Aufgabe 3 — Wellenoptik mit Schülerexperiment

3.1

Bestimme experimentell die Wellenlänge einfarbigen Lichts mithilfe eines optischen Gitters. Einzelheiten zum Versuchsaufbau und zu den verwendeten Geräten werden am Arbeitsplatz mitgeteilt.

3.1.1

Beschreibe anhand einer Skizze den Versuchsaufbau sowie die Durchführung der Messungen. Protokolliere mindestens für drei verschiedene Abstände (Gitter – Bildschirm) die Messwerte.

6 BE

3.1.2

Berechne die Wellenlänge des einfarbigen Lichts aus den Messwerten. Vergleiche das Ergebnis mit Angaben im Tafelwerk und gib mögliche Fehlerquellen an.

5 BE

3.2

Ein Gitter mit Formula: 300 Linien pro Millimeter wird senkrecht mit dem Licht eines Lasers A mit der Wellenlänge $Formula: 635\;\mathrm{nm}$ $Formula: 635\;\mathrm{nm}$ beleuchtet. Im ersten Versuch entstand Aufnahme 1 des Interferenzbildes bis zu den Maxima 2. Ordnung.

Die Aufnahme 2 bis zu den Maxima 3. Ordnung entstand unter Verwendung eines Lasers B mit einer anderen Wellenlänge und einem identischen Versuchsaufbau mit demselben Gitter. Beide Aufnahmen wurden im selben Maßstab untereinander abgebildet. Die Abstände zweier Teilstriche im Maßstab betragen $Formula: 1\;\mathrm{mm}.$ $Formula: 1\;\mathrm{mm}.$

Die Maxima 0. Ordnung befinden sich mittig übereinander.

Abbildung 4: Skizze für den betrachteten Abschnitt aus den Interferenzaufnahmen

3.2.1

Berechne die Wellenlänge des Lasers B und gib die Farbe dieses Lichts an.

4 BE

3.2.2

Ermittle die Anzahl der Lichtpunkte auf dem Schirm, die bei Verwendung des Lasers A höchstens sichtbar sein können.

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3.1

3.1.1

Versuchsaufbau:

Eine monochromatische Lichtquelle wird so aufgestellt, dass ihr Lichtstrahl exakt senkrecht auf ein optisches Gitter trifft. Hinter dem Gitter wird in einem definierten Abstand ein Schirm platziert, um das entstehende Interferenzmuster (die Beugungsmaxima) aufzufangen.

Beschreibung der Durchführung

Der Laser, das Gitter und der Bildschirm werden in einer Linie aufgebaut.
Das Gitter und der Schirm werden exakt parallel zueinander und senkrecht zum Laserstrahl ausgerichtet.
Der Abstand zwischen dem Gitter und dem Bildschirm wird gemessen und notiert.
Auf dem Schirm werden die Abstände der Maxima $Formula: k\text{-}$ $Formula: k\text{-}$ ter Ordnung zum Hauptmaximum 0. Ordnung gemessen.
Der Abstand zwischen Gitter und Schirm wird verändert. Dieser Vorgang wird wiederholt, sodass Messwerte für mindestens drei verschiedene Abstände vorliegen.

Messprotokoll

Angabe der Gitterkonstanten und Lichtfarbe.

Messwerttabelle mit Werten für den Abstand Gitter-Schirm (mindestens drei verschiedene Abstände), den Abstand und die Ordnung der Maxima

3.1.2

Da die Beugungswinkel sehr klein sind, kann die Näherung $Formula: \sin(\alpha) \approx \tan(\alpha)$ $Formula: \sin(\alpha) \approx \tan(\alpha)$ angewendet werden. Daraus ergibt sich für die Wellenlänge die Formel:

$Formula: \begin{array}[t]{rll}\dfrac{k \cdot \lambda}{b} & = & \dfrac{s_{{k}}}{e_{{k}}} \quad&\mid \cdot \dfrac{b}{k} \\[5pt] \lambda & = & \dfrac{b \cdot s_{{k}}}{e_{{k}} \cdot k}\end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll}\dfrac{k \cdot \lambda}{b} & = & \dfrac{s_{{k}}}{e_{{k}}} \quad&\mid \cdot \dfrac{b}{k} \\[5pt] \lambda & = & \dfrac{b \cdot s_{{k}}}{e_{{k}} \cdot k}\end{array}$

Damit kann für jede Messung die Wellenlänge berechnet werden und schließlich der Mittelwert der Wellenlänge gebildet werden.

Anschließend wird das Ergebnis mit dem Tafelwerk verglichen und eine Fehlerbetrachtung durchgeführt.

