Inhalt
Smarter Learning!
Inhalt
Bundesland, Schulart & Klasse
Bundesland, Schulart & Klasse
NI, Kooperative Gesamtschule
Baden-Württemberg
Berufl. Gymnasium (AG)
Berufl. Gymnasium (BTG)
Berufl. Gymnasium (EG)
Berufl. Gymnasium (SGG)
Berufl. Gymnasium (TG)
Berufl. Gymnasium (WG)
Berufskolleg - FH
Gemeinschaftsschule
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Hauptschule
Realschule
Werkrealschule
Bayern
Fachoberschule
Gymnasium
Mittelschule
Realschule
Berlin
Gymnasium
Integrierte Sekundarschule
Brandenburg
Gesamtschule
Gymnasium
Oberschule
Bremen
Gymnasium (G8)
Oberschule (G9)
Hamburg
Gymnasium
Stadtteilschule
Hessen
Berufl. Gymnasium
Gesamtschule
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Haupt- und Realschule
Hauptschule
Realschule
Mecklenburg-Vorpommern
Gesamtschule
Gymnasium
Niedersachsen
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Integrierte Gesamtschule
Kooperative Gesamtschule
Oberschule
Realschule
NRW
Gesamtschule
Gymnasium
Hauptschule
Realschule
Sekundarschule
Rheinland-Pfalz
Gesamtschule
Gymnasium
Saarland
Gemeinschaftsschule
Gesamtschule
Gymnasium
Realschule
Sachsen
Gymnasium
Oberschule
Sachsen-Anhalt
Fachgymnasium
Gesamtschule
Gymnasium
Sekundarschule
Schleswig-Holstein
Gemeinschaftsschule
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Thüringen
Berufl. Gymnasium
Gemeinschaftsschule
Gesamtschule
Gymnasium
Regelschule
Klasse 13
Klasse 13
Klasse 12
Klasse 11
Klasse 10
Klasse 9
Klasse 8
Klasse 7
Klasse 6
Klasse 5
Fach & Lernbereich
Fachauswahl: Mathe
Mathe
Deutsch
Englisch
Bio
Chemie
Physik
Geschichte
Geo
Lernbereich
Digitales Schulbuch
Abitur eA (GTR)
Abitur eA (CAS)
Abitur gA (GTR)
Abitur gA (CAS)
Realschulabschluss
Hauptschulabschluss 10 E-...
Hauptschulabschluss 10 G-...
Hauptschulabschluss 9 E-K...
Hauptschulabschluss 9 G-K...
VERA 8 E-Kurs
VERA 8 G-Kurs
Abitur gA (CA...
Prüfung
wechseln
Abitur eA (GTR)
Abitur eA (CAS)
Abitur gA (GTR)
Abitur gA (CAS)
Realschulabschluss
Hauptschulabschluss 10 E-Kurs
Hauptschulabschluss 10 G-Kurs
Hauptschulabschluss 9 E-Kurs
Hauptschulabschluss 9 G-Kurs
VERA 8 E-Kurs
VERA 8 G-Kurs
Smarter Learning!
Schneller lernen mit deinem SchulLV-Zugang
  • Zugang zu über 1.000 Original-Prüfungsaufgaben mit Lösungen von 2004-2019
  • Alle Bundesländer und Schularten, empfohlen von über 2.300 Schulen in Deutschland
  • Digitales Schulbuch: Über 1.700 Themen mit Aufgaben und Lösungen
  • Monatlich kündbar, lerne solange du möchtest
Jetzt Zugang freischalten!

Aufgabe 1A

Aufgaben
Download als Dokument:PDFWord
Eine Isolierkanne besteht aus einer Kunststoffhülle sowie einem Glaseinsatz und soll modellmäßig beschrieben werden.
Die Kanne wird entsprechend der Abbildung 1 der Anlage im Koordinatensystem liegend betrachtet.
Außen wird der obere Rand der Hülle für $-11 \leq x \leq 11$ beschrieben durch eine Funktion $f$ mit $f(x)=\frac{1}{512} \cdot x^3 - \frac{3}{8} \cdot x + 6$; $x$ und $f(x)$ in Zentimetern.
Aufgabe 1A
Aufgabe 1A
a)  Die parallel zur $y$-Achse gemessene Wandstärke der Hülle beträgt $2\,\text{mm}$.
Begründe, dass innen der obere Rand der Hülle für $-11 \leq x \leq 11$ durch eine Funktion $g$ mit $g(x)=\frac{1}{512} \cdot x^3 - \frac{3}{8} \cdot x + 5,8$ beschrieben wird; $x$ und $g(x)$ in Zentimetern.
Bestimme den Innendurchmesser der Hülle am Boden und den maximalen Innendurchmesser der Hülle.
Die Hülle erhält einen zylinderförmigen Einsatz aus Glas wie in der Abbildung 1 dargestellt. Seine Wandstärke beträgt $3\,\text{mm}$. Der Einsatz reicht vom Boden bis $1\,\text{cm}$ unterhalb der Öffnung.
Berechne das maximale Füllvolumen des Einsatzes in Litern.
Berechne die Höhe, bis zu der der Einsatz gefüllt werden muss, damit er $0,75\,\text{Liter}$ Flüssigkeit enthält.
(16P)
b)  An der Hülle wird ein Griff angebracht. Der Rand des Griffs wird für $-8 \leq x \leq 8$ beschrieben durch eine Funktion $h$ mit $h(x)=-\frac{3}{64} \cdot x^2 - \frac{1}{4} \cdot x + 9$; $x$ und $h(x)$ in Zentimetern.
Zeige, dass der Übergang zwischen der Modellierung von Griff und Hülle an der Stelle $x=-8$ zwar sprungfrei aber nicht knickfrei ist.
