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Pflichtteil

Aufgaben
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Aufgabe P1

In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte $A(0 \mid 2 \mid 2), B(4\mid -1 \mid z)$ und $C(-3 \mid y \mid 6)$ gegeben.
a)
B liegt auf der Geraden mit der Gleichung $\overrightarrow{x}=\pmatrix{0\\2\\2}+r\cdot\pmatrix{-1\\0,75\\-2}, r\in\mathbb{R}$.
Bestimme den Wert von $z$.
(2 BE)
b)
Zeige, dass der Abstand von $A$ und $C$ mindestens 5 beträgt.
(3 BE)
#zentraleraufgabenpool

Aufgabe P2

In einer Urne befinden sich drei rote und sieben weiße Kugeln.
a)
Zweimal nacheinander wird jeweils eine Kugel zufällig entnommen und wieder zurückgelegt.
Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass höchstens eine der entnommenen Kugeln weiß ist.
(2 BE)
b)
Zehnmal nacheinander wird jeweils eine Kugel zufällig entnommen und wieder zurückgelegt. Die Zufallsgröße $X$ beschreibt die Anzahl der entnommenen weißen Kugeln.
Begründe ohne Berechnung von Wahrscheinlichkeiten, dass keine der folgenden Abbildungen die Wahrscheinlichkeitsverteilung von $X$ darstellt.
(3 BE)
#zentraleraufgabenpool

Aufgabe P3

Gegeben sind die Funktionen $g$ und $h$ mit $g(x)=x^2-3, x \in\mathbb{R}$, und $h(x)=-x^2+2x+1, x\in\mathbb{R}$.
a)
Zeige, dass sich die Graphen von $g$ und $h$ nur für $x=-1$ und $x=2$ schneiden.
(2 BE)
b)
Berechne den Inhalt der Fläche, die die Graphen von $g$ und $h$ einschließen.
(3 BE)
#zentraleraufgabenpool

Aufgabe P4

#hilfsmittelfreieaufgaben#tangente
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Lösungen
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Aufgabe P1

a)
$\blacktriangleright$  $z$-Koordinate bestimmen
$\pmatrix{4\\-1\\z }= \pmatrix{0\\2\\2} + r\cdot \pmatrix{-1\\0,75\\-2}$
$\pmatrix{4\\-1\\z }= \pmatrix{0\\2\\2} + r\cdot \pmatrix{-1\\0,75\\-2}$
Daraus folgt für die erste Zeile:
$\begin{array}[t]{rll} 4 &=& 0 -1r &\quad \scriptsize \mid\;:(-1) \\[5pt] -4 &=& r \end{array}$
$ r=-4 $
Für die dritte Zeile folgt:
$\begin{array}[t]{rll} z &=& 2 -2r &\quad \scriptsize \mid\; r=(-4) \\[5pt] z &=& 2-2\cdot (-4) \\[5pt] z &=& 10 \end{array}$
$ z=10 $
b)
$\blacktriangleright$  Mindestabstand zeigen
$\begin{array}[t]{rll} \left|\overrightarrow{AC} \right|&=& \left|\pmatrix{-3\\y-2\\4} \right| \\[5pt] &=& \sqrt{(-3)^2 +(y-2)^2 + 4^2} \\[5pt] &=& \underbrace{\sqrt{\underbrace{\underbrace{(y-2)^2}_{\geq 0} + 25}_{\geq 25}}}_{\geq 5} \\[5pt] \end{array}$
$ \left|\overrightarrow{AC} \right| = \sqrt{(y-2)^2 +25 }$
#vektorbetrag

Aufgabe P2

a)
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit berechnen
$\begin{array}[t]{rll} P(\text{„Höchstens eine weiße Kugel“})&=& 1-P(\text{„beide Kugeln sind weiß“}) \\[5pt] &=& 1- \frac{7}{10}\cdot \frac{7}{10} \\[5pt] &=& \frac{51}{100} = 51\,\% \end{array}$
$ … = 51\,\% $
b)
$\blacktriangleright$  Passende Abbildung begründen
$X$ ist binomialverteilt mit $n=10$ und $p=0,7.$ Für den Erwartungswert gilt also:
$\mu(X) = 10\cdot 0,7 = 7$
Bei einer binomialverteilten Zufallsgröße ist der Erwartungswert der Wert mit der höchsten Wahrscheinlichkeit.
In Abbildung 1 ist aber $3$ der Wert mit der höchsten Wahrscheinlichkeit. Diese Abbildung kann also nicht die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer binomialverteilten Zufallsgröße mit dem Erwartungswert $7$ darstellen.
Abbildung 2 kann die Wahrscheinlichkeitsverteilung von $X$ nicht darstellen, da die Summe aller dargestellten Wahrscheinlichkeiten hier größer als $1$ ist. Die Summe aller Wahrscheinlichkeiten einer Wahrscheinlichkeitsverteilung beträgt aber immer $1.$
#pfadregeln#erwartungswert#binomialverteilung

