Aufgabe 3B

Ein quaderförmiger Discoraum hat die Ausmaße $15\,\text{m}$ , $20\,\text{m}$ und $6\,\text{m}$ .

Am Ort $L\,(3\mid 2\mid 5)$ befindet sich ein Laser, der Laserlicht in verschiedene Richtungen aussenden kann. Die Richtungen des Laserlichts lassen sich einstellen.

Alle Koordinaten haben die Einheit Meter.

3D-Darstellung eines Quaders mit den Abmessungen 20 m, 15 m und 6 m in einem Koordinatensystem.

a) Das Laserlicht soll in der Disco im Punkt $P\,(7\mid 20\mid 4)$ auf die rechte Wand auftreffen.

Bestimme den für die Einstellung des Laserstrahls notwendigen Richtungsvektor.

Weise nach, dass das Laserlicht im Punkt $A\,(15\mid 20\mid 2)$ auf die rechte Wand auftrifft, wenn die Richtung des Laserstrahls durch den Vektor $\begin{pmatrix}4\\6\\-1\end{pmatrix}$ eingestellt wird.

Berechne den Abstand des Punktes $A$ vom Laser.

(9P)

b) Der Laserstrahl beschreibt bei geeigneter Einstellung auf der vorderen Wand eine Strecke, die vom Punkt $B\,(15\mid 0\mid 2)$ bis zum Punkt $A\,(15\mid 20\mid 2)$ verläuft.

Zeige, dass der Laserstrahl senkrecht zu dieser Strecke verläuft, wenn der Punkt $C\,(15\mid 2\mid 2)$ trifft.

Bestimme die Koordinaten eines Punktes $D$ , der auf der Strecke $\overline{BA}$ liegt und vom Laser den gleichen Abstand hat wie der Punkt $B$ vom Laser.

(8P)

a) $\blacktriangleright$ Einstellung des Laserstrahls bestimmen

Bestimme den für die Einstellung des Laserstrahls notwendigen Richtungsvektor. Der Laserstrahl zeigt vom Punkt $L$ zum Punkt $P$ . Der Laserstrahl hat dementsprechend die Richtung des Verbindungsvektors $\overrightarrow{LP}$ . Berechne diesen Vektor, um die gesuchte Richtung zu erhalten:

$\overrightarrow{LP}=\overrightarrow{OP}-\overrightarrow{OL}= \begin{pmatrix}7\\ 20\\ 4\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}3\\ 2\\ 5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4\\ 18\\ -1\end{pmatrix}$

Damit verläuft der Laserstrahl in Richtung des Vektors $\begin{pmatrix}4\\ 18\\ -1\end{pmatrix}$ .

$\blacktriangleright$ Auftreffpunkt $\boldsymbol{A}$ nachweisen

Wird die Richtung des Laserstrahls durch den Vektor $\begin{pmatrix}4\\ 6\\ -1\end{pmatrix}$ beschrieben, so kannst du mit dem Punkt $L$ , die Gerade aufstellen, die den Laserstrahl beschreibt. Für alle Punkte der rechten Wand ist die $y$ -Koordinate $20$ .

Wähle für die Gerade $h$ , die den Laserstrahl beschreibt, den Ortsvektor von $L$ als Stützvektor sowie den angegebenen Richtungsvektor. Damit lautet eine Geradengleichung von $h$ :

$h: \overrightarrow{x}= \begin{pmatrix}3\\ 2\\ 5\end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix}4\\ 6\\ -1\end{pmatrix}$

Prüfe nun ob es einen Wert für den Parameter $t$ gibt, sodass der Punkt $A(15\mid20\mid2)$ auf der Geraden $h$ liegt.

$\begin{array}[t]{rlll} \overrightarrow{OA}&=&\begin{pmatrix}3\\ 2\\ 5\end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix}4\\ 6\\ -1\end{pmatrix} \\[5pt] \begin{pmatrix}15\\20\\2\end{pmatrix}&=& \begin{pmatrix}3\\ 2\\ 5\end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix}4\\ 6\\ -1\end{pmatrix}&\quad \scriptsize \text{Versuch mit}\; k=3 \\[5pt] \begin{pmatrix}15\\20\\2\end{pmatrix}&=& \begin{pmatrix}3\\ 2\\ 5\end{pmatrix} + 3 \cdot \begin{pmatrix}4\\ 6\\ -1\end{pmatrix}\\[5pt] \begin{pmatrix}15\\20\\2\end{pmatrix}&=& \begin{pmatrix}3\\ 2\\ 5\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}12\\ 18\\ -3\end{pmatrix}\\[5pt] \begin{pmatrix}15\\20\\2\end{pmatrix}&=&\begin{pmatrix}15\\20\\2\end{pmatrix} \end{array}$

Der Punkt $A$ liegt auf der Geraden $h$ . Da die $y$ -Koordinate den Wert $20$ hat, liegt der Punkt auch auf der rechten Wand. Das Laserlicht trifft demnach im Punkt $A$ auf die rechte Wand.

