Aufgabe 1 — Gravitation

Die erste Landung von Menschen auf dem Mond im Jahr 1969 war ein Höhepunkt des amerikanischen Mondprogramms, bei dem bemannte Raumschiffe den Anziehungsbereich der Erde verließen.

Abbildung 1: Apollo 11, Landefähre Eagle auf dem Mond

Gravitationskonstante	$Formula: G = 6,67 \cdot 10^{-11} \; \tfrac{\text{N} \cdot \text{m}^2}{\text{kg}^2}$ $Formula: G = 6,67 \cdot 10^{-11} \; \tfrac{\text{N} \cdot \text{m}^2}{\text{kg}^2}$
Masse der Erde	$Formula: m_{\text{Erde}} = 5,975 \cdot 10^{24} \; \text{kg}$ $Formula: m_{\text{Erde}} = 5,975 \cdot 10^{24} \; \text{kg}$
mittlerer Radius der Erde	$Formula: r_{\text{Erde}} = 6370 \; \text{km}$ $Formula: r_{\text{Erde}} = 6370 \; \text{km}$
Masse des Mondes	$Formula: m_{\text{Mond}} = 7,35 \cdot 10^{22} \; \text{kg}$ $Formula: m_{\text{Mond}} = 7,35 \cdot 10^{22} \; \text{kg}$
mittlerer Radius des Mondes	$Formula: r_{\text{Mond}} = 1738 \; \text{km}$ $Formula: r_{\text{Mond}} = 1738 \; \text{km}$
Mittlere Entfernung Erde-Mond (Abstand der Mittelpunkte)	$Formula: r_{\text{Erde-Mond}} = 384\,400 \; \text{km}$ $Formula: r_{\text{Erde-Mond}} = 384\,400 \; \text{km}$

Tabelle 1: Astronomische Konstanten und Daten

1.1

Nach dem Start schwenkten die Apollo-Raumschiffe zunächst auf eine Kreisbahn um die Erde ein. Ein Flugkörper benötigt dafür die sogenannte erste kosmische Geschwindigkeit. Dies ist ein theoretischer Geschwindigkeitsbetrag, mit dem ein Raumschiff antriebslos die Erde auf einer Kreisbahn nahe der Erdoberfläche umrunden könnte, ohne auf die Erdoberfläche zurückzufallen.

Leite mit einem Kraftansatz die Gleichung

$Formula: v = \sqrt{\dfrac{G \cdot m_{\mathrm{Erde}}}{r_{\mathrm{Erde}}}}$ $Formula: v = \sqrt{\dfrac{G \cdot m_{\mathrm{Erde}}}{r_{\mathrm{Erde}}}}$

her und zeige, dass der Betrag dieser Geschwindigkeit etwa $Formula: 8\;\mathrm{\tfrac{km}{s}}$ $Formula: 8\;\mathrm{\tfrac{km}{s}}$ groß ist.

5 BE

1.2

Nach der Landung auf dem Mond konnten die Astronauten beeindruckende Sprünge vollführen.

1.2.1

Berechne die Gravitationsfeldstärke (Fallbeschleunigung) auf der Oberfläche des Mondes.

3 BE

1.2.2

Vergleiche den Wert aus Aufgabe 1.2.1 mit der Fallbeschleunigung auf der Erde und erläutere den Einfluss auf die Sprungbewegung.

3 BE

1.3

Bei der Annäherung an den Mond wurde ein solches Apollo-Raumschiff in eine kreisförmige Umlaufbahn in $Formula: 112\;\mathrm{km}$ $Formula: 112\;\mathrm{km}$ Höhe über der Mondoberfläche gebracht. Von dort startete dann die $Formula: 16\;\mathrm{t}$ $Formula: 16\;\mathrm{t}$ schwere Landefähre zur Landung auf dem Mond.

1.3.1

Zeige, dass der Betrag der Geschwindigkeit auf dieser Umlaufbahn etwa $Formula: 1,6\;\mathrm{\tfrac{km}{s}}$ $Formula: 1,6\;\mathrm{\tfrac{km}{s}}$ groß ist und ermittle die kinetische Energie der Landefähre auf dieser Kreisbahn.

6 BE

1.3.2

Bestimme die Anzahl der Umläufe der in der Mondumlaufbahn verbliebenen Kommandozentrale des Apollo-Raumschiffes um den Mond während des etwa 22-stündigen Aufenthaltes der Landefähre auf dem Mond.

