Aufgabe 1 — Vertikaler Federschwinger

Ein Hängesessel, der mit einer Schraubenfeder an einem festen Punkt angebracht ist, kann in Schwingungen versetzt werden. In dieser Aufgabe werden die Eigenschaften dieses schwingungsfähigen Systems näher untersucht.

1.1

Ein schwingender Hängesessel (siehe Material 1) wird im Folgenden als vertikaler Federschwinger betrachtet. Die Periodendauer hängt von mehreren physikalischen Größen ab.

1.1.1

Experiment: Untersuche experimentell den Zusammenhang zwischen der Periodendauer Formula: T und der Masse Formula: m eines vertikalen Federschwingers. Weise hierzu nach, dass der Zusammenhang $Formula: T \sim \sqrt{m}$ $Formula: T \sim \sqrt{m}$ gilt. Beachte Material 2.

Hinweis: Falls du den Aufbau nicht selbstständig durchführen kannst, kannst du Hilfe bei der aufsichtführenden Fachlehrkraft anfordern. Entsprechend den nicht erbrachten Leistungen werden bis zu 2 BE nicht erteilt.

Falls du keine Ergebnisse aus der experimentellen Untersuchung gewinnen konntest, kannst du Ersatzmesswerte bei der Fachlehrkraft anfordern. Entsprechend den nicht erbrachten Leistungen werden bis zu 4 BE nicht erteilt.

12 BE

1.1.2

Begründe, dass die in Aufgabe 1.1.1 gemessene Zeit eine Messunsicherheit aufweist.

Gib eine Möglichkeit an, die Messunsicherheit der Zeit in Aufgabe 1.1.1 zu verkleinern.

3 BE

1.2

Üblicherweise werden Hängesessel an einer Feder befestigt (siehe Material 1). Diese soll durch eine Federkombination ersetzt werden.

1.2.1

Die ursprüngliche Feder des Hängesessels wird durch eine zweite baugleiche Feder zu einer Federkombination gemäß Abbildung 2 in Material 3 ergänzt.

Erläutere die Auswirkung eines solchen Austausches auf die Periodendauer Formula: T und gib eine Bedingung an, unter der deine Aussage gilt.

4 BE

1.2.2

Leite unter Verwendung der Informationen und der Beziehungen in Material 4 die Gleichung $Formula: D_{\mathrm{Gesamt}} = 2 \cdot D$ $Formula: D_{\mathrm{Gesamt}} = 2 \cdot D$ aus einem Kraftansatz her.

4 BE

1.2.3

Ein Onlineshop weist auf die Möglichkeit der Verwendung von Federkombinationen für diesen Hängesessel hin und veröffentlicht Tabelle 1 in Material 3 zu diesen Angeboten.

Bestimme mittels Rechnung die auszuwählende Variante der Federkombination für eine Periodendauer von $Formula: 1,0\;\mathrm{s}$ $Formula: 1,0\;\mathrm{s}$ bei einer Masse von $Formula: 85\;\mathrm{kg}.$ $Formula: 85\;\mathrm{kg}.$

4 BE

1.3

In der Bedienungsanleitung des Hängesessels wird darauf hingewiesen, dass der Hängesessel so aufzuhängen ist, dass sich seine Sitzfläche in einer Höhe von Formula: 40 bis $Formula: 50\;\mathrm{cm}$ $Formula: 50\;\mathrm{cm}$ über dem Erdboden befindet.

Beurteile anhand eines Aspektes, ob dieser Hinweis sicherheitsrelevant ist.

3 BE

Weiter lernen mit SchulLV-PLUS!

monatlich kündbarSchulLV-PLUS-Vorteile im ÜberblickDu hast bereits einen Account?

Material 1: Modellexperiment zum schwingenden Hängesessel als vertikaler Federschwinger

Ein vertikal schwingender Hängesessel besteht aus einer Schraubenfeder, an deren unterem Ende der Hängesessel befestigt ist (siehe Abbildung 1). Die Periodendauer solcher Hängesessel ist entscheidend für ein angenehmes Schaukeln, wobei subjektive Unterschiede bezüglich eines angenehmen Schaukelns zu beachten sind.

