Aufgabe 4 — Kondensatorentladung und Schwingkreis

Es wird die abgebildete elektrische Schaltung betrachtet. Im ersten Experiment wird der aufgeladene Kondensator nach dem Umlegen des Schalters über den ohmschen Widerstand von $Formula: 500\;\Omega$ $Formula: 500\;\Omega$ entladen.

Schaltskizze eines elektrischen Stromkreises mit Schalter, Batterie und Widerstand

Abbildung 3: Schaltplan

4.1

Für das 1. Experiment sind in der folgenden Tabelle einige Messwerte enthalten.

$Formula: \boldsymbol{t}$ $Formula: \boldsymbol{t}$ in $Formula: \boldsymbol{\mathrm{ms}}$ $Formula: \boldsymbol{\mathrm{ms}}$	$Formula: \boldsymbol{I}$ $Formula: \boldsymbol{I}$ in $Formula: \boldsymbol{\mathrm{mA}}$ $Formula: \boldsymbol{\mathrm{mA}}$

Tabelle 2: Messwerte

Berechne die anliegende Spannung zum Zeitpunkt $Formula: t = 0\;\mathrm{s}.$ $Formula: t = 0\;\mathrm{s}.$

Stelle die Messwerte in einem Diagramm grafisch dar.

Ermittle mit Hilfe der grafischen Darstellung die Ladung und die Kapazität des Kondensators.

10 BE

4.2

Im zweiten Experiment wird der ohmsche Widerstand durch eine Spule mit der Windungszahl Formula: 1000 und einer Länge von $Formula: 4,0\;\mathrm{cm}$ $Formula: 4,0\;\mathrm{cm}$ ersetzt. Der Schalter befindet sich zu Beginn wieder in der Ausgangsstellung, sodass der Kondensator aufgeladen wird.

Anschließend wird der Schalter umgelegt, sodass sich der Kondensator über die Spule entlädt.

In der Abbildung 4 wird der entstehende Spannungsverlauf für eine ideale ungedämpfte Schwingung dargestellt.

Sinusförmige Spannungszeitkurve mit Achsen U in V und t in s.

Abbildung 4: $Formula: U(t)\text{-}$ $Formula: U(t)\text{-}$ Diagramm für eine ungedämpfte Schwingung

Erläutere die Vorgänge, die zur Entstehung einer ungedämpften Schwingung führen.

Gib die Schwingungsdauer an.

Berechne damit die Induktivität der Spule, wenn die Kapazität des Kondensators $Formula: 20\;\mathrm{\mu F}$ $Formula: 20\;\mathrm{\mu F}$ beträgt.

Berechne die Querschnittsfläche, die die Spule für die ermittelte Induktivität haben müsste.

10 BE

4.1

Berechnen der anliegenden Spannung

Zum Zeitpunkt $Formula: t = 0\;\mathrm{s}$ $Formula: t = 0\;\mathrm{s}$ beträgt die Stromstärke $Formula: I_0 = 30\;\mathrm{mA}.$ $Formula: I_0 = 30\;\mathrm{mA}.$ Mit dem ohmschen Gesetz folgt für die anliegende Spannung:

$Formula: \begin{array}[t]{rll} U_0 & = & R\cdot I_0 \\[5pt] & = & 500\;\Omega\cdot 30\cdot 10^{-3}\;\mathrm{A} \\[5pt] & = & 15\;\mathrm{V} \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll} U_0 & = & R\cdot I_0 \\[5pt] & = & 500\;\Omega\cdot 30\cdot 10^{-3}\;\mathrm{A} \\[5pt] & = & 15\;\mathrm{V} \end{array}$

Messwerte grafisch darstellen

I(t)-Diagramm mit fallender Kurve von 30 mA auf nahezu 0 mA über 40 ms.

Ermitteln der Ladung und der Kapazität des Kondensators

Die Ladung, die beim Entladen vom Kondensator abfließt, entspricht der Fläche unter dem $Formula: I(t)\text{-}$ $Formula: I(t)\text{-}$ Diagramm.