3 BE

Weiter lernen mit SchulLV-PLUS!

monatlich kündbarSchulLV-PLUS-Vorteile im ÜberblickDu hast bereits einen Account?

1.1

Für eine antriebslose Kreisbahn eines Flugkörpers nahe der Erdoberfläche muss die Gravitationskraft der Erde als Zentripetalkraft (Radialkraft) wirken, um das Raumschiff auf der Bahn zu halten ( $Formula: F_{\mathrm{Zp}} = F_{\mathrm{G}}$ $Formula: F_{\mathrm{Zp}} = F_{\mathrm{G}}$ ).

In diese Gleichung können die Formeln für die Gravitationskraft und die Zentripetalkraft eingesetzt werden:

$Formula: \begin{array}[t]{rll}F_{\mathrm{Zp}}&=&F_{\mathrm{G}}\\[5pt]\dfrac{m \cdot v^{2}}{r_{\mathrm{Erde}}}&=&G \cdot \dfrac{m \cdot m_{\mathrm{Erde}}}{r_{\mathrm{Erde}}^{2}}\quad&\mid \cdot \dfrac{r_{\mathrm{Erde}}}{m}\\[5pt]v^{2}&=&G \cdot \dfrac{m_{\mathrm{Erde}}}{r_{\mathrm{Erde}}}\quad&\mid \sqrt{\;}\\[5pt]v&=&\sqrt{G \cdot \dfrac{m_{\mathrm{Erde}}}{r_{\mathrm{Erde}}}}\end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll}F_{\mathrm{Zp}}&=&F_{\mathrm{G}}\\[5pt]\dfrac{m \cdot v^{2}}{r_{\mathrm{Erde}}}&=&G \cdot \dfrac{m \cdot m_{\mathrm{Erde}}}{r_{\mathrm{Erde}}^{2}}\quad&\mid \cdot \dfrac{r_{\mathrm{Erde}}}{m}\\[5pt]v^{2}&=&G \cdot \dfrac{m_{\mathrm{Erde}}}{r_{\mathrm{Erde}}}\quad&\mid \sqrt{\;}\\[5pt]v&=&\sqrt{G \cdot \dfrac{m_{\mathrm{Erde}}}{r_{\mathrm{Erde}}}}\end{array}$

Damit kann nun die erste kosmische Geschwindigkeit berechnet werden:

$Formula: \begin{array}[t]{rll}v&=&\sqrt{G\cdot\dfrac{m_{\mathrm{E}}}{r_{\mathrm{E}}}}\\[5pt]&=&\sqrt{G\cdot\dfrac{5,975\cdot 10^{24}\;\mathrm{kg}}{6370000\;\mathrm{m}}}\\[5pt]&=&\sqrt{6,256\cdot 10^{7}\;\dfrac{\mathrm{m}^2}{\mathrm{s}^2}}\\[5pt]&\approx&7909,5\;\dfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\approx 8 \; \dfrac{\text{km}}{\text{s}}\end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll}v&=&\sqrt{G\cdot\dfrac{m_{\mathrm{E}}}{r_{\mathrm{E}}}}\\[5pt]&=&\sqrt{G\cdot\dfrac{5,975\cdot 10^{24}\;\mathrm{kg}}{6370000\;\mathrm{m}}}\\[5pt]&=&\sqrt{6,256\cdot 10^{7}\;\dfrac{\mathrm{m}^2}{\mathrm{s}^2}}\\[5pt]&\approx&7909,5\;\dfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\approx 8 \; \dfrac{\text{km}}{\text{s}}\end{array}$

1.2

1.2.1

Die Gewichtskraft entspricht der Gravitationskraft:

$Formula: \begin{array}[t]{rll}F_{\mathrm{Gewicht}} &=& F_{\mathrm{G}}\\[5pt]m \cdot g_{\mathrm{Mond}} &=& G \cdot \dfrac{m \cdot m_{\mathrm{Mond}}}{r_{\mathrm{Mond}}^2} \quad&\mid \cdot \dfrac{1}{m}\\[5pt]g_{\mathrm{Mond}} &=& G \cdot \dfrac{m_{\mathrm{Mond}}}{r_{\mathrm{Mond}}^2}\end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll}F_{\mathrm{Gewicht}} &=& F_{\mathrm{G}}\\[5pt]m \cdot g_{\mathrm{Mond}} &=& G \cdot \dfrac{m \cdot m_{\mathrm{Mond}}}{r_{\mathrm{Mond}}^2} \quad&\mid \cdot \dfrac{1}{m}\\[5pt]g_{\mathrm{Mond}} &=& G \cdot \dfrac{m_{\mathrm{Mond}}}{r_{\mathrm{Mond}}^2}\end{array}$