Der obere Rand der Hülle hat im Punkt $B\,(8 \mid 4)$ eine waagerechte Tangente.
Bestimme die Größe des Winkels $\alpha$, unter dem der Griff am Punkt $B$ auf den oberen Rang der Hülle trifft.
Zeige:
  • Der parallel zur $y$-Achse gemessene Abstand zwischen Griff und oberem Rand der Hülle ist stets kleiner als $3,5\,\text{cm}$.
  • Der Flächeninhalt des Querschnitts zwischen Griff und Hülle beträgt mindestens $30\,\text{cm}^2$ .
(14P)
c)  Unabhängig vom Sachzusammenhang wird eine ganzrationale Funktion $p$ dritten Grades betrachtet.
In der Abbildung 2 der Anlage ist der Graph der zugehörigen Ableitungsfunktion $p'$ dargestellt.
Begründe mithilfe der Abbildung 2, dass die Funktion $p$ zwar eine Wendestelle, aber keine Extrema besitzt.
(4P)

Material

Anlage
Grafische Darstellung zu den Teilaufgaben a), b) und c)
Aufgabe 1A
Aufgabe 1A
Abbildung 1: Querschnitt der Kanne
Graph zu Teilaufgabe d)
Aufgabe 1A
Aufgabe 1A
Abbildung 2: Graph der Ableitungsfunktion $p'$
Weiter lernen mit SchulLV-PLUS!
Jetzt freischalten
Infos zu SchulLV PLUS
Ich habe bereits einen Zugang
Zugangscode einlösen
Login
Tipps
Download als Dokument:PDF
a) $\blacktriangleright$ Funktion $\boldsymbol{g}$ begründen
Der äußere obere Rand der Isolierkanne wird durch die Funktion $f=\dfrac{1}{512}x^3-\dfrac{3}{8}x+6$ beschrieben. Dabei werden die Werte $f(x)$ in Zentimeter angegeben.
Die Kanne hat eine Wandstärke von $2\,\text{mm}$. Dies entspricht $0,2\,\text{m}$. Die Wandstärke wurde parallel zur $y$-Achse gemessen. Verschiebst du die Funktion $f$ um $0,2$ in negative $y$-Richtung, so erhältst du die Funktion $g$.
$\blacktriangleright$ Innendurchmesser $\boldsymbol{d_{Boden}}$ am Boden bestimmen
Der Boden der Kanne wird durch $x=-11$ beschrieben. Die Funktion $g$ beschreibt an jedem Punkt den Innenradius $r$ der Kanne. Der Durchmesser $d$ entspricht:
d=2r
Um nun den Innendurchmesser $d_{Boden}$ zu berechnen setzt du den Wert $x=-11$ in die Funktion $g$ ein und multiplizierst mit $2$.
Es gilt:
$\begin{array}[t]{rll} d_{Boden}&=&2\cdot g(-11) \end{array}$
Dies kannst du mit dem CAS berechnen.
$\blacktriangleright$ Maximalen Innendurchmesser $\boldsymbol{d_{max}}$ bestimmen
Um den maximalen Innendurchmesser zu berechnen, benötigst du den Hochpunkt des Graphen von $g$. Der $y$-Wert des Hochpunktes entspricht dem maximalen Radius der Kanne. Mit der Beziehung $d=2r$ kannst du dann den maximalen Durchmesser berechnen.
Für ein Maximum der Funktion $g$ müssen folgende Bedingungen gelten:
  • Notwendige Bedingung: $g'(x_E)=0$
  • Hinreichende Bedingung: $g''(x_E)<0$
Du kannst so vorgehen:
  1. Bilde die erste und zweite Ableitung
  2. Prüfe die notwendige Bedingung
  3. Prüfe die hinreichende Bedingung
  4. Berechne den maximalen Durchmesser
$\blacktriangleright$ Maximales Füllvolumen $\boldsymbol{V}$ berechnen
Du sollst nun das maximale Füllvolumen berechnen, das in den zylinderförmigen Einsatz gefüllt werden kann. Das Volumen eines Zylinders berechnest du wie folgt:
$V=\pi\cdot r^2\cdot h$
Um das maximale Füllvolumen zu berechnen brauchst du daher den Radius und die Höhe des Zylinders.
Die Höhe $h$ des Zylinders entspricht der Höhe $h_{Kanne}$ der Kanne abzüglich einem Zenitmeter, da der Einsatz $1\,\text{cm}$ unterhalb der Öffnung endet. Außerdem musst du von der Höhe $h_{Kanne}$ noch die Wandstärke von $3\,\text{mm}$ subtrahieren. Die Kanne wird in dem Bereich $-11\leq x\leq11$ beschrieben. Die Kanne ist demnach $22\,\text{cm}$ hoch.
Der Einsatz berührt die Kanne an dem tiefstem Punkt der Funktion $g$. Berechne daher den Tiefpunkt der Funktion $g$. Beachte auch hier die Wandstärke.
Für ein Minimum von $g$ gelten folgende Bedingung:
  • Notwendige Bedingung: $g'(x_E)=0$
  • Hinreichende Bedingung: $g''(x_E)>0$
Aus der vorherigen Teilaufgabe weißt du, dass die Funktion $g$ an der Stelle $x_2=8$ ein Minimum hat.
