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Aufgabe 2B

Aufgaben
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Vor einer Wahl führen die drei Parteien $A$, $B$ und $C$ verschiedene Umfragen unter Wahlberechtigten durch.
a)  Partei $A$ führt eine Umfrage unter $400$ Personen durch. Die Zufallsgröße $X$, die die Anzahl der Personen beschreibt, die Partei $A$ wählen wollen, soll als binomialverteilt angenommen werden.
Es wird angenommen, dass der Wähleranteil für Partei $A$ $18\,\%$ beträgt.
Bestimme
  • die Wahrscheinlichkeit dafür, dass in der Umfrage mindestens $65$ Personen Partei $A$ wählen wollen.
  • das kleinste um den Erwartungswert von $X$ symmetrische Intervall, in dem das Ergebnis dieser Umfrage mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens $95\,\%$ liegt.
(8P)
b)  Es wird eine Umfrage unter $1.000$ Wahlberechtigten durchgeführt. $34\,\%$ der Personen geben an, Partei $B$ wählen zu wollen, $12\,\%$ der Personen geben an, Partei $C$ wählen zu wollen. Es wird behauptet, dass die beiden Parteien $B$ und $C$ zusammen mindestens $50\,\%$ der Stimmen erreichen.
Untersuche mithilfe eines Vertrauensintervalls zur Sicherheitswahrscheinlichkeit von $95\,\%$, ob diese Behauptung mit dem Ergebnis der Umfrage verträglich ist.
(5P)
c)  Es werden $50$ gleich große Stichproben simuliert. Für diese werden jeweils die zugehörigen Vertrauensintervalle für die beiden Sicherheitswahrscheinlichkeiten $70\,\%$ und $99\,\%$ berechnet.
Die Abbildungen 1 und 2 zeigen jeweils die $50$ berechneten Vertrauensintervalle als Strecken übereinander.
Gib eine Interpretation der Sicherheitswahrscheinlichkeit $70\,\%$ im Hinblick auf den unbekannten Anteil $p$ der Grundgesamtheit an.
Entscheide, welche der beiden Abbildungen zur Sicherheitswahrscheinlichkeit $70\,\%$ und welche zur Sicherheitswahrscheinlichkeit $99\,\%$ gehört.
(4P)
Aufgabe 2B
Aufgabe 2B
Abbildung 1:
$50$ Vertrauensintervalle
Aufgabe 2B
Aufgabe 2B
Abbildung 2:
$50$ Vertrauensintervalle
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a) $\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit berechnen
Eine Partei $A$ führt eine Umfrage mit $400$ Personen durch. Die Zufallsgröße $X$ ist binomialverteilt und beschreibt die Anzahl der Personen, die die Partei $A$ wählen. Da davon ausgegangen wird, dass $18\,\%$ der Personen die Partei wählen, beträgt die Erfolgswahrscheinlichkeit $p=0,18\,\%$.
Du sollst nun die Wahrscheinlichkeit bestimmen, dass mindestens $65$ Personen die Partei $A$ wählen. Gesucht ist also $P(X\geq65)$.
Dies kannst du mit dem GTR berechnen.
$\blacktriangleright$ Intervall angeben
Nun sollst du das kleinste um den Erwartungswert von $X$ symmetrische Intervall angeben, in dem das Ergebnis mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens $95\,\%$ liegt.
Dafür benötigst du die $\boldsymbol{\color{#87c800}{\sigma}}$-Regel. Diese lautet:
$\begin{array}[t]{rll} P(\mu-1,96\sigma\leq X\leq\mu+1,96\sigma)&=&0,95 \end{array}$
  • Erwartungswert $\mu=n\cdot p$
  • Standardabweichung $\sigma=\sqrt{n\cdot p\cdot q}$
  • Anzahl der Versuche $n$
  • Erfolgswahrscheinlichkeit $p$
  • Gegenwahrscheinlichleit $q=1-p$
Demnach liegt die Wahrscheinlichkeit für eine gewisse Zufallsgröße bei $95\,\%$.