3.2

3.2.1

Die Gittergleichung (siehe 3.1.2) kann nach Formula: s_k aufgelöst werden:

$Formula: \begin{array}[t]{rll}\dfrac{k \cdot \lambda}{b} & = & \dfrac{s_{{k}}}{e_{{k}}} \quad&\mid \cdot e_{{k}} \\[5pt] \dfrac{k \cdot \lambda \cdot e_{{k}}}{b} & = & s_{{k}}\end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll}\dfrac{k \cdot \lambda}{b} & = & \dfrac{s_{{k}}}{e_{{k}}} \quad&\mid \cdot e_{{k}} \\[5pt] \dfrac{k \cdot \lambda \cdot e_{{k}}}{b} & = & s_{{k}}\end{array}$

Aus der Abbildung der Interferenzaufnahmen ist zudem erkennbar, dass das Maximum 2. Ordnung des Lasers A exakt an der gleichen horizontalen Position liegt wie das Maximum 3. Ordnung des Lasers B. Daraus ergibt sich für die Abstände auf dem Schirm der mathematische Zusammenhang $Formula: s_{2,\mathrm{A}} = s_{3,\mathrm{B}}$ $Formula: s_{2,\mathrm{A}} = s_{3,\mathrm{B}}$ . Daraus folgt:

$Formula: 2 \cdot \lambda_{\mathrm{A}} = 3 \cdot \lambda_{\mathrm{B}}$ $Formula: 2 \cdot \lambda_{\mathrm{A}} = 3 \cdot \lambda_{\mathrm{B}}$

Umgestellt nach der gesuchten Wellenlänge $Formula: \lambda_{\mathrm{B}}$ $Formula: \lambda_{\mathrm{B}}$ ergibt sich die Gleichung:

$Formula: \lambda_{\mathrm{B}} = \frac{2}{3} \cdot \lambda_{\mathrm{A}}$ $Formula: \lambda_{\mathrm{B}} = \frac{2}{3} \cdot \lambda_{\mathrm{A}}$

Durch Einsetzen der gegebenen Wellenlänge $Formula: \lambda_{\mathrm{A}} = 635 \; \mathrm{nm}$ $Formula: \lambda_{\mathrm{A}} = 635 \; \mathrm{nm}$ für Laser A kann der Wert berechnet werden:

$Formula: \lambda_{\mathrm{B}} = \frac{2}{3} \cdot 635 \; \mathrm{nm} \approx 423 \; \mathrm{nm}$ $Formula: \lambda_{\mathrm{B}} = \frac{2}{3} \cdot 635 \; \mathrm{nm} \approx 423 \; \mathrm{nm}$

Die Wellenlänge beträgt etwa $Formula: 423 \; \mathrm{nm}$ $Formula: 423 \; \mathrm{nm}$ und entspricht damit der Farbe Violett im sichtbaren Spektrum.

3.2.2

Um die maximale Anzahl der Lichtpunkte zu ermitteln, wird im ersten Schritt die Gitterkonstante Formula: b aus der angegebenen Liniendichte von Formula: 300 Linien pro Millimeter berechnet:

$Formula: \begin{array}[t]{rll} b &=& \dfrac{1}{300\;\mathrm{mm}^{-1}} \\[5pt] &=& \dfrac{1}{300000\;\mathrm{m}^{-1}} \\[5pt] &\approx& 3,33 \cdot 10^{-6}\;\mathrm{m} \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll} b &=& \dfrac{1}{300\;\mathrm{mm}^{-1}} \\[5pt] &=& \dfrac{1}{300000\;\mathrm{m}^{-1}} \\[5pt] &\approx& 3,33 \cdot 10^{-6}\;\mathrm{m} \end{array}$

Es gilt die Gittergleichung:

$Formula: \begin{array}[t]{rll}k \cdot \lambda &=& b \cdot \sin(\alpha) \quad&\mid \cdot \dfrac{1}{b} \\[5pt] \sin(\alpha) &=& \dfrac{k \cdot \lambda}{b} \\[5pt]\end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll}k \cdot \lambda &=& b \cdot \sin(\alpha) \quad&\mid \cdot \dfrac{1}{b} \\[5pt] \sin(\alpha) &=& \dfrac{k \cdot \lambda}{b} \\[5pt]\end{array}$

Da der Beugungswinkel $Formula: \alpha$ $Formula: \alpha$ nicht größer als $Formula: 90^\circ$ $Formula: 90^\circ$ sein darf, folgt $Formula: \sin(\alpha) \le 1.$ $Formula: \sin(\alpha) \le 1.$ Durch Einsetzen dieser Bedingung in die Gittergleichung folgt:

$Formula: \begin{array}[t]{rll}\dfrac{k \cdot \lambda}{b} &\le& 1 \quad&\mid \cdot \dfrac{b}{\lambda} \\[5pt] k &\le& \dfrac{b}{\lambda} \\[5pt]\end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll}\dfrac{k \cdot \lambda}{b} &\le& 1 \quad&\mid \cdot \dfrac{b}{\lambda} \\[5pt] k &\le& \dfrac{b}{\lambda} \\[5pt]\end{array}$

Werden die Gitterkonstante und die Wellenlänge von Laser A eingesetzt, ergeben sich folgende Werte:

$Formula: k \le \frac{3,33 \cdot 10^{-6} \; \mathrm{m}}{635 \cdot 10^{-9} \; \mathrm{m}}=5,24$ $Formula: k \le \frac{3,33 \cdot 10^{-6} \; \mathrm{m}}{635 \cdot 10^{-9} \; \mathrm{m}}=5,24$

Da die Beugungsordnung Formula: k zwingend eine ganze Zahl sein muss, gibt es in diesem Versuchsaufbau für Laser A Beugungsmaxima bis zur 5. Ordnung ( $Formula: k_{\mathrm{max}} = 5$ $Formula: k_{\mathrm{max}} = 5$ ). Folglich sind insgesamt Formula: 11 Maxima möglich.

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