Aufgabe 3.2 — Schwingungen

Ein Schallplattenspieler ist ein Gerät, dessen Funktion sowohl mechanische als auch elektrische und magnetische Prinzipien nutzt. Über einen angeschlossenen Lautsprecher kann die Musik wiedergegeben werden.

Die Membran eines Lautsprechers führt mechanische Schwingungen aus. Der Mittelpunkt dieser Membran schwingt mit der Amplitude $Formula: 2{,}0\;\mathrm{mm},$ $Formula: 2{,}0\;\mathrm{mm},$ die Frequenz beträgt $Formula: 440\;\mathrm{Hz}.$ $Formula: 440\;\mathrm{Hz}.$

Gib die Periodendauer an.

1 BE

Stelle eine Funktionsgleichung Formula: y=y(t) auf, die diese Schwingung des Membranmittelpunktes beschreibt.

1 BE

Berechne die maximale Geschwindigkeit des Mittelpunktes der Lautsprechermembran.

3 BE

Im Material 1 werden prinzipieller Aufbau und Funktionsweise für das Abtastsystem eines Schallplattenspielers beschrieben.

Vergleiche mechanische und elektromagnetische Schwingungen hinsichtlich zweier selbstgewählter Kriterien.

4 BE

Erkläre, dass durch die Bewegung der Nadel eine Spannung in der Spule induziert wird.

2 BE

Die Spule hat Formula: 500 Windungen. Vereinfacht wird angenommen, dass sich der magnetische Fluss in $Formula: 1{,}0\;\mathrm{ms}$ $Formula: 1{,}0\;\mathrm{ms}$ um $Formula: 6{,}0\cdot10^{-9}\;\mathrm{Vs}$ $Formula: 6{,}0\cdot10^{-9}\;\mathrm{Vs}$ ändert.

Berechne den Betrag der induzierten Spannung.

2 BE

Die Abbildung 3 in Material 2 zeigt ein $Formula: y(t)\text{-}$ $Formula: y(t)\text{-}$ Diagramm.

Beschreibe die Veränderung der Schallschwingung bezüglich der Tonhöhe und der Lautstärke.

2 BE

Fachpraktischer Teil

An einer aufgehängten Schraubenfeder ist ein Massekörper befestigt und schwingt vertikal. Die Periodendauer der Schwingung dieses Körpers ist von der Masse des Körpers und von der Federkonstante abhängig.

Die Experimentieranordnung wird dir vollständig aufgebaut übergeben.

Lenke den Körper vertikal aus und gib ihn frei.

Ermittle die Periodendauer der Schwingung.

2 BE

Wiederhole das Experiment für vier weitere Körper anderer Massen.

Erfrage die Massen der Körper bei der Aufsicht führenden Fachlehrkraft.

2 BE

Hinweise:

Sollten dir die Messungen nicht gelingen, so kannst du bei der Aufsicht führenden Fachlehrkraft Hilfe anfordern. Den nicht erbrachten Leistungen entsprechend werden bis zu 4 BE nicht erteilt.

Auswertung des fachpraktischen Teils

Zeichne das zugehörige $Formula: T^2(m)\text{-}$ $Formula: T^2(m)\text{-}$ Diagramm.

3 BE

Weise nach, dass $Formula: T^2\sim m$ $Formula: T^2\sim m$ gilt.

1 BE

Ermittle die Federkonstante der genutzten Feder.

3 BE

Die Frequenz einer Schwingung ist auch von der Federkonstante der Feder abhängig.

Formuliere eine Je-desto-Aussage, die die Abhängigkeit der Frequenz von der Federkonstante der Feder beschreibt.

2 BE

Begründe deine Aussage.

2 BE

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Die Periodendauer ist der Kehrwert der Frequenz:

$Formula: T=\dfrac{1}{f}=\dfrac{1}{440\;\mathrm{Hz}}\approx 2{,}3\cdot10^{-3}\;\mathrm{s}=2{,}3\;\mathrm{ms}$ $Formula: T=\dfrac{1}{f}=\dfrac{1}{440\;\mathrm{Hz}}\approx 2{,}3\cdot10^{-3}\;\mathrm{s}=2{,}3\;\mathrm{ms}$

Wird der Zeitnullpunkt beim Durchgang durch die Ruhelage in positiver Richtung gewählt, beschreibt die folgende Sinusfunktion die Schwingung:

$Formula: y(t)=2{,}0\;\mathrm{mm}\cdot\sin\!\left(2\pi\cdot440\;\mathrm{Hz}\cdot t\right)$ $Formula: y(t)=2{,}0\;\mathrm{mm}\cdot\sin\!\left(2\pi\cdot440\;\mathrm{Hz}\cdot t\right)$