Berechne nun den Erwartungswert und die Standardabweichung. Setze dann die Werte in die Formel der $\sigma$-Regel ein, um das kleinste symmetrische Intervall zu berechnen. Das Ergebnis kannst du mit dem GTR überprüfen.
b) $\blacktriangleright$ Behauptung untersuchen
Für ein Vertrauensintervall mit Sicherheitszuschlag von $95\,\%$ gilt folgendes:
$\begin{array}[t]{rlll} p-1,96\cdot\sqrt{\dfrac{p\cdot(1-p)}{n}}&\leq&h&\leq&p+1,96\cdot\sqrt{\dfrac{p\cdot(1-p)}{n}} \end{array}$
Das $h$ entspricht der Wahrscheinlichkeit die die Parteien $B$ und $C$ zusammen erreichen, also $h=0,34+0,12=0,46$. Das $p$ müsste einen Wert von $0,5$ haben, damit beide Parteien $50\,\%$ der Stimmen erreichen und die Behauptung richtig ist.
Um die Grenzen des Intervalls zu berechnen, löst du folgende Gleichungen mit dem GTR nach $p$ auf. Die Anzahl $n$ der Wahlberechtigten beträt $1000$.
$\begin{array}[t]{rll} h&\geq&p\pm1,96\cdot\sqrt{\dfrac{p\cdot(1-p)}{n}} \\[5pt] 0,46&=&p\pm1,96\cdot\sqrt{\dfrac{p\cdot(1-p)}{1000}} \end{array}$
c) $\blacktriangleright$ Sicherheitswahrscheinlichkeit von $\boldsymbol{70\,\%}$ interpretieren
Nun sollst du eine Interpretation der Sicherheitswahrscheinlichkeit von $70\,\%$ im Hinblick auf den unbekannten Anteil $p$ der Grundgesamtheit angeben. Ein Vertrauensintervall der Sicherheitswahrscheinlichkeit von $70\,\%$ enthält in $70\,\%$ der Fälle den gesuchten Wert.
$\blacktriangleright$ Abbildungen zuordnen
Du hast zwei Abbildungen gegeben, in denen jeweils die Vertrauensintervalle abgebildet sind. Diese Abbildungen sollst du nun den Sicherheitswahrscheinlichkeiten von $70\,\%$ und $99\,\%$ zuordnen.
Je höher die Sicherheitswahrscheinlichkeit eines Vertrauensintervalls ist, desto größer ist das zugehörige Vertrauensintervall. Somit ist das Vertrauensintervall der Sicherheitswahrscheinlichkeit von $99\,\%$ größer als das Vertrauensintervall mit $70\,\%$ Sicherheitswahrscheinlichkeit.
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Lösungen TI
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a) $\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit berechnen
Eine Partei $A$ führt eine Umfrage mit $400$ Personen durch. Die Zufallsgröße $X$ ist binomialverteilt und beschreibt die Anzahl der Personen, die die Partei $A$ wählen. Da davon ausgegangen wird, dass $18\,\%$ der Personen die Partei wählen, beträgt die Erfolgswahrscheinlichkeit $p=0,18$.
Du sollst nun die Wahrscheinlichkeit bestimmen, dass mindestens $65$ Personen die Partei $A$ wählen. Gesucht ist also $P(X\geq65)$. Dies kannst du über die Gegenwahrscheinlichkeit $P(X\geq65)=1-P(X\leq64)$ berechnen.
Das kannst du mit folgendem Befehl mit dem GTR berechnen:
2nd $\rightarrow$ VARS (DISTR) $\rightarrow$ B: Binomcdf
Aufgabe 2B
Aufgabe 2B
Aufgabe 2B
Aufgabe 2B
Die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens $65$ Personen die Partei wählen wollen, beträgt etwa $83,5\,\%$.
$\blacktriangleright$ Intervall angeben
Nun sollst du das kleinste um den Erwartungswert von $X$ symmetrische Intervall angeben, in dem das Ergebnis mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens $95\,\%$ liegt.
