Aufgabe 3 — Wellenkanal

Für die Untersuchung verschiedener Eigenschaften und der Kraftverteilung einer Wasserwelle wurde im Forschungszentrum Küste in Hannover der Große Wellenkanal errichtet. Hier werden verschiedene Wellen mit einem tonnenschweren Wellenerreger am Rand eines Wellenbades erzeugt. Der Wellenerreger oszilliert in einem $Formula: 300\;\mathrm{m}$ $Formula: 300\;\mathrm{m}$ langen und $Formula: 7\;\mathrm{m}$ $Formula: 7\;\mathrm{m}$ tiefen Wellenbad harmonisch in vertikaler Richtung (siehe Abbildung 4 in Material 7). Dieser Vorgang erzeugt eine nahezu harmonische longitudinale Tiefenwelle.

3.1

Der Wellenerreger wird um $Formula: 70\;\mathrm{cm}$ $Formula: 70\;\mathrm{cm}$ in $Formula: y\text{-}$ $Formula: y\text{-}$ Richtung ausgelenkt und oszilliert harmonisch $Formula: 30\text{-}$ $Formula: 30\text{-}$ mal pro Minute.

3.1.1

Bestimme die Frequenz der Schwingung in Hertz sowie die Periodendauer.

Stelle diese Schwingung für eine volle Periode in einem $Formula: y(t)\text{-}$ $Formula: y(t)\text{-}$ Diagramm graphisch dar.

6 BE

3.1.2

Beschreibe, wie aus der Schwingung des Wellenerregers eine Welle im Wasser entsteht.

3 BE

3.1.3

Die erste Wellenfront, die im Wellenerreger erzeugt wurde, trifft nach $Formula: 50\;\mathrm{s}$ $Formula: 50\;\mathrm{s}$ auf den hinteren Beckenrand.

Berechne die Wellenlänge der erzeugten Welle.

5 BE

3.1.4

Erkläre, dass mit dieser Experimentieranordnung gleichzeitig auch transversale Wellen erzeugt werden.

3 BE

3.2

Für eine realistische Modellierung der Wellen auf dem Meer, wo die Wellen aus verschiedenen Richtungen kommen, wurde am Forschungszentrum eine neuartige Wellenmaschine entwickelt, die dreidimensionale Wellen aussenden und verschiedene Hindernisse simulieren kann. In Abbildung 5 in Material 7 ist ein Wellenbild unter Anwendung der Wellenmaschine zu sehen.

3.2.1

Vergleiche qualitativ das in Abbildung 5 dargestellte Interferenzbild mit der Interferenz einer Welle an einem Doppelspalt.

3 BE

3.2.2

Bei einem derartigen realen Experiment trifft die Welle mit der Wellenlänge $Formula: 12\;\mathrm{m}$ $Formula: 12\;\mathrm{m}$ auf Brückenpfeiler, zwischen denen der Abstand $Formula: 64\;\mathrm{m}$ $Formula: 64\;\mathrm{m}$ beträgt. Auf einer $Formula: 120\;\mathrm{m}$ $Formula: 120\;\mathrm{m}$ entfernten Wand werden Bereiche maximaler Wellenverstärkung beobachtet.

Bestimme den Abstand zwischen den Maxima 0. und 1. Ordnung.

4 BE

3.2.3

Beurteile die Folgen solcher Interferenzen der Wasserwellen für die Uferbefestigung eines Gewässers.

3 BE

3.3

Zur Untersuchung der Wellenhöhe an verschiedenen Stellen sollen Ultraschallsensoren verwendet werden. Ein Aufbau und die Funktionsweise eines Ultraschallsensors sind in Material 8 dargestellt.

Entscheide begründet, ob Ultraschallsensoren geeignet sind, die Wellenhöhe zu vermessen.

3 BE

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Material 7: Bilder des Wellenkanals

Abbildung 4: Wellenkanal

Abbildung 5: Wellenmuster hinter einer simulierten Brücke

Material 8: Funktionsprinzip eines Ultraschallsensors

Der Ultraschallsensor strahlt zyklisch einen kurzen, hochfrequenten Schallimpuls aus. Dieser pflanzt sich mit Schallgeschwindigkeit in der Luft fort.

Trifft er auf ein Objekt, wird er dort reflektiert und gelangt als Echo zurück zum Ultraschallsensor. Aus der Zeitspanne zwischen dem Aussenden des Schallimpulses und dem Empfang des Echosignals berechnet der Ultraschallsensor intern die Entfernung zum Objekt.