Durch Auszählen der Kästchen ergibt sich näherungsweise eine Fläche von Formula: 11,5 Kästchen. Ein Kästchen entspricht $Formula: 5\;\mathrm{ms}\cdot 5\;\mathrm{mA}.$ $Formula: 5\;\mathrm{ms}\cdot 5\;\mathrm{mA}.$ Damit folgt:

$Formula: \begin{array}[t]{rll} Q & \approx & 11,5\cdot 5\;\mathrm{ms}\cdot 5\;\mathrm{mA} \\[5pt] & = & 11,5\cdot 5\cdot 10^{-3}\;\mathrm{s}\cdot 5\cdot 10^{-3}\;\mathrm{A} \\[5pt] & = & 2,875\cdot 10^{-4}\;\mathrm{C} \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll} Q & \approx & 11,5\cdot 5\;\mathrm{ms}\cdot 5\;\mathrm{mA} \\[5pt] & = & 11,5\cdot 5\cdot 10^{-3}\;\mathrm{s}\cdot 5\cdot 10^{-3}\;\mathrm{A} \\[5pt] & = & 2,875\cdot 10^{-4}\;\mathrm{C} \end{array}$

Aus $Formula: Q = C\cdot U_0$ $Formula: Q = C\cdot U_0$ ergibt sich für die Kapazität:

$Formula: \begin{array}[t]{rll} C & = & \dfrac{Q}{U_0} \\[5pt] & = & \dfrac{2,875\cdot 10^{-4}\;\mathrm{C}}{15\;\mathrm{V}} \\[5pt] & \approx & 1,92\cdot 10^{-5}\;\mathrm{F} \\[5pt] & = & 19,2\;\mu\mathrm{F} \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll} C & = & \dfrac{Q}{U_0} \\[5pt] & = & \dfrac{2,875\cdot 10^{-4}\;\mathrm{C}}{15\;\mathrm{V}} \\[5pt] & \approx & 1,92\cdot 10^{-5}\;\mathrm{F} \\[5pt] & = & 19,2\;\mu\mathrm{F} \end{array}$

4.2

Erläutern der Vorgänge

Zu Beginn ist der Kondensator vollständig aufgeladen. Seine Spannung beträgt $Formula: U_{\mathrm{max}},$ $Formula: U_{\mathrm{max}},$ während der Strom Formula: I = 0 ist. Die Energie liegt vollständig als elektrische Feldenergie im Kondensator vor.

Nach dem Umlegen des Schalters entlädt sich der Kondensator über die Spule. Die Stromstärke nimmt zu und die elektrische Feldenergie wird in magnetische Feldenergie der Spule umgewandelt. Aufgrund der Selbstinduktion steigt die Stromstärke nicht sprunghaft an.

Ist der Kondensator vollständig entladen, gilt Formula: U = 0 und $Formula: I = I_{\mathrm{max}}.$ $Formula: I = I_{\mathrm{max}}.$ Die Energie liegt nun vollständig als magnetische Feldenergie vor. Der Strom fließt wegen der Selbstinduktion der Spule weiter und lädt den Kondensator mit umgekehrter Polarität auf.

Anschließend kehrt sich die Stromrichtung um und die Vorgänge wiederholen sich periodisch.

Angeben der Schwingungsdauer und Berechnen der Induktivität

Aus dem Spannungsverlauf ergibt sich die Schwingungsdauer $Formula: T = 0,010\;\mathrm{s}.$ $Formula: T = 0,010\;\mathrm{s}.$

Für einen idealen LC-Schwingkreis gilt die Thomsonsche Schwingungsgleichung $Formula: T = 2\cdot\pi\cdot\sqrt{L\cdot C}.$ $Formula: T = 2\cdot\pi\cdot\sqrt{L\cdot C}.$ Umstellen nach der Induktivität ergibt:

$Formula: \begin{array}[t]{rll} T & = & 2\cdot\pi\cdot\sqrt{L\cdot C} &\quad\scriptsize\mid\,\cdot \dfrac{1}{2\cdot\pi} \\[5pt] \dfrac{T}{2\cdot\pi} & = & \sqrt{L\cdot C} &\quad\scriptsize\mid\,(\;)^2 \\[5pt] \dfrac{T^2}{4\cdot\pi^2} & = & L\cdot C &\quad\scriptsize\mid\,\cdot \dfrac{1}{C} \\[5pt] L & = & \dfrac{T^2}{4\cdot\pi^2\cdot C} \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll} T & = & 2\cdot\pi\cdot\sqrt{L\cdot C} &\quad\scriptsize\mid\,\cdot \dfrac{1}{2\cdot\pi} \\[5pt] \dfrac{T}{2\cdot\pi} & = & \sqrt{L\cdot C} &\quad\scriptsize\mid\,(\;)^2 \\[5pt] \dfrac{T^2}{4\cdot\pi^2} & = & L\cdot C &\quad\scriptsize\mid\,\cdot \dfrac{1}{C} \\[5pt] L & = & \dfrac{T^2}{4\cdot\pi^2\cdot C} \end{array}$

Einsetzen von $Formula: T = 0,010\;\mathrm{s}$ $Formula: T = 0,010\;\mathrm{s}$ und $Formula: C = 20\;\mu\mathrm{F}$ $Formula: C = 20\;\mu\mathrm{F}$ ergibt:

$Formula: \begin{array}[t]{rll} L & = & \dfrac{(0,010\;\mathrm{s})^2}{4\cdot\pi^2\cdot 20\cdot 10^{-6}\;\mathrm{F}} \\[5pt] & \approx & 0,1266\;\mathrm{H} \\[5pt] & = & 126,6\;\mathrm{mH} \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll} L & = & \dfrac{(0,010\;\mathrm{s})^2}{4\cdot\pi^2\cdot 20\cdot 10^{-6}\;\mathrm{F}} \\[5pt] & \approx & 0,1266\;\mathrm{H} \\[5pt] & = & 126,6\;\mathrm{mH} \end{array}$

Berechnen der Querschnittsfläche

Für eine lange Spule gilt $Formula: L = \mu_0\cdot\tfrac{N^2\cdot A}{l}.$ $Formula: L = \mu_0\cdot\tfrac{N^2\cdot A}{l}.$ Umstellen nach der Querschnittsfläche ergibt:

$Formula: \begin{array}[t]{rll} L & = & \mu_0\cdot\dfrac{N^2\cdot A}{l} &\quad\scriptsize\mid\,\cdot \dfrac{l}{\mu_0\cdot N^2} \\[5pt] \dfrac{L\cdot l}{\mu_0\cdot N^2} & = & A \\[5pt] A & = & \dfrac{L\cdot l}{\mu_0\cdot N^2} \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll} L & = & \mu_0\cdot\dfrac{N^2\cdot A}{l} &\quad\scriptsize\mid\,\cdot \dfrac{l}{\mu_0\cdot N^2} \\[5pt] \dfrac{L\cdot l}{\mu_0\cdot N^2} & = & A \\[5pt] A & = & \dfrac{L\cdot l}{\mu_0\cdot N^2} \end{array}$

Mit Formula: N = 1000, $Formula: l = 4,0\;\mathrm{cm} = 0,040\;\mathrm{m}$ $Formula: l = 4,0\;\mathrm{cm} = 0,040\;\mathrm{m}$ und $Formula: \mu_0 = 4\cdot\pi\cdot 10^{-7}\;\tfrac{\mathrm{H}}{\mathrm{m}}$ $Formula: \mu_0 = 4\cdot\pi\cdot 10^{-7}\;\tfrac{\mathrm{H}}{\mathrm{m}}$ folgt:

$Formula: \begin{array}[t]{rll} A & = & \dfrac{0,1266\;\mathrm{H}\cdot 0,040\;\mathrm{m}}{4\cdot\pi\cdot 10^{-7}\;\tfrac{\mathrm{H}}{\mathrm{m}}\cdot 1000^2} \\[5pt] & \approx & 4,03\cdot 10^{-3}\;\mathrm{m}^2 \\[5pt] & = & 40,3\;\mathrm{cm}^2 \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll} A & = & \dfrac{0,1266\;\mathrm{H}\cdot 0,040\;\mathrm{m}}{4\cdot\pi\cdot 10^{-7}\;\tfrac{\mathrm{H}}{\mathrm{m}}\cdot 1000^2} \\[5pt] & \approx & 4,03\cdot 10^{-3}\;\mathrm{m}^2 \\[5pt] & = & 40,3\;\mathrm{cm}^2 \end{array}$