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Aufgabe 1A

Aufgaben
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Gegeben ist die Funktion $f$ mit
$f(x)= -x^4+5\cdot x^3-6\cdot x^2+x+4,$ $x\in \mathbb{R}.$
$ f(x)= … $
Im Folgenden wird ein Übertragungsvorgang einer Datenmenge aus dem Internet betrachtet. In den ersten drei Sekunden wird die Übertragungsrate modellhaft mithilfe der Funktion $f$ beschrieben.
Dabei ist $x$ die Zeit in Sekunden seit Beginn der Übertragung und $f(x)$ die Übertragungsrate in Megabit pro Sekunde $\left(\frac{\text{Mbit}}{\text{s}}\right).$ Betrachtet wird ein Vorgang für den Zeitraum $0\leq x\leq 3.$
Die Abbildung 1 des Materials zeigt den Graphen von $f$ für $0\leq x\leq 3.$
a)
Markiere in der Abbildung 1 auf der Zeitachse die Zeitpunkte, zu denen die Übertragungsrate nach der Modellfunktion $f$ etwa $3,5\,\frac{\text{Mbit}}{\text{s}}$ beträgt.
Bestimme den Zeitpunkt mit der größten Übertragungsrate.
Begründe, dass zum Zeitpunkt $2\,\text{s}$ die Zunahme der Übertragungsrate am größten ist.
(12 BE)
b)
Berechne die Datenmenge $D,$ die insgesamt im betrachteten Zeitraum übertragen wird.
Erläutere die Bedeutung der Lösung $a$ folgender Gleichung im Sachzusammenhang:
$\displaystyle\int_{0}^{a}f(x)\;\mathrm dx = \frac{1}{2}\cdot \displaystyle\int_{0}^{3}f(x)\;\mathrm dx,$ $0< a \leq 3.$
(7 BE)
#integral
c)
Unabhängig vom Sachzusammenhang wird die Funktion $f$ nun für alle $x\in \mathbb{R}$ betrachtet.
Der Graph von $f$ hat die Wendepunkte $W_1\left(\frac{1}{2}\mid f\left(\frac{1}{2}\right)\right)$ und $W_2(2\mid f(2)).$
Die Gerade $g$ durch die Wendepunkte hat die Steigung $\frac{13}{8}$ und schließt mit dem Graphen von $f$ drei Flächen ein.
Abbildung 2 der Anlage veranschaulicht die Situation.
Vergleiche die Inhalte der beiden äußeren Flächen.
Betrachtet wird nun der Graph zu $k\cdot f(x),$ $k> 0,$ und die Gerade durch die Wendepunkte des Graphen zu $k\cdot f(x).$
Begründe, dass die Gerade durch die Wendepunkte von $k\cdot f(x)$ die Steigung $k\cdot \frac{13}{8}$ hat.
(10 BE)
#wendepunkt
d)
Betrachtet wird nun die Funktionenschar $s_c$ mit $s_c(x) = -x^4+c\cdot x^2,$ $x\in \mathbb{R},$ $c> 0.$
Jede Funktion der Schar $s_c$ hat einen Graphen, der mit der Geraden durch seine zwei Wendepunkte drei Flächen einschließt.
Begründe, mithilfe grafischer Betrachtungen, dass die Inhalte der beiden äußeren eingeschlossenen Flächen gleich groß sind.
(5 BE)
#wendepunkt#funktionenschar
Material
Graph zu den Teilaufgaben a) und b)
Aufgabe 1A
Abb. 1: Graph von $f$ für $0\leq x\leq 3$
Aufgabe 1A
Abb. 1: Graph von $f$ für $0\leq x\leq 3$
Graphen zu Teilaufgabe c)
Aufgabe 1A
Abb. 2: Graph von $f$ und Gerade $g$ durch die Wendepunkte
Aufgabe 1A
Abb. 2: Graph von $f$ und Gerade $g$ durch die Wendepunkte
Bildnachweise [nach oben]
[1],[2]
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Lösungen
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a)
$\blacktriangleright$  Zeitpunkte markierenAufgabe 1A
Aufgabe 1A
Abb. 1: Markierungen
Aufgabe 1A
Abb. 1: Markierungen
$\blacktriangleright$  Zeitpunkt mit der größten Übertragungsrate bestimmen
Bestimme zunächst die lokalen Maxima von $f$ und überprüfe anschließend die Intervallränder.
1. Schritt: Notwendiges Kriterium für Extremstellen anwenden
$f'(x)= -4x^3+15x^2-12x+1$
Verwende den solve-Befehl deines CAS:
$\begin{array}[t]{rll} f'(x) &=& 0 \\[5pt] -4x^3+15x^2-12x+1 &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; CAS \\[5pt] x_1&=& \dfrac{-\sqrt{105}+11}{8} \approx 0,09\\[5pt] x_2&=& 1\\[5pt] x_3&=& \dfrac{\sqrt{105}+11}{8} \approx 2,66 \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} x_1&=& \dfrac{-\sqrt{105}+11}{8}\\[5pt] &\approx& 0,09\\[10pt] x_2&=& 1\\[10pt] x_3&=& \dfrac{\sqrt{105}+11}{8}\\[5pt] &\approx& 2,66 \\[5pt] \end{array}$
2. Schritt: Hinreichendes Kriterium für Extremstellen überprüfen
$f''(x)= -12x^2+30x-12$
$\begin{array}[t]{rll} f''(x_1)&\approx& -9,28 < 0 \\[5pt] f''(x_2)&=& 6 >0 \\[5pt] f''(x_3)&\approx& -16,97 < 0 \end{array}$
An den Stellen $x_1$ und $x_3$ besitzt $f$ also lokale Maxima.