Du kannst nun so vorgehen:
  1. Berechne die Höhe $h$ des Einsatzes
  2. Berechne die vollständigen Koordinaten des Tiefpunktes $T$
  3. Berechne das Volumen $V$
Du sollst das Füllvolumen in Liter angeben. Beachte daher: $1\,\text{L}=1000\,\text{cm}^3$
$\blacktriangleright$ Höhe $\boldsymbol{h}$ berechnen
Der Einsatz soll nun nur mit $0,75$ Litern befüllt werden. Um die Höhe $h$ zu berechnen, bis zu der der Einsatz befüllt ist, löst du die Formel zur Berechnung des Volumens nach der Höhe auf. Anschießend kannst du die Werte für den Radius $r=3,5\,\text{cm}$ und $V=750\,\text{cm}^3$ in die Formel einsetzen.
b) $\blacktriangleright$ Übergang begründen
Es wird ein Griff an die Kanne angebracht, der durch die Funktion $h(x)=-\dfrac{3}{64}x^2-\dfrac{1}{4}x+9$ in dem Bereich $-8\leq x\leq8$ beschrieben wird.
Damit der Übergang zwischen Kanne und Griff sprungfrei verläuft, müssen die Funktionen $f$ und $h$ an der Stelle $x=-8$ den gleichen Funktionswert haben. Ist der Übergang nicht knickfrei, so dürfen die Funktionen an der Stelle $x=-8$ nicht die selbe Steigung haben. Die Werte der ersten Ableitungen müssen sich daher an den zu untersuchenden Stellen unterscheiden.
Dies kannst du mit deinem CAS überprüfen.
$\blacktriangleright$ Winkel $\boldsymbol{\alpha}$ bestimmen
Um den Winkel $\alpha$ zu bestimmen, unter welchem der Griff am Punkt $B(8\mid4)$ auf den oberen Rand der Hülle trifft, berechnest du den Steigungswinkel der Funktion $h$ an der Stelle $8$.
Der Steigungswinkel wird wie folgt berechnet:
$\tan\alpha=m$
Dabei ist $m$ die Steigung in dem zu untersuchenden Punkt. In unserem Fall also $h'(8)$. Berechne diesen Wert mit Hilfe des CAS und setze ihn anschließend in die Formel ein.
$\blacktriangleright$ Behauptungen bestätigen
1. Behauptung: Der Abstand (parallel zur $\boldsymbol{y}$-Achse) zwischen Griff und Hülle ist immer kleiner als $\boldsymbol{3,5}$
Um diese Behauptung zu überprüfen, bildest du die Differenzfunktion $d(x)=h(x)-f(x)$. Untersuche dann die Funktion $d$ mit dem CAS auf Extremstellen. Verläuft die Funktion immer unter $3,5$, so ist der Abstand stets kleiner als $3,5$.
$\begin{array}[t]{rll} d(x)&=&h(x)-f(x)\\[5pt] d(x)&=&-\dfrac{1}{512}x^3-\dfrac{3}{64}x^2+\dfrac{1}{8}x+3 \end{array}$
2. Behauptung: Der Flächeninhalt $\boldsymbol{A}$ beträgt mindestens $\boldsymbol{30\,\textbf{cm}^2}$
Die Fläche zwischen der Funktion $d$ und der $x$-Achse stellt den Raum zwischen dem Griff und der Hülle dar.
Um die Behauptung zu überprüfen, berechnest du das Integral der Funktion $d$ im Bereich $-8\leq x\leq8$.
c) $\blacktriangleright$ Wendestelle und Extrema begründen
Bei dieser Teilaufgabe sollst du begründen, dass die Funktion $p$ eine Wendestelle, aber kein Extrema besitzt. In der Aufgabe hast du den Graphen $p'$ der ersten Ableitung von $p$ gegeben.
An dem Graph von $p'$ erkennst du, ob $p'$ Nullstellen oder Extremstellen hat. Damit kannst du auf die Wendestellen und Extremstellen von $p$ schließen.
Weiter lernen mit SchulLV-PLUS!
Jetzt freischalten
Infos zu SchulLV PLUS
Ich habe bereits einen Zugang
Zugangscode einlösen
Login
Lösungen TI
Download als Dokument:PDF
a) $\blacktriangleright$ Funktion $\boldsymbol{g}$ begründen
Der äußere obere Rand der Isolierkanne wird durch die Funktion $f=\dfrac{1}{512}x^3-\dfrac{3}{8}x+6$ beschrieben. Dabei werden die Werte $f(x)$ in Zentimeter angegeben.
Die Kanne hat eine Wandstärke von $2\,\text{mm}$. Dies entspricht $0,2\,\text{cm}$. Die Wandstärke wurde parallel zur $y$-Achse gemessen. Verschiebst du die Funktion $f$ um $0,2$ in negative $y$-Richtung, so erhältst du die Funktion $g$.
$\begin{array}[t]{rlll} f(x)&=& \dfrac{1}{512}x^3-\dfrac{3}{8}x+6\quad &\scriptsize \text{Verschiebung in negative y-Richtung} \\[5pt] f^*(x)&=&\dfrac{1}{512}x^3-\dfrac{3}{8}x+6-0,2\\[5pt] &=&\dfrac{1}{512}x^3-\dfrac{3}{8}x+5,8\\[5pt] &=&g(x) \end{array}$
Die Funktion $g$ beschreibt den inneren oberen Rand der Isolierkanne.
$\blacktriangleright$ Innendurchmesser $\boldsymbol{d_{Boden}}$ am Boden bestimmen
Der Boden der Kanne wird durch $x=-11$ beschrieben. Die Funktion $g$ beschreibt an jedem Punkt den Innenradius $r$ der Kanne. Der Durchmesser $d$ entspricht:
d=2r
Um nun den Innendurchmesser $d_{Boden}$ zu berechnen setzt du den Wert $x=-11$ in die Funktion $g$ ein und multiplizierst mit $2$.
