieck $ACS_z$ besitzt im Punkt $S_z$ einen rechten Winkel, wenn das Skalarprodukt zwischen den beiden Verbindungsvektoren $\overrightarrow{AS_z}$ und $\overrightarrow{CS_z}$ null ist. Berechne als erstes die beiden Verbindungsvektoren und anschließend kannst du das Skalarprodukt der beiden Vektoren berechnen. Du erhältst eine Gleichung mit einer Variablen. Ist die Gleichung lösbar, gibt es Punkte $S_z$, sodass das Dreieck $ACS_z$ rechtwinklig ist.
1. Schritt: Verbindungsvektoren berechnen
$\overrightarrow{AS_z}= \pmatrix{2-2 \\ 2-0 \\ z-1} = \pmatrix{0 \\ 2 \\ z-1} $
$\overrightarrow{CS_z}= \pmatrix{2-2 \\ 2-4 \\ z-1} = \pmatrix{0 \\ -2 \\ z-1} $
2. Schritt: Skalarprodukt berechnen
Aufgabe 3B
Abb. 3: Skalarprodukt berechnen
Aufgabe 3B
Abb. 3: Skalarprodukt berechnen
3. Schritt: Gleichung lösen
Aufgabe 3B
Abb. 4: Gleichung lösen
Aufgabe 3B
Abb. 4: Gleichung lösem
Du hast zwei Werte für $z$ gefunden, für welche die Gleichung erfüllt ist. Somit hast du gezeigt, dass es Punkte $S_z$ gibt, sodass das jeweilige Dreieck $ACS_z$ einen rechten Winkel beim Punkt $S_z$ hat.
c)
$\blacktriangleright$  Prüfen, ob es einen Punkt in der Ebene $\boldsymbol{E}$ gibt, der drei gleiche Koordinaten hat
Um dies zu prüfen, stellst du als erstes die Ebenengleichung in Parameterform der Ebene $E$ auf und berechnest mit dieser die Koordinatengleichung der Ebene $E$.
Setze dann einen Punkt mit drei gleichen Koordinaten, zum Beispiel $(x \;|\; x \;|\; x\;)$, in die Koordinatengleichung ein. Ist die Gleichung lösbar, liegt ein Punkt mit drei gleichen Koordinaten in der Ebene $E$.
1. Schritt: Ebenengleichung in Paramterform aufstellen
Bestimme mit den Punkten $B$, $C$ und $S$ eine Ebenengleichung.
$\begin{array}[t]{rll} E: \overrightarrow{x}&=&\overrightarrow{OB} + r\cdot \overrightarrow{BC} + s\cdot \overrightarrow{BS} \\[5pt] &=&\pmatrix{4 \\ 2 \\ 1} + r\cdot \pmatrix{-2 \\ 2 \\ 0} + s\cdot \pmatrix{-2 \\ 0 \\ 5} \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} E: \overrightarrow{x}&=&… \end{array}$
2. Schritt: Ebenegleichung in Koordinatenform
Mit Hilfe des Vektorprodukts kannst du einen Normalenvektor der Ebene $E$ berechnen.
Aufgabe 3B
Abb. 5: Normalenvektor berechnen
Aufgabe 3B
Abb. 5: Normalenvektor berechnen
Diesen Vektor kannst du noch mit 2 kürzen.
$\overrightarrow{n}_E =\pmatrix{5 \\ 5 \\ -2}$
Die Normalengleichung der Ebene $E$ ist dann:
$E: 5x_1 + 5x_2 -2x_3 = d $
Setze die Koordinaten des Punktes $B$ ein, um $d$ zu berechnen.
$5\cdot 4 + 5\cdot 2 - 2\cdot 1 = 28 $
Eine Ebenengleichung in Koordinatenform ist: $E: 5x_1 + 5x_2 -2x_3 = 28 $
3. Schritt: Punkt mit drei gleichen Koordinaten einsetzen
Setze den Punkt mit den Koordinaten $(x \;|\; x \;|\; x\;)$ in die Ebenengleichung ein und löse die Gleichung nach $x$ auf. $\begin{array}[t]{rll} 5x + 5x -2x&=& 28 \\[5pt] 8x&=& 28 &\quad \scriptsize \mid\; :8 \\[5pt] x&=& 3,5 \end{array}$
In der Ebene $E$ gibt es einen Punkt bei dem alle Koordinaten gleich sind. Dieser Punkt hat die Koordinaten $(3,5\;|\; 3,5 \;|\; 3,5\;)$.
$\blacktriangleright$  Prüfen, ob jede beliebige Ebene einen Punkt hat, der drei gleiche Koordinaten hat
Hier kannst du ähnlich wie im Aufgabenteil zuvor vorgehen. Bestimme eine allgemeine Form einer Ebene in Koordinatenform und setze einen beliebigen Punkt mit drei gleichen Koordinaten in die Ebenengleichung ein.
