Pflichtteil A2

Aufgabe 1

Im Quadrat Formula: ABCD liegt das gleichschenklige Dreieck Formula: EFD.

Es gilt:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} \overline{AE} &=& 3,2 \mathrm{~cm} \\[5pt] \delta_1 &=& 24,0^{\circ} \\[5pt] \overline{DE}&=&\overline{DF} \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} \overline{AE} &=& 3,2 \mathrm{~cm} \\[5pt] \delta_1 &=& 24,0^{\circ} \\[5pt] \overline{DE}&=&\overline{DF} \end{array}$

Berechne den Umfang des Dreiecks Formula: EFD.

Geometrische Skizze mit Viereck und markiertem Winkel δ1.

3 BE

Aufgabe 2

Ein Schokokuss hat eine Höhe Formula: h von $Formula: 6\;\text{cm}$ $Formula: 6\;\text{cm}$ und einen Durchmesser Formula: d von $Formula: 5\;\text{cm}.$ $Formula: 5\;\text{cm}.$

Seine Form besteht annähernd aus einem Zylinder mit aufgesetzter Halbkugel. Der Schokokuss ist bis auf den Boden mit Schokolade überzogen.

Wie viele $Formula: \mathrm{cm}^2$ $Formula: \mathrm{cm}^2$ sind mit Schokolade überzogen? Berechne.

Formula: 100 Gramm Schokolade reichen für ca. $Formula: 2000 \mathrm{~cm}^2$ $Formula: 2000 \mathrm{~cm}^2$ Schokoüberzug.

Wie viele dieser Schokoküsse kann man mit Gramm Schokolade überziehen? Berechne.

Dunkles, rundes Objekt mit glatter Oberfläche auf hellem Hintergrund

Skizze eines symmetrischen Torbogens mit Höhe h und gestrichelten Hilfslinien

3,5 BE

Aufgabe 3

Eine Studie untersucht das Medienverhalten Jugendlicher im Zeitraum von 2019 bis 2025.

Zwischen welchen beiden aufeinanderfolgenden Jahren stieg die tägliche Online-Nutzungszeit am stärksten an?

Berechne den prozentualen Anstieg zwischen diesen beiden Jahren.

Laut einer Prognose soll die tägliche Online-Nutzungszeit von 2025 bis 2026 um $Formula: 5,0\,\%$ $Formula: 5,0\,\%$ fallen.

Berechne die tägliche Online-Nutzungszeit für das Jahr 2026 in Minuten.

Im Kreisdiagramm ist die Nutzung der verschiedenen Online-Angebote im Jahr 2024 dargestellt.

Wie viele Minuten haben die Jugendlichen im Jahr 2024 im Durchschnitt täglich in sozialen Netzwerken verbracht?

Berechne. Runde das Ergebnis auf ganze Minuten.

Balkendiagramm zur täglichen Online-Nutzungszeit von 2019 bis 2025.

Kreisdiagramm zu genutzten Online-Angeboten 2024 mit Online-Spiele, Streaming, soziale Netzwerke und Recherche

3 BE

Aufgabe 4

Bei einem Schulfest wird ein Zufallsgerät verwendet, bei dem sich zwei Walzen unabhängig voneinander drehen. Die Walzen sind mit Symbolen beklebt.

Auf jeder Walze befinden sich ein Herz, zwei Sterne und drei Kleeblätter.

Betätigt man den Hebel, setzen sich die Walzen in Bewegung.

Wenn sie zum Stehen kommen, sind im Sichtfenster zwei Symbole zu sehen.

Mechanische Spielautomat mit Symbolen und rotem Hebel

Berechne die Wahrscheinlichkeit für folgende Ereignisse:

zwei gleiche Symbole
einmal Kleeblatt und einmal Stern
höchstens einmal das Symbol Kleeblatt

Bild mit Sternen, Kleeblättern und Herzen in zwei Spalten.

3,5 BE

Aufgabe 5

Das Schaubild zeigt den Ausschnitt einer nach unten geöffneten verschobenen Normalparabel Formula: p_1.

Bestimme die Funktionsgleichung von

Die Gerade Formula: g geht durch die Punkte $Formula: A(-4 \mid-3)$ $Formula: A(-4 \mid-3)$ und $Formula: B(4 \mid 5).$ $Formula: B(4 \mid 5).$

Berechne die Funktionsgleichung von
Berechne die Koordinaten der Schnittpunkte und der Parabel und
Gib die Funktionsgleichung einer Parabel an, die weder mit noch mit einen Schnittpunkt hat.

Parabel im Koordinatensystem, nach unten geöffnet.

3,5 BE

Aufgabe 6

Beim Stadtlauf über fünf Kilometer haben die Formula: 25 Schülerinnen und Schüler der Klasse 10a und die Schülerinnen und Schüler der Klasse 10b teilgenommen.

Die Ergebnisse sind in den beiden Boxplots dargestellt.

Klasse 10a

Boxplot zur Zeit in Minuten auf einer Achse von 20 bis 40.

Klasse 10b

Boxplot der Zeit in Minuten mit Achse von 20 bis 40.

Kreuze das jeweils Zutreffende in der Tabelle an.

	Stimmt	Stimmt nicht	Entscheidung nicht möglich
Die schnellste Zeit wurde in der Klasse 10a gelaufen.			
Mindestens $Formula: 50\,\%$ $Formula: 50\,\%$ der Schülerinnen und Schüler der Klasse 10b haben Minuten oder weniger gebraucht.			
Die durchschnittliche Laufzeit der Schülerinnen und Schüler der Klasse 10b betrug Minuten.			