Schallausbreitung mit Schallimpuls, Reflexion und Echo

Abbildung 6: Messprinzip

Da die Entfernung zum Objekt über eine Schall-Laufzeitmessung und nicht über eine Intensitätsmessung bestimmt wird, haben Ultraschallsensoren eine ausgezeichnete Hintergrundausblendung.

Nahezu alle Materialien, die den Schall reflektieren, werden detektiert, unabhängig von ihrer Farbe. Selbst glasklare Materialien oder dünne Folien stellen für Ultraschallsensoren kein Problem dar.

microsonic-Sensoren erlauben Entfernungsmessungen von $Formula: 20\;\mathrm{mm}$ $Formula: 20\;\mathrm{mm}$ bis $Formula: 8\;\mathrm{m}$ $Formula: 8\;\mathrm{m}$ und können dank der Laufzeitmessung den Messwert mit millimetergenauer Auflösung erfassen. Einige Sensoren lösen das Abstandssignal sogar mit $Formula: 0,025\;\mathrm{mm}$ $Formula: 0,025\;\mathrm{mm}$ auf.

Die Ultraschallsensoren messen in staubiger Luft genauso wie durch Farbnebel hindurch. Auch dünne Ablagerungen auf der Sensormembran beeinträchtigen die Sensorfunktion nicht.

Sensoren mit einer Blindzone von nur $Formula: 20\;\mathrm{mm}$ $Formula: 20\;\mathrm{mm}$ und mit einer extrem schlanken Schallkeule erschließen heute gänzlich neue Anwendungen: Füllstandsmessungen in Wells von Mikrotiterplatten und Reagenzgläsern oder das Abtasten von kleinen Flaschen in der Verpackungsindustrie lassen sich problemlos realisieren. Sogar dünne Drähte werden sicher erkannt.

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3.1.1

Bestimmen der Frequenz und Periodendauer

Der Wellenerreger führt in $Formula: 60\;\mathrm{s}$ $Formula: 60\;\mathrm{s}$ insgesamt Formula: 30 Schwingungen aus. Daraus folgt:

$Formula: f= \dfrac{n}{t}= \dfrac{30}{60\;\mathrm{s}} = 0,5\;\mathrm{Hz}$ $Formula: f= \dfrac{n}{t}= \dfrac{30}{60\;\mathrm{s}} = 0,5\;\mathrm{Hz}$

Die Periodendauer ist der Kehrwert der Frequenz:

$Formula: T = \dfrac{1}{f}= \dfrac{1}{0,5\;\mathrm{Hz}} = 2\;\mathrm{s}$ $Formula: T = \dfrac{1}{f}= \dfrac{1}{0,5\;\mathrm{Hz}} = 2\;\mathrm{s}$

Graphische Darstellung der Schwingung

Diagramm einer wellenförmigen Kurve mit y in cm über t in s

3.1.2

Der Wellenerreger übt periodisch Druck auf die Wassermoleküle aus, der sich im Wasser ausbreitet. Die Wassermoleküle sind durch diesen Druck miteinander gekoppelt, sodass sich die Schwingung im Raum ausbreitet.

3.1.3

Die erste Wellenfront legt innerhalb von $Formula: 50\;\mathrm{s}$ $Formula: 50\;\mathrm{s}$ die Länge des $Formula: 300\;\mathrm{m}$ $Formula: 300\;\mathrm{m}$ langen Wellenkanals zurück. Daraus folgt:

$Formula: c = \dfrac{\Delta s}{\Delta t}= \dfrac{300\;\mathrm{m}}{50\;\mathrm{s}} = 6\;\mathrm{\dfrac{m}{s}}$ $Formula: c = \dfrac{\Delta s}{\Delta t}= \dfrac{300\;\mathrm{m}}{50\;\mathrm{s}} = 6\;\mathrm{\dfrac{m}{s}}$

Die Welle breitet sich somit mit $Formula: c = 6\;\mathrm{\tfrac{m}{s}}$ $Formula: c = 6\;\mathrm{\tfrac{m}{s}}$ aus.