Es gilt:
$\begin{array}[t]{rll} d_{Boden}&=&2\cdot g(-11) \end{array}$
Dies kannst du mit dem CAS berechnen.
Aufgabe 1A
Aufgabe 1A
Der Innendurchmesser $d_{Boden}$ am Boden beträgt etwa $14,7\,\text{cm}$.
$\blacktriangleright$ Maximalen Innendurchmesser $\boldsymbol{d_{max}}$ bestimmen
Um den maximalen Innendurchmesser zu berechnen, benötigst du den Hochpunkt des Graphen von $g$. Der $y$-Wert des Hochpunktes entspricht dem maximalen Radius der Kanne. Mit der Beziehung $d=2r$ kannst du dann den maximalen Durchmesser berechnen.
Für ein Maximum der Funktion $g$ müssen folgende Bedingungen gelten:
  • Notwendige Bedingung: $g'(x_E)=0$
  • Hinreichende Bedingung: $g''(x_E)<0$
Mit dem CAS kannst du so vorgehen:
  1. Prüfe die notwendige Bedingung
  2. Prüfe die hinreichende Bedingung
  3. Berechne den maximalen Durchmesser
1. Schritt: Notwendige Bedingung prüfen
Definiere zunächst die Funktion $g$ in dem CAS. Mit folgendem Befehl kannst du die erste Ableitung $g'$ definieren:
4: Analysis $\rightarrow$ 1: Ableitung
Mit dem solve-Befehl kannst du die notwendige Bedingung überprüfen.
Aufgabe 1A
Aufgabe 1A
Die Funktion $g$ hat an den Stellen $x_1=-8$ und $x_2=8$ potentielle Extremstellen.
2. Schritt: Hinreichende Bedingung prüfen
Definiere dir nun die zweite Ableitung $g''$ mit Hilfe des CAS und setze die potentielle Extremstellen in die zweiten Ableitung $g''$ ein.
Aufgabe 1A
Aufgabe 1A
Die Funktion $g$ hat an der Stelle $x_1=-8$ ein Maximum und an der Stelle $x_2=8$ ein Minimum.
4. Schritt: Maximalen Durchmesser berechnen
Setze nun $x=-8$ in die Funktion $g$ ein, um den maximalen Radius zu berechnen. Anschließend multiplizierst du den Radius mit $2$ um den maximalen Durchmesser zu berechnen.
Aufgabe 1A
Aufgabe 1A
Der maximale Durchmesser beträgt $15,6\,\text{cm}$.
$\blacktriangleright$ Maximales Füllvolumen $\boldsymbol{V}$ berechnen
Du sollst nun das maximale Füllvolumen berechnen, das in den zylinderförmigen Einsatz gefüllt werden kann. Das Volumen eines Zylinders berechnest du wie folgt:
$V=\pi\cdot r^2\cdot h$
Um das maximale Füllvolumen zu berechnen brauchst du daher den Radius und die Höhe des Zylinders.
Die Höhe $h$ des Zylinders entspricht der Höhe $h_{Kanne}$ der Kanne abzüglich einem Zenitmeter, da der Einsatz $1\,\text{cm}$ unterhalb der Öffnung endet. Außerdem musst du von der Höhe $h_{Kanne}$ noch die Wandstärke von $3\,\text{mm}$ subtrahieren. Die Kanne wird in dem Bereich $-11\leq x\leq11$ beschrieben. Die Kanne ist demnach $22\,\text{cm}$ hoch.
Der Einsatz berührt die Kanne an dem tiefstem Punkt der Funktion $g$. Berechne daher den Tiefpunkt der Funktion $g$. Beachte auch hier die Wandstärke.
Für ein Minimum von $g$ gelten folgende Bedingung:
  • Notwendige Bedingung: $g'(x_E)=0$
  • Hinreichende Bedingung: $g''(x_E)>0$
Aus der vorherigen Teilaufgabe weißt du, dass die Funktion $g$ an der Stelle $x_2=8$ ein Minimum hat.
Du kannst nun so vorgehen:
  1. Berechne die Höhe $h$ des Einsatzes
  2. Berechne die vollständigen Koordinaten des Tiefpunktes $T$
  3. Berechne das Volumen $V$
Du sollst das Füllvolumen in Liter angeben. Beachte daher: $1\,\text{L}=1000\,\text{cm}^3$
1. Schritt: Höhe $\boldsymbol{h}$ berechnen
Die Höhe berechnet sich wie folgt:
$\begin{array}[t]{rll} h&=&h_{Kanne}-1\,\text{cm}-0,3\,\text{cm} \\[5pt] h &=&22\,\text{cm}-1\,\text{cm}-0,3\,\text{cm}\\[5pt] h&=&20,7\,\text{cm} \end{array}$
Der Einsatz ist $20,7\,\text{cm}$ hoch.
2. Schritt: Koordinaten des Tiefpunktes $\boldsymbol{T}$ berechnen
Du weißt, dass die Funktion $g$ an der Stelle $x_2=8$ ein Minimum hat. Setze nun den Wert $x_2=8$ in die Funktion $g$ ein.
Aufgabe 1A
Aufgabe 1A
Der Tiefpunkt $T$ hat die Koordinaten $T(8\mid3,8)$.
Demnach hat der Einsatz folgenden Radius $r$.
$\begin{array}[t]{rll} r&=&3,8\,\text{cm}-0,3\,\text{cm} \\[5pt] r &=&3,5\,\text{cm} \end{array}$
3. Schritt: Volumen $\boldsymbol{V}$ berechnen
Setze nun die Werte in die Formel zur Berechnung des Volumens ein.