Hier können nun die Werte eingesetzt werden:

$Formula: \begin{array}[t]{rll}g_{\mathrm{Mond}}&=&G \cdot \dfrac{m_{\mathrm{Mond}}}{r_{\mathrm{Mond}}^2}\\[5pt]&=&G \cdot \dfrac{7,35 \cdot 10^{22} \;\mathrm{kg}}{(1738000 \;\mathrm{m})^2}\\[5pt]&\approx&1,62 \;\mathrm{\dfrac{m}{s^2}}\end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll}g_{\mathrm{Mond}}&=&G \cdot \dfrac{m_{\mathrm{Mond}}}{r_{\mathrm{Mond}}^2}\\[5pt]&=&G \cdot \dfrac{7,35 \cdot 10^{22} \;\mathrm{kg}}{(1738000 \;\mathrm{m})^2}\\[5pt]&\approx&1,62 \;\mathrm{\dfrac{m}{s^2}}\end{array}$

1.2.2

Auf der Erdoberfläche beträgt die durchschnittliche Fallbeschleunigung $Formula: g_{\mathrm{Erde}} \approx 9,81 \; \mathrm{\tfrac{m}{s^2}}.$ $Formula: g_{\mathrm{Erde}} \approx 9,81 \; \mathrm{\tfrac{m}{s^2}}.$ Wird der in Aufgabe 1.2.1 berechnete Wert des Mondes mit dem Wert der Erde verglichen, so zeigt sich, dass die Fallbeschleunigung auf dem Mond lediglich etwa ein Sechstel des irdischen Wertes beträgt.

Da die Gewichtskraft ( $Formula: F_{\mathrm{G}} = m \cdot g$ $Formula: F_{\mathrm{G}} = m \cdot g$ ) linear von der Fallbeschleunigung abhängt, verringert sich auch das Gewicht der Astronauten auf der Mondoberfläche auf etwa ein Sechstel im Vergleich zu auf der Erdoberfläche. Bei gleichem Krafteinsatz wie auf der Erde resultiert diese stark reduzierte Gewichtskraft in deutlich höheren Sprüngen.

1.3

1.3.1

Zunächst wird der Radius der Umlaufbahn bestimmt. Dieser setzt sich aus dem Radius des Mondes und der Flughöhe der Umlaufbahn zusammen:

$Formula: r = r_{\mathrm{Mond}} + h = 1850 \; \mathrm{km}$ $Formula: r = r_{\mathrm{Mond}} + h = 1850 \; \mathrm{km}$

Wie in Aufgabe 1.1 wirkt die Gravitationskraft wieder als Zentripetalkraft ( $Formula: F_{\mathrm{Zp}} = F_{\mathrm{G}}$ $Formula: F_{\mathrm{Zp}} = F_{\mathrm{G}}$ ).

In diese Gleichung können die Formeln für die Gravitationskraft und die Zentripetalkraft eingesetzt werden:

$Formula: \begin{array}[t]{rll}F_{\mathrm{Zp}}&=&F_{\mathrm{G}}\\[5pt]\dfrac{m \cdot v^{2}}{r}&=&G \cdot \dfrac{m \cdot m_{\mathrm{Mond}}}{r^{2}}\quad&\mid \cdot \dfrac{r}{m}\\[5pt]v^{2}&=&G \cdot \dfrac{m_{\mathrm{Mond}}}{r}\quad&\mid \sqrt{\;}\\[5pt]v&=&\sqrt{G \cdot \dfrac{m_{\mathrm{Mond}}}{r}}\end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll}F_{\mathrm{Zp}}&=&F_{\mathrm{G}}\\[5pt]\dfrac{m \cdot v^{2}}{r}&=&G \cdot \dfrac{m \cdot m_{\mathrm{Mond}}}{r^{2}}\quad&\mid \cdot \dfrac{r}{m}\\[5pt]v^{2}&=&G \cdot \dfrac{m_{\mathrm{Mond}}}{r}\quad&\mid \sqrt{\;}\\[5pt]v&=&\sqrt{G \cdot \dfrac{m_{\mathrm{Mond}}}{r}}\end{array}$