$E: ax_1+ bx_2 + cx_3 =d$
Setze den Punkt $(x \;|\; x \;|\; x\;)$ in die Ebenengleichung ein und löse die Gleichung nach $x$ auf.
Aufgabe 3B
Abb. 6: Gleichung lösen
Aufgabe 3B
Abb. 6: Gleichung lösen
In einer beliebigen Ebene gibt es einen Punkt, bei dem alle drei Koordinaten gleich sind, wenn gilt $a+b+c \neq 0$. Somit liegt nicht in jeder Ebene ein Punkt, bei dem alle drei Koordinaten gleich sind.
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a)
$\blacktriangleright$  Zeigen, dass das Dreieck $\boldsymbol{ABC}$ gleischenklig ist
Ein Dreieck ist gleichschenklig, wenn zwei der drei Seiten gleich lang sind. Bilde als erstes die Verbindungsvektoren $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{BC}$ und $\overrightarrow{CA}$. Die Länge eines Vektors ist gerade der Betrag des Vektors. Den Betrag des Vektors kannst du mit deinem Taschenrechner berechnen.
Aufgabe 3B
Abb. 1: Betrag der Vektoren
Aufgabe 3B
Abb. 1: Betrag der Vektoren
Aus $|\overrightarrow{AB}| = |\overrightarrow{BC}|$ folgt, dass die beiden Vektoren $\overrightarrow{AB}$ und $\overrightarrow{BC}$ gleich lang sind. Somit hast du gezeigt, dass das Dreieck $ABC$ gleichschenklig ist.
$\blacktriangleright$  Zeige, dass das Dreieck am Punkt $\boldsymbol{B}$ einen rechten Winkel hat
Das Dreieck besitzt im Punkt $B$ einen rechten Winkel, wenn die beiden Vektoren $\overrightarrow{AB}$ und $\overrightarrow{BC}$ senkrecht zueinander stehen. Das Skalarprodukt der Vektoren $\overrightarrow{AB}$ und $\overrightarrow{BC}$ muss somit null sein.
$\overrightarrow{AB} {\circ} \overrightarrow{BC} $
Aufgabe 3B
Abb. 2: Skalarprodukt
Aufgabe 3B
Abb. 2: Skalarprodukt
Da das Skalarprodukt null ist, stehen die Vektoren $\overrightarrow{AB}$ und $\overrightarrow{BC}$ senkrecht aufeinander. Das Dreieck $ABC$ hat im Punkt $B$ einen rechten Winkel.
$\blacktriangleright$  Koordinaten des Punktes $\boldsymbol{D}$ berechnen
In dieser Aufgabe sollst du die Koordinaten des Punktes $D$ berechnen, sodass die Punkte $A$, $B$, $C$ und $D$ die Eckpunkte eines Quadrates sind.
Um das Dreieck zu einem Quadrat zu ergänzen, kannst du den Vektor $\overrightarrow{BC}$ an den Ortsvektor, der zum Punkt $A$ zeigt addieren.
$\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{BC} = \pmatrix{2\\ 0 \\ 1} + \pmatrix{-2 \\2 \\ 0} = \pmatrix{0 \\2 \\ 1}$
$\overrightarrow{OD}= \pmatrix{0 \\2 \\ 1}$
Die Koordinaten des gesuchten Punktes $D$ kannst du jetzt ablesen.
Die Koordinaten des vierten Punktes sind $D(\;0 \;|\; 2 \;|\; 1 \;)$.
$\blacktriangleright$  Winkel zwischen der Streck $\boldsymbol{\overline{AS}}$ und der Diagonalen $\boldsymbol{\overline{AC}}$ berechnen
Um den Winkel zwischen den beiden Strecken zu berechnen, bildest du als erstes die beiden Verbindungsvektoren $\overrightarrow{AS}$ und $\overrightarrow{AC}$ und berechnest den Winkel mit deinem Taschenrechner.
Aufgabe 3B
Abb. 3: Winkel berechnen
Aufgabe 3B
Abb. 3: Winkel berechnen
Der Winkel zwischen den Strecken $\overline{AS}$ und $\overline{AC}$ beträgt $68,12°$.
b)
$\blacktriangleright$  Zeigen, dass es Punkte $\boldsymbol{S_z}$ gibt, sodass das Dreieck $\boldsymbol{ACS_z}$ rechtwinklig ist
Das Dreieck $ACS_z$ besitzt im Punkt $S_z$ einen rechten Winkel, wenn das Skalarprodukt zwischen den beiden Verbindungsvektoren $\overrightarrow{AS_z}$ und $\overrightarrow{CS_z}$ null ist. Berechne als erstes die beiden Verbindungsvektoren und anschließend kannst du das Skalarprodukt der beiden Vektoren berechnen. Du erhältst eine Gleichung mit einer Variablen. Ist die Gleichung lösbar, gibt es Punkte $S_z$, sodass das Dreieck $ACS_z$ rechtwinklig ist.