3. Schritt: Randextrema untersuchen
Überprüfe noch die Intervallränder auf Randextrema:
$\begin{array}[t]{rll} f(0)&=& 4 \\[5pt] f(3)&=& 7 \\[5pt] f(x_1)&\approx& 4,05 \\[5pt] f(x_3)&\approx& 8,25 \end{array}$
Der Zeitpunkt mit der größten Übertragungsrate ist also $x_2\approx 2,66\,\text{s}.$
$\blacktriangleright$  Zeitpunkt mit der größten Zunahme der Übertragungsrate begründen
Die Zunahme ist zu dem Zeitpunkt am größten, zu dem die erste Ableitungsfunktion von $f$ ihr Maximum annimmt. Es ist:
$f'(x)= -4x^3+15x^2-12x+1$
$f'(x)= -4x^3+15x^2-12x+1$
Bestimme wie oben die lokalen Maxima von $f'.$
1. Schritt: Notwendiges Kriterium überprüfen
$f''(2) = -12\cdot 2^2+30\cdot 2-12 = 0$
2. Schritt: Hinreichendes Kriterium überprüfen
$\begin{array}[t]{rll} f'''(x) &=& -24x+30 \\[5pt] f'''(2) &=& -24\cdot 2 +30 \\[5pt] &=& -18 < 0 \\[5pt] \end{array}$
An der Stelle $x=2$ besitzt $f'$ also ein lokales Maximum. Da $f'$ eine ganzrationale Funktion dritten Grades ist, kann $f'$ maximal zwei lokale Extrema besitzen. Dabei kann es sich nicht um zwei Maxima oder zwei Minima handeln. $x=2$ ist also die einzige Stelle mit einem lokalen Maximum.
3. Schritt: Intervallränder überprüfen
Es ist $f'(2)=5.$ Für die Intervallränder gilt:
$f'(0)=1$ und $f'(3)= -8 <0$
Zu Beginn beträgt die Zunahme der Datenübertragungsrate also nur $1,$ am Ende des Zeitraums nimmt die Datenübertragungsmenge ab. Der Zeitpunkt mit der größten Zunahme der Datenübertragungsmenge ist also zum Zeitpunkt $2\,\text{s}.$
#extrempunkt
b)
$\blacktriangleright$  Datenmenge berechnen
Die übertragene Datenmenge kann mit einem Integral über $f$ bestimmt werden. Verwende dazu dein CAS.
$\blacktriangleright$ Casio Classpad II
keyboard $\to$ Math2 $\to$ $\int_{\Box}^{\Box}\Box$
keyboard $\to$ Math2 $\to$ $\int_{\Box}^{\Box}\Box$
$\displaystyle\int_{0}^{3}f(x)\;\mathrm dx\approx 15,15$
Im gesamten Zeitraum wird eine Datenmenge von ca. $15,15\,\text{Mbit}$ übertragen.
$\blacktriangleright$  Bedeutung der Lösung im Sachzusammenhang erläutern
Mit $\displaystyle\int_{0}^{a}f(x)\;\mathrm dx$ wird die bis zum Zeitpunkt $a$ übertragene Datenmenge berechnet. $\frac{1}{2}\cdot \displaystyle\int_{0}^{3}f(x)\;\mathrm dx$ ist die Hälfte der im gesamten Zeitraum übertragenen Datenmenge.
Die Lösung $a$ der Gleichung entspricht also dem Zeitpunkt, zu dem bereits die Hälfte der Gesamtdatenmenge im betrachteten Zeitraum übertragen ist.
c)
$\blacktriangleright$  Inhalte der äußeren Flächen vergleichen
1. Schritt: Geradengleichung aufstellen
$\begin{array}[t]{rll} f(0,5)&=& -0,5^4+5\cdot 0,5^3-6\cdot 0,5^2+0,5+4 \\[5pt] &=& 3,5625 \\[10pt] f(2)&=& -2^4+5\cdot 2^3-6\cdot 2^2+2+4 \\[5pt] &=& 6 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} f(0,5)&=& 3,5625 \\[10pt] f(2)&=& 6 \end{array}$
Die Steigung der Geraden ist bereits mit $m=\frac{13}{8}$ angegeben.