Für die Wellenlänge folgt daraus:

$Formula: \lambda = c \cdot T = 6\;\mathrm{\dfrac{m}{s}} \cdot 2\;\mathrm{s} = 12\;\mathrm{m}$ $Formula: \lambda = c \cdot T = 6\;\mathrm{\dfrac{m}{s}} \cdot 2\;\mathrm{s} = 12\;\mathrm{m}$

3.1.4

Druckwellen sind Longitudinalwellen. An der Wasseroberfläche ist der Gegendruck durch die Luft jedoch verschwindend gering, sodass die Kraftkomponente nach oben nicht ausgeglichen wird.

Dadurch entsteht dort eine Schwingung nach oben beziehungsweise unten, die senkrecht zur Ausbreitungsrichtung der Welle entlang des Wellenkanals verläuft. Somit wird eine Transversalwelle erzeugt.

3.2.1

Gemeinsamkeiten:

Das Interferenzbild in Abbildung 5 in Material 7 zeigt Bereiche der Verstärkung und Auslöschung wie das Interferenzbild am Doppelspalt.
Die Bereiche der Auslöschung beziehungsweise Verstärkung sind wie beim Interferenzbild am Doppelspalt symmetrisch angeordnet.

Unterschiede:

Es sind keine wesentlichen Unterschiede erkennbar.

Fazit:

Das Interferenzbild in Abbildung 5 sieht somit qualitativ so wie das Interferenzbild am Doppelspalt aus.

3.2.2

Mit der Kleinwinkelnäherung gilt:

$Formula: \begin{array}[t]{rll} \dfrac{k \cdot \lambda}{d} & = & \dfrac{s_k}{e} &\quad\scriptsize\mid\, \cdot e \\[5pt] s_k & = & \dfrac{k \cdot \lambda \cdot e}{d} \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll} \dfrac{k \cdot \lambda}{d} & = & \dfrac{s_k}{e} &\quad\scriptsize\mid\, \cdot e \\[5pt] s_k & = & \dfrac{k \cdot \lambda \cdot e}{d} \end{array}$

Für Formula: k=1 folgt durch Einsetzen der Werte:

$Formula: s_1 = \dfrac{1 \cdot \lambda \cdot e}{d} = \dfrac{12\;\mathrm{m} \cdot 120\;\mathrm{m}}{64\;\mathrm{m}} = 22,5\;\mathrm{m}$ $Formula: s_1 = \dfrac{1 \cdot \lambda \cdot e}{d} = \dfrac{12\;\mathrm{m} \cdot 120\;\mathrm{m}}{64\;\mathrm{m}} = 22,5\;\mathrm{m}$

Der Abstand zwischen den Maxima 0. und 1. Ordnung beträgt somit $Formula: 22,5\;\mathrm{m}.$ $Formula: 22,5\;\mathrm{m}.$

3.2.3

In den Bereichen konstruktiver Interferenz kommt es zu einer verstärkten Abnutzung der Uferbefestigung. In den Bereichen destruktiver Interferenz wird die Uferbefestigung dagegen kaum angegriffen.

Die ungleichmäßige Abnutzung der Uferbefestigung muss bei der Wartung berücksichtigt werden. Beispielsweise darf bei einer Untersuchung des Erhaltungszustands der Uferbefestigung nicht ausschließlich in Bereichen destruktiver Interferenz geprüft werden.

3.3

Der Messbereich der Ultraschallsensoren liegt zwischen $Formula: 20\;\mathrm{mm}$ $Formula: 20\;\mathrm{mm}$ bis $Formula: 8\;\mathrm{m}.$ $Formula: 8\;\mathrm{m}.$ Dieser Bereich ist für den Wellenkanal geeignet, da der Sensor in einem Abstand von mehr als $Formula: 20\;\mathrm{mm}$ $Formula: 20\;\mathrm{mm}$ oberhalb der Wasseroberfläche angebracht werden kann und die Abstände deutlich unter $Formula: 8\;\mathrm{m}$ $Formula: 8\;\mathrm{m}$ liegen.

Die Auflösung im Millimeterbereich ist für Wasserwellen hinreichend, deren Amplitude im Dezimeterbereich liegt (siehe Aufgabenstellung 3.1).

Weitere Eigenschaften der Sensoren sind ebenfalls vorteilhaft für die Vermessung der Wellenhöhe:

ausgezeichnete Hintergrundausblendung
Funktionstüchtigkeit bei transparenten Materialien wie Wasser
Toleranz gegenüber Nebel und Ablagerungen auf dem Sensor, wie sie durch Spritzwasser entstehen können

Die Ultraschallsensoren sind folglich geeignet, die Wellenhöhe zu vermessen.

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