Aufgabe P3

a)
$\blacktriangleright$  Schnittstellen zeigen
$\begin{array}[t]{rll} g(x) &=& h(x) \\[5pt] x^2 -3 &=& -x^2 +2x +1 &\quad \scriptsize \mid\; +x^2; -2x ;-1 \\[5pt] 2x^2 -2x -4 &=& 0 &\quad \scriptsize\mid\; :2 \\[5pt] x^2 -x -2 &=& 0 &\quad \scriptsize\mid\; pq\text{-Formel} \\[5pt] x_{1/2} &=& -\frac{-1}{2}\pm \sqrt{\left(\frac{-1}{2} \right)^2 -(-2)} \\[5pt] &=& \frac{1}{2}\pm \frac{3}{2} \\[5pt] x_1 &=& \frac{1}{2}-\frac{3}{2} \\[5pt] &=& -1 \\[10pt] x_2 &=& \frac{1}{2}+\frac{3}{2} \\[5pt] &=& 2 \\[10pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} g(x) &=& h(x) \\[5pt] … \\[5pt] x_1 &=& -1 \\[5pt] x_2 &=& 2 \end{array}$
Die Gleichung $g(x) =h(x)$ hat genau zwei Lösungen, $x_1 = -1$ und $x_2 = 2.$ Die Graphen von $g$ und $h$ schneiden sich also nur an diesen beiden Stellen.
b)
$\blacktriangleright$  Flächeninhalt berechnen
$\begin{array}[t]{rll} & \displaystyle\int_{-1}^{2}\left(g(x)-h(x) \right)\;\mathrm dx \\[5pt] =& \displaystyle\int_{-1}^{2}\left( 2x^2 -2x -4\right)\;\mathrm dx \\[5pt] =& \left[\frac{2}{3}x^3 -x^2-4x \right]_{-1}^2 \\[5pt] =& \frac{2}{3}\cdot 2^3 -2^2-4\cdot 2 -\left( \frac{2}{3}\cdot(-1)^3 -(-1)^2-4\cdot(-1) \right) \\[5pt] =& \frac{16}{3} -4-8 -\left( -\frac{2}{3} -1+4 \right) \\[5pt] =& -9 \\[5pt] \end{array}$
$ \displaystyle\int_{-1}^{2}\left(g(x)-h(x) \right)\;\mathrm dx =- 9 $
Der Flächeninhalt der vom Graphen von $g$ und $h$ eingeschlossenen Fläche beträgt $9\,\text{FE}.$
#integral

Aufgabe P4

a)
$\blacktriangleright$  Graphen skizzieren
Graph
Abb. 1: Skizze des Graphen von $f$ für $x< 0$
Graph
Abb. 1: Skizze des Graphen von $f$ für $x< 0$
b)
$\blacktriangleright$  Tangentensteigung zeigen
Die Steigung der Tangente an den Graphen von $f$ an einer Stelle $x$ wird durch $f'(x)$ beschrieben. Mit der Kettenregel folgt:
$\begin{array}[t]{rll} f(x) &=& \mathrm e^{x^2} \\[10pt] f'(x) &=& 2x\cdot\mathrm e^{x^2} \\[10pt] f'(a) &=& 2a\cdot \mathrm e^{a^2} \end{array}$
$ f'(a) = 2a\cdot \mathrm e^{a^2} $
Die Tangente an den Graphen von $f$ im Punkt $A$ besitzt also die Steigung $2a\cdot \mathrm e^{a^2}.$
c)
$\blacktriangleright$  Wert von $\boldsymbol{a}$ berechnen
Da die Tangente durch den Ursprung und durch den Punkt $A$ verlaufen muss, gilt für ihre Steigung:
$\begin{array}[t]{rll} m_t &=& \dfrac{\mathrm e^{a^2} -0 }{a -0}\\[5pt] &=& \dfrac{\mathrm e^{a^2}}{a} \end{array}$
Es muss aber auch $m_t = f'(a)$ sein. Gleichsetzen liefert:
$\begin{array}[t]{rll} f'(a) &=& m_t \\[5pt] 2a\cdot \mathrm e^{a^2} &=& \dfrac{\mathrm e^{a^2}}{a} &\quad \scriptsize \mid\;\cdot a \\[5pt] 2a^2\cdot \mathrm e^{a^2} &=& \mathrm e^{a^2} &\quad \scriptsize \mid\;:\mathrm e^{a^2}\neq 0 \\[5pt] 2a^2 &=& 1 &\quad \scriptsize \mid\; :2 \\[5pt] a^2 &=& \frac{1}{2} \\[5pt] a_1 &=& \frac{1}{\sqrt{2}} \\[5pt] a_2 &=& -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} f'(a) &=& m_t \\[5pt] a_1 &=& \frac{1}{\sqrt{2}} \\[5pt] a_2 &=& -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{array}$
Da $a> 0$ vorgegeben ist, ist $a= \frac{1}{\sqrt{2}}$ der gesuchte Wert von $a,$ für den die Tangente an den Graphen von $f$ im Punkt $A$ durch den Koordinatenursprung verläuft.
#kettenregel#ableitung
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