Dafür benötigst du die $\boldsymbol{\color{#87c800}{\sigma}}$-Regel. Diese lautet:
$\begin{array}[t]{rll} P(\mu-1,96\sigma\leq X\leq\mu+1,96\sigma)&=&0,95 \end{array}$
  • Erwartungswert $\mu=n\cdot p$
  • Standardabweichung $\sigma=\sqrt{n\cdot p\cdot q}$
  • Anzahl der Versuche $n$
  • Erfolgswahrscheinlichkeit $p$
  • Gegenwahrscheinlichleit $q=1-p$
Demnach liegt die Wahrscheinlichkeit für eine gewisse Zufallsgröße bei $95\,\%$.
Berechne nun den Erwartungswert und die Standardabweichung. Setze dann die Werte in die Formel der $\sigma$-Regel ein, um das kleinste symmetrische Intervall zu berechnen. Das Ergebnis kannst du mit dem GTR überprüfen.
Erwartungswert:
$\begin{array}[t]{rll} \mu&=&n\cdot p \\[5pt] &=&400\cdot 0.18\\[5pt] &=&72 \end{array}$
Standardabweichung:
$\begin{array}[t]{rll} \sigma&=&\sqrt{n\cdot p\cdot q} \\[5pt] &=&\sqrt{400\cdot 0,18\cdot (1-0,18)}\\[5pt] &=&7,68 \end{array}$
Setze nun die Werte in die Formel ein.
$\begin{array}[t]{rll} P(\mu-1,96\sigma\leq X\leq\mu+1,96\sigma)&=&0,95 \\[5pt] P(72-1,96\cdot7,68\leq X\leq72+1,96\cdot7,68)&=&0,95\\[5pt] P(57\leq X\leq87)&=&0,95 \end{array}$
Mit dem GTR kannst du dies überprüfen und schauen, ob es noch ein kleineres Intervall gibt.
Der GTR bestätigt das Ergebnis. Bei einem kleineren Intervall liegt die Wahrscheinlichkeit unter $95\,\%$.
Das kleinste um den Erwartungswert symmetrische Intervall, in dem das Ergebnis mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens $95\,\%$ liegt, lautet $[57;87]$.
b) $\blacktriangleright$ Behauptung untersuchen
Für ein Vertrauensintervall mit Sicherheitszuschlag von $95\,\%$ gilt folgendes:
$\begin{array}[t]{rlll} p-1,96\cdot\sqrt{\dfrac{p\cdot(1-p)}{n}}&\leq&h&\leq&p+1,96\cdot\sqrt{\dfrac{p\cdot(1-p)}{n}} \end{array}$
Das $h$ entspricht der Wahrscheinlichkeit die die Parteien $B$ und $C$ zusammen erreichen, also $h=0,34+0,12=0,46$. Das $p$ müsste einen Wert von $0,5$ haben, damit beide Parteien $50\,\%$ der Stimmen erreichen und die Behauptung richtig ist.
Um die Grenzen des Intervalls zu berechnen, löst du folgende Gleichungen mit dem GTR nach $p$ auf. Die Anzahl $n$ der Wahlberechtigten beträt $1000$.
$\begin{array}[t]{rll} h&\geq&p\pm1,96\cdot\sqrt{\dfrac{p\cdot(1-p)}{n}} \\[5pt] 0,46&=&p\pm1,96\cdot\sqrt{\dfrac{p\cdot(1-p)}{1000}} \end{array}$
Aufgabe 2B
Aufgabe 2B
Aufgabe 2B
Aufgabe 2B
Das Intervall lautet $[0,429;0,491]$. Da die rechte Intervallgrenze kleiner als $0,5$ ist, erreichen die Parteien $B$ und $C$ zusammen nicht $50\,\%$ der Stimmen. Die Behauptung ist also falsch.
c) $\blacktriangleright$ Sicherheitswahrscheinlichkeit von $\boldsymbol{70\,\%}$ interpretieren
Nun sollst du eine Interpretation der Sicherheitswahrscheinlichkeit von $70\,\%$ im Hinblick auf den unbekannten Anteil $p$ der Grundgesamtheit angeben. Ein Vertrauensintervall der Sicherheitswahrscheinlichkeit von $70\,\%$ enthält in $70\,\%$ der Fälle den gesuchten Wert.
