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Aufgabe 3B

Aufgaben
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Ein quaderförmiger Discoraum hat die Ausmaße $15\,\text{m}$, $20\,\text{m}$ und $6\,\text{m}$.
Am Ort $L\,(3\mid 2\mid 5)$ befindet sich ein Laser, der Laserlicht in verschiedene Richtungen aussenden kann. Die Richtungen des Laserlichts lassen sich einstellen.
Alle Koordinaten haben die Einheit Meter.
Aufgabe 3B
Aufgabe 3B
a)  Das Laserlicht soll in der Disco im Punkt $P\,(7\mid 20\mid 4)$ auf die rechte Wand auftreffen.
Bestimme den für die Einstellung des Laserstrahls notwendigen Richtungsvektor.
Weise nach, dass das Laserlicht im Punkt $A\,(15\mid 20\mid 2)$ auf die rechte Wand auftrifft, wenn die Richtung des Laserstrahls durch den Vektor $\begin{pmatrix}4\\6\\-1\end{pmatrix}$ eingestellt wird.
Berechne den Abstand des Punktes $A$ vom Laser.
(9P)
b)  Der Laserstrahl beschreibt bei geeigneter Einstellung auf der vorderen Wand eine Strecke, die vom Punkt $B\,(15\mid 0\mid 2)$ bis zum Punkt $A\,(15\mid 20\mid 2)$ verläuft.
Zeige, dass der Laserstrahl senkrecht zu dieser Strecke verläuft, wenn der Punkt $C\,(15\mid 2\mid 2)$ trifft.
Bestimme die Koordinaten eines Punktes $D$, der auf der Strecke $\overline{BA}$ liegt und vom Laser den gleichen Abstand hat wie der Punkt $B$ vom Laser.
(8P)
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a) $\blacktriangleright$  Einstellung des Laserstrahls bestimmen
Bestimme den für die Einstellung des Laserstrahls notwendigen Richtungsvektor. Der Laserstrahl zeigt vom Punkt $L$ zum Punkt $P$. Der Laserstrahl hat dementsprechend die Richtung des Verbindungsvektors $\overrightarrow{LP}$. Berechne diesen Vektor, um die gesuchte Richtung zu erhalten.
$\blacktriangleright$  Auftreffpunkt $\boldsymbol{A}$ nachweisen
Wird die Richtung des Laserstrahls durch den Vektor $\begin{pmatrix}4\\ 6\\ -1\end{pmatrix}$ beschrieben, so kannst du mit dem Punkt $L$, die Gerade aufstellen, die den Laserstrahl beschreibt. Für alle Punkte der rechten Wand ist die $y$-Koordinate $20$.
Wähle für die Gerade $h$, die den Laserstrahl beschreibt, den Ortsvektor von $L$ als Stützvektor sowie den angegebenen Richtungsvektor. Damit lautet eine Geradengleichung von $h$:
$h: \overrightarrow{x}= \begin{pmatrix}3\\ 2\\ 5\end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix}4\\ 6\\ -1\end{pmatrix}$
Prüfe nun ob es einen Wert für den Parameter $t$ gibt, sodass der Punkt $A(15\mid20\mid2)$ auf der Geraden $h$ liegt.
$\blacktriangleright$  Abstand des Punktes $\boldsymbol{A}$ vom Laser berechnen
Berechne nun den Abstand des Punktes $A$ vom Laser $L$. Der Laser ist am Punkt $L$ befestigt, somit beschreibt der Verbindungsvektor $\overrightarrow{AL}$ die Strecke $\overline{AL}$. Berechne die Länge des Vektors $\overrightarrow{AL}$, um den gesuchten Abstand zu berechnen.
$\begin{array}[t]{rll} \left|\overrightarrow{AL}\right|&=&\left|\overrightarrow{OL}-\overrightarrow{OA}\right| \end{array}$
b) $\blacktriangleright$  Skalarprodukt berechnen
Bei dieser Teilaufgabe sollst du zeigen, dass der Laserstrahl senkrecht zu der Strecke $\overline{AB}$ steht wenn er den Punkt $C$ trifft.
Zwei Vektoren stehen senkrecht aufeinander, wenn das Skalarprodukt der beiden Vektoren gleich Null ist.
Demnach muss gelten:
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{AB}\circ\overrightarrow{LC}&=& 0 \end{array}$
$\blacktriangleright$  Koordinaten des Punktes $\boldsymbol{D}$ bestimmen
Nun sollst du die Koordinaten des Punktes $D$ bestimmen, der auf der Strecke $\overline{AB}$ liegt und den gleichen Abstand zu Punkt $L$ hat wie der Punkt $B$.