Abbildung 1: Hängesessel mit Schraubenfeder, siehe vergrößerter Bildausschnitt

Material 2: Hinweise zum Experimentieren

Für das Experiment in Aufgabe 1.1.1 stehen folgende Geräte und Materialien bereit:

Stoppuhr
Stativmaterial
Schraubenfeder

Es sind die Periodendauern für fünf verschiedene Massen zu bestimmen. Die Massen werden von der Lehrkraft vorgegeben.

Die Periodendauer ist jeweils aus fünf vollständigen Schwingungen zu ermitteln.

Die Messwerte und Berechnungen sind in einer aus dem Unterricht bekannten Art und Weise zu dokumentieren.

Material 3: Federkombinationen für Hängesessel

Für die Federhärte $Formula: D_{\mathrm{Gesamt}}$ $Formula: D_{\mathrm{Gesamt}}$ zweier parallel nebeneinander angeordneter baugleicher Schraubenfedern gilt: $Formula: D_{\mathrm{Gesamt}} = 2 \cdot D.$ $Formula: D_{\mathrm{Gesamt}} = 2 \cdot D.$

Technische Zeichnung einer Federkonstruktion mit zwei Spiralfedern und Aufhängung.

Abbildung 2: Zwei parallel nebeneinander angeordnete Federn

Neben der standardmäßig mitgelieferten Feder des Hängesessels bietet ein Onlinehändler auch Federkombinationen an (siehe Abbildung 2), bei denen zwei baugleiche Schraubenfedern parallel nebeneinander angeordnet sind. Die folgende Tabelle zeigt eine Variantenauswahl.

Tabelle 1: Angebote eines Onlinehändlers

Artikelbezeichnung	Federhärte $Formula: \boldsymbol{D}$ $Formula: \boldsymbol{D}$ einer Feder im Federsystem
Variante 1	$Formula: D = 0,87\;\tfrac{\mathrm{kN}}{\mathrm{m}}$ $Formula: D = 0,87\;\tfrac{\mathrm{kN}}{\mathrm{m}}$
Variante 2	$Formula: D = 1,7\;\tfrac{\mathrm{kN}}{\mathrm{m}}$ $Formula: D = 1,7\;\tfrac{\mathrm{kN}}{\mathrm{m}}$
Variante 3	$Formula: D = 2,6\;\tfrac{\mathrm{kN}}{\mathrm{m}}$ $Formula: D = 2,6\;\tfrac{\mathrm{kN}}{\mathrm{m}}$

Material 4: Hängesessel mit zwei parallel nebeneinander angeordneten Federn

Für eine Federkombination gemäß Abbildung 2 in Material 3 gelten folgende Vereinfachungen und Zusammenhänge:

Die Massen beider Schraubenfedern sind zu vernachlässigen.
Für die Ausdehnung der Federn gilt:
Beide Schraubenfedern haben dieselbe Federhärte Es gilt:
Die Gewichtskraft, die nach unten wirkt, erzeugt in beiden Federn jeweils gleich große Rückstellkräfte und Sie sind beide nach oben gerichtet und entsprechen der Hälfte des Betrages der Gewichtskraft. Für beide Schraubenfedern gilt jeweils: $Formula: F = D \cdot s.$ $Formula: F = D \cdot s.$

Weiter lernen mit SchulLV-PLUS!

monatlich kündbarSchulLV-PLUS-Vorteile im ÜberblickDu hast bereits einen Account?

1.1.1

Versuchsaufbau und Durchführung

Die Schraubenfeder wird so am Stativ befestigt, dass sie frei in vertikaler Richtung schwingen kann. An ihrem unteren Ende wird zunächst ein Massestück befestigt. Das Massestück wird aus der Gleichgewichtslage vertikal ausgelenkt und anschließend losgelassen.