Damit kann nun die Geschwindigkeit Formula: v berechnet werden:

$Formula: \begin{array}[t]{rll}v&=&\sqrt{G \cdot \dfrac{m_{\mathrm{Mond}}}{r}}\\[5pt]v&=&\sqrt{G \cdot \dfrac{7,35 \cdot 10^{22} \;\mathrm{kg}}{1850000 \;\mathrm{m}}}\\[5pt]v&\approx&1628 \;\mathrm{\dfrac{m}{s}}\end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll}v&=&\sqrt{G \cdot \dfrac{m_{\mathrm{Mond}}}{r}}\\[5pt]v&=&\sqrt{G \cdot \dfrac{7,35 \cdot 10^{22} \;\mathrm{kg}}{1850000 \;\mathrm{m}}}\\[5pt]v&\approx&1628 \;\mathrm{\dfrac{m}{s}}\end{array}$

Damit kann nun die kinetische Energie berechnet werden:

$Formula: \begin{array}[t]{rll}E_{\mathrm{kin}}&=&\dfrac{1}{2} \cdot m \cdot v^2\\[5pt]E_{\mathrm{kin}}&=&\dfrac{1}{2} \cdot 16000 \;\mathrm{kg} \cdot (1628 \;\mathrm{\dfrac{m}{s}})^2\\[5pt]E_{\mathrm{kin}}&\approx&2,12 \cdot 10^{10} \;\mathrm{J}\end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll}E_{\mathrm{kin}}&=&\dfrac{1}{2} \cdot m \cdot v^2\\[5pt]E_{\mathrm{kin}}&=&\dfrac{1}{2} \cdot 16000 \;\mathrm{kg} \cdot (1628 \;\mathrm{\dfrac{m}{s}})^2\\[5pt]E_{\mathrm{kin}}&\approx&2,12 \cdot 10^{10} \;\mathrm{J}\end{array}$

1.3.2

Es gilt der Zusammenhang $Formula: v = \tfrac{2\pi \cdot r}{T},$ $Formula: v = \tfrac{2\pi \cdot r}{T},$ außerdem sind aus Aufgabe 1.3.1 die Werte $Formula: r = 1850 \; \mathrm{km}$ $Formula: r = 1850 \; \mathrm{km}$ und $Formula: v\approx 1628 \;\mathrm{\tfrac{m}{s}}$ $Formula: v\approx 1628 \;\mathrm{\tfrac{m}{s}}$ bekannt. Durch Umstellen der Gleichung nach der Umlaufdauer Formula: T und Einsetzen der Werte ergibt sich:

$Formula: \begin{array}[t]{rll}T&=&\dfrac{2 \cdot \pi \cdot r}{v}\\[5pt]T&=&\dfrac{2 \cdot \pi \cdot 1,850 \cdot 10^6 \;\mathrm{m}}{1628 \;\mathrm{\tfrac{m}{s}}}\\[5pt]T&\approx&7140 \;\mathrm{s}\end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll}T&=&\dfrac{2 \cdot \pi \cdot r}{v}\\[5pt]T&=&\dfrac{2 \cdot \pi \cdot 1,850 \cdot 10^6 \;\mathrm{m}}{1628 \;\mathrm{\tfrac{m}{s}}}\\[5pt]T&\approx&7140 \;\mathrm{s}\end{array}$

$Formula: t = 22 \; \mathrm{h} = 79200 \; \mathrm{s}$ $Formula: t = 22 \; \mathrm{h} = 79200 \; \mathrm{s}$

$Formula: \Rightarrow n =\dfrac{t}{T} = \frac{79200 \; \mathrm{s}}{7140 \; \mathrm{s}} \approx 11,1$ $Formula: \Rightarrow n =\dfrac{t}{T} = \frac{79200 \; \mathrm{s}}{7140 \; \mathrm{s}} \approx 11,1$

Das entspricht ungefähr Formula: 11 Umläufen.

Weiter lernen mit SchulLV-PLUS!

monatlich kündbarSchulLV-PLUS-Vorteile im ÜberblickDu hast bereits einen Account?