Die Geschwindigkeit ist beim Durchgang durch die Ruhelage am größten, wenn der Betrag des Cosinus Formula: 1 ergibt. Mit der Kreisfrequenz $Formula: \omega=2\pi f$ $Formula: \omega=2\pi f$ ergibt sich:

$Formula: \begin{array}[t]{rll}v_{\mathrm{max}}&=&y_{\mathrm{max}}\cdot\omega\\[5pt]&=&2\pi\cdot440\;\mathrm{Hz}\cdot2{,}0\cdot10^{-3}\;\mathrm{m}\\[5pt]&\approx&5{,}5\;\dfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll}v_{\mathrm{max}}&=&y_{\mathrm{max}}\cdot\omega\\[5pt]&=&2\pi\cdot440\;\mathrm{Hz}\cdot2{,}0\cdot10^{-3}\;\mathrm{m}\\[5pt]&\approx&5{,}5\;\dfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\end{array}$

Periodisch veränderte Größen: Bei einer mechanischen Schwingung ändern sich Ort, Geschwindigkeit und Beschleunigung periodisch. Bei einer elektromagnetischen Schwingung ändern sich Spannung und Stromstärke periodisch.
Energieumwandlung: Bei einer mechanischen Schwingung wechseln sich kinetische und potenzielle Energie ab. Bei einer elektromagnetischen Schwingung wird Energie des elektrischen Feldes periodisch in Energie des magnetischen Feldes und zurück umgewandelt.

Die Schallplattenrille bewegt die Nadel und damit den befestigten Magneten. Weil die Spule feststeht, ändert sich der magnetische Fluss durch sie. Nach dem Induktionsgesetz entsteht dadurch an den Spulenenden eine Spannung:

$Formula: U_{\mathrm{ind}}=-N\cdot\dfrac{\Delta\Phi}{\Delta t}$ $Formula: U_{\mathrm{ind}}=-N\cdot\dfrac{\Delta\Phi}{\Delta t}$

Das Minuszeichen beschreibt die Richtung der induzierten Spannung gemäß der Lenzschen Regel.

Für den Betrag der induzierten Spannung gilt:

$Formula: \begin{array}[t]{rll}|U_{\mathrm{ind}}|&=&N\cdot\dfrac{|\Delta\Phi|}{\Delta t}\\[5pt]&=&500\cdot\dfrac{6{,}0\cdot10^{-9}\;\mathrm{Vs}}{1{,}0\cdot10^{-3}\;\mathrm{s}}\\[5pt]&=&3{,}0\cdot10^{-3}\;\mathrm{V}\\[5pt]&=&3{,}0\;\mathrm{mV}\end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll}|U_{\mathrm{ind}}|&=&N\cdot\dfrac{|\Delta\Phi|}{\Delta t}\\[5pt]&=&500\cdot\dfrac{6{,}0\cdot10^{-9}\;\mathrm{Vs}}{1{,}0\cdot10^{-3}\;\mathrm{s}}\\[5pt]&=&3{,}0\cdot10^{-3}\;\mathrm{V}\\[5pt]&=&3{,}0\;\mathrm{mV}\end{array}$

Im Diagramm werden die Abstände zwischen aufeinanderfolgenden Schwingungsmaxima kleiner. Damit nimmt die Periodendauer ab und die Frequenz zu, der Ton wird also höher. Gleichzeitig nimmt die Amplitude ab, der Ton wird somit leiser.

Der Körper wird leicht vertikal ausgelenkt und ohne zusätzlichen Stoß losgelassen. Für jede der fünf von der Fachlehrkraft angegebenen Massen wird die Zeit für mehrere vollständige Schwingungen gemessen. Die Periodendauer ergibt sich aus der gemessenen Gesamtzeit geteilt durch die Anzahl der Schwingungen:

$Formula: T=\dfrac{t_n}{n}$ $Formula: T=\dfrac{t_n}{n}$

Die tatsächlichen Messwerte hängen vom Experiment ab. Der Erwartungshorizont nennt folgende Beispielwerte:

Masse in $Formula: \boldsymbol{\mathrm{g}}$ $Formula: \boldsymbol{\mathrm{g}}$	Periodendauer in $Formula: \boldsymbol{\mathrm{s}}$ $Formula: \boldsymbol{\mathrm{s}}$

Zeichnen des Diagramms

Für das Diagramm werden die Periodendauern aus dem Beispiel quadriert und gegen die Masse aufgetragen:

Masse in $Formula: \boldsymbol{\mathrm{g}}$ $Formula: \boldsymbol{\mathrm{g}}$	Quadrat der Periodendauer in $Formula: \boldsymbol{\mathrm{s}^2}$ $Formula: \boldsymbol{\mathrm{s}^2}$

Diagramm mit T² in s² über der Masse m in g, Messpunkten und ansteigender Ausgleichsgerade.

