Aufgabe 1 — Fallbewegungen
Der Fallturm in Bremen wurde 1990 fertiggestellt und wird vom Zentrum für angewandte Raumfahrttechnologie und Mikrogravitation der Universität Bremen betrieben. Er ist in Europa einzigartig und ermöglicht erdgebundene Experimente unter kurzzeitiger Schwerelosigkeit.
Der Fallturm hat eine 
hohe, evakuierte Fallröhre, in der eine Fallkapsel aus einer Höhe von 
frei fällt. In der Fallkapsel herrscht während des Falls Schwerelosigkeit. Berechne die Fallzeit der Kapsel und ihre maximale Geschwindigkeit.
Der Abbremsvorgang findet entlang eines Weges von 
in einem Auffangbehälter statt, der mit Schaumstyroporkugeln gefüllt ist.
Berechne die durchschnittliche Bremsbeschleunigung, wenn die maximale Geschwindigkeit mit 
angenommen wird.
Abb. 1: Fallturm in Bremen
Außerhalb des Fallturms greifen an jedem Körper, der zur Erde fällt, zusätzlich Luftwiderstandskräfte an. Dabei nimmt die Luftwiderstandskraft mit zunehmender Geschwindigkeit des Körpers zu. Ein Fallschirmspringer (Gesamtmasse mit Ausrüstung 
) führt vor dem Öffnen des Schirms eine ungleichmäßig beschleunigte Bewegung aus, bis die Luftwiderstandskraft und seine Gewichtskraft gleich groß sind.
Skizziere die auf den Fallschirmspringer wirkenden Kräfte vor Erreichen der Gleichgewichtssituation.
Die Beschleunigung 
wird unter diesen Bedingungen mit der folgenden Gleichung berechnet:
Luftwiderstandskraft, 
Gewichtskraft, 
Fallbeschleunigung
Gib die maximale und die minimale Beschleunigung an. Begründe kurz.
Die Beschleunigung beträgt zu einem bestimmten Zeitpunkt 
Berechne für diesen Wert mit der in 1.2.2 angegebenen Formel die Luftwiderstandskraft.
Nenne zwei Faktoren, die die Luftwiderstandskraft eines Fallschirmspringers beeinflussen.
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Fallzeit berechnen
![Formula: \begin{array}[t]{rll} s & = & \dfrac{g}{2} t^2 & \quad\scriptsize\mid\;\cdot \dfrac{2}{g} \\[5pt] \dfrac{2s}{g} & = & t^2 & \quad\scriptsize\mid\;\sqrt{\;} \\[5pt] \sqrt{\dfrac{2s}{g}} & = & t \\[5pt] \sqrt{\dfrac{2\cdot110\;\text{m}}{9,81\;\tfrac{\text{m}}{\text{s}^2}}} & = & t \\[5pt] 4,735\;\mathrm{s} & \approx & t \end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/55c3c37c757325585122efa8b8bcac23d2189ac8c46667adc82d2aded43fa0e8_light.svg)
![Formula: \begin{array}[t]{rll} s & = & \dfrac{g}{2} t^2 & \quad\scriptsize\mid\;\cdot \dfrac{2}{g} \\[5pt] \dfrac{2s}{g} & = & t^2 & \quad\scriptsize\mid\;\sqrt{\;} \\[5pt] \sqrt{\dfrac{2s}{g}} & = & t \\[5pt] \sqrt{\dfrac{2\cdot110\;\text{m}}{9,81\;\tfrac{\text{m}}{\text{s}^2}}} & = & t \\[5pt] 4,735\;\mathrm{s} & \approx & t \end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/55c3c37c757325585122efa8b8bcac23d2189ac8c46667adc82d2aded43fa0e8_dark.svg)
Maximale Geschwindigkeit berechnen
![Formula: \begin{array}[t]{rll} v & = & g \cdot t \\[5pt] & \approx & 9,81\;\dfrac{\text{m}}{\text{s}^2} \cdot 4,7\;\text{s} \\[5pt] & \approx & 46,5\;\dfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}} \end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/19d9090fe29aed24f9f3d911e8919df88b35d8303b9f58cf35c411f0b6437873_light.svg)
![Formula: \begin{array}[t]{rll} v & = & g \cdot t \\[5pt] & \approx & 9,81\;\dfrac{\text{m}}{\text{s}^2} \cdot 4,7\;\text{s} \\[5pt] & \approx & 46,5\;\dfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}} \end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/19d9090fe29aed24f9f3d911e8919df88b35d8303b9f58cf35c411f0b6437873_dark.svg)
Es gilt 
Am Ende des Abbremsvorgangs gilt 
Damit ergibt sich für 
![Formula: \begin{array}[t]{rll} 0 & = & a\cdot t+v_0 &\quad \scriptsize \mid\; -v_0 \\[5pt] -v_0 & = & a\cdot t &\quad \scriptsize \mid\;:a \\[5pt] -\dfrac{v_0}{a} & = & t \end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/f3412c4234fce0be6ca2e8d651d0ea8c4da912f445e9b416e129653cb4448544_light.svg)