Mit einer Stoppuhr wird die Zeit Formula: t_5 für fünf vollständige Schwingungen gemessen. Die Messung wird nacheinander für fünf unterschiedliche Massen durchgeführt. Die Periodendauer ergibt sich jeweils aus:

$Formula: T=\dfrac{t_5}{5}$ $Formula: T=\dfrac{t_5}{5}$

Messwerte und Bestätigung

Daraus ergeben sich beispielsweise folgende Messwerte:

Masse $Formula: \boldsymbol{m}$ $Formula: \boldsymbol{m}$ in $Formula: \boldsymbol{\mathrm{kg}}$ $Formula: \boldsymbol{\mathrm{kg}}$	Zeit $Formula: \boldsymbol{t_5}$ $Formula: \boldsymbol{t_5}$ in $Formula: \boldsymbol{\mathrm{s}}$ $Formula: \boldsymbol{\mathrm{s}}$	Periodendauer $Formula: \boldsymbol{T}$ $Formula: \boldsymbol{T}$ in $Formula: \boldsymbol{\mathrm{s}}$ $Formula: \boldsymbol{\mathrm{s}}$	$Formula: \boldsymbol{\tfrac{T}{\sqrt{m}}}$ $Formula: \boldsymbol{\tfrac{T}{\sqrt{m}}}$ in $Formula: \boldsymbol{\tfrac{\mathrm{s}}{\sqrt{\mathrm{kg}}}}$ $Formula: \boldsymbol{\tfrac{\mathrm{s}}{\sqrt{\mathrm{kg}}}}$

Die Werte des Quotienten $Formula: \tfrac{T}{\sqrt{m}}$ $Formula: \tfrac{T}{\sqrt{m}}$ sind im Rahmen der Messgenauigkeit annähernd konstant. Die experimentellen Ergebnisse bestätigen somit den Zusammenhang $Formula: T\sim\sqrt{m}.$ $Formula: T\sim\sqrt{m}.$

1.1.2

Bei einer Zeitmessung mit der Stoppuhr lassen sich der Beginn und das Ende der fünf Schwingungen nicht exakt festlegen. Zusätzlich beeinflusst die Reaktionszeit beim Starten und Stoppen der Stoppuhr das Messergebnis. Die gemessene Zeit Formula: t_5 weist deshalb eine Messunsicherheit auf.

Zur Verringerung dieser Messunsicherheit kann beispielsweise eine Lichtschranke eingesetzt werden.

1.2.1

Die Federhärte verdoppelt sich auf $Formula: D_{\mathrm{Gesamt}} = 2 \cdot D.$ $Formula: D_{\mathrm{Gesamt}} = 2 \cdot D.$ Für die Periodendauer gilt allgemein folgender Zusammenhang:

$Formula: T = 2 \cdot \pi \cdot \sqrt{\dfrac{m}{D_{\mathrm{Gesamt}}}}$ $Formula: T = 2 \cdot \pi \cdot \sqrt{\dfrac{m}{D_{\mathrm{Gesamt}}}}$

Wird die Federkombination eingesetzt, folgt für die Periodendauer:

$Formula: T = 2 \cdot \pi \cdot \sqrt{\dfrac{m}{2 \cdot D}}$ $Formula: T = 2 \cdot \pi \cdot \sqrt{\dfrac{m}{2 \cdot D}}$

Die Periodendauer verkleinert sich gegenüber der Verwendung einer Feder mit der ursprünglichen Federhärte.

Die getroffene Aussage gilt zum Beispiel unter der Bedingung $Formula: m = \mathrm{konst.}$ $Formula: m = \mathrm{konst.}$

1.2.2

Die Federn hängen nebeneinander und haben dieselbe Federhärte. Beide Federn werden um die gleiche Strecke ausgelenkt (siehe Material 4). Für die Kraft zur Dehnung der Federkombination gelten folgende Zusammenhänge:

Formula: s = s_1 = s_2

Formula: D = D_1 = D_2

Formula: F = F_1 + F_2

Daraus folgt:

