Aufgabe 1 — Naturkonstanten

Naturkonstanten sind von besonderer Bedeutung für die Naturwissenschaften. Sie tragen zum Verständnis naturwissenschaftlicher Zusammenhänge bei und ermöglichen die mathematische Beschreibung physikalischer Gesetzmäßigkeiten. Ein Ziel ist seit jeher die experimentelle Ermittlung von Naturkonstanten mit möglichst immer höherer Genauigkeit.

Im Millikanexperiment wurde die Elementarladung Formula: e ermittelt. Material 1 beschreibt das physikalische Prinzip des Millikanexperiments und stellt Ergebnisse dar.

Erläutere bzgl. Abbildung 1 jeweils die Wirkungen der Gewichtskraft und der elektrischen Kraft auf den Bewegungszustand der drei Körper.

6 BE

Analog zu dem in Abbildung 1 dargestellten Sachverhalt wird ein geladener Körper entlang einer Strecke der Länge $Formula: 1{,}0\;\mathrm{cm}$ $Formula: 1{,}0\;\mathrm{cm}$ aus der Ruhe heraus beschleunigt. Für die Kräfte gilt: $Formula: F_{\mathrm{el}}=3{,}35\cdot10^{-15}\;\mathrm{N}$ $Formula: F_{\mathrm{el}}=3{,}35\cdot10^{-15}\;\mathrm{N}$ und $Formula: F_{\mathrm{G}}=3{,}31\cdot10^{-15}\;\mathrm{N}.$ $Formula: F_{\mathrm{G}}=3{,}31\cdot10^{-15}\;\mathrm{N}.$

Berechne den Betrag der Geschwindigkeit, mit der sich der Körper am Ende der Beschleunigungsstrecke bewegt.

5 BE

Millikan kam bei der Auswertung seines Experiments zu einem sehr genauen Wert für die kleinste elektrische Ladung, die Elementarladung.

Erläutere unter Nutzung des $Formula: Q(r)\text{-}$ $Formula: Q(r)\text{-}$ Diagramms (Abbildung 2), dass die Messergebnisse die Existenz einer Elementarladung bestätigen.

5 BE

In einem Experiment wird die magnetische Feldkonstante $Formula: \mu_0$ $Formula: \mu_0$ ermittelt.

Material 2 beschreibt eine geeignete Experimentieranordnung.

In der Leiterschleife fließt ein Strom mit der Stromstärke $Formula: 4{,}1\;\mathrm{A}.$ $Formula: 4{,}1\;\mathrm{A}.$ Der Kraftmesser zeigt eine Kraft mit dem Betrag $Formula: 0{,}00116\;\mathrm{N}$ $Formula: 0{,}00116\;\mathrm{N}$ zusätzlich zur Gewichtskraft an.

Berechne die magnetische Feldkonstante.

4 BE

In die Spule wird ein Eisenkern gebracht.

Begründe, dass der Betrag der magnetischen Flussdichte zunimmt.

2 BE

In einem Experiment wird die spezifische elektrische Ladung $Formula: \tfrac{e}{m}$ $Formula: \tfrac{e}{m}$ ermittelt. Das Prinzip der Anordnung ist im Material 3 beschrieben.

Ein Elektron bewegt sich senkrecht zu den Feldlinien des zeitlich konstanten, homogenen magnetischen Felds.

Erkläre, dass sich das Elektron auf einer Kreisbahn bewegt. Nutze eine kausale Argumentationskette.

5 BE

Ein Elektron bewegt sich mit der Geschwindigkeit $Formula: 8{,}4\cdot10^6\;\mathrm{m}\cdot\mathrm{s}^{-1}$ $Formula: 8{,}4\cdot10^6\;\mathrm{m}\cdot\mathrm{s}^{-1}$ auf einer Kreisbahn mit dem Radius $Formula: 0{,}040\;\mathrm{m}.$ $Formula: 0{,}040\;\mathrm{m}.$ Die magnetische Flussdichte beträgt $Formula: 1{,}2\cdot10^{-3}\;\mathrm{T}.$ $Formula: 1{,}2\cdot10^{-3}\;\mathrm{T}.$

Berechne unter Nutzung dieser Werte die spezifische elektrische Ladung des Elektrons.

