Aufgabe 1C
Gegeben ist die in 
definierte Funktion 
mit 
Die Profillinie des Längsschnitts des Dachs wird zwischen den Punkten 
und 
modellhaft mithilfe der Funktion beschrieben.
Eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht einem Meter in der Wirklichkeit. Die
-Achse stellt den horizontalen Untergrund dar.
ein. Die Endpunkte der ersten Stütze werden im Modell durch 
und 
dargestellt.
definierte Funktion mit
a)
Gib eine Gleichung der Tangente an den Graphen von im Punkt 
an.
im Punkt an.
(2 BE)
b)
Die Ableitung von kann durch eine Gleichung der Form 
dargestellt werden.
Gib die passenden Werte von
und 
an.
kann durch eine Gleichung der Form dargestellt werden.
Gib die passenden Werte von
und an.
(3 BE)
c)
Untersuche für jede der drei folgenden Aussagen die Gültigkeit mithilfe des Graphen von 
I.
Die Funktion ist überall monoton steigend.
ist überall monoton steigend.
II.
An der Stelle 
hat die Funktion kein lokales Maximum.
hat die Funktion kein lokales Maximum.
III.
Die Tangente an den Graphen von im Punkt 
ist parallel zu zwei weiteren Tangenten an den Graphen von .
im Punkt ist parallel zu zwei weiteren Tangenten an den Graphen von .
(7 BE)
d)
Der Graph der in definierten Funktion 
mit 
ist symmetrisch bezüglich des Koordinatenursprungs.
Gib die Symmetrie des Graphen von
an und begründe deine Angabe ausgehend vom Graphen von 
Die Abbildung zeigt einen Längsschnitt eines Carports für ein Wohnmobil. Das Dach des Carports ist in Querrichtung nicht geneigt. Im Folgenden sollen die Materialstärken der Bauteile des Carports vernachlässigt werden.
definierten Funktion mit ist symmetrisch bezüglich des Koordinatenursprungs.
Gib die Symmetrie des Graphen von
an und begründe deine Angabe ausgehend vom Graphen von
(4 BE)
und modellhaft mithilfe der Funktion beschrieben.
Eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht einem Meter in der Wirklichkeit. Die
-Achse stellt den horizontalen Untergrund dar.
e)
Untersuche, ob ein Wohnmobil mit einer Länge von 
und einer Höhe von 
vollständig im Carport untergestellt werden kann.
und einer Höhe von vollständig im Carport untergestellt werden kann.
(4 BE)
f)
Die maximale Neigung von Carportdächern sollte bei 
liegen. Untersuche, ob das betrachtete Carportdach diese Eigenschaft erfüllt.
liegen. Untersuche, ob das betrachtete Carportdach diese Eigenschaft erfüllt.
(4 BE)
g)
Abgesehen von einem 
hohen Streifen unmittelbar über dem Untergrund ist der Carport auf einer Seite über seine gesamte Länge vollständig verkleidet. Die Verkleidung ist eben und vertikal angebracht.
Berechne den Inhalt der verkleideten Fläche.
Ausgehend vom selben Punkt des Untergrunds verlaufen entlang der seitlichen Verkleidung des Carports zwei geradlinige Stützen jeweils bis zum Dach. Die Stützen schließen einen Winkel mit einer Größe von hohen Streifen unmittelbar über dem Untergrund ist der Carport auf einer Seite über seine gesamte Länge vollständig verkleidet. Die Verkleidung ist eben und vertikal angebracht.
Berechne den Inhalt der verkleideten Fläche.
(4 BE)
ein. Die Endpunkte der ersten Stütze werden im Modell durch und dargestellt.
h)
Zeichne die beiden Stützen in die Abbildung ein.
Berechne die-Koordinate des Punkts, der den Endpunkt der zweiten Stütze am Dach darstellt.
Berechne die
-Koordinate des Punkts, der den Endpunkt der zweiten Stütze am Dach darstellt.