$\begin{array}[t]{rll} V&=&\pi\cdot r^2\cdot h \\[5pt] V &=&\pi\cdot (3,5\,\text{cm})^2\cdot 20,7\,\text{cm}\\[5pt] V&=&796,63\,\text{cm}^3 \end{array}$
In den Einsatz passen etwa $800\,\text{cm}^3$. Dies entspricht einem maximalen Volumen von $0,8$ Litern.
$\blacktriangleright$ Höhe $\boldsymbol{h}$ berechnen
Der Einsatz soll nun nur mit $0,75$ Litern befüllt werden. Um die Höhe $h$ zu berechnen, bis zu der der Einsatz befüllt ist, löst du die Formel zur Berechnung des Volumens nach der Höhe auf. Anschießend kannst du die Werte für den Radius $r=3,5\,\text{cm}$ und $V=750\,\text{cm}^3$ in die Formel einsetzen.
$\begin{array}[t]{rlll} V&=&\pi\cdot r^2\cdot h& \quad \scriptsize \mid\; :\pi\\[5pt] \dfrac{V}{\pi} &=&r^2\cdot h& \quad \scriptsize \mid\; :r^2\\[5pt] \dfrac{V}{\pi\cdot r^2} &=&h \\[5pt] h&=&\dfrac{750\,\text{cm}^3}{\pi\cdot (3,5\,\text{cm})^2}\\[5pt] h&=&19,5\,\text{cm} \end{array}$
Der Einsatz ist bis zu einer Höhe von ca. $19,5\,\text{cm}$ mit Flüssigkeit befüllt.
b) $\blacktriangleright$ Übergang begründen
Es wird ein Griff an die Kanne angebracht, der durch die Funktion $h(x)=-\dfrac{3}{64}x^2-\dfrac{1}{4}x+9$ in dem Bereich $-8\leq x\leq8$ beschrieben wird.
Damit der Übergang zwischen Kanne und Griff sprungfrei verläuft, müssen die Funktionen $f$ und $h$ an der Stelle $x=-8$ den gleichen Funktionswert haben. Ist der Übergang nicht knickfrei, so dürfen die Funktionen an der Stelle $x=-8$ nicht die selbe Steigung haben. Die Werte der ersten Ableitungen müssen sich daher an den zu untersuchenden Stellen unterscheiden.
Dies kannst du mit deinem CAS überprüfen. Definiere zunächst die Funktionen $f$ und $h$. Den Befehl für die erste Ableitung an einem Punkt findest du im Menü unter:
4: Analysis $\rightarrow$ 2: Numerische Ableitung an einem Punkt
Aufgabe 1A
Aufgabe 1A
Aufgabe 1A
Aufgabe 1A
Es gilt:
$\begin{array}[t]{rll} f(-8)&=&h(-8)\\[5pt] f'(-8) &\neq&h'(-8) \end{array}$
Der Übergang von dem Griff auf die Kanne ist an der Stelle $x=-8$ demnach sprungfrei aber nicht knickfrei.
$\blacktriangleright$ Winkel $\boldsymbol{\alpha}$ bestimmen
Um den Winkel $\alpha$ zu bestimmen, unter welchem der Griff am Punkt $B(8\mid4)$ auf den oberen Rand der Hülle trifft, berechnest du den Steigungswinkel der Funktion $h$ an der Stelle $8$.
Der Steigungswinkel wird wie folgt berechnet:
$\tan\alpha=m$
Dabei ist $m$ die Steigung in dem zu untersuchenden Punkt. In unserem Fall also $h'(8)$. Berechne diesen Wert mit Hilfe des CAS und setze ihn anschließend in die Formel ein.
Aufgabe 1A
Aufgabe 1A
Die Steigung ist an der Stelle $8$ gleich $-1$.
Einsetzen ergibt:
$\begin{array}[t]{rlll} \tan\alpha&=&h'(-8)\\[5pt] \tan\alpha &=&-1& \quad \scriptsize \mid\; \tan^{-1}\\[5pt] \alpha&=&-45^{\circ} \end{array}$
Der Griff trifft in einem Winkel von $45^{\circ}$ auf die Hülle der Kanne.
$\blacktriangleright$ Behauptungen bestätigen
1. Behauptung: Der Abstand (parallel zur $\boldsymbol{y}$-Achse) zwischen Griff und Hülle ist immer kleiner als $\boldsymbol{3,5}$
Um diese Behauptung zu überprüfen, bildest du die Differenzfunktion $d(x)=h(x)-f(x)$. Untersuche dann die Funktion $d$ mit dem CAS auf Extremstellen. Verläuft die Funktion immer unter $3,5$, so ist der Abstand stets kleiner als $3,5$.
$\begin{array}[t]{rll} d(x)&=&h(x)-f(x)\\[5pt] d(x)&=&-\dfrac{3}{64}x^2-\dfrac{1}{4}x+9-\left(\dfrac{1}{512}x^3-\dfrac{3}{8}x+6\right)\\[5pt] d(x)&=&-\dfrac{1}{512}x^3-\dfrac{3}{64}x^2+\dfrac{1}{8}x+3 \end{array}$
Die Funktion $d$ kannst du im Graph-Modus zeichnen lassen. Du erkennst, dass die Funktion im Bereich $-8\leq x\leq8$ ein Maximum hat. Dieses kannst du dir unter folgendem Befehl anzeigen lassen.
6: Graph analysieren $\rightarrow$ 3: Maximum
Aufgabe 1A
Aufgabe 1A
Der Graph von $d$ hat einen Hochpunkt mit den Koordinaten $H(1,24\mid3,08)$. Damit ist der Abstand zwischen Griff und Hülle stets kleiner als $3,5$.