3 BE

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Material 1: Die elektrische Ladung des Elektrons

Die Physiker Robert Millikan und Harvey Fletcher führten zu Beginn des 20. Jahrhunderts umfangreiche Untersuchungen zur elektrischen Ladung kleiner Körper durch. Dabei brachten sie elektrisch geladene freibewegliche Öltröpfchen in den homogenen Teil eines elektrischen Feldes. Auf die Öltröpfchen wirken Gewichtskräfte, elektrische Kräfte, Reibungskräfte und Auftriebskräfte. Die Eigenschaften der Tröpfchenbewegungen werden durch die elektrische Kraft im Feld variiert. Die genaue Beobachtung dieser Bewegungen und die Messungen physikalischer Größen ermöglichte die Ermittlung der auf den Tröpfchen gespeicherten elektrischen Ladung Formula: Q sowie des Radius Formula: r der Öltröpfchen.

Modellhaft vereinfachend wird zunächst die Wirkung der elektrischen Kraft und der Gewichtskraft auf elektrisch geladene Körper experimentell untersucht. Die Abbildung 1 zeigt das Prinzip.

Die Körper wurden aus der Ruhe heraus freigegeben.

Körper im homogenen Feld mit entgegengesetzt gerichteten elektrischen Kraft- und Gewichtspfeilen.

Skizze eines Körpers im nach oben gerichteten elektrischen Feld mit elektrischer Kraft nach oben und Gewichtskraft nach unten.

Abbildung 1: geladene Körper im elektrischen Feld der Feldstärke $Formula: \vec{E},$ $Formula: \vec{E},$ Feldlinien parallel zur Zeichenebene

In Abbildung 2 sind beispielhaft einige Messwertpaare dargestellt.

Q(r)-Diagramm: Ladung Q in 10^-19 C über dem Radius r in 10^-7 m. Die Messpunkte liegen für Radien zwischen etwa 4 und 10,5 · 10^-7 m in vier waagerechten Gruppen bei etwa 1,6; 3,2; 4,8 und 6,4 · 10^-19 C.

Abbildung 2: $Formula: Q(r)\text{-}$ $Formula: Q(r)\text{-}$ Diagramm

Material 2: Die magnetische Feldkonstante

Eine Experimentieranordnung zur Messung der auf einen stromdurchflossenen Leiter wirkenden Kraft besteht im Wesentlichen aus zwei Teilen:

einer quadratischen Leiterschleife aus Kupfer mit der Seitenlänge $Formula: 5{,}0\;\mathrm{cm},$ $Formula: 5{,}0\;\mathrm{cm},$ die senkrecht an einem Kraftmesser hängt, und
einer luftgefüllten Spule der Länge $Formula: 0{,}50\;\mathrm{m}$ $Formula: 0{,}50\;\mathrm{m}$ und der Windungszahl die von einem Gleichstrom der Stromstärke $Formula: 4{,}5\;\mathrm{A}$ $Formula: 4{,}5\;\mathrm{A}$ durchflossen wird.

Zwischen den Enden der Leiterschleife ist eine Spannung angelegt, wodurch im Kupferdraht ein elektrischer Strom fließt.

Die Leiterschleife befindet sich teilweise im homogenen Teil des Magnetfeldes der Spule.

In Abbildung 3 ist das Prinzip der Anordnung dargestellt.

Quadratische Leiterschleife mit Anschlüssen (Minus- und Pluspol), die an einem Kraftmesser hängt. Der untere Teil der Leiterschleife befindet sich in einem homogenen Magnetfeld, dessen Feldlinien senkrecht in die Zeichenebene zeigen (Kreuze).

