Aufgabe 2 — Induktion

2.1

Zwei Spulen befinden sich hintereinander auf einem langen Eisenkern. Die erste Spule ist mit einer regelbaren Gleichstromquelle verbunden, die zweite nur mit einem Spannungsmesser.

Skizziere diese Anordnung und erläutere eine Möglichkeit, wie mit dieser Anordnung in der zweiten Spule eine Spannung induziert werden kann.

5 BE

2.2

In einem zweiten Versuch werden zwei andere Spulen ohne Eisenkern verwendet.

Die Spule 1 ist $Formula: 30\;\mathrm{cm}$ $Formula: 30\;\mathrm{cm}$ lang, hat Formula: 4500 Windungen und ist mit Luft gefüllt. In ihr befindet sich die ebenfalls mit Luft gefüllte Spule 2 mit Formula: 60 Windungen und der Querschnittsfläche $Formula: 18\;\mathrm{cm^2}.$ $Formula: 18\;\mathrm{cm^2}.$ Die Längsachsen der Spulen liegen parallel zueinander.

Die Spule 1 ist an eine regelbare Gleichstromquelle angeschlossen und der durch sie fließende Strom kann gemessen werden. Über der Spule 2 wird die Induktionsspannung gemessen.

Der Strom durch Spule 1 ist im Formula: I(t)- Diagramm dargestellt.

Diagramm: Strom I (A) gegen Zeit t (s), steigt linear von 0 auf 3 A bis 4 s, bleibt anschließend konstant bei 3 A

Abbildung 2: $Formula: \small{I(t)-}$ $Formula: \small{I(t)-}$ Diagramm

2.2.1

Begründe, dass in den ersten Formula: 4 Sekunden eine konstante Spannung induziert wird.

3 BE

2.2.2

Berechne die Änderung der magnetischen Flussdichte in der äußeren Spule und den daraus resultierenden Betrag der Induktionsspannung in der kleineren Spule in den ersten Formula: 4 Sekunden.

5 BE

2.2.3

Zeichne das zugehörige Formula: U(t)- Diagramm für einen Zeitraum von Formula: 8 Sekunden.

3 BE

2.3

Ein kleiner Stabmagnet fällt einmal durch ein Glasrohr und einmal durch ein Kupferrohr. Beide Rohre haben den gleichen Innendurchmesser und die gleiche Länge. Für das Durchfallen des Glasrohres wird die Zeit $Formula: t_{\mathrm{1}} = 0,50\;\mathrm{s}$ $Formula: t_{\mathrm{1}} = 0,50\;\mathrm{s}$ benötigt. Für das Kupferrohr beträgt diese Zeit $Formula: t_{\mathrm{2}} = 1,30\;\mathrm{s}.$ $Formula: t_{\mathrm{2}} = 1,30\;\mathrm{s}.$ Vereinfachend wird vorausgesetzt, dass der Magnet jeweils mit Formula: v_0 = 0 in beide Rohre eintritt.

Erkläre das Zustandekommen der unterschiedlichen Zeiten.

Kleiner rot-grüner Zylinder über großem weißen Zylinder, gestrichelter Pfeil zeigt nach unten

Abbildung 3: Skizze Fallrohr

4 BE

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2.1

Skizzieren der Anordnung

Die Spulen befinden sich hintereinander auf einem langen Eisenkern. An die erste Spule ist eine regelbare Gleichstromquelle angeschlossen.

Möglichkeiten, um eine Spannung in der zweiten Spule zu induzieren

Wird der Eisenkern aus den Spulen entfernt, verändert sich die magnetische Permeabilität in den Spulen drastisch. Diese Veränderung der Permeabilität bewirkt eine Änderung der Magnetfeldstärke sowohl in der felderzeugenden Spule als auch in der Induktionsspule. Diese Magnetfeldänderung führt gemäß dem Induktionsgesetz zur Induktion einer Spannung in der zweiten Spule.
Durch das Hoch- oder Runterregeln der Stromstärke an der regelbaren Gleichstromquelle ändert sich die Stromstärke in der ersten Spule (Feldspule). Diese Stromänderung führt zu einer zeitlichen Änderung der Magnetfeldstärke sowohl in der felderzeugenden Spule als auch in der Induktionsspule. Infolgedessen wird in der zweiten Spule eine Spannung induziert.

2.2

2.2.1

Aus dem Formula: I(t)- Diagramm lässt sich ablesen, dass die Stromstärke in der Spule 1 in den ersten Formula: 4 Sekunden gleichmäßig ansteigt . Es liegt also ein konstanter Anstieg $Formula: \tfrac{\Delta I}{\Delta t}$ $Formula: \tfrac{\Delta I}{\Delta t}$ vor.

Da die magnetische Flussdichte Formula: B einer langen Spule direkt proportional zur Stromstärke ist, ändert sich folglich auch das Magnetfeld in dieser Zeitspanne mit einer konstanten Rate $Formula: \tfrac{\Delta B}{\Delta t}.$ $Formula: \tfrac{\Delta B}{\Delta t}.$

Nach dem Induktionsgesetz ist die induzierte Spannung proportional zur zeitlichen Änderung der magnetischen Flussdichte ( $Formula: U_\text{i} \sim \tfrac{\Delta B}{\Delta t}$ $Formula: U_\text{i} \sim \tfrac{\Delta B}{\Delta t}$ ). Aufgrund der gleichmäßigen Änderung des Magnetfeldes wird somit in der Spule 2 eine zeitlich konstante Spannung induziert.