2. Behauptung: Der Flächeninhalt $\boldsymbol{A}$ beträgt mindestens $\boldsymbol{30\,\textbf{cm}^2}$
Die Fläche zwischen der Funktion $d$ und der $x$-Achse stellt den Raum zwischen dem Griff und der Hülle dar.
Um die Behauptung zu überprüfen, berechnest du das Integral der Funktion $d$ im Bereich $-8\leq x\leq8$.
Dies kannst du mit Hilfe des folgenden CAS-Befehls berechnen:
4: Analysis $\rightarrow$ 3: Integral
Aufgabe 1A
Aufgabe 1A
Die Fläche ist $32\,\text{cm}^2$ groß. Damit ist die Behauptung korrekt.
c) $\blacktriangleright$ Wendestelle und Extrema begründen
Bei dieser Teilaufgabe sollst du begründen, dass die Funktion $p$ eine Wendestelle, aber kein Extrema besitzt. In der Aufgabe hast du den Graphen $p'$ der ersten Ableitung von $p$ gegeben.
Die Ableitungsfunktion $p'$ hat eine Extremstelle. Das bedeutet, dass die Funktion $p$ eine Wendestelle hat.
Damit die Funktion $p$ ein Extrema hat, müsste die Ableitungsfunktion eine Nullstelle haben. Der Graph der Funktion $p'$ verläuft jedoch nur überhalb der $x$-Achse. Die Funktion $p$ hat demnach keine Extrema.
Weiter lernen mit SchulLV-PLUS!
Jetzt freischalten
Infos zu SchulLV PLUS
Ich habe bereits einen Zugang
Zugangscode einlösen
Login
Lösungen Casio
Download als Dokument:PDF
a) $\blacktriangleright$ Funktion $\boldsymbol{g}$ begründen
Der äußere obere Rand der Isolierkanne wird durch die Funktion $f=\dfrac{1}{512}x^3-\dfrac{3}{8}x+6$ beschrieben. Dabei werden die Werte $f(x)$ in Zentimeter angegeben.
Die Kanne hat eine Wandstärke von $2\,\text{mm}$. Dies entspricht $0,2\,\text{m}$. Die Wandstärke wurde parallel zur $y$-Achse gemessen. Verschiebst du die Funktion $f$ um $0,2$ in negative $y$-Richtung, so erhältst du die Funktion $g$.
$\begin{array}[t]{rlll} f(x)&=& \dfrac{1}{512}x^3-\dfrac{3}{8}x+6\quad &\scriptsize \text{Verschiebung in negative y-Richtung} \\[5pt] f^*(x)&=&\dfrac{1}{512}x^3-\dfrac{3}{8}x+6-0,2\\[5pt] &=&\dfrac{1}{512}x^3-\dfrac{3}{8}x+5,8\\[5pt] &=&g(x) \end{array}$
Die Funktion $g$ beschreibt den inneren oberen Rand der Isolierkanne.
$\blacktriangleright$ Innendurchmesser $\boldsymbol{d_{Boden}}$ am Boden bestimmen
Der Boden der Kanne wird durch $x=-11$ beschrieben. Die Funktion $g$ beschreibt an jedem Punkt den Innenradius $r$ der Kanne. Der Durchmesser $d$ entspricht:
d=2r
Um nun den Innendurchmesser $d_{Boden}$ zu berechnen setzt du den Wert $x=-11$ in die Funktion $g$ ein und multiplizierst mit $2$.
Es gilt:
$\begin{array}[t]{rll} d_{Boden}&=&2\cdot g(-11) \end{array}$
Dies kannst du mit dem CAS berechnen. Definiere dazu zunächst die Funktion $g$ im Graph-Modus.
Aufgabe 1A
Aufgabe 1A
Aufgabe 1A
Aufgabe 1A
Der Innendurchmesser $d_{Boden}$ am Boden beträgt etwa $14,7\,\text{cm}$.
$\blacktriangleright$ Maximalen Innendurchmesser $\boldsymbol{d_{max}}$ bestimmen
Um den maximalen Innendurchmesser zu berechnen, benötigst du den Hochpunkt des Graphen von $g$. Der $y$-Wert des Hochpunktes entspricht dem maximalen Radius der Kanne. Mit der Beziehung $d=2r$ kannst du dann den maximalen Durchmesser berechnen.
Für ein Maximum der Funktion $g$ müssen folgende Bedingungen gelten:
  • Notwendige Bedingung: $g'(x_E)=0$
  • Hinreichende Bedingung: $g''(x_E)<0$
Du kannst so vorgehen:
  1. Bilde die erste und zweite Ableitung
  2. Prüfe die notwendige Bedingung
  3. Prüfe die hinreichende Bedingung
  4. Berechne den maximalen Durchmesser
1. Schritt: Ableitungen bilden
$\begin{array}[t]{rll} g(x)&=&\dfrac{1}{512}x^3-\dfrac{3}{8}x+5,8 \\[5pt] g'(x)&=&\dfrac{3}{512}x^2-\dfrac{3}{8}\\[5pt] g''(x)&=&\dfrac{6}{512}x \end{array}$
2. Schritt: Notwendige Bedingung prüfen
Aufgabe 1A
Aufgabe 1A
Die Funktion $g$ hat an den Stellen $x_1=-8$ und $x_2=8$ potentielle Extremstellen.
3. Schritt: Hinreichende Bedingung prüfen
Setze nun die potentielle Extremstellen in die zweiten Ableitung $g''$ ein.