Abbildung 3: stromdurchflossene Leiterschleife im magnetischen Feld der Flussdichte $Formula: \vec{B}$ $Formula: \vec{B}$

Material 3: Die spezifische elektrische Ladung des Elektrons

Eine Glasröhre ist unter geringem Druck mit einem Gas befüllt. Im Inneren der Röhre befindet sich eine Kathoden-Anoden-Anordnung. Zwischen Kathode und Anode wird eine Beschleunigungsspannung angelegt. Durch Glühemission aus der Kathode freigesetzte Elektronen werden im zeitlich konstanten, homogenen elektrischen Längsfeld zwischen Kathode und Anode beschleunigt. Diese Elektronen verlassen die Anordnung durch eine kleine Öffnung in der Anode und bewegen sich in der Glasröhre weiter. Durch Wechselwirkungen der bewegten Elektronen mit den Gasteilchen kommt es zur Emission von Licht, wodurch deren Bahn durch eine Lichtspur sichtbar ist. Die Glasröhre befindet sich in einem zeitlich konstanten, homogenen Magnetfeld und ist so ausgerichtet, dass sich die Elektronen senkrecht zu dessen Feldlinien bewegen.

Unter Nutzung der beschriebenen Anordnung wird das Experiment durchgeführt, dessen Ergebnis die Ermittlung der spezifischen elektrischen Ladung $Formula: \tfrac{e}{m},$ $Formula: \tfrac{e}{m},$ d. h. des Quotienten aus elektrischer Ladung des Elektrons und Masse des Elektrons ist.

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Auf alle drei Körper wirkt die Gewichtskraft $Formula: F_{\mathrm{G}}$ $Formula: F_{\mathrm{G}}$ senkrecht nach unten. Die elektrische Kraft $Formula: F_{\mathrm{el}}$ $Formula: F_{\mathrm{el}}$ wirkt senkrecht nach oben. Beide Kräfte sind im dargestellten Modell konstant und entgegengesetzt gerichtet.

Körper 1: Die Gewichtskraft ist größer als die elektrische Kraft: $Formula: F_{\mathrm{G}} > F_{\mathrm{el}}.$ $Formula: F_{\mathrm{G}} > F_{\mathrm{el}}.$ Die resultierende Kraft zeigt nach unten. Der aus der Ruhe freigegebene Körper bewegt sich deshalb gleichmäßig beschleunigt nach unten, also entgegen der Richtung der Feldlinien.
Körper 2: Die Kräfte sind gleich groß: $Formula: F_{\mathrm{G}} = F_{\mathrm{el}}.$ $Formula: F_{\mathrm{G}} = F_{\mathrm{el}}.$ Die resultierende Kraft ist null. Da der Körper anfangs in Ruhe ist, bleibt er in Ruhe und schwebt.
Körper 3: Die elektrische Kraft ist größer als die Gewichtskraft: $Formula: F_{\mathrm{el}} > F_{\mathrm{G}}.$ $Formula: F_{\mathrm{el}} > F_{\mathrm{G}}.$ Die resultierende Kraft zeigt nach oben. Der aus der Ruhe freigegebene Körper bewegt sich deshalb gleichmäßig beschleunigt nach oben, also in Richtung der Feldlinien.

Die Beschleunigungsstrecke beträgt $Formula: s = 1{,}0\;\mathrm{cm} = 0{,}010\;\mathrm{m}.$ $Formula: s = 1{,}0\;\mathrm{cm} = 0{,}010\;\mathrm{m}.$

Da die elektrische Kraft größer als die Gewichtskraft ist, wirkt die resultierende Kraft nach oben. Ihr Betrag ist:

$Formula: \begin{array}[t]{rll} F_{\mathrm{res}} & = & F_{\mathrm{el}} - F_{\mathrm{G}} \\[5pt] & = & 3{,}35 \cdot 10^{-15}\;\mathrm{N} - 3{,}31 \cdot 10^{-15}\;\mathrm{N} \\[5pt] & = & 4{,}0 \cdot 10^{-17}\;\mathrm{N} \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll} F_{\mathrm{res}} & = & F_{\mathrm{el}} - F_{\mathrm{G}} \\[5pt] & = & 3{,}35 \cdot 10^{-15}\;\mathrm{N} - 3{,}31 \cdot 10^{-15}\;\mathrm{N} \\[5pt] & = & 4{,}0 \cdot 10^{-17}\;\mathrm{N} \end{array}$

