Analysis

Aufgabe 1A

Um Regenwasser zu speichern, wird es kontrolliert in ein unterirdisches Auffangbecken geleitet, das ein Fassungsvermögen von $800 \; \text{m}^3$ hat. Für ein bestimmtes Regenereignis wird das Volumen des Regenwassers im Auffangbecken für $0 \leq x \leq 5$ modellhaft durch die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $v$ mit $v(x)=-\frac{5}{2}x^4+\frac{50}{3} x^3+190$ beschrieben.

Dabei ist $x$ die seit Beobachtungsbeginn vergangene Zeit in Stunden $(\text{h})$ und $v(x)$ das Wasservolumen in Kubikmetern $(\text{m}^3).$

Begründe, dass zu Beobachtungsbeginn das Wasservolumen im Auffangbecken $190 \; \text{m}^3$ beträgt, und berechne das Volumen des Wassers, das in den ersten $1,5 \; \text{h}$ nach Beobachtungsbeginn in das Auffangbecken fließt.

(3 BE)

Betrachtet wird außerdem die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $r$ mit $r(x)=10 x^2 \cdot(5-x)=50 x^2-10 x^3.$

Zeige, dass die momentane Änderungsrate des Volumens des Wassers im Auffangbecken in $\frac{\text{m}^3}{\text{h}}$ für den betrachteten Zeitraum durch $r$ beschrieben werden kann.

(3 BE)

Weise anhand des gegebenen Terms von $r$ nach, dass für den durch $0 \lt x \lt 5$ beschriebenen Zeitraum das Volumen des Wassers im Auffangbecken zu keinem Zeitpunkt abnimmt.

(3 BE)

Es wird geplant, zwei Stunden nach Beobachtungsbeginn eine Pumpe einzuschalten, die Wasser aus dem Auffangbecken mit einer konstanten Rate von $100 \; \frac{\text{m}^3}{\text{h}}$ abpumpt. Die momentane Zuflussrate des Regenwassers in das Auffangbecken wird dabei weiterhin durch $r$ beschrieben.

Die folgende Gleichung hat im Sachzusammenhang eine Lösung $t.$

$190+\displaystyle\int_{0}^{2}r(x)\;\mathrm dx+\displaystyle\int_{2}^{t}(r(x)-100)\;\mathrm dx=400$

Gib die Bedeutung von $t$ im Sachzusammenhang an und erläutere den Aufbau der Gleichung in Bezug auf diese Bedeutung.

(5 BE)

Gegeben sind die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$ mit $f(x)=x^2 \cdot(x-5)^2$ und die Stelle $x_W=\frac{15-5 \sqrt{3}}{6}.$

Es gilt: $f^{\prime}(x)=2 x \cdot(x-5) \cdot(2 x-5)=4 x^3-30 x^2+50 x$

Weise nach, dass $x_W$ eine Wendestelle von $f$ ist.

(3 BE)

Es gibt im ersten Quadranten ein Flächenstück, das von der $y$ -Achse, dem Graphen von $f$ und der Gerade parallel zur $x$ -Achse, die durch den Wendepunkt $\left(x_W \mid f(x_W)\right)$ verläuft, eingeschlossen wird.

Berechne den Inhalt dieses Flächenstücks.

(3 BE)

Die Abbildung 1 zeigt den Graphen von $f.$

Die Punkte $A(u \mid f(u)), B(1 \mid 0), C(4 \mid 0)$ und $D(5-u \mid f(5-u))$ sind für jeden Wert von $u$ mit $0 \lt u \lt 2,5$ die Eckpunkte eines symmetrischen Trapezes.

Skizziere das symmetrische Trapez für $u=1,5$ in der Abbildung 1.

Ermittle einen Term, der den Flächeninhalt des symmetrischen Trapezes in Abhängigkeit von $u$ angibt.

Abbildung 1

(5 BE)

Aufgabe 1B

Gegeben ist die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$ mit $f(x)=\dfrac{1}{100} \cdot(x-6) \cdot e^{-0,17 x+6}.$

Gib die Koordinaten des Schnittpunkts des Graphen von $f$ mit der $y$ -Achse sowie das Verhalten von $f$ für $x \rightarrow-\infty$ und $x \rightarrow+\infty$ an.

(3 BE)

Im Folgenden wird die Lösung zu einer Aufgabenstellung in Bezug auf den Graphen von $f$ dargestellt:

$f^{\prime \prime}(x)=0 \Leftrightarrow x=\frac{302}{17}$
$f^{\prime \prime \prime}\left(\frac{302}{17}\right) \neq 0$
$f^{\prime}\left(\frac{302}{17}\right) \lt 0$

Gib die sich daraus ergebenden Eigenschaften des Graphen von $f$ im Punkt $\left(\frac{302}{17}\mid \left( f\left(\frac{302}{17}\right)\right.\right)$ an.

(3 BE)

Der Graph von $f$ schließt mit den beiden Koordinatenachsen eine Fläche ein. Die Fläche soll durch eine Gerade, die parallel zur $y$ -Achse verläuft, in zwei gleich große Teilflächen zerlegt werden.