$\begin{array}[t]{rlll} g''(x_1)&=&\dfrac{6}{512}x \\[5pt] g''(-8) &=&\dfrac{6}{512}\cdot(-8)\\[5pt] &=&-\dfrac{3}{32}&\quad \scriptsize <0 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rlll} g''(x_2)&=&\dfrac{6}{512}x \\[5pt] g''(8) &=&\dfrac{6}{512}\cdot8\\[5pt] &=&\dfrac{3}{32}&\quad \scriptsize >0 \end{array}$
Die Funktion $g$ hat an der Stelle $x_1=-8$ ein Maximum und an der Stelle $x_2=8$ ein Minimum.
4. Schritt: Maximalen Durchmesser berechnen
Setze nun $x=-8$ in die Funktion $g$ ein, um den maximalen Radius zu berechnen. Anschließend multiplizierst du den Radius mit $2$ um den maximalen Durchmesser zu berechnen. Als $Y1$ hast du aus der vorherigen Teilaufgabe bereits die Funktion $g$ gespeichert.
Aufgabe 1A
Aufgabe 1A
Der maximale Durchmesser beträgt $15,6\,\text{cm}$.
$\blacktriangleright$ Maximales Füllvolumen $\boldsymbol{V}$ berechnen
Du sollst nun das maximale Füllvolumen berechnen, das in den zylinderförmigen Einsatz gefüllt werden kann. Das Volumen eines Zylinders berechnest du wie folgt:
$V=\pi\cdot r^2\cdot h$
Um das maximale Füllvolumen zu berechnen brauchst du daher den Radius und die Höhe des Zylinders.
Die Höhe $h$ des Zylinders entspricht der Höhe $h_{Kanne}$ der Kanne abzüglich einem Zenitmeter, da der Einsatz $1\,\text{cm}$ unterhalb der Öffnung endet. Außerdem musst du von der Höhe $h_{Kanne}$ noch die Wandstärke von $3\,\text{mm}$ subtrahieren. Die Kanne wird in dem Bereich $-11\leq x\leq11$ beschrieben. Die Kanne ist demnach $22\,\text{cm}$ hoch.
Der Einsatz berührt die Kanne an dem tiefstem Punkt der Funktion $g$. Berechne daher den Tiefpunkt der Funktion $g$. Beachte auch hier die Wandstärke.
Für ein Minimum von $g$ gelten folgende Bedingung:
  • Notwendige Bedingung: $g'(x_E)=0$
  • Hinreichende Bedingung: $g''(x_E)>0$
Aus der vorherigen Teilaufgabe weißt du, dass die Funktion $g$ an der Stelle $x_2=8$ ein Minimum hat.
Du kannst nun so vorgehen:
  1. Berechne die Höhe $h$ des Einsatzes
  2. Berechne die vollständigen Koordinaten des Tiefpunktes $T$
  3. Berechne das Volumen $V$
Du sollst das Füllvolumen in Liter angeben. Beachte daher: $1\,\text{L}=1000\,\text{cm}^3$
1. Schritt: Höhe $\boldsymbol{h}$ berechnen
Die Höhe berechnet sich wie folgt:
$\begin{array}[t]{rll} h&=&h_{Kanne}-1\,\text{cm}-0,3\,\text{cm} \\[5pt] h &=&22\,\text{cm}-1\,\text{cm}-0,3\,\text{cm}\\[5pt] h&=&20,7\,\text{cm} \end{array}$
Der Einsatz ist $20,7\,\text{cm}$ hoch.
2. Schritt: Koordinaten des Tiefpunktes $\boldsymbol{T}$ berechnen
Du weißt, dass die Funktion $g$ an der Stelle $x_2=8$ ein Minimum hat. Setze nun den Wert $x_2=8$ in die Funktion $g$ ein.
Aufgabe 1A
Aufgabe 1A
Der Tiefpunkt $T$ hat die Koordinaten $T(8\mid3,8)$.
Demnach hat der Einsatz folgenden Radius $r$.
$\begin{array}[t]{rll} r&=&3,8\,\text{cm}-0,3\,\text{cm} \\[5pt] r &=&3,5\,\text{cm} \end{array}$
3. Schritt: Volumen $\boldsymbol{V}$ berechnen
Setze nun die Werte in die Formel zur Berechnung des Volumens ein.
$\begin{array}[t]{rll} V&=&\pi\cdot r^2\cdot h \\[5pt] V &=&\pi\cdot (3,5\,\text{cm})^2\cdot 20,7\,\text{cm}\\[5pt] V&=&796,63\,\text{cm}^3 \end{array}$
In den Einsatz passen etwa $800\,\text{cm}^3$. Dies entspricht einem maximalen Volumen von $0,8$ Litern.
$\blacktriangleright$ Höhe $\boldsymbol{h}$ berechnen
Der Einsatz soll nun nur mit $0,75$ Litern befüllt werden. Um die Höhe $h$ zu berechnen, bis zu der der Einsatz befüllt ist, löst du die Formel zur Berechnung des Volumens nach der Höhe auf. Anschießend kannst du die Werte für den Radius $r=3,5\,\text{cm}$ und $V=750\,\text{cm}^3$ in die Formel einsetzen.
$\begin{array}[t]{rlll} V&=&\pi\cdot r^2\cdot h& \quad \scriptsize \mid\; :\pi\\[5pt] \dfrac{V}{\pi} &=&r^2\cdot h& \quad \scriptsize \mid\; :r^2\\[5pt] \dfrac{V}{\pi\cdot r^2} &=&h \\[5pt] h&=&\dfrac{750\,\text{cm}^3}{\pi\cdot (3,5\,\text{cm})^2}\\[5pt] h&=&19,5\,\text{cm} \end{array}$
Der Einsatz ist bis zu einer Höhe von ca. $19,5\,\text{cm}$ mit Flüssigkeit befüllt.
b) $\blacktriangleright$ Übergang begründen
Es wird ein Griff an die Kanne angebracht, der durch die Funktion $h(x)=-\dfrac{3}{64}x^2-\dfrac{1}{4}x+9$ in dem Bereich $-8\leq x\leq8$ beschrieben wird.