Aus $Formula: F_{\mathrm{G}} = m \cdot g$ $Formula: F_{\mathrm{G}} = m \cdot g$ folgt mit $Formula: g = 9{,}81\;\tfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^{2}}$ $Formula: g = 9{,}81\;\tfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^{2}}$ die Masse des Körpers:

$Formula: \begin{array}[t]{rll} m & = & \dfrac{F_{\mathrm{G}}}{g} \\[5pt] & = & \dfrac{3{,}31 \cdot 10^{-15}\;\mathrm{N}}{9{,}81\;\tfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^{2}}} \\[5pt] & \approx & 3{,}37 \cdot 10^{-16}\;\mathrm{kg} \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll} m & = & \dfrac{F_{\mathrm{G}}}{g} \\[5pt] & = & \dfrac{3{,}31 \cdot 10^{-15}\;\mathrm{N}}{9{,}81\;\tfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^{2}}} \\[5pt] & \approx & 3{,}37 \cdot 10^{-16}\;\mathrm{kg} \end{array}$

Damit beträgt die konstante Beschleunigung:

$Formula: a = \dfrac{F_{\mathrm{res}}}{m} \approx 0{,}119\;\dfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^{2}}$ $Formula: a = \dfrac{F_{\mathrm{res}}}{m} \approx 0{,}119\;\dfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^{2}}$

Für die Bewegung aus der Ruhe gilt $Formula: v = a \cdot t.$ $Formula: v = a \cdot t.$ Mit $Formula: t = \tfrac{v}{a}$ $Formula: t = \tfrac{v}{a}$ lässt sich die Zeit aus dem Weg-Zeit-Gesetz eliminieren:

$Formula: \begin{array}[t]{rll} s & = & \dfrac{1}{2} \cdot a \cdot \left(\dfrac{v}{a}\right)^{2} \\[5pt] & = & \dfrac{v^{2}}{2 \cdot a} &\quad\scriptsize\mid\,\cdot 2a \\[5pt] v^{2} & = & 2 \cdot a \cdot s &\quad\scriptsize\mid\,\sqrt{\;} \\[5pt] v & = & \sqrt{2 \cdot a \cdot s} \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll} s & = & \dfrac{1}{2} \cdot a \cdot \left(\dfrac{v}{a}\right)^{2} \\[5pt] & = & \dfrac{v^{2}}{2 \cdot a} &\quad\scriptsize\mid\,\cdot 2a \\[5pt] v^{2} & = & 2 \cdot a \cdot s &\quad\scriptsize\mid\,\sqrt{\;} \\[5pt] v & = & \sqrt{2 \cdot a \cdot s} \end{array}$

Einsetzen der Werte ergibt:

$Formula: v = \sqrt{2 \cdot 0{,}119\;\dfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^{2}} \cdot 0{,}010\;\mathrm{m}} \approx 0{,}049\;\dfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$ $Formula: v = \sqrt{2 \cdot 0{,}119\;\dfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^{2}} \cdot 0{,}010\;\mathrm{m}} \approx 0{,}049\;\dfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$

Am Ende der Beschleunigungsstrecke beträgt die Geschwindigkeit des Körpers etwa $Formula: 0{,}049\;\tfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}.$ $Formula: 0{,}049\;\tfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}.$

Im $Formula: Q(r)\text{-}$ $Formula: Q(r)\text{-}$ Diagramm aus Abbildung 2 liegen die Messwerte trotz unterschiedlicher Tröpfchenradien auf vier annähernd waagerechten Gruppen. Die zugehörigen Ladungen betragen ungefähr:

$Formula: Q_1 \approx 1{,}6 \cdot 10^{-19}\;\mathrm{C},$ $Formula: Q_1 \approx 1{,}6 \cdot 10^{-19}\;\mathrm{C},$ $Formula: Q_2 \approx 3{,}2 \cdot 10^{-19}\;\mathrm{C},$ $Formula: Q_2 \approx 3{,}2 \cdot 10^{-19}\;\mathrm{C},$ $Formula: Q_3 \approx 4{,}8 \cdot 10^{-19}\;\mathrm{C},$ $Formula: Q_3 \approx 4{,}8 \cdot 10^{-19}\;\mathrm{C},$ $Formula: Q_4 \approx 6{,}4 \cdot 10^{-19}\;\mathrm{C}$ $Formula: Q_4 \approx 6{,}4 \cdot 10^{-19}\;\mathrm{C}$

Diese Werte sind das Ein-, Zwei-, Drei- und Vierfache derselben kleinsten Ladung. Die kleinen Abweichungen innerhalb der Gruppen lassen sich durch Messunsicherheiten erklären.