Bestimme eine Gleichung dieser Gerade.

(4 BE)

Ein Mobilfunkanbieter betreibt eine Hotline, die an jedem Tag $24$ Stunden erreichbar ist. Die Wartezeit eines Anrufers dieser Hotline ist abhängig vom Zeitpunkt des Anrufs. Durch die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $w$ mit $w(x)=100 \cdot f(x)=(x-6) \cdot e^{-0,17 x+6}$ kann die Wartezeit an einem bestimmten Tag für die Zeitpunkte von $8: 00$ Uhr bis einschließlich $22: 00$ Uhr beschrieben werden. Dabei bezeichnet $x$ den Zeitpunkt des Anrufs in Stunden nach $0:00$ Uhr und $w(x)$ die Wartezeit in Sekunden. Nimmt $w$ beispielsweise an der Stelle $10,25$ den Wert von etwa $300$ an, so beträgt die Wartezeit für einen Anruf um $10: 15$ Uhr etwa $300$ Sekunden.

Berechne die Wartezeit für einen Anruf um $9:00$ Uhr.

Ein anderer Anruf erfolgt später als $9:00$ Uhr und hat eine Wartezeit von $200$ Sekunden.

Bestimme die Uhrzeit dieses Anrufs auf eine Minute genau.

(4 BE)

Ermittle rechnerisch für den Zeitraum von $8: 00$ Uhr bis einschließlich $22: 00$ Uhr den Zeitpunkt eines Anrufs, zu dem die Wartezeit am längsten ist, und den Zeitpunkt eines Anrufs, zu dem die Wartezeit am kürzesten ist.

(6 BE)

Die Abbildung zeigt den Graphen von $w$ für $8 \leq x \leq 22.$
Für reelle Zahlen $a$ und $b$ mit $8 \leq a \lt b \leq 22$ gilt:

Wenn $\displaystyle\int_{a}^{b}(250-w(x))\;\mathrm dx=0$ ist, so beträgt die durchschnittliche Wartezeit für Anrufe zwischen den durch $a$ und $b$ gegebenen Zeitpunkten $250$ Sekunden.

Bestimme durch geeignete Eintragungen in der Abbildung jeweils einen möglichen Wert für $a$ und $b$ , sodass zwischen den zugehörigen Zeitpunkten die durchschnittliche Wartezeit $250$ Sekunden beträgt.

Beschreibe dein Vorgehen.

Graf mit x- und y-Achse, zeigt eine Kurve mit ansteigendem und fallendem Verlauf.

Abbildung 1

(5 BE)

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Aufgabe 1A

Volumen zum Zeitpunkt $\boldsymbol{x=0}$ berechnen

$v(0)=190 \left[\text{m}^3 \right]$

Volumen des Wassers in den ersten $\boldsymbol{1,5}$ Stunden berechnen

$\begin{array}[t]{rlll} v(1,5)-190 &=& \dfrac{1395}{32} \\[5pt] &\approx& 44 \left[\text{m}^3 \right] \end{array}$

Es fließen etwa $44 \; \text{m}^3$ Wasser in das Auffangbecken.

$\(\begin{array}[t]{rlll} v$

Im Intervall $0\lt x\lt 5$ sind sowohl $10 x^2$ als auch $5-x$ stets positiv. Daher ist auch $r(x)$ immer positiv. Das bedeutet, dass $v$ in diesem Bereich streng monoton steigt - das Wasservolumen also zu keinem Zeitpunkt abnimmt.

Zu Beginn der Pumpentätigkeit befindet sich ein Wasservolumen von $400 \;\text{m}^3$ im Becken. Dieses Anfangsvolumen wird durch die ersten beiden Summanden erfasst. Die Funktion $r(x)-100$ beschreibt, wie schnell sich das Wasservolumen unter dem Einfluss der laufenden Pumpe verändert - angegeben in Kubikmetern pro Stunde.

Der Term $\displaystyle\int_2^t(r(x)-100) \; \mathrm{d} x$ gibt den Zuwachs oder Verlust an Wasser im Zeitraum ab dem Einschalten der Pumpe (ab $x=2$ ) bis zum gewählten Zeitpunkt $t$ an.

Berechnung der zweiten und dritten Ableitung von $\boldsymbol{f(x)}$ mithilfe des GTR

$\(\begin{array}[t]{rlll} f$

Berechnung der notwendigen Bedingung

$\(f$

Berechnung der hinreichenden Bedingung

$\(f$

Da beide Bedingungen erfüllt sind, ist die Stelle $x_W$ eine Wendestelle von $f.$

Die Fläche wird von der Geraden, die durch den Wendepunkt $x_W$ verläuft, und vom Graphen der Funktion $f$ eingeschlossen. Somit muss die Fläche unter $f$ von der Fläche unter der Geraden im Intervall $\left[ 0; \frac{15-5\sqrt{3}}{6}\right]$ abgezogen werden.

