Aufgabe 2 — Vom Licht

2.1

Nenne zwei Modelle, mit denen die Natur des Lichts beschrieben werden kann, und ordne jedem Modell eine Eigenschaft des Lichts zu.

2 BE

2.2

Licht geht von Luft in Kronglas mit der Brechzahl Formula: n = 1,60 über.

2.2.1

Der Einfallswinkel $Formula: \alpha$ $Formula: \alpha$ beträgt zunächst $Formula: 30^{\circ}.$ $Formula: 30^{\circ}.$ Berechne den Brechungswinkel $Formula: \beta$ $Formula: \beta$ und fertige eine Zeichnung des Lichtweges an.

4 BE

2.2.2

Der Einfallswinkel wird nun im Intervall $Formula: 0^{\circ} \leq \alpha \leq 90^{\circ}$ $Formula: 0^{\circ} \leq \alpha \leq 90^{\circ}$ variiert.

Stelle $Formula: \sin \beta$ $Formula: \sin \beta$ in Abhängigkeit von $Formula: \sin \alpha$ $Formula: \sin \alpha$ grafisch dar.

2 BE

2.2.3

Erläutere kurz, was unter Totalreflexion verstanden wird und unter welchen Bedingungen diese auftritt.

2 BE

2.2.4

Berechne den Grenzwinkel der Totalreflexion für den Übergang des Lichtes von Kronglas in Luft.

2 BE

2.3

Laserpointer sind eine häufig eingesetzte Lichtquelle im Physikunterricht. Die Leistung von Laserpointern, die in der Schule verwendet werden dürfen, ist begrenzt.

Begründe, warum mit diesen Lichtquellen im Hinblick auf die Gesundheit besonders vorsichtig umgegangen werden muss.

2 BE

2.4

Der Strahl eines Laserpointers mit der Wellenlänge $Formula: 650\;\mathrm{nm}$ $Formula: 650\;\mathrm{nm}$ trifft auf ein optisches Gitter mit der Gitterkonstanten von $Formula: 5,0\;\mu\mathrm{m}.$ $Formula: 5,0\;\mu\mathrm{m}.$

2.4.1

In $Formula: 0,75\;\mathrm{m}$ $Formula: 0,75\;\mathrm{m}$ Entfernung vom Gitter wird ein Schirm aufgestellt.

Berechne, wie weit die Maxima erster Ordnung voneinander entfernt auf dem Schirm auftreffen. Die Kleinwinkelnäherung kann vorausgesetzt werden.

3 BE

2.4.2

Es sollen genau 5 Maxima auf dem Auffangschirm mit der Breite von $Formula: 50\;\mathrm{cm}$ $Formula: 50\;\mathrm{cm}$ zu erkennen sein.

Gib an, in welcher maximalen Entfernung der Schirm aufgestellt werden kann.

3 BE

2.1

Mit dem Lichtwellenmodell lassen sich beispielsweise Interferenz und Beugung erklären.

Mit dem Lichtquantenmodell, also dem Teilchenmodell des Lichts, lässt sich beispielsweise der Photoeffekt erklären.

2.2.1

Nach dem Brechungsgesetz gilt:

$Formula: \begin{array}[t]{rll} \dfrac{\sin\alpha}{\sin\beta} & = & \dfrac{n_{\mathrm{Kronglas}}}{n_{\mathrm{Luft}}} &\quad\scriptsize\mid\,\cdot\sin\beta\cdot\dfrac{n_{\mathrm{Luft}}}{n_{\mathrm{Kronglas}}} \\[5pt] \sin\beta & = & \dfrac{n_{\mathrm{Luft}}\cdot\sin\alpha}{n_{\mathrm{Kronglas}}} \\[5pt] & = & \dfrac{1,00\cdot\sin(30^{\circ})}{1,60} \\[5pt] & = & 0,3125 &\quad\scriptsize\mid\,\arcsin \\[5pt] \beta & = & \arcsin(0,3125) \\[5pt] & \approx & 18,2^{\circ} \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll} \dfrac{\sin\alpha}{\sin\beta} & = & \dfrac{n_{\mathrm{Kronglas}}}{n_{\mathrm{Luft}}} &\quad\scriptsize\mid\,\cdot\sin\beta\cdot\dfrac{n_{\mathrm{Luft}}}{n_{\mathrm{Kronglas}}} \\[5pt] \sin\beta & = & \dfrac{n_{\mathrm{Luft}}\cdot\sin\alpha}{n_{\mathrm{Kronglas}}} \\[5pt] & = & \dfrac{1,00\cdot\sin(30^{\circ})}{1,60} \\[5pt] & = & 0,3125 &\quad\scriptsize\mid\,\arcsin \\[5pt] \beta & = & \arcsin(0,3125) \\[5pt] & \approx & 18,2^{\circ} \end{array}$