Damit der Übergang zwischen Kanne und Griff sprungfrei verläuft, müssen die Funktionen $f$ und $h$ an der Stelle $x=-8$ den gleichen Funktionswert haben. Ist der Übergang nicht knickfrei, so dürfen die Funktionen an der Stelle $x=-8$ nicht die selbe Steigung haben. Die Werte der ersten Ableitungen müssen sich daher an den zu untersuchenden Stellen unterscheiden.
Dies kannst du mit deinem CAS überprüfen. Definiere zunächst die Funktionen $f$, $h$. Wir definieren die Funktion $f$ als $Y1$ und die Funktion $h$ als $Y2$. Die erste Ableitung $f'$ wird unter $Y3$ und $h'$ unter $Y4$ gespeichert.
Aufgabe 1A
Aufgabe 1A
Aufgabe 1A
Aufgabe 1A
Es gilt:
$\begin{array}[t]{rll} f(-8)&=&h(-8)\\[5pt] f'(-8) &\neq&h'(-8) \end{array}$
Der Übergang von dem Griff auf die Kanne ist an der Stelle $x=-8$ demnach sprungfrei aber nicht knickfrei.
$\blacktriangleright$ Winkel $\boldsymbol{\alpha}$ bestimmen
Um den Winkel $\alpha$ zu bestimmen, unter welchem der Griff am Punkt $B(8\mid4)$ auf den oberen Rand der Hülle trifft, berechnest du den Steigungswinkel der Funktion $h$ an der Stelle $8$.
Der Steigungswinkel wird wie folgt berechnet:
$\tan\alpha=m$
Dabei ist $m$ die Steigung in dem zu untersuchenden Punkt. In unserem Fall also $h'(8)$. Berechne diesen Wert mit Hilfe des CAS und setze ihn anschließend in die Formel ein. Die Funktion $h'$ hast du bereits als $Y4$ in deinem CAS gespeichert.
Aufgabe 1A
Aufgabe 1A
Die Steigung ist an der Stelle $8$ gleich $-1$.
Einsetzen ergibt:
$\begin{array}[t]{rlll} \tan\alpha&=&h'(-8)\\[5pt] \tan\alpha &=&-1& \quad \scriptsize \mid\; \tan^{-1}\\[5pt] \alpha&=&-45^{\circ} \end{array}$
Der Griff trifft in einem Winkel von $45^{\circ}$ auf die Hülle der Kanne.
$\blacktriangleright$ Behauptungen bestätigen
1. Behauptung: Der Abstand (parallel zur $\boldsymbol{y}$-Achse) zwischen Griff und Hülle ist immer kleiner als $\boldsymbol{3,5}$
Um diese Behauptung zu überprüfen, bildest du die Differenzfunktion $d(x)=h(x)-f(x)$. Untersuche dann die Funktion $d$ mit dem GTR auf Extremstellen. Verläuft die Funktion immer unter $3,5$, so ist der Abstand stets kleiner als $3,5$.
$\begin{array}[t]{rll} d(x)&=&h(x)-f(x)\\[5pt] d(x)&=&-\dfrac{3}{64}x^2-\dfrac{1}{4}x+9-\left(\dfrac{1}{512}x^3-\dfrac{3}{8}x+6\right)\\[5pt] d(x)&=&-\dfrac{1}{512}x^3-\dfrac{3}{64}x^2+\dfrac{1}{8}x+3 \end{array}$
Die Funktion $d$ kannst du im Graph-Modus zeichnen lassen. Du erkennst, dass die Funktion im Bereich $-8\leq x\leq8$ ein Maximum hat. Dieses kannst du dir unter folgendem Befehl anzeigen lassen.
Analysis $\rightarrow$ G-Solv $\rightarrow$ Max
Aufgabe 1A
Aufgabe 1A
Der Graph von $d$ hat einen Hochpunkt mit den Koordinaten $H(1,24\mid3,08)$. Damit ist der Abstand zwischen Griff und Hülle stets kleiner als $3,5$.
2. Behauptung: Der Flächeninhalt $\boldsymbol{A}$ beträgt mindestens $\boldsymbol{30\,\textbf{cm}^2}$
Die Fläche zwischen der Funktion $d$ und der $x$-Achse stellt den Raum zwischen dem Griff und der Hülle dar.
Um die Behauptung zu überprüfen, berechnest du das Integral der Funktion $d$ im Bereich $-8\leq x\leq8$.
Aufgabe 1A
Aufgabe 1A
Die Fläche ist $32\,\text{cm}^2$ groß. Damit ist die Behauptung korrekt.
c) $\blacktriangleright$ Wendestelle und Extrema begründen
Bei dieser Teilaufgabe sollst du begründen, dass die Funktion $p$ eine Wendestelle, aber kein Extrema besitzt. In der Aufgabe hast du den Graphen $p'$ der ersten Ableitung von $p$ gegeben.
Die Ableitungsfunktion $p'$ hat eine Extremstelle. Das bedeutet, dass die Funktion $p$ eine Wendestelle hat.
Damit die Funktion $p$ ein Extrema hat, müsste die Ableitungsfunktion eine Nullstelle haben. Der Graph der Funktion $p'$ verläuft jedoch nur überhalb der $x$-Achse. Die Funktion $p$ hat demnach keine Extrema.
Weiter lernen mit SchulLV-PLUS!
Jetzt freischalten
Infos zu SchulLV PLUS
Ich habe bereits einen Zugang
Zugangscode einlösen
Login
Folge uns auf
SchulLV als App