Durch Ausrechnen mit dem GTR folgt:

$\begin{array}[t]{rlll} \displaystyle\int_0^{\frac{15-5 \sqrt{3}}{6}}\left(f\left(\frac{15-5 \sqrt{3}}{6}\right)-f(x)\right) \;\mathrm{d} x &\approx& 11,4 \end{array}$

Das symmetrische Trapez einzeichnen

Abbildung

Term, der den Flächeninhalt angibt, bestimmen

Da die $y$ -Koordinaten identisch sind, reicht es aus, den Abstand zwischen den $x$ -Koordinaten zu berechnen.

Länge der Strecke $\overline{BC}$ berechnen

$\begin{array}[t]{rlll} \overline{BC} &=& C-B \\[5pt] &=& 4-1 \\[5pt] &=& 3 \end{array}$

Länge der Strecke $\overline{AD}$ berechnen

$\begin{array}[t]{rlll} \overline{AD} &=& D-A \\[5pt] &=& 5-u-u\\[5pt] &=& 5-2u \end{array}$

Die Höhe des Trapezes ergibt sich aus dem Funktionswert an der Stelle $u$ , also $f(u)$ . Die beiden parallelen Seiten des Trapezes haben die Längen 3 (für $\overline{B C}$ ) und $5-2 u$ (für $\overline{A D}$ ). Daraus folgt für den Flächeninhalt des Trapezes die Formel:

$\dfrac{1}{2} \cdot(3+5-2 u) \cdot f(u)$

Aufgabe 1B

Koordinaten des Schnittpunktes mit der $\boldsymbol{y}$ -Achse bestimmen

Mit der graphischen Darstellung des GTR folgt:

$\left(0 \left\lvert\,-\frac{3}{50} \text{e}^6\right.\right)$

Verhalten gegen Unendlich bestimmen

$\begin{array}[t]{rlll} \lim\limits_{x\to+\infty}f(x) &=& 0 \\[5pt] \lim\limits_{x\to-\infty}f(x) &=& -\infty \end{array}$

Der Graph von $f$ hat im Punkt $\left(\frac{302}{17} \left\lvert\, f\left(\frac{302}{17}\right)\right.\right)$ wegen der notwendigen Bedingung $\(f$ und wegen der hinreichenden Bedingung $\(f$ einen Wendepunkt und wegen $\(f$ eine negative Steigung.

Da $f$ bei $x=6$ eine Nullstelle hat, liegt die betrachtete Fläche im Intervall $0 \leq a \leq 6.$

Gesucht ist eine Gerade parallel zur $y$ -Achse, die diese Fläche in zwei gleich große Teilflächen teilt. Das bedeutet: Gesucht ist ein Wert $a \in[0 ; 6]$ , für den gilt:

$\displaystyle\int_0^6 f(x) \;\mathrm{d} x=2 \cdot \displaystyle\int_0^a f(x) \;\mathrm{d} x$

Auflösen mit dem GTR nach $a$ liefert die Lösung $a_1 \approx 1,39.$ Damit ist $x=1,39$ eine Gleichung der Gerade.

Wartezeit um $\boldsymbol{9:00}$ Uhr berechnen

$w(9) \approx 262$

Die Wartezeit beträgt etwa $262$ Sekunden.

Uhrzeit des Anrufs bestimmen

$w(x)=200$ liefert $x \approx 19,39.$

$0,39 \cdot 60 \approx 23$

Der gesuchte Zeitpunkt ist etwa $19: 23$ Uhr

Die längste Wartezeit ist beim lokalen Maximum der Funktion $w.$
Die kürzeste Wartezeit ist entweder um $8:00$ Uhr oder um $22:00$ Uhr.

Ableiten von $w(x)$ mit dem GTR liefert:

$w^{\prime}(x)=\mathrm{e}^{-0,17 x+6} \cdot(2,02-0,17 x)$

Nullsetzen der Ableitung mithilfe des GTR liefert als Maximum des Graphen:

$x=\dfrac{202}{17} \approx 11,88$

Einsetzen von $x$ in $w(x)$ liefert für den Funktionswert:

$w\left(\dfrac{202}{17}\right) \approx 314,81$

Durch systematisches Ausprobieren folgt für das Minimum des Graphen:

$\begin{array}[t]{rlll} w(8) &\approx& 207,09 \\[5pt] w(22) &\approx& 153,33 \\[5pt] \end{array}$

Uhrzeit zum Zeitpunkt der längsten Wartezeit berechnen

$0,88\cdot 60\approx53$

Somit ist die längste Wartezeit um etwa $11:53$ Uhr und die kürzeste Wartezeit um $22:00$ Uhr.

Mögliche Werte für $\boldsymbol{a}$ und $\boldsymbol{b}$ bestimmen

Durch geeignete Eintragungen folgt für die Werte $a \approx 14$ und $b \approx 19,5.$

Vorgehen beschreiben

Als erstes wird der Ausschnitt der Gerade $g: y=250$ eingezeichnet. Dann werden auf der $x$ -Achse die Stellen $a$ und $b$ markiert, sodass die Fläche zwischen dem Graphen von $w,$ der Gerade $g$ sowie den Geraden mit den Gleichungen $x=a$ und $x=b$ aus zwei Flächenstücken gleichen Inhalts besteht.

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