Der Brechungswinkel beträgt somit $Formula: \beta \approx 18,2^{\circ}.$ $Formula: \beta \approx 18,2^{\circ}.$

Damit ergibt sich folgende Zeichnung für den Laufweg des Lichts:

Brechung eines Lichtstrahls an einer Grenzfläche mit Winkeln α = 30° und β = 18,2°

2.2.2

Aus dem Brechungsgesetz (siehe Rechnung in 2.2.1) folgt:

$Formula: \begin{array}[t]{rll} \sin\beta & = & \dfrac{n_{\mathrm{Luft}}}{n_{\mathrm{Kronglas}}}\cdot\sin\alpha \\[5pt] & = & \dfrac{1,00}{1,60}\cdot\sin\alpha \\[5pt] & = & 0,625\cdot\sin\alpha \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll} \sin\beta & = & \dfrac{n_{\mathrm{Luft}}}{n_{\mathrm{Kronglas}}}\cdot\sin\alpha \\[5pt] & = & \dfrac{1,00}{1,60}\cdot\sin\alpha \\[5pt] & = & 0,625\cdot\sin\alpha \end{array}$

Durch Einsetzen verschiedener Werte für $Formula: \alpha$ $Formula: \alpha$ ergibt sich:

Liniendiagramm mit steigenden Punkten und Achsenbeschriftungen sinβ und sinα.

2.2.3

Totalreflexion bedeutet, dass Licht an einer Grenzfläche vollständig in das Ausgangsmedium zurückgeworfen wird.

Sie kann nur beim Übergang von einem optisch dichteren in ein optisch dünneres Medium auftreten. Außerdem muss der Einfallswinkel größer als der Grenzwinkel der Totalreflexion sein.

2.2.4

Beim Grenzwinkel beträgt der Brechungswinkel $Formula: 90^{\circ},$ $Formula: 90^{\circ},$ es gilt also $Formula: \sin\beta=1.$ $Formula: \sin\beta=1.$ Daher gilt für den Übergang von Kronglas in Luft:

$Formula: \begin{array}[t]{rll} \sin\alpha_{\mathrm{G}} & = & \dfrac{n_{\mathrm{Luft}}}{n_{\mathrm{Kronglas}}} \\[5pt] & = & \dfrac{1,00}{1,60} \\[5pt] & = & 0,625 &\quad\scriptsize\mid\,\arcsin \\[5pt] \alpha_{\mathrm{G}} & = & \arcsin(0,625) \\[5pt] & \approx & 38,7^{\circ} \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll} \sin\alpha_{\mathrm{G}} & = & \dfrac{n_{\mathrm{Luft}}}{n_{\mathrm{Kronglas}}} \\[5pt] & = & \dfrac{1,00}{1,60} \\[5pt] & = & 0,625 &\quad\scriptsize\mid\,\arcsin \\[5pt] \alpha_{\mathrm{G}} & = & \arcsin(0,625) \\[5pt] & \approx & 38,7^{\circ} \end{array}$

Der Grenzwinkel der Totalreflexion beträgt somit $Formula: \alpha_{\mathrm{G}} \approx 38,7^{\circ}.$ $Formula: \alpha_{\mathrm{G}} \approx 38,7^{\circ}.$

2.3

Laserlicht besitzt eine sehr geringe Divergenz und lässt sich stark bündeln. Dadurch werden im Vergleich zu anderen Lichtquellen hohe Leistungsdichten erreicht. Trifft der Laserstrahl ins Auge, kann die Netzhaut geschädigt werden, im Extremfall kann es sogar zu Netzhautablösungen kommen. Daher muss mit Laserpointern besonders vorsichtig umgegangen werden.

