Aufgabe 1 — Energie / Radtour
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Ein Radfahrer (Gesamtmasse Fahrrad und Fahrer Für die Berechnungen werden alle Reibungsvorgänge vernachlässigt und für den Radfahrer soll das Modell des Massepunktes gelten. |
Abbildung 1: Fahrradcomputer |
Die Bewegung des Radfahrers soll für einen Abschnitt am Salzhaff betrachtet werden. Er startet zunächst bei einer Höhe von 
über Null mit einer Geschwindigkeit von 
und fährt den Scharberg hinauf. Dieser steigt gleichmäßig an und der höchste Punkt liegt 
über Null. Hier besitzt der Radfahrer noch eine Geschwindigkeit von 
Fertige zu der Bewegung des Radfahrers eine Skizze mit den gegebenen Größen an.
Berechne die kinetische und potentielle Energie am Anfang und am Ende der Bewegung sowie jeweils die Gesamtenergie des Radfahrers.
Begründe kurz den Unterschied der Gesamtenergien.
Der Radfahrer benötigt für den in Aufgabe 1.1 betrachteten Anstieg eine Zeit von 
Minuten und eine Energie von 
Bestimme die Leistung des Radfahrers für den Anstieg.
Vom Scharberg lässt sich der Radfahrer bis zu einer Höhe von 
über dem Meeresspiegel rollen.
Bestimme seine Geschwindigkeit am Ende der Strecke.
Die in Aufgabe 1.3 berechnete Geschwindigkeit ist größer als die vom Fahrradcomputer angezeigte maximale Geschwindigkeit.
Begründe kurz den Geschwindigkeitsunterschied.
Eine mögliche Skizze mit allen gegebenen Größen:
Zunächst werden die Geschwindigkeiten in die Einheit 
umgerechnet:
Beim Start in einer Höhe von 
gilt:
![Formula: \begin{array}[t]{rll} E_{\mathrm{kin}}(0) & = & \dfrac{1}{2} \cdot m \cdot v_0^2 \\[5pt] & = & \dfrac{1}{2} \cdot 80\;\mathrm{kg} \cdot \left(6,94\;\dfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\right)^2 \\[5pt] & \approx & 1\,929\;\mathrm{J} \end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/34c0461f9d2c5580312e320d5599d800a3540b82336a948b06c75ed8639ef99e_light.svg)
![Formula: \begin{array}[t]{rll} E_{\mathrm{kin}}(0) & = & \dfrac{1}{2} \cdot m \cdot v_0^2 \\[5pt] & = & \dfrac{1}{2} \cdot 80\;\mathrm{kg} \cdot \left(6,94\;\dfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\right)^2 \\[5pt] & \approx & 1\,929\;\mathrm{J} \end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/34c0461f9d2c5580312e320d5599d800a3540b82336a948b06c75ed8639ef99e_dark.svg)
![Formula: \begin{array}[t]{rll} E_{\mathrm{pot}}(0) & = & m \cdot g \cdot h_0 \\[5pt] & = & 80\;\mathrm{kg} \cdot 9,81\;\dfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2} \cdot 25\;\mathrm{m} \\[5pt] & = & 19\,620\;\mathrm{J} \end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/6ecefe5452b9330b9a5e5102dd0d5993261da99138798d4f0825c7b29cb8f7e8_light.svg)
![Formula: \begin{array}[t]{rll} E_{\mathrm{pot}}(0) & = & m \cdot g \cdot h_0 \\[5pt] & = & 80\;\mathrm{kg} \cdot 9,81\;\dfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2} \cdot 25\;\mathrm{m} \\[5pt] & = & 19\,620\;\mathrm{J} \end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/6ecefe5452b9330b9a5e5102dd0d5993261da99138798d4f0825c7b29cb8f7e8_dark.svg)
Daraus ergibt sich:
Am höchsten Punkt in einer Höhe von 
ergibt sich:
![Formula: \begin{array}[t]{rll} E_{\mathrm{kin}}(h) & = & \dfrac{1}{2} \cdot m \cdot v_1^2 \\[5pt] & = & \dfrac{1}{2} \cdot 80\;\mathrm{kg} \cdot \left(3,33\;\dfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\right)^2 \\[5pt] & \approx & 444\;\mathrm{J} \end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/ff32026b25367f7df33d579d773f3e2e33c0d148b9eceb4602ebc180b54574af_light.svg)
![Formula: \begin{array}[t]{rll} E_{\mathrm{kin}}(h) & = & \dfrac{1}{2} \cdot m \cdot v_1^2 \\[5pt] & = & \dfrac{1}{2} \cdot 80\;\mathrm{kg} \cdot \left(3,33\;\dfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\right)^2 \\[5pt] & \approx & 444\;\mathrm{J} \end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/ff32026b25367f7df33d579d773f3e2e33c0d148b9eceb4602ebc180b54574af_dark.svg)
![Formula: \begin{array}[t]{rll} E_{\mathrm{pot}}(h) & = & m \cdot g \cdot h_1 \\[5pt] & = & 80\;\mathrm{kg} \cdot 9,81\;\dfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2} \cdot 52\;\mathrm{m} \\[5pt] & \approx & 40\,810\;\mathrm{J} \end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/6fe57b22a3b1710c4a2d1464446bb8dbdd16b764255398149eea4ff4b6bfc6e2_light.svg)
![Formula: \begin{array}[t]{rll} E_{\mathrm{pot}}(h) & = & m \cdot g \cdot h_1 \\[5pt] & = & 80\;\mathrm{kg} \cdot 9,81\;\dfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2} \cdot 52\;\mathrm{m} \\[5pt] & \approx & 40\,810\;\mathrm{J} \end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/6fe57b22a3b1710c4a2d1464446bb8dbdd16b764255398149eea4ff4b6bfc6e2_dark.svg)
Daraus folgt:
Damit beträgt der Unterschied der Gesamtenergien:
Während der Auffahrt wird ein Teil der kinetischen Energie des Radfahrers in potentielle Energie umgewandelt. Da die Zunahme der potentiellen Energie größer als die Abnahme der kinetischen Energie ist, muss der Radfahrer zusätzlich Hubarbeit (mechanische Arbeit) verrichten. Diese Arbeit führt zur Zunahme der Gesamtenergie.