Du hast zuvor gezeigt, dass die Strecke $\overline{AB}$ senkrecht auf der Strecke $\overline{LC}$ steht. Das bedeutet, dass der Punkt $D$ genauso weit von dem Punkt $C$ entfernt ist wie Punkt $D$.
Die Koordinaten des Punktes $D$ erhältst du also, indem du zu dem Ortsvektor des Punktes $C$ den Richtungsvektor $\overrightarrow{BC}$ addierst.
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a) $\blacktriangleright$  Einstellung des Laserstrahls bestimmen
Bestimme den für die Einstellung des Laserstrahls notwendigen Richtungsvektor. Der Laserstrahl zeigt vom Punkt $L$ zum Punkt $P$. Der Laserstrahl hat dementsprechend die Richtung des Verbindungsvektors $\overrightarrow{LP}$. Berechne diesen Vektor, um die gesuchte Richtung zu erhalten:
$\overrightarrow{LP}=\overrightarrow{OP}-\overrightarrow{OL}= \begin{pmatrix}7\\ 20\\ 4\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}3\\ 2\\ 5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4\\ 18\\ -1\end{pmatrix}$
Damit verläuft der Laserstrahl in Richtung des Vektors $\begin{pmatrix}4\\ 18\\ -1\end{pmatrix}$.
$\blacktriangleright$  Auftreffpunkt $\boldsymbol{A}$ nachweisen
Wird die Richtung des Laserstrahls durch den Vektor $\begin{pmatrix}4\\ 6\\ -1\end{pmatrix}$ beschrieben, so kannst du mit dem Punkt $L$, die Gerade aufstellen, die den Laserstrahl beschreibt. Für alle Punkte der rechten Wand ist die $y$-Koordinate $20$.
Wähle für die Gerade $h$, die den Laserstrahl beschreibt, den Ortsvektor von $L$ als Stützvektor sowie den angegebenen Richtungsvektor. Damit lautet eine Geradengleichung von $h$:
$h: \overrightarrow{x}= \begin{pmatrix}3\\ 2\\ 5\end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix}4\\ 6\\ -1\end{pmatrix}$
Prüfe nun ob es einen Wert für den Parameter $t$ gibt, sodass der Punkt $A(15\mid20\mid2)$ auf der Geraden $h$ liegt.
$\begin{array}[t]{rlll} \overrightarrow{OA}&=&\begin{pmatrix}3\\ 2\\ 5\end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix}4\\ 6\\ -1\end{pmatrix} \\[5pt] \begin{pmatrix}15\\20\\2\end{pmatrix}&=& \begin{pmatrix}3\\ 2\\ 5\end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix}4\\ 6\\ -1\end{pmatrix}&\quad \scriptsize \text{Versuch mit}\; k=3 \\[5pt] \begin{pmatrix}15\\20\\2\end{pmatrix}&=& \begin{pmatrix}3\\ 2\\ 5\end{pmatrix} + 3 \cdot \begin{pmatrix}4\\ 6\\ -1\end{pmatrix}\\[5pt] \begin{pmatrix}15\\20\\2\end{pmatrix}&=& \begin{pmatrix}3\\ 2\\ 5\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}12\\ 18\\ -3\end{pmatrix}\\[5pt] \begin{pmatrix}15\\20\\2\end{pmatrix}&=&\begin{pmatrix}15\\20\\2\end{pmatrix} \end{array}$
Der Punkt $A$ liegt auf der Geraden $h$. Da die $y$-Koordinate den Wert $20$ hat, liegt der Punkt auch auf der rechten Wand. Das Laserlicht trifft demnach im Punkt $A$ auf die rechte Wand.
$\blacktriangleright$  Abstand des Punktes $\boldsymbol{A}$ vom Laser berechnen
Berechne nun den Abstand des Punktes $A$ vom Laser $L$. Der Laser ist am Punkt $L$ befestigt, somit beschreibt der Verbindungsvektor $\overrightarrow{AL}$ die Strecke $\overline{AL}$. Berechne die Länge des Vektors $\overrightarrow{AL}$, um den gesuchten Abstand zu berechnen.
$\begin{array}[t]{rll} \left|\overrightarrow{AL}\right|&=&\left|\overrightarrow{OL}-\overrightarrow{OA}\right| \\[5pt] &=& \left| \begin{pmatrix}3\\ 2\\ 5 \end{pmatrix}- \begin{pmatrix}15\\ 20\\ 2\end{pmatrix}\right| \\[5pt] &=& \left| \begin{pmatrix}-12\\ -18\\ 3 \end{pmatrix}\right| \\[5pt] &=& \sqrt{(-12)^2 + (-18)^2 + 3^2} \\[5pt] &\approx& 21,84 \end{array}$
Der Abstand vom Punkt $A$ zum Laser beträgt ca. $21,84 \text{ m}$.
b) $\blacktriangleright$  Skalarprodukt berechnen
Bei dieser Teilaufgabe sollst du zeigen, dass der Laserstrahl senkrecht zu der Strecke $\overline{AB}$ steht wenn er den Punkt $C$ trifft.