Daraus folgt:

$Formula: Q = n \cdot e,\quad n \in \{1;2;3;4\}$ $Formula: Q = n \cdot e,\quad n \in \{1;2;3;4\}$

mit $Formula: e \approx 1{,}6 \cdot 10^{-19}\;\mathrm{C}$ $Formula: e \approx 1{,}6 \cdot 10^{-19}\;\mathrm{C}$

Die gemessenen Ladungen nehmen also diskrete Werte an und sind ganzzahlige Vielfache der Elementarladung. Dies bestätigt die Existenz einer Elementarladung als kleinste Ladungseinheit der untersuchten Tröpfchen.

Die Stromstärken werden unterschieden: In der Leiterschleife fließt $Formula: I_{\mathrm{L}} = 4{,}1\;\mathrm{A},$ $Formula: I_{\mathrm{L}} = 4{,}1\;\mathrm{A},$ in der Spule $Formula: I_{\mathrm{S}} = 4{,}5\;\mathrm{A}.$ $Formula: I_{\mathrm{S}} = 4{,}5\;\mathrm{A}.$ Die Spule hat die Länge $Formula: L = 0{,}50\;\mathrm{m}$ $Formula: L = 0{,}50\;\mathrm{m}$ und die Windungszahl Formula: N = 500.

Nur der untere waagerechte Abschnitt der Leiterschleife liefert eine zusätzliche vertikale Kraft. Seine Länge beträgt $Formula: \ell = 5{,}0\;\mathrm{cm} = 0{,}050\;\mathrm{m}.$ $Formula: \ell = 5{,}0\;\mathrm{cm} = 0{,}050\;\mathrm{m}.$ Die Kräfte auf die beiden senkrechten Leiterabschnitte wirken seitlich und heben sich gegenseitig auf.

Für den waagerechten Leiterabschnitt senkrecht zum Magnetfeld gilt:

$Formula: \begin{array}[t]{rll} F_{\mathrm{mag}} & = & B \cdot I_{\mathrm{L}} \cdot \ell &\quad\scriptsize\mid\,\cdot\dfrac{1}{I_{\mathrm{L}} \cdot \ell} \\[5pt] B & = & \dfrac{F_{\mathrm{mag}}}{I_{\mathrm{L}} \cdot \ell} \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll} F_{\mathrm{mag}} & = & B \cdot I_{\mathrm{L}} \cdot \ell &\quad\scriptsize\mid\,\cdot\dfrac{1}{I_{\mathrm{L}} \cdot \ell} \\[5pt] B & = & \dfrac{F_{\mathrm{mag}}}{I_{\mathrm{L}} \cdot \ell} \end{array}$

Für das homogene Feld im Inneren der luftgefüllten langen Spule gilt mit $Formula: \mu_{\mathrm{r}} \approx 1\text{:}$ $Formula: \mu_{\mathrm{r}} \approx 1\text{:}$

$Formula: B = \mu_0 \cdot \mu_{\mathrm{r}} \cdot \dfrac{N \cdot I_{\mathrm{S}}}{L}$ $Formula: B = \mu_0 \cdot \mu_{\mathrm{r}} \cdot \dfrac{N \cdot I_{\mathrm{S}}}{L}$

Durch Einsetzen und Umstellen folgt:

$Formula: \begin{array}[t]{rll} B & = & \mu_0 \cdot \mu_{\mathrm{r}} \cdot \dfrac{N \cdot I_{\mathrm{S}}}{L} &\quad\scriptsize\mid\,\cdot \dfrac{L}{\mu_{\mathrm{r}} \cdot N \cdot I_{\mathrm{S}}} \\[5pt] \mu_0 & = & \dfrac{B \cdot L}{\mu_{\mathrm{r}} \cdot N \cdot I_{\mathrm{S}}} \\[5pt] & = & \dfrac{F_{\mathrm{mag}} \cdot L}{\mu_{\mathrm{r}} \cdot N \cdot I_{\mathrm{S}} \cdot I_{\mathrm{L}} \cdot \ell} \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll} B & = & \mu_0 \cdot \mu_{\mathrm{r}} \cdot \dfrac{N \cdot I_{\mathrm{S}}}{L} &\quad\scriptsize\mid\,\cdot \dfrac{L}{\mu_{\mathrm{r}} \cdot N \cdot I_{\mathrm{S}}} \\[5pt] \mu_0 & = & \dfrac{B \cdot L}{\mu_{\mathrm{r}} \cdot N \cdot I_{\mathrm{S}}} \\[5pt] & = & \dfrac{F_{\mathrm{mag}} \cdot L}{\mu_{\mathrm{r}} \cdot N \cdot I_{\mathrm{S}} \cdot I_{\mathrm{L}} \cdot \ell} \end{array}$

Die magnetische Kraft ist $Formula: F_{\mathrm{mag}} = 0{,}00116\;\mathrm{N}.$ $Formula: F_{\mathrm{mag}} = 0{,}00116\;\mathrm{N}.$ Einsetzen der Werte ergibt:

$Formula: \mu_0 = \dfrac{0{,}00116\;\mathrm{N} \cdot 0{,}50\;\mathrm{m}}{1 \cdot 500 \cdot 4{,}5\;\mathrm{A} \cdot 4{,}1\;\mathrm{A} \cdot 0{,}050\;\mathrm{m}} \approx 1{,}3 \cdot 10^{-6}\;\dfrac{\mathrm{N}}{\mathrm{A}^{2}}$ $Formula: \mu_0 = \dfrac{0{,}00116\;\mathrm{N} \cdot 0{,}50\;\mathrm{m}}{1 \cdot 500 \cdot 4{,}5\;\mathrm{A} \cdot 4{,}1\;\mathrm{A} \cdot 0{,}050\;\mathrm{m}} \approx 1{,}3 \cdot 10^{-6}\;\dfrac{\mathrm{N}}{\mathrm{A}^{2}}$

Die ermittelte magnetische Feldkonstante beträgt somit $Formula: \mu_0 \approx 1{,}3 \cdot 10^{-6}\;\tfrac{\mathrm{V}\cdot\mathrm{s}}{\mathrm{A}\cdot\mathrm{m}}.$ $Formula: \mu_0 \approx 1{,}3 \cdot 10^{-6}\;\tfrac{\mathrm{V}\cdot\mathrm{s}}{\mathrm{A}\cdot\mathrm{m}}.$

Eisen ist ferromagnetisch. Durch das Magnetfeld der Spule wird der Eisenkern magnetisiert. Sein zusätzliches Magnetfeld verstärkt das Feld der Spule.

Dies lässt sich mit der relativen Permeabilität beschreiben. Für Eisen gilt $Formula: \mu_{\mathrm{r}} > 1,$ $Formula: \mu_{\mathrm{r}} > 1,$ während für Luft näherungsweise $Formula: \mu_{\mathrm{r}} = 1$ $Formula: \mu_{\mathrm{r}} = 1$ gilt. Nach

$Formula: B = \mu_0 \cdot \mu_{\mathrm{r}} \cdot \dfrac{N \cdot I_{\mathrm{S}}}{L}$ $Formula: B = \mu_0 \cdot \mu_{\mathrm{r}} \cdot \dfrac{N \cdot I_{\mathrm{S}}}{L}$

nimmt daher bei gleicher Spulengeometrie und gleicher Stromstärke der Betrag der magnetischen Flussdichte zu.

