Aufgabe 4 — BOHR'sches Atommodell

Für das BOHR'sche Atommodell des Wasserstoff-Atoms gilt für die Energiewerte auf der Formula: n -ten Bahn die Serienformel: $Formula: E_n=-\tfrac{13,6\;\text{eV}}{n^2}.$ $Formula: E_n=-\tfrac{13,6\;\text{eV}}{n^2}.$

4.1

Berechne die Energiewerte für Formula: n=1 bis Formula: n=4.

Zeichne damit ein Energieniveauschema maßstabsgerecht.

4 BE

4.2

Für diese Aufgabe wird angenommen, dass zunächst eine Anregung des Atoms aus dem Grundzustand Formula: n=1 bis in den angeregten Zustand Formula: n=4 erfolgt ist.

Überprüfe, ob Stöße mit externen Elektronen, die über eine kinetische Energie von $Formula: 10\;\text{eV}$ $Formula: 10\;\text{eV}$ verfügen, als Ursache dafür möglich sind.

Beim Übergang in energieärmere Zustände kann sichtbares Licht emittiert werden, wenn der Übergang in den Zustand Formula: n=2 erfolgt.

Zeichne für jede dieser Möglichkeiten den Übergang im Energieniveauschema ein und berechne jeweils die Wellenlänge.

10 BE

4.3

Sichtbares Licht einer Wasserstoffröhre wird mit einem optischen Gitter, das Formula: 600 Linien je Millimeter aufweist, in einem Interferenzexperiment untersucht. Dabei beträgt der Abstand zwischen Gitter und Schirm $Formula: 40\;\text{cm},$ $Formula: 40\;\text{cm},$ für den Abstand der beiden Maxima 1. Ordnung werden $Formula: 23\;\text{cm}$ $Formula: 23\;\text{cm}$ abgelesen.

Ermittle aus den Messwerten die Wellenlänge des Lichts und gib den dazugehörenden Übergang im Energieniveauschema an.

Hinweis: Verwende die Näherung für kleine Winkel $Formula: \alpha: \sin (\alpha) \approx \tan (\alpha).$ $Formula: \alpha: \sin (\alpha) \approx \tan (\alpha).$

6 BE

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4.1

Energiewerte berechnen

$Formula: \boldsymbol{n}$ $Formula: \boldsymbol{n}$	$Formula: \boldsymbol{E}$ $Formula: \boldsymbol{E}$ in $Formula: \text{V}$ $Formula: \text{V}$

Energieniveauschema zeichnen

Energie-Niveau-Diagramm mit markierten Linien bei -0,85 eV, -1,51 eV, -3,4 eV und -13,6 eV

4.2

Ursache überprüfen

Für den Übergang von Formula: n=1 zu Formula: n=4 wäre ein Energiebetrag von $Formula: -0,85\;\mathrm{eV}-(-13,6\;\mathrm{eV})=12,75\;\mathrm{eV}$ $Formula: -0,85\;\mathrm{eV}-(-13,6\;\mathrm{eV})=12,75\;\mathrm{eV}$ notwendig. Daher sind Stöße mit externen Elektronen, die über eine kinetische Energie von $Formula: 10\;\text{eV}$ $Formula: 10\;\text{eV}$ verfügen, dafür als Ursache nicht möglich.

Übergänge einzeichnen

Energie-Niveau-Diagramm mit Linien bei -0,85; -1,51; -3,4; -13,6 eV und Pfeilen, die elektronische Übergänge anzeigen

Wellenlängen berechnen

Für den Übergang $Formula: 4\rightarrow2$ $Formula: 4\rightarrow2$ gilt:

$Formula: \begin{array}[t]{rll} \Delta E & = & \dfrac{h \cdot c}{\lambda} &\quad\scriptsize\mid\,\cdot \dfrac{\lambda}{\Delta E} \\[5pt] \lambda & = & \dfrac{h \cdot c}{\Delta E} \\[5pt] \lambda & = & \dfrac{6,626\cdot10^{-34}\;\text{J}\cdot\text{s}\cdot 3\cdot10^8\;\tfrac{\text{m}}{\text{s}}}{2,55\;\mathrm{eV}} \\[5pt] \lambda & \approx & 486\;\mathrm{nm} \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll} \Delta E & = & \dfrac{h \cdot c}{\lambda} &\quad\scriptsize\mid\,\cdot \dfrac{\lambda}{\Delta E} \\[5pt] \lambda & = & \dfrac{h \cdot c}{\Delta E} \\[5pt] \lambda & = & \dfrac{6,626\cdot10^{-34}\;\text{J}\cdot\text{s}\cdot 3\cdot10^8\;\tfrac{\text{m}}{\text{s}}}{2,55\;\mathrm{eV}} \\[5pt] \lambda & \approx & 486\;\mathrm{nm} \end{array}$

Für den Übergang $Formula: 3\rightarrow2$ $Formula: 3\rightarrow2$ gilt:

$Formula: \begin{array}[t]{rll} \Delta E & = & \dfrac{h \cdot c}{\lambda} &\quad\scriptsize\mid\,\cdot \dfrac{\lambda}{\Delta E} \\[5pt] \lambda & = & \dfrac{h \cdot c}{\Delta E} \\[5pt] \lambda & = & \dfrac{6,626\cdot10^{-34}\;\text{J}\cdot\text{s}\cdot 3\cdot10^8\;\tfrac{\text{m}}{\text{s}}}{1,89\;\mathrm{eV}} \\[5pt] \lambda & \approx & 656\;\mathrm{nm} \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll} \Delta E & = & \dfrac{h \cdot c}{\lambda} &\quad\scriptsize\mid\,\cdot \dfrac{\lambda}{\Delta E} \\[5pt] \lambda & = & \dfrac{h \cdot c}{\Delta E} \\[5pt] \lambda & = & \dfrac{6,626\cdot10^{-34}\;\text{J}\cdot\text{s}\cdot 3\cdot10^8\;\tfrac{\text{m}}{\text{s}}}{1,89\;\mathrm{eV}} \\[5pt] \lambda & \approx & 656\;\mathrm{nm} \end{array}$

4.3

Die Näherung für kleine Winkel liefert $Formula: \tfrac{1 \cdot \lambda}{d} \approx \sin (\alpha) \approx \tfrac{s}{e}$ $Formula: \tfrac{1 \cdot \lambda}{d} \approx \sin (\alpha) \approx \tfrac{s}{e}$ und damit:

$Formula: \begin{array}[t]{rll} \dfrac{1 \cdot \lambda}{d} & \approx & \dfrac{s}{e} &\quad\scriptsize\mid\,\cdot d \\[5pt] \lambda & = & \dfrac{s \cdot d}{e} \\[5pt] \lambda & = & \dfrac{0,23\;\mathrm{m} \cdot \tfrac{0,001\;\mathrm{m}}{600}}{2 \cdot 0,4\;\mathrm{m}} \\[5pt] \lambda & \approx & 480\;\mathrm{nm} \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll} \dfrac{1 \cdot \lambda}{d} & \approx & \dfrac{s}{e} &\quad\scriptsize\mid\,\cdot d \\[5pt] \lambda & = & \dfrac{s \cdot d}{e} \\[5pt] \lambda & = & \dfrac{0,23\;\mathrm{m} \cdot \tfrac{0,001\;\mathrm{m}}{600}}{2 \cdot 0,4\;\mathrm{m}} \\[5pt] \lambda & \approx & 480\;\mathrm{nm} \end{array}$

Somit handelt es sich um den Übergang $Formula: 4\rightarrow2.$ $Formula: 4\rightarrow2.$

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