$Formula: \begin{array}[t]{rll} D_{\mathrm{Gesamt}} & = & \dfrac{F}{s} &\quad\scriptsize\mid\, F = F_1 + F_2 \\[5pt] & = & \dfrac{F_1 + F_2}{s} &\quad\scriptsize\mid\, F_1 = D \cdot s=F_2 \\[5pt] & = & \dfrac{D \cdot s + D \cdot s}{s} &\quad\scriptsize\mid\, \text{Ausklammern} \\[5pt] & = & \dfrac{(D + D) \cdot s}{s} &\quad\scriptsize\mid\, \text{Kürzen mit } s \\[5pt] & = & 2 \cdot D \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll} D_{\mathrm{Gesamt}} & = & \dfrac{F}{s} &\quad\scriptsize\mid\, F = F_1 + F_2 \\[5pt] & = & \dfrac{F_1 + F_2}{s} &\quad\scriptsize\mid\, F_1 = D \cdot s=F_2 \\[5pt] & = & \dfrac{D \cdot s + D \cdot s}{s} &\quad\scriptsize\mid\, \text{Ausklammern} \\[5pt] & = & \dfrac{(D + D) \cdot s}{s} &\quad\scriptsize\mid\, \text{Kürzen mit } s \\[5pt] & = & 2 \cdot D \end{array}$

1.2.3

Es gilt:

$Formula: \begin{array}[t]{rll} T & = & 2 \cdot \pi \cdot \sqrt{\dfrac{m}{D}} &\quad\scriptsize\mid\, (\;)^2 \\[5pt] T^2 & = & 4 \cdot \pi^2 \cdot \dfrac{m}{D} &\quad\scriptsize\mid\, \cdot \dfrac{D}{T^2} \\[5pt] D & = & \dfrac{4 \cdot \pi^2 \cdot m}{T^2} \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll} T & = & 2 \cdot \pi \cdot \sqrt{\dfrac{m}{D}} &\quad\scriptsize\mid\, (\;)^2 \\[5pt] T^2 & = & 4 \cdot \pi^2 \cdot \dfrac{m}{D} &\quad\scriptsize\mid\, \cdot \dfrac{D}{T^2} \\[5pt] D & = & \dfrac{4 \cdot \pi^2 \cdot m}{T^2} \end{array}$

Einsetzen der gegebenen Werte ergibt:

$Formula: \begin{array}[t]{rll} D_\text{ges} & = & \dfrac{4 \cdot \pi^2 \cdot m}{T^2} \\[5pt] & = & \dfrac{4 \cdot \pi^2 \cdot 85\;\mathrm{kg}}{(1,0\;\mathrm{s})^2} \\[5pt] & \approx & 3,4\;\dfrac{\mathrm{kN}}{\mathrm{m}} \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll} D_\text{ges} & = & \dfrac{4 \cdot \pi^2 \cdot m}{T^2} \\[5pt] & = & \dfrac{4 \cdot \pi^2 \cdot 85\;\mathrm{kg}}{(1,0\;\mathrm{s})^2} \\[5pt] & \approx & 3,4\;\dfrac{\mathrm{kN}}{\mathrm{m}} \end{array}$

Die sich ergebende Federhärte für die geforderte Periodendauer beträgt $Formula: 3,4\;\tfrac{\mathrm{kN}}{\mathrm{m}}.$ $Formula: 3,4\;\tfrac{\mathrm{kN}}{\mathrm{m}}.$ Da es sich dabei laut Material 3 um ein System aus zwei Federn handelt, beträgt die theoretisch erforderliche Federhärte einer Feder $Formula: D= 1,7\;\tfrac{\mathrm{kN}}{\mathrm{m}}.$ $Formula: D= 1,7\;\tfrac{\mathrm{kN}}{\mathrm{m}}.$

Die Auswahl der Variante 2 ist somit korrekt.

1.3

Ja, der Hinweis ist sicherheitsrelevant. Große vertikale Auslenkungen um die Ruhelage und eine große Vordehnung der Schraubenfeder durch eine große Masse der benutzenden Person können dazu führen, dass der Abstand zwischen Erdboden und Hängesessel zu gering oder null wird.

Dadurch kann Verletzungsgefahr bestehen, wenn die Sitzfläche mit der Person oder deren Füße den Erdboden berühren.

Weiter lernen mit SchulLV-PLUS!

monatlich kündbarSchulLV-PLUS-Vorteile im ÜberblickDu hast bereits einen Account?