Nachweisen der Proportionalität

Die Messpunkte liegen näherungsweise auf einer Geraden durch den Ursprung. Im Rahmen der Messunsicherheit ist damit das Quadrat der Periodendauer proportional zur Masse:

$Formula: T^2\sim m$ $Formula: T^2\sim m$

Für den Feder-Masse-Oszillator gilt:

$Formula: T=2\pi\sqrt{\dfrac{m}{D}}$ $Formula: T=2\pi\sqrt{\dfrac{m}{D}}$

Durch Quadrieren folgt der Zusammenhang zwischen dem Anstieg der Geraden und der Federkonstante:

$Formula: T^2=\dfrac{4\pi^2}{D}\cdot m$ $Formula: T^2=\dfrac{4\pi^2}{D}\cdot m$

$Formula: \Rightarrow a=\dfrac{\Delta T^2}{\Delta m}=\dfrac{4\pi^2}{D}$ $Formula: \Rightarrow a=\dfrac{\Delta T^2}{\Delta m}=\dfrac{4\pi^2}{D}$

Aus der eingezeichneten Ausgleichsgeraden lässt sich beispielhaft ein Anstieg von etwa $Formula: a=3{,}9\cdot10^{-3}\;\tfrac{\mathrm{s}^2}{\mathrm{g}}=3{,}9\;\tfrac{\mathrm{s}^2}{\mathrm{kg}}$ $Formula: a=3{,}9\cdot10^{-3}\;\tfrac{\mathrm{s}^2}{\mathrm{g}}=3{,}9\;\tfrac{\mathrm{s}^2}{\mathrm{kg}}$ ablesen. Daraus folgt für die Federkonstante:

$Formula: \begin{array}[t]{rll} a & = & \dfrac{4\cdot \pi^2}{D} &\quad\scriptsize\mid\,\cdot D \\[5pt] a\cdot D & = & 4\cdot \pi^2 &\quad\scriptsize\mid\,\cdot \dfrac{1}{a} \\[5pt] D & = & \dfrac{4\cdot \pi^2}{a} \\[5pt] & \approx & \dfrac{4\cdot \pi^2}{3{,}9\;\tfrac{\mathrm{s}^2}{\mathrm{kg}}} \\[5pt] & \approx & 10\;\dfrac{\mathrm{N}}{\mathrm{m}} \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll} a & = & \dfrac{4\cdot \pi^2}{D} &\quad\scriptsize\mid\,\cdot D \\[5pt] a\cdot D & = & 4\cdot \pi^2 &\quad\scriptsize\mid\,\cdot \dfrac{1}{a} \\[5pt] D & = & \dfrac{4\cdot \pi^2}{a} \\[5pt] & \approx & \dfrac{4\cdot \pi^2}{3{,}9\;\tfrac{\mathrm{s}^2}{\mathrm{kg}}} \\[5pt] & \approx & 10\;\dfrac{\mathrm{N}}{\mathrm{m}} \end{array}$

Bei eigenen Messwerten kann sich ein anderer Wert ergeben.

Formulieren der Je-desto Aussage

Bei gleicher Masse gilt: Je größer die Federkonstante ist, desto größer ist die Frequenz der Schwingung.

Begründen der Aussage

Aus der Periodendauer und dem Zusammenhang zwischen Frequenz und Periodendauer folgt:

$Formula: T=2\pi\sqrt{\dfrac{m}{D}}$ $Formula: T=2\pi\sqrt{\dfrac{m}{D}}$

$Formula: \Rightarrow f=\dfrac{1}{T}=\dfrac{1}{2\pi}\sqrt{\dfrac{D}{m}}$ $Formula: \Rightarrow f=\dfrac{1}{T}=\dfrac{1}{2\pi}\sqrt{\dfrac{D}{m}}$

Somit ist die Frequenz bei unveränderter Masse proportional zur Quadratwurzel der Federkonstante:

$Formula: f\sim\sqrt{D}$ $Formula: f\sim\sqrt{D}$

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Aufgabe 3.2 — Schwingungen

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Material 1: Aufbau und Funktionsweise eines Schallplattenspielers

Material 2: Graphische Darstellung einer Schallschwingung

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