Die Zeit von 
entspricht 
Mit der in Aufgabe 1.1 bestimmten Energie folgt für die mittlere Leistung:
Da Reibungsvorgänge vernachlässigt werden, bleibt die mechanische Energie erhalten. Für den höchsten Punkt 1 und den Endpunkt 2 gilt daher:
![Formula: \begin{array}[t]{rll} E_{\mathrm{kin},1} + E_{\mathrm{pot},1} & = & E_{\mathrm{kin},2} + E_{\mathrm{pot},2} \\[5pt] \dfrac{1}{2} \cdot m \cdot v_1^2 + m \cdot g \cdot h_1 & = & \dfrac{1}{2} \cdot m \cdot v_2^2 + m \cdot g \cdot h_2 &\scriptsize\mid\,-m \cdot g \cdot h_2 \\[5pt] \dfrac{1}{2} \cdot m \cdot v_1^2 + m \cdot g \cdot \left(h_1-h_2\right) & = & \dfrac{1}{2} \cdot m \cdot v_2^2 &\scriptsize\mid\,\cdot\dfrac{2}{m} \\[5pt] v_1^2 + 2 \cdot g \cdot \left(h_1-h_2\right) & = & v_2^2 &\scriptsize\mid\,\sqrt{\;} \\[5pt] v_2 & = & \sqrt{v_1^2 + 2 \cdot g \cdot \left(h_1-h_2\right)} \end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/08dd72a876f698186ae65de20476abb1d836dc60839b004bab1ff87a3a57c945_light.svg)
![Formula: \begin{array}[t]{rll} E_{\mathrm{kin},1} + E_{\mathrm{pot},1} & = & E_{\mathrm{kin},2} + E_{\mathrm{pot},2} \\[5pt] \dfrac{1}{2} \cdot m \cdot v_1^2 + m \cdot g \cdot h_1 & = & \dfrac{1}{2} \cdot m \cdot v_2^2 + m \cdot g \cdot h_2 &\scriptsize\mid\,-m \cdot g \cdot h_2 \\[5pt] \dfrac{1}{2} \cdot m \cdot v_1^2 + m \cdot g \cdot \left(h_1-h_2\right) & = & \dfrac{1}{2} \cdot m \cdot v_2^2 &\scriptsize\mid\,\cdot\dfrac{2}{m} \\[5pt] v_1^2 + 2 \cdot g \cdot \left(h_1-h_2\right) & = & v_2^2 &\scriptsize\mid\,\sqrt{\;} \\[5pt] v_2 & = & \sqrt{v_1^2 + 2 \cdot g \cdot \left(h_1-h_2\right)} \end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/08dd72a876f698186ae65de20476abb1d836dc60839b004bab1ff87a3a57c945_dark.svg)
Und daraus folgt:
Einsetzen der Werte ergibt:
![Formula: \begin{array}[t]{rll} v_2 & = & \sqrt{\left(3,33\right)^2 + 2 \cdot 9,81 \cdot \left(52-37\right)}\;\dfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}} \\[5pt] & \approx & 17,5\;\dfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}} \\[5pt] & \approx & 62,9\;\dfrac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}} \end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/18d70fa10115522c1f83c22ee581ceab75a4b60541bf28d811555722515ca941_light.svg)
![Formula: \begin{array}[t]{rll} v_2 & = & \sqrt{\left(3,33\right)^2 + 2 \cdot 9,81 \cdot \left(52-37\right)}\;\dfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}} \\[5pt] & \approx & 17,5\;\dfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}} \\[5pt] & \approx & 62,9\;\dfrac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}} \end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/18d70fa10115522c1f83c22ee581ceab75a4b60541bf28d811555722515ca941_dark.svg)
In Aufgabe 1.3 wurden Reibungsvorgänge vernachlässigt. In der Realität wirken jedoch Luftwiderstand und Reibung, beispielsweise Roll- und Lagerreibung. Diese Energieverluste bremsen den Radfahrer ab. Die tatsächliche Geschwindigkeit ist daher kleiner als die berechnete Geschwindigkeit.