Hier lässt sich sagen, dass in $70\,\%$ der Fälle der unbekannte Anteil $p$ im Vertrauensintervall liegt. Bei einer Anzahl von $50$ Stichproben, erwarten wir also, dass $p$ in $50\cdot0,7=35$ Fällen im Intervall ist.
$\blacktriangleright$ Abbildungen zuordnen
Du hast zwei Abbildungen gegeben, in denen jeweils die Vertrauensintervalle abgebildet sind. Diese Abbildungen sollst du nun den Sicherheitswahrscheinlichkeiten von $70\,\%$ und $99\,\%$ zuordnen.
Je höher die Sicherheitswahrscheinlichkeit eines Vertrauensintervalls ist, desto größer ist das zugehörige Vertrauensintervall. Somit ist das Vertrauensintervall der Sicherheitswahrscheinlichkeit von $99\,\%$ größer als das Vertrauensintervall mit $70\,\%$ Sicherheitswahrscheinlichkeit.
Bei Abbildung 1 erkennst du, dass die Vertrauensintervalle deutlich größer sind, als bei Abbildung 2. Somit gehört Abbildung 1 zu der Sicherheitswahrscheinlichkeit von $99\,\%$ und Abbildung 2 zu der mit $70\,\%$.
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a) $\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit berechnen
Eine Partei $A$ führt eine Umfrage mit $400$ Personen durch. Die Zufallsgröße $X$ ist binomialverteilt und beschreibt die Anzahl der Personen, die die Partei $A$ wählen. Da davon ausgegangen wird, dass $18\,\%$ der Personen die Partei wählen, beträgt die Erfolgswahrscheinlichkeit $p=0,18\,\%$.
Du sollst nun die Wahrscheinlichkeit bestimmen, dass mindestens $65$ Personen die Partei $A$ wählen. Gesucht ist also $P(X\geq65)$.
Dies kannst du mit folgendem Befehl im Statistics -Menü mit dem GTR berechnen:
F5: DIST $\rightarrow$ F5: Binomial $\rightarrow$ F2: Bcd
Aufgabe 2B
Aufgabe 2B
Aufgabe 2B
Aufgabe 2B
Die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens $65$ Personen die Partei wählen wollen beträgt etwa $83,5\,\%$.
$\blacktriangleright$ Intervall angeben
Nun sollst du das kleinste um den Erwartungswert von $X$ symmetrische Intervall angeben, in dem das Ergebnis mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens $95\,\%$ liegt.
Dafür benötigst du die $\boldsymbol{\color{#87c800}{\sigma}}$-Regel . Diese lautet:
$\begin{array}[t]{rll} P(\mu-1,96\sigma\leq X\leq\mu+1,96\sigma)&=&0,95 \end{array}$
  • Erwartungswert $\mu=n\cdot p$
  • Standardabweichung $\sigma=\sqrt{n\cdot p\cdot q}$
  • Anzahl der Versuche $n$
  • Erfolgswahrscheinlichkeit $p$
  • Gegenwahrscheinlichleit $q=1-p$
Demnach liegt die Wahrscheinlichkeit für eine gewisse Zufallsgröße bei $95\,\%$.
Berechne nun den Erwartungswert und die Standardabweichung. Setze dann die Werte in die Formel der $\sigma$-Regel ein, um das kleinste symmetrische Intervall zu berechnen. Das Ergebnis kannst du mit dem GTR überprüfen.
Erwartungswert:
$\begin{array}[t]{rll} \mu&=&n\cdot p \\[5pt] &=&400\cdot 0.18\\[5pt] &=&72 \end{array}$
Standardabweichung:
$\begin{array}[t]{rll} \sigma&=&\sqrt{n\cdot p\cdot q} \\[5pt] &=&\sqrt{400\cdot 0,18\cdot (1-0,18)}\\[5pt] &=&7,68 \end{array}$
Setze nun die Werte in die Formel ein.