$\blacktriangleright$ Abstand des Punktes $\boldsymbol{A}$ vom Laser berechnen

Berechne nun den Abstand des Punktes $A$ vom Laser $L$ . Der Laser ist am Punkt $L$ befestigt, somit beschreibt der Verbindungsvektor $\overrightarrow{AL}$ die Strecke $\overline{AL}$ . Berechne die Länge des Vektors $\overrightarrow{AL}$ , um den gesuchten Abstand zu berechnen.

$\begin{array}[t]{rll} \left|\overrightarrow{AL}\right|&=&\left|\overrightarrow{OL}-\overrightarrow{OA}\right| \\[5pt] &=& \left| \begin{pmatrix}3\\ 2\\ 5 \end{pmatrix}- \begin{pmatrix}15\\ 20\\ 2\end{pmatrix}\right| \\[5pt] &=& \left| \begin{pmatrix}-12\\ -18\\ 3 \end{pmatrix}\right| \\[5pt] &=& \sqrt{(-12)^2 + (-18)^2 + 3^2} \\[5pt] &\approx& 21,84 \end{array}$

Der Abstand vom Punkt $A$ zum Laser beträgt ca. $21,84 \text{ m}$ .

b) $\blacktriangleright$ Skalarprodukt berechnen

Bei dieser Teilaufgabe sollst du zeigen, dass der Laserstrahl senkrecht zu der Strecke $\overline{AB}$ steht wenn er den Punkt $C$ trifft.

Zwei Vektoren stehen senkrecht aufeinander, wenn das Skalarprodukt der beiden Vektoren gleich Null ist.

Demnach muss gelten:

$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{AB}\circ\overrightarrow{LC}&=& 0 \end{array}$

$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{AB}\circ\overrightarrow{LC} &=& 0\\[5pt] \left(\begin{pmatrix}15\\0\\2\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}15\\20\\2\end{pmatrix}\right)\circ\left(\begin{pmatrix}15\\2\\2\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}3\\2\\5\end{pmatrix}\right)&=&0\\[5pt] \begin{pmatrix}0\\-20\\0\end{pmatrix}\circ\begin{pmatrix}12\\0\\-3\end{pmatrix}&=&0\\[5pt] 0\cdot12+(-20)\cdot0+0\cdot(-3)&=&0\\[5pt] 0&=&0 \end{array}$

Der Laserstrahl verläuft senkrecht zu der Strecke $\overline{AB}$ , wenn er den Punkt $C$ trifft.

$\blacktriangleright$ Koordinaten des Punktes $\boldsymbol{D}$ bestimmen

Nun sollst du die Koordinaten des Punktes $D$ bestimmen, der auf der Strecke $\overline{AB}$ liegt und den gleichen Abstand zu Punkt $L$ hat wie der Punkt $B$ .

Du hast zuvor gezeigt, dass die Strecke $\overline{AB}$ senkrecht auf der Strecke $\overline{LC}$ steht. Das bedeutet, dass der Punkt $D$ genauso weit von dem Punkt $C$ entfernt ist wie Punkt $D$ .

Die Koordinaten des Punktes $D$ erhältst du also, indem du zu dem Ortsvektor des Punktes $C$ den Richtungsvektor $\overrightarrow{BC}$ addierst.

$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{OD}&=&\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{BC} \\[5pt] &=&\begin{pmatrix}15\\2\\2\end{pmatrix}+\left(\begin{pmatrix}15\\2\\2\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}15\\0\\2\end{pmatrix}\right)\\[5pt] &=&\begin{pmatrix}15\\2\\2\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0\\2\\0\end{pmatrix}\\[5pt] &=&\begin{pmatrix}15\\4\\2\end{pmatrix} \end{array}$

Der Punkt $D$ hat die Koordinaten $D(15\mid4\mid2)$ .