2.4.1

Mit der Kleinwinkelnäherung gilt für den Abstand Formula: s_n des $Formula: n\text{-}$ $Formula: n\text{-}$ ten Maximums vom Maximum 0. Ordnung:

$Formula: \begin{array}[t]{rll} \dfrac{n \cdot \lambda}{g} & = & \dfrac{s_n}{e} &\quad\scriptsize\mid\,\cdot e \\[5pt] s_n & = & \dfrac{n \cdot \lambda \cdot e}{g} \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll} \dfrac{n \cdot \lambda}{g} & = & \dfrac{s_n}{e} &\quad\scriptsize\mid\,\cdot e \\[5pt] s_n & = & \dfrac{n \cdot \lambda \cdot e}{g} \end{array}$

Für das Maximum 1. Ordnung ergibt sich somit:

$Formula: \begin{array}[t]{rll} s_1 & = & \dfrac{1\cdot\lambda\cdot e}{g} \\[5pt] & = & \dfrac{1\cdot 650\cdot 10^{-9}\;\mathrm{m}\cdot 0,75\;\mathrm{m}}{5,0\cdot 10^{-6}\;\mathrm{m}} \\[5pt] & = & 0,0975\;\mathrm{m} \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll} s_1 & = & \dfrac{1\cdot\lambda\cdot e}{g} \\[5pt] & = & \dfrac{1\cdot 650\cdot 10^{-9}\;\mathrm{m}\cdot 0,75\;\mathrm{m}}{5,0\cdot 10^{-6}\;\mathrm{m}} \\[5pt] & = & 0,0975\;\mathrm{m} \end{array}$

Die beiden Maxima 1. Ordnung liegen symmetrisch zum Maximum 0. Ordnung. Daraus ergibt sich für ihren Abstand:

$Formula: \begin{array}[t]{rll} 2s_1 & = & 2\cdot 0,0975\;\mathrm{m} \\[5pt] & = & 0,195\;\mathrm{m} \\[5pt] & = & 19,5\;\mathrm{cm} \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll} 2s_1 & = & 2\cdot 0,0975\;\mathrm{m} \\[5pt] & = & 0,195\;\mathrm{m} \\[5pt] & = & 19,5\;\mathrm{cm} \end{array}$

Die Maxima 1. Ordnung treffen im Abstand von $Formula: 19,5\;\mathrm{cm}$ $Formula: 19,5\;\mathrm{cm}$ voneinander auf dem Schirm auf.

2.4.2

Fünf Maxima entsprechen den Ordnungen Formula: -2, Formula: -1, Formula: 0, Formula: 1 und Formula: 2. Bei der maximalen Entfernung liegen die beiden Maxima 2. Ordnung gerade an den Schirmrändern. Daher ist $Formula: s_2 = 0,25\;\mathrm{m}.$ $Formula: s_2 = 0,25\;\mathrm{m}.$

Umstellen der Beziehung aus Teilaufgabe 2.4.1 nach der Entfernung Formula: e ergibt:

$Formula: \begin{array}[t]{rll} \dfrac{n \cdot \lambda}{g} & = & \dfrac{s_n}{e} &\quad\scriptsize\mid\,\cdot e \\[5pt] \dfrac{n \cdot \lambda \cdot e}{g} & = & s_n &\quad\scriptsize\mid\,\cdot \dfrac{g}{n \cdot \lambda} \\[5pt] e & = & \dfrac{s_n \cdot g}{n \cdot \lambda} \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll} \dfrac{n \cdot \lambda}{g} & = & \dfrac{s_n}{e} &\quad\scriptsize\mid\,\cdot e \\[5pt] \dfrac{n \cdot \lambda \cdot e}{g} & = & s_n &\quad\scriptsize\mid\,\cdot \dfrac{g}{n \cdot \lambda} \\[5pt] e & = & \dfrac{s_n \cdot g}{n \cdot \lambda} \end{array}$

Daraus folgt:

$Formula: \begin{array}[t]{rll} e & = & \dfrac{s_2\cdot g}{2\cdot\lambda} \\[5pt] & = & \dfrac{0,25\;\mathrm{m}\cdot 5,0\cdot 10^{-6}\;\mathrm{m}}{2\cdot 650\cdot 10^{-9}\;\mathrm{m}} \\[5pt] & \approx & 0,96\;\mathrm{m} \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll} e & = & \dfrac{s_2\cdot g}{2\cdot\lambda} \\[5pt] & = & \dfrac{0,25\;\mathrm{m}\cdot 5,0\cdot 10^{-6}\;\mathrm{m}}{2\cdot 650\cdot 10^{-9}\;\mathrm{m}} \\[5pt] & \approx & 0,96\;\mathrm{m} \end{array}$

Der Schirm kann somit maximal in einer Entfernung von $Formula: 0,96\;\mathrm{m}$ $Formula: 0,96\;\mathrm{m}$ beziehungsweise $Formula: 96\;\mathrm{cm}$ $Formula: 96\;\mathrm{cm}$ aufgestellt werden.