(7 BE)
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a)
Lösungsalternative 1: Mit dem Taschenrechner kann die Tangente durch den Punkt 
modelliert werden und die Tangentengleichung abgelesen werden. Es ist 
Lösungsalternative 2: Die Tangente ist eine Lineare Funktion, die durch folgenden Funktionsterm beschrieben werden kann: 
Für die Steigung der Tangente gilt: 
Durch die Punktprobe mit folgt
![\(\begin{array}[t]{rll}
0&=&-\dfrac{5}{2}\cdot 12+b &\quad \scriptsize \mid\;+30 \\[5pt]
30&=& b
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/d971d24a820f2812e895e38b04fe536f6a5dbb61f0c7e7463ca20d76bf5f42fc_light.svg)
Es ist
modelliert werden und die Tangentengleichung abgelesen werden. Es ist
Lösungsalternative 2: Die Tangente ist eine Lineare Funktion, die durch folgenden Funktionsterm beschrieben werden kann:
Für die Steigung der Tangente gilt:
Durch die Punktprobe mit folgt
Es ist
b)
Es gilt:
Außerdem gilt:
Dies führt auf das Folgende LGS:
Durch Lösen des LGS mit dem Taschenrechner ergeben sich die passenden Werte mit:
und 
![\(\begin{array}[t]{rll}
f](https://www.schullv.de/resources/formulas/633a6b5f12c5315d88df87cf32d761d50db7a1aa733ff51ce6b981b1ce4c487d_light.svg)
Dies führt auf das Folgende LGS:
Durch Lösen des LGS mit dem Taschenrechner ergeben sich die passenden Werte mit:
und
c)
- Die Aussage I ist falsch, da der Graph von
Punkte unterhalb der -Achse hat. - Die Aussage II ist richtig, da die Funktion an der Stelle 6 keine Nullstelle besitzt.
- Die Aussage III ist richtig, da der Graph von
den Graphen von dreimal schneidet.
d)
Der Graph von kann aus dem Graphen von erzeugt werden durch eine Verschiebung um 4 in negative -Richtung und um 
in negative 
-Richtung. Damit ist auch der Graph von punktsymmetrisch, und zwar bezüglich des Punktes 
kann aus dem Graphen von erzeugt werden durch eine Verschiebung um 4 in negative -Richtung und um in negative -Richtung. Damit ist auch der Graph von punktsymmetrisch, und zwar bezüglich des Punktes
e)
Für 
liefert 
die Lösung 
mit dem solve-Befehl des Taschenrechners. In Verbindung mit der Abbildung ergibt sich, dass der Carport auf einer Länge von etwa 
ausreichend hoch ist. Das Wohnmobil kann also theoretisch vollständig untergestellt werden.
liefert die Lösung mit dem solve-Befehl des Taschenrechners. In Verbindung mit der Abbildung ergibt sich, dass der Carport auf einer Länge von etwa ausreichend hoch ist. Das Wohnmobil kann also theoretisch vollständig untergestellt werden.
f)
Die maximale Neigung liegt dort vor, wo ein Maximum bzw. ein Minimum besitzt. Dieses wird mit dem Taschenrechner bestimmt.
Im Intervall wird das Funktionsminimum von bei 
angenommen und es beträgt etwa 
.
Mit einer Neigung von
erfüllt der Carport die Eigenschaft nicht.
ein Maximum bzw. ein Minimum besitzt. Dieses wird mit dem Taschenrechner bestimmt.
Im Intervall wird das Funktionsminimum von bei angenommen und es beträgt etwa .
Mit einer Neigung von
erfüllt der Carport die Eigenschaft nicht.
g)
Das Integral lässt sich mit dem solve-Befehl des Taschenrechners lösen.
Der Flächeninhalt beträgt etwa 
Der Flächeninhalt beträgt etwa
h)
![\(\begin{array}[t]{rll}
\tan (\alpha) &=& \dfrac{f(8)}{2} \\[5pt]
\alpha &\approx& 62^{\circ}
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/32fed07f20574cb8e741fa8678fe73e5d434123e8694bdf015eda9da7eececdd_light.svg)
Damit gilt für die Größe des Neigungswinkels der zweiten Stütze
![\(\begin{array}[t]{rll}
\beta &\approx& 180^\circ - 60^\circ - 62^\circ \\[5pt]
\beta &\approx& 58^\circ
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/2b8ba73d63f027e3b9e98e9b8981bdc66e1ac2a1992be386a735531f63d6acde_light.svg)
Für gilt: 
Daraus folgt mit dem solve-Befehl des Taschenrechner 