Zwei Vektoren stehen senkrecht aufeinander, wenn das Skalarprodukt der beiden Vektoren gleich Null ist.
Demnach muss gelten:
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{AB}\circ\overrightarrow{LC}&=& 0 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{AB}\circ\overrightarrow{LC} &=& 0\\[5pt] \left(\begin{pmatrix}15\\0\\2\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}15\\20\\2\end{pmatrix}\right)\circ\left(\begin{pmatrix}15\\2\\2\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}3\\2\\5\end{pmatrix}\right)&=&0\\[5pt] \begin{pmatrix}0\\-20\\0\end{pmatrix}\circ\begin{pmatrix}12\\0\\-3\end{pmatrix}&=&0\\[5pt] 0\cdot12+(-20)\cdot0+0\cdot(-3)&=&0\\[5pt] 0&=&0 \end{array}$
Der Laserstrahl verläuft senkrecht zu der Strecke $\overline{AB}$, wenn er den Punkt $C$ trifft.
$\blacktriangleright$  Koordinaten des Punktes $\boldsymbol{D}$ bestimmen
Nun sollst du die Koordinaten des Punktes $D$ bestimmen, der auf der Strecke $\overline{AB}$ liegt und den gleichen Abstand zu Punkt $L$ hat wie der Punkt $B$.
Du hast zuvor gezeigt, dass die Strecke $\overline{AB}$ senkrecht auf der Strecke $\overline{LC}$ steht. Das bedeutet, dass der Punkt $D$ genauso weit von dem Punkt $C$ entfernt ist wie Punkt $D$.
Die Koordinaten des Punktes $D$ erhältst du also, indem du zu dem Ortsvektor des Punktes $C$ den Richtungsvektor $\overrightarrow{BC}$ addierst.
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{OD}&=&\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{BC} \\[5pt] &=&\begin{pmatrix}15\\2\\2\end{pmatrix}+\left(\begin{pmatrix}15\\2\\2\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}15\\0\\2\end{pmatrix}\right)\\[5pt] &=&\begin{pmatrix}15\\2\\2\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0\\2\\0\end{pmatrix}\\[5pt] &=&\begin{pmatrix}15\\4\\2\end{pmatrix} \end{array}$
Der Punkt $D$ hat die Koordinaten $D(15\mid4\mid2)$.
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a) $\blacktriangleright$  Einstellung des Laserstrahls bestimmen
Bestimme den für die Einstellung des Laserstrahls notwendigen Richtungsvektor. Der Laserstrahl zeigt vom Punkt $L$ zum Punkt $P$. Der Laserstrahl hat dementsprechend die Richtung des Verbindungsvektors $\overrightarrow{LP}$. Berechne diesen Vektor, um die gesuchte Richtung zu erhalten:
$\overrightarrow{LP}=\overrightarrow{OP}-\overrightarrow{OL}= \begin{pmatrix}7\\ 20\\ 4\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}3\\ 2\\ 5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4\\ 18\\ -1\end{pmatrix}$
Damit verläuft der Laserstrahl in Richtung des Vektors $\begin{pmatrix}4\\ 18\\ -1\end{pmatrix}$.
$\blacktriangleright$  Auftreffpunkt $\boldsymbol{A}$ nachweisen
Wird die Richtung des Laserstrahls durch den Vektor $\begin{pmatrix}4\\ 6\\ -1\end{pmatrix}$ beschrieben, so kannst du mit dem Punkt $L$, die Gerade aufstellen, die den Laserstrahl beschreibt. Für alle Punkte der rechten Wand ist die $y$-Koordinate $20$.
Wähle für die Gerade $h$, die den Laserstrahl beschreibt, den Ortsvektor von $L$ als Stützvektor sowie den angegebenen Richtungsvektor. Damit lautet eine Geradengleichung von $h$:
$h: \overrightarrow{x}= \begin{pmatrix}3\\ 2\\ 5\end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix}4\\ 6\\ -1\end{pmatrix}$
Prüfe nun ob es einen Wert für den Parameter $t$ gibt, sodass der Punkt $A(15\mid20\mid2)$ auf der Geraden $h$ liegt.