2.2.2

Berechnung der Änderung der magnetischen Flussdichte

Zunächst wird die Änderung der magnetischen Flussdichte im Inneren der äußeren Spule (Spule 1) in den ersten Formula: 4 Sekunden berechnet. Aus dem Diagramm lässt sich entnehmen, dass der Strom in dieser Zeit von $Formula: 0 \; \mathrm{A}$ $Formula: 0 \; \mathrm{A}$ auf $Formula: 3 \;\mathrm{A}$ $Formula: 3 \;\mathrm{A}$ ansteigt, woraus sich $Formula: \Delta I = 3 \; \mathrm{A}$ $Formula: \Delta I = 3 \; \mathrm{A}$ ergibt.

Die Formel für die magnetische Flussdichte einer langgestreckten Spule lautet:

$Formula: \Delta B = \mu_0 \cdot \frac{N_1 \cdot \Delta I}{l_1}$ $Formula: \Delta B = \mu_0 \cdot \frac{N_1 \cdot \Delta I}{l_1}$

Die gegebenen Werte ( Formula: N_1 = 4500, $Formula: l_1 = 30 \; \mathrm{cm} = 0,30 \; \mathrm{m}$ $Formula: l_1 = 30 \; \mathrm{cm} = 0,30 \; \mathrm{m}$ ) und die Änderung der Stromstärke $Formula: \Delta I = 3 \; \mathrm{A}$ $Formula: \Delta I = 3 \; \mathrm{A}$ werden eingesetzt:

$Formula: \mathit{\Delta} B = \mu_0 \cdot \dfrac{4500 \cdot 3\;\mathrm{A}}{0,30\;\mathrm{m}} \approx 0,057\;\mathrm{T}$ $Formula: \mathit{\Delta} B = \mu_0 \cdot \dfrac{4500 \cdot 3\;\mathrm{A}}{0,30\;\mathrm{m}} \approx 0,057\;\mathrm{T}$

Berechnung des Betrags der Induktionsspannung

Damit kann der Betrag der Induktionsspannung berechnet werden. Für diese gilt:

$Formula: |U_{\mathrm{i}}| = N_2 \cdot A_2 \cdot \frac{\Delta B}{\Delta t}$ $Formula: |U_{\mathrm{i}}| = N_2 \cdot A_2 \cdot \frac{\Delta B}{\Delta t}$

Durch Einsetzen der Werte ergibt sich:

$Formula: \begin{array}[t]{rll}|U_{\mathrm{i}}|&=&N_2 \cdot A_2 \cdot \dfrac{\Delta B}{\Delta t}\\[5pt]|U_{\mathrm{i}}|&=&60 \cdot 0,0018 \;\mathrm{m^2} \cdot \dfrac{0,057 \;\mathrm{T}}{4 \;\mathrm{s}}\\[5pt]|U_{\mathrm{i}}|&\approx&0,00153 \;\mathrm{V}\end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll}|U_{\mathrm{i}}|&=&N_2 \cdot A_2 \cdot \dfrac{\Delta B}{\Delta t}\\[5pt]|U_{\mathrm{i}}|&=&60 \cdot 0,0018 \;\mathrm{m^2} \cdot \dfrac{0,057 \;\mathrm{T}}{4 \;\mathrm{s}}\\[5pt]|U_{\mathrm{i}}|&\approx&0,00153 \;\mathrm{V}\end{array}$

2.2.3

Mit den Werten aus Teilaufgabe 2.2.2 kann ein Formula: U(t)- Diagramm gezeichnet werden:

Diagramm: Spannung 1,6 mV konstant bis 4 s, dann abrupt auf 0 mV; Gitternetz, x-Achse Zeit in s, y-Achse U in mV

2.3

Sowohl das Glasrohr als auch das Kupferrohr besitzen exakt die gleiche Länge und den gleichen Innendurchmesser. Folglich ist der Luftwiderstand in beiden Fällen gleich und ist zu vernachlässigen.

Der entscheidende Grund für die stark abweichenden Fallzeiten ( $Formula: t_1 = 0,50 \; \mathrm{s}$ $Formula: t_1 = 0,50 \; \mathrm{s}$ im Glasrohr gegenüber $Formula: t_2 = 1,30 \; \mathrm{s}$ $Formula: t_2 = 1,30 \; \mathrm{s}$ im Kupferrohr) ist ihre unterschiedliche elektrische Leitfähigkeit.

Glasrohr: Glas ist ein elektrischer Isolator. Fällt der Magnet durch dieses Rohr, treten somit keine relevanten Induktionsvorgänge auf. Der Magnet wird nahezu im freien Fall ausschließlich durch die nach unten wirkende Gewichtskraft $Formula: F_{\mathrm{G}}$ $Formula: F_{\mathrm{G}}$ beschleunigt.
Kupferrohr: Kupfer ist ein elektrisch leitendes Material. Bewegt sich der Stabmagnet durch das Kupferrohr, so durchdringt sein Magnetfeld das Kupferrohr und sorgt dort für eine stetige zeitliche Änderung des magnetischen Flusses. Diese zeitliche Änderung induziert im leitfähigen Kupfer einen Induktionsstrom.

Gemäß der Lenzschen Regel baut dieser ein eigenes Magnetfeld auf, welches stets der Ursache seiner Entstehung entgegenwirkt. Die Ursache für die Induktion ist in diesem Fall die Fallbewegung des Dauermagneten.

Aus der Wechselwirkung des permanenten Magnetfelds mit dem induzierten Magnetfeld resultiert eine Kraft, die nach oben gerichtet ist und somit der fallbeschleunigenden Gewichtskraft $Formula: F_{\mathrm{G}}$ $Formula: F_{\mathrm{G}}$ direkt entgegenwirkt. Durch diese nach oben gerichtete Gegenkraft fällt die resultierende Gesamtkraft geringer aus, weshalb die Beschleunigung des Magneten stark abnimmt, wodurch die zum Durchfallen des Kupferrohres benötigte Zeit sehr viel größer ist.

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