Mithilfe einer Punktprobe ergibt sich jetzt $b:$
$\begin{array}[t]{rll} g(x) &=& m\cdot x + b &\quad \scriptsize \mid\;m =\frac{13}{8} \\[5pt] g(x) &=& \frac{13}{8} \cdot x +b &\quad \scriptsize \mid\; W_2(2\mid 6) \\[5pt] 6 &=& \frac{13}{8} \cdot 2 + b \\[5pt] 6 &=& \frac{13}{4} +b &\quad \scriptsize \mid\; -\frac{13}{4} \\[5pt] \frac{11}{4} &=& b \end{array}$
$ b = \frac{11}{4} $
Die Gerade durch die beiden Wendepunkte $W_1$ und $W_2$ kann also durch folgende Gleichung beschrieben werden:
$g(x)= \frac{13}{8} \cdot x + \frac{11}{4}$
2. Schritt: Flächengrößen berechnen
Die Flächeninhalte können wie oben mithilfe eines Integrals berechnet werden. Bestimme dazu zunächst die Schnittstellen der Geraden $g$ mit dem Graphen der Funktion $f.$ Dies sind die Integrationsgrenzen. Dazu kannst du den solve-Befehl deines CAS verwenden.
Du erhältst dann folgende Schnittstellen:
$\begin{array}[t]{rll} f(x) &=& g(x) &\quad \scriptsize \mid\; CAS\\[5pt] x_1&=& \frac{-3\sqrt{5}+5}{4} \\[5pt] x_2&=& 0,5 \\[5pt] x_3&=& 2 \\[5pt] x_4&=& \frac{3\sqrt{5}+5}{4} \end{array}$
Wie oben kannst du die entsprechenden Integrale mit deinem CAS bestimmen:
$\begin{array}[t]{rll} A_l&=& \displaystyle\int_{\frac{-3\sqrt{5}+5}{4}}^{0,5}\left(f(x)-g(x)\right)\;\mathrm dx \\[5pt] &=& \displaystyle\int_{\frac{-3\sqrt{5}+5}{4}}^{0,5}\left( -x^4+5\cdot x^3-6\cdot x^2+x+4-\frac{13}{8}\cdot x -\frac{11}{4}\right)\;\mathrm dx \\[5pt] &=& \displaystyle\int_{\frac{-3\sqrt{5}+5}{4}}^{0,5}\left( -x^4+5\cdot x^3-6\cdot x^2-0,625x+1,25\right)\;\mathrm dx&\quad \scriptsize \mid\; CAS \\[5pt] &=& \frac{243}{320} \\[5pt] A_r&=& \displaystyle\int_{2}^{ \frac{3\sqrt{5}+5}{4} }\left(f(x)-g(x)\right)\;\mathrm dx \\[5pt] &=& \displaystyle\int_{2}^{ \frac{3\sqrt{5}+5}{4} }\left( -x^4+5\cdot x^3-6\cdot x^2-0,625x+1,25\right)\;\mathrm dx&\quad \scriptsize \mid\; CAS \\[5pt] &=&\frac{243}{320} \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} A_l&=& \frac{243}{320} \\[5pt] A_r&=& \frac{243}{320} \\[5pt] \end{array}$
Beide Flächeninhalte sind also gleich groß.
$\blacktriangleright$  Steigung der Geraden begründen
Der Faktor $k$ bewirkt eine Streckung des Graphen von $f$ in $y$-Richtung. Dadurch ändern sich die $x$-Koordinaten der Wendepunkte nicht, lediglich die $y$-Koordinaten werden ebenfalls mit dem Faktor $k$ multipliziert. Die Koordinaten der Wendepunkte lauten daher nun:
$W_1'\left(\frac{1}{2}\mid k\cdot f\left(\frac{1}{2}\right)\right)$ und $W_2'(2\mid k\cdot f(2))$
Die Steigung der Geraden durch die beiden Wendepunkte ergibt sich daher zu:
$\dfrac{k\cdot f(2) - k\cdot f\left(\frac{1}{2}\right)}{2-0,5} = k\cdot \dfrac{f(2)-f\left(\frac{1}{2}\right)}{2-0,5} = k\cdot \frac{13}{8}$
$ \dfrac{k\cdot f(2) - k\cdot f\left(\frac{1}{2}\right)}{2-0,5} = … $
#integral
d)
$\blacktriangleright$  Gleiche Größe der Flächen begründen
Bei allen Funktionen $s_c$ handelt es sich um ganzrationale Funktionen vierten Grades. Im Funktionsterm kommen jeweils nur gerade Exponenten vor, sodass die Graphen der Funktionen $s_c$ symmetrisch zur $y$-Achse sind.
Damit liegen auch die Wendepunkte symmetrisch zur $y$-Achse und besitzen daher die gleiche $y$-Koordinate. Die Gerade durch die beiden Wendepunkte ist also eine Parallele zur $x$-Achse, die den Graphen von $s_c$ noch in zwei weiteren Punkten schneidet. Diese beiden Punkte liegen ebenfalls symmetrisch zur $y$-Achse. Da also sowohl die Schnittstellen als auch die begrenzenden Graphen symmetrisch zur $y$-Achse sind, liegen auch die beiden Flächen symmetrisch zur $y$-Achse und sind damit gleich groß.
#symmetrie
Bildnachweise [nach oben]
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