$\begin{array}[t]{rlll} \overrightarrow{OA}&=&\begin{pmatrix}3\\ 2\\ 5\end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix}4\\ 6\\ -1\end{pmatrix} \\[5pt] \begin{pmatrix}15\\20\\2\end{pmatrix}&=& \begin{pmatrix}3\\ 2\\ 5\end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix}4\\ 6\\ -1\end{pmatrix}&\quad \scriptsize \text{Versuch mit}\; k=3 \\[5pt] \begin{pmatrix}15\\20\\2\end{pmatrix}&=& \begin{pmatrix}3\\ 2\\ 5\end{pmatrix} + 3 \cdot \begin{pmatrix}4\\ 6\\ -1\end{pmatrix}\\[5pt] \begin{pmatrix}15\\20\\2\end{pmatrix}&=& \begin{pmatrix}3\\ 2\\ 5\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}12\\ 18\\ -3\end{pmatrix}\\[5pt] \begin{pmatrix}15\\20\\2\end{pmatrix}&=&\begin{pmatrix}15\\20\\2\end{pmatrix} \end{array}$
Der Punkt $A$ liegt auf der Geraden $h$. Da die $y$-Koordinate den Wert $20$ hat, liegt der Punkt auch auf der rechten Wand. Das Laserlicht trifft demnach im Punkt $A$ auf die rechte Wand.
$\blacktriangleright$  Abstand des Punktes $\boldsymbol{A}$ vom Laser berechnen
Berechne nun den Abstand des Punktes $A$ vom Laser $L$. Der Laser ist am Punkt $L$ befestigt, somit beschreibt der Verbindungsvektor $\overrightarrow{AL}$ die Strecke $\overline{AL}$. Berechne die Länge des Vektors $\overrightarrow{AL}$, um den gesuchten Abstand zu berechnen.
$\begin{array}[t]{rll} \left|\overrightarrow{AL}\right|&=&\left|\overrightarrow{OL}-\overrightarrow{OA}\right| \\[5pt] &=& \left| \begin{pmatrix}3\\ 2\\ 5 \end{pmatrix}- \begin{pmatrix}15\\ 20\\ 2\end{pmatrix}\right| \\[5pt] &=& \left| \begin{pmatrix}-12\\ -18\\ 3 \end{pmatrix}\right| \\[5pt] &=& \sqrt{(-12)^2 + (-18)^2 + 3^2} \\[5pt] &\approx& 21,84 \end{array}$
Der Abstand vom Punkt $A$ zum Laser beträgt ca. $21,84 \text{ m}$.
b) $\blacktriangleright$  Skalarprodukt berechnen
Bei dieser Teilaufgabe sollst du zeigen, dass der Laserstrahl senkrecht zu der Strecke $\overline{AB}$ steht wenn er den Punkt $C$ trifft.
Zwei Vektoren stehen senkrecht aufeinander, wenn das Skalarprodukt der beiden Vektoren gleich Null ist.
Demnach muss gelten:
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{AB}\circ\overrightarrow{LC}&=& 0 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{AB}\circ\overrightarrow{LC} &=& 0\\[5pt] \left(\begin{pmatrix}15\\0\\2\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}15\\20\\2\end{pmatrix}\right)\circ\left(\begin{pmatrix}15\\2\\2\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}3\\2\\5\end{pmatrix}\right)&=&0\\[5pt] \begin{pmatrix}0\\-20\\0\end{pmatrix}\circ\begin{pmatrix}12\\0\\-3\end{pmatrix}&=&0\\[5pt] 0\cdot12+(-20)\cdot0+0\cdot(-3)&=&0\\[5pt] 0&=&0 \end{array}$
Der Laserstrahl verläuft senkrecht zu der Strecke $\overline{AB}$, wenn er den Punkt $C$ trifft.
$\blacktriangleright$  Koordinaten des Punktes $\boldsymbol{D}$ bestimmen
Nun sollst du die Koordinaten des Punktes $D$ bestimmen, der auf der Strecke $\overline{AB}$ liegt und den gleichen Abstand zu Punkt $L$ hat wie der Punkt $B$.
Du hast zuvor gezeigt, dass die Strecke $\overline{AB}$ senkrecht auf der Strecke $\overline{LC}$ steht. Das bedeutet, dass der Punkt $D$ genauso weit von dem Punkt $C$ entfernt ist wie Punkt $D$.
Die Koordinaten des Punktes $D$ erhältst du also, indem du zu dem Ortsvektor des Punktes $C$ den Richtungsvektor $\overrightarrow{BC}$ addierst.
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{OD}&=&\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{BC} \\[5pt] &=&\begin{pmatrix}15\\2\\2\end{pmatrix}+\left(\begin{pmatrix}15\\2\\2\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}15\\0\\2\end{pmatrix}\right)\\[5pt] &=&\begin{pmatrix}15\\2\\2\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0\\2\\0\end{pmatrix}\\[5pt] &=&\begin{pmatrix}15\\4\\2\end{pmatrix} \end{array}$
Der Punkt $D$ hat die Koordinaten $D(15\mid4\mid2)$.
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