1. Schritt: Verbindungsvektoren berechnen
$\overrightarrow{AS_z}= \pmatrix{2-2 \\ 2-0 \\ z-1} = \pmatrix{0 \\ 2 \\ z-1} $
$\overrightarrow{CS_z}= \pmatrix{2-2 \\ 2-4 \\ z-1} = \pmatrix{0 \\ -2 \\ z-1} $
2. Schritt: Skalarprodukt berechnen
Aufgabe 3B
Abb. 3: Skalarprodukt berechnen
Aufgabe 3B
Abb. 3: Skalarprodukt berechnen
3. Schritt: Gleichung lösen
Aufgabe 3B
Abb. 4: Gleichung lösen
Aufgabe 3B
Abb. 4: Gleichung lösem
Du hast zwei Werte für $z$ gefunden, für welche die Gleichung erfüllt ist. Somit hast du gezeigt, dass es Punkte $S_z$ gibt, sodass das jeweilige Dreieck $ACS_z$ einen rechten Winkel beim Punkt $S_z$ hat.
c)
$\blacktriangleright$  Prüfen, ob es einen Punkt in der Ebene $\boldsymbol{E}$ gibt, der drei gleiche Koordinaten hat
Um dies zu prüfen, stellst du als erstes die Ebenengleichung in Parameterform der Ebene $E$ auf und berechnest mit dieser die Koordinatengleichung der Ebene $E$.
Setze dann einen Punkt mit drei gleichen Koordinaten, zum Beispiel $(x \;|\; x \;|\; x\;)$, in die Koordinatengleichung ein. Ist die Gleichung lösbar, liegt ein Punkt mit drei gleichen Koordinaten in der Ebene $E$.
1. Schritt: Ebenengleichung in Paramterform aufstellen
Bestimme mit den Punkten $B$, $C$ und $S$ eine Ebenengleichung.
$\begin{array}[t]{rll} E: \overrightarrow{x}&=&\overrightarrow{OB} + r\cdot \overrightarrow{BC} + s\cdot \overrightarrow{BS} \\[5pt] &=&\pmatrix{4 \\ 2 \\ 1} + r\cdot \pmatrix{-2 \\ 2 \\ 0} + s\cdot \pmatrix{-2 \\ 0 \\ 5} \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} E: \overrightarrow{x}&=&… \end{array}$
2. Schritt: Ebenegleichung in Koordinatenform
Mit Hilfe des Vektorprodukts kannst du einen Normalenvektor der Ebene $E$ berechnen.
Aufgabe 3B
Abb. 5: Normalenvektor berechnen
Aufgabe 3B
Abb. 5: Normalenvektor berechnen
Diesen Vektor kannst du noch mit 2 kürzen.
$\overrightarrow{n}_E =\pmatrix{5 \\ 5 \\ -2}$
Die Normalengleichung der Ebene $E$ ist dann:
$E: 5x_1 + 5x_2 -2x_3 = d $
Setze die Koordinaten des Punktes $B$ ein, um $d$ zu berechnen.
$5\cdot 4 + 5\cdot 2 - 2\cdot 1 = 28 $
Eine Ebenengleichung in Koordinatenform ist: $E: 5x_1 + 5x_2 -2x_3 = 28 $
3. Schritt: Punkt mit drei gleichen Koordinaten einsetzen
Setze den Punkt mit den Koordinaten $(x \;|\; x \;|\; x\;)$ in die Ebenengleichung ein und löse die Gleichung nach $x$ auf.
$\begin{array}[t]{rll} 5x + 5x -2x&=& 28 \\[5pt] 8x&=& 28 &\quad \scriptsize \mid\; :8 \\[5pt] x&=& 3,5 \end{array}$
In der Ebene $E$ gibt es einen Punkt bei dem alle Koordinaten gleich sind. Dieser Punkt hat die Koordinaten $(3,5\;|\; 3,5 \;|\; 3,5\;)$.
$\blacktriangleright$  Prüfen, ob jede beliebige Ebene einen Punkt hat, der drei gleiche Koordinaten hat
Hier kannst du ähnlich wie im Aufgabenteil zuvor vorgehen. Bestimme eine allgemeine Form einer Ebene in Koordinatenform und setze einen beliebigen Punkt mit drei gleichen Koordinaten in die Ebenengleichung ein.
$E: ax_1+ bx_2 + cx_3 =d$
Setze den Punkt $(x \;|\; x \;|\; x\;)$ in die Ebenengleichung ein und löse die Gleichung nach $x$ auf.
Aufgabe 3B
Abb. 6: Gleichung lösen
Aufgabe 3B
Abb. 6: Gleichung lösen
In einer beliebigen Ebene gibt es einen Punkt, bei dem alle drei Koordinaten gleich sind, wenn gilt $a+b+c \neq 0$. Somit liegt nicht in jeder Ebene ein Punkt, bei dem alle drei Koordinaten gleich sind.
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