Die Geschwindigkeit des Elektrons steht senkrecht zu den Feldlinien. Deshalb wirkt auf das Elektron eine Lorentzkraft mit dem Betrag $Formula: F_{\mathrm{L}} = e \cdot v \cdot B.$ $Formula: F_{\mathrm{L}} = e \cdot v \cdot B.$
Die Lorentzkraft steht stets senkrecht zur momentanen Bewegungsrichtung und zum Magnetfeld. Sie verändert deshalb die Richtung der Geschwindigkeit, verrichtet jedoch keine Arbeit am Elektron.
Die kinetische Energie und damit der Betrag der Geschwindigkeit bleiben konstant.
Da außerdem das Magnetfeld homogen und zeitlich konstant ist, bleibt auch der Betrag der Lorentzkraft konstant. Ihre Richtung ändert sich mit der Bewegungsrichtung, sie wirkt also als Radialkraft.

Aus $Formula: F_{\mathrm{L}} = F_{\mathrm{R}}$ $Formula: F_{\mathrm{L}} = F_{\mathrm{R}}$ folgt:

$Formula: \begin{array}[t]{rll} e \cdot v \cdot B & = & m_{\mathrm{e}} \cdot \dfrac{v^{2}}{r} &\quad\scriptsize\mid\,\cdot \dfrac{r}{e \cdot v \cdot B} \\[5pt] r & = & \dfrac{m_{\mathrm{e}} \cdot v}{e \cdot B} \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll} e \cdot v \cdot B & = & m_{\mathrm{e}} \cdot \dfrac{v^{2}}{r} &\quad\scriptsize\mid\,\cdot \dfrac{r}{e \cdot v \cdot B} \\[5pt] r & = & \dfrac{m_{\mathrm{e}} \cdot v}{e \cdot B} \end{array}$

Da alle Größen auf der rechten Seite konstant sind, ist der Bahnradius konstant. Das Elektron bewegt sich daher auf einer Kreisbahn.

Die Lorentzkraft liefert die für die Kreisbewegung erforderliche Radialkraft. Durch Umstellen folgt für die spezifische elektrische Ladung:

$Formula: \begin{array}[t]{rll} e \cdot v \cdot B &=& m_{\mathrm{e}} \cdot \dfrac{v^{2}}{r} &\quad\scriptsize\mid\,\cdot \dfrac{1}{v \cdot B \cdot m_{\mathrm{e}}} \\[5pt] \dfrac{e}{m_{\mathrm{e}}} &=& \dfrac{v}{B \cdot r} \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll} e \cdot v \cdot B &=& m_{\mathrm{e}} \cdot \dfrac{v^{2}}{r} &\quad\scriptsize\mid\,\cdot \dfrac{1}{v \cdot B \cdot m_{\mathrm{e}}} \\[5pt] \dfrac{e}{m_{\mathrm{e}}} &=& \dfrac{v}{B \cdot r} \end{array}$

Einsetzen der Werte ergibt:

$Formula: \dfrac{e}{m_{\mathrm{e}}} = \dfrac{8{,}4 \cdot 10^{6}\;\tfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}}{1{,}2 \cdot 10^{-3}\;\mathrm{T} \cdot 0{,}040\;\mathrm{m}} \approx 1{,}8 \cdot 10^{11}\;\dfrac{\mathrm{C}}{\mathrm{kg}}$ $Formula: \dfrac{e}{m_{\mathrm{e}}} = \dfrac{8{,}4 \cdot 10^{6}\;\tfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}}{1{,}2 \cdot 10^{-3}\;\mathrm{T} \cdot 0{,}040\;\mathrm{m}} \approx 1{,}8 \cdot 10^{11}\;\dfrac{\mathrm{C}}{\mathrm{kg}}$

Der Betrag der spezifischen elektrischen Ladung des Elektrons beträgt etwa $Formula: 1{,}8 \cdot 10^{11}\;\tfrac{\mathrm{C}}{\mathrm{kg}}.$ $Formula: 1{,}8 \cdot 10^{11}\;\tfrac{\mathrm{C}}{\mathrm{kg}}.$ Dabei bezeichnet Formula: e den positiven Betrag der Elektronenladung.

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