![Formula: \begin{array}[t]{rll} 0 & = & a\cdot t+v_0 &\quad \scriptsize \mid\; -v_0 \\[5pt] -v_0 & = & a\cdot t &\quad \scriptsize \mid\;:a \\[5pt] -\dfrac{v_0}{a} & = & t \end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/f3412c4234fce0be6ca2e8d651d0ea8c4da912f445e9b416e129653cb4448544_dark.svg)
Einsetzen in 
liefert für 
![Formula: \begin{array}[t]{rll} s & = & \dfrac{a}{2} t^2+v_0 \cdot t \\[5pt] s & = & \dfrac{a}{2}\cdot\left(-\dfrac{v_0}{a}\right)^2+v_0\cdot\left(-\dfrac{v_0}{a}\right) \\[5pt] s & = & \dfrac{-v_0^2}{2a} &\quad \scriptsize \mid\;\cdot a \\[5pt] as & = & \dfrac{-v_0^2}{2} &\quad \scriptsize \mid\;:s \\[5pt] a & = & \dfrac{-v_0^2}{2s} \\[5pt] a & = & \dfrac{-\left(46\;\tfrac{\text{m}}{\text{s}}\right)^2}{2\cdot8\;\text{m}} \\[5pt] a & \approx & -132\;\dfrac{\text{m}}{\text{s}^2} \end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/cb2913a4074a874b437da30fc9db1efa07b39c01df04055393071cbb76e86306_light.svg)
![Formula: \begin{array}[t]{rll} s & = & \dfrac{a}{2} t^2+v_0 \cdot t \\[5pt] s & = & \dfrac{a}{2}\cdot\left(-\dfrac{v_0}{a}\right)^2+v_0\cdot\left(-\dfrac{v_0}{a}\right) \\[5pt] s & = & \dfrac{-v_0^2}{2a} &\quad \scriptsize \mid\;\cdot a \\[5pt] as & = & \dfrac{-v_0^2}{2} &\quad \scriptsize \mid\;:s \\[5pt] a & = & \dfrac{-v_0^2}{2s} \\[5pt] a & = & \dfrac{-\left(46\;\tfrac{\text{m}}{\text{s}}\right)^2}{2\cdot8\;\text{m}} \\[5pt] a & \approx & -132\;\dfrac{\text{m}}{\text{s}^2} \end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/cb2913a4074a874b437da30fc9db1efa07b39c01df04055393071cbb76e86306_dark.svg)
Bezeichnen der Luftwiderstandskraft mit und der Gewichtskraft mit liefert folgende Skizze:
Die maximale Beschleunigung wirkt zu Beginn. Da dann 
gilt, folgt 
und mit Hilfe der Gleichung aus Aufgabe 1.2.1 somit 
Die Luftwiderstandskraft nimmt mit zunehmender Geschwindigkeit des fallenden Körpers zu, bis Luftwiderstandskraft und Gewichtskraft vom Betrag her gleich groß sind. Das Minimum der Beschleunigung ergibt sich damit bei 
Mit der Gleichung aus Aufgabe 1.2.1 ergibt sich dann 
![Formula: \begin{array}[t]{rll} a & = & \left(1-\dfrac{F_L}{F_G}\right) \cdot g &\quad\scriptsize\mid\, \cdot \dfrac{1}{g} \\[5pt] \dfrac{a}{g} & = & 1-\dfrac{F_L}{F_G} &\quad\scriptsize\mid\, -1 \\[5pt] \dfrac{a}{g}-1 & = & -\dfrac{F_L}{F_G} &\quad\scriptsize\mid\, \cdot (-F_G) \\[5pt] \left(1-\dfrac{a}{g}\right) \cdot F_{G} & = & F_{L} \\[5pt] \left(1-\dfrac{5,5\;\tfrac{\text{m}}{\text{s}^2}}{9,81\;\tfrac{\text{m}}{\text{s}^2}}\right) \cdot 90\;\text{kg}\cdot9,81\;\dfrac{\text{m}}{\text{s}^2} &=& F_L \\[5pt] 388\;\text{N} &\approx& F_L \end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/48efcc358e2104c31cca129022da9ac179bbe87d1b1af9fe9c9e4ea2d6cae479_light.svg)
![Formula: \begin{array}[t]{rll} a & = & \left(1-\dfrac{F_L}{F_G}\right) \cdot g &\quad\scriptsize\mid\, \cdot \dfrac{1}{g} \\[5pt] \dfrac{a}{g} & = & 1-\dfrac{F_L}{F_G} &\quad\scriptsize\mid\, -1 \\[5pt] \dfrac{a}{g}-1 & = & -\dfrac{F_L}{F_G} &\quad\scriptsize\mid\, \cdot (-F_G) \\[5pt] \left(1-\dfrac{a}{g}\right) \cdot F_{G} & = & F_{L} \\[5pt] \left(1-\dfrac{5,5\;\tfrac{\text{m}}{\text{s}^2}}{9,81\;\tfrac{\text{m}}{\text{s}^2}}\right) \cdot 90\;\text{kg}\cdot9,81\;\dfrac{\text{m}}{\text{s}^2} &=& F_L \\[5pt] 388\;\text{N} &\approx& F_L \end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/48efcc358e2104c31cca129022da9ac179bbe87d1b1af9fe9c9e4ea2d6cae479_dark.svg)
Z. B. Oberflächenbeschaffenheit des Springanzuges, eingenommene Haltung beim Sprung oder Geschwindigkeit des Fallschirmspringers.