$\begin{array}[t]{rll} P(\mu-1,96\sigma\leq X\leq\mu+1,96\sigma)&=&0,95 \\[5pt] P(72-1,96\cdot7,68\leq X\leq72+1,96\cdot7,68)&=&0,95\\[5pt] P(57\leq X\leq87)&=&0,95 \end{array}$
Mit dem GTR kannst du dies überprüfen und schauen, ob es noch ein kleineres Intervall gibt.
Aufgabe 2B
Aufgabe 2B
Aufgabe 2B
Aufgabe 2B
Kleineres Intervall:
Aufgabe 2B
Aufgabe 2B
Aufgabe 2B
Aufgabe 2B
Der GTR bestätigt das Ergebnis. Bei einem kleineren Intervall liegt die Wahrscheinlichkeit unter $95\,\%$.
Das kleinste um den Erwartungswert symmetrische Intervall, in dem das Ergebnis mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens $95\,\%$ liegt, lautet $[57;87]$.
b) $\blacktriangleright$ Behauptung untersuchen
Für ein Vertrauensintervall mit Sicherheitszuschlag von $95\,\%$ gilt folgendes:
$\begin{array}[t]{rlll} p-1,96\cdot\sqrt{\dfrac{p\cdot(1-p)}{n}}&\leq&h&\leq&p+1,96\cdot\sqrt{\dfrac{p\cdot(1-p)}{n}} \end{array}$
Das $h$ entspricht der Wahrscheinlichkeit die die Parteien $B$ und $C$ zusammen erreichen, also $h=0,34+0,12=0,46$. Das $p$ müsste einen Wert von $0,5$ haben, damit beide Parteien $50\,\%$ der Stimmen erreichen und die Behauptung richtig ist.
Um die Grenzen des Intervalls zu berechnen, löst du folgende Gleichungen mit dem GTR nach $p$ auf. Die Anzahl $n$ der Wahlberechtigten beträt $1000$.
$\begin{array}[t]{rll} h&\geq&p\pm1,96\cdot\sqrt{\dfrac{p\cdot(1-p)}{n}} \\[5pt] 0,46&=&p\pm1,96\cdot\sqrt{\dfrac{p\cdot(1-p)}{1000}} \end{array}$
Aufgabe 2B
Aufgabe 2B
Das Intervall lautet $[0,429;0,491]$. Da die rechte Intervallgrenze kleiner als $0,5$ ist, erreichen die Parteien $B$ und $C$ zusammen nicht $50\,\%$ der Stimmen. Die Behauptung ist also falsch.
c) $\blacktriangleright$ Sicherheitswahrscheinlichkeit von $\boldsymbol{70\,\%}$ interpretieren
Nun sollst du eine Interpretation der Sicherheitswahrscheinlichkeit von $70\,\%$ im Hinblick auf den unbekannten Anteil $p$ der Grundgesamtheit angeben. Ein Vertrauensintervall der Sicherheitswahrscheinlichkeit von $70\,\%$ enthält in $70\,\%$ der Fälle den gesuchten Wert.
Hier lässt sich sagen, dass in $70\,\%$ der Fälle der unbekannte Anteil $p$ im Vertrauensintervall liegt. Bei einer Anzahl von $50$ Stichproben, erwarten wir also, dass $p$ in $50\cdot0,7=35$ Fällen im Intervall ist.
$\blacktriangleright$ Abbildungen zuordnen
Du hast zwei Abbildungen gegeben, in denen jeweils die Vertrauensintervalle abgebildet sind. Diese Abbildungen sollst du nun den Sicherheitswahrscheinlichkeiten von $70\,\%$ und $99\,\%$ zuordnen.
Je höher die Sicherheitswahrscheinlichkeit eines Vertrauensintervalls ist, desto größer ist das zugehörige Vertrauensintervall. Somit ist das Vertrauensintervall der Sicherheitswahrscheinlichkeit von $99\,\%$ größer als das Vertrauensintervall mit $70\,\%$ Sicherheitswahrscheinlichkeit.
Bei Abbildung 1 erkennst du, dass die Vertrauensintervalle deutlich größer sind, als bei Abbildung 2. Somit gehört Abbildung 1 zu der Sicherheitswahrscheinlichkeit von $99\,\%$ und Abbildung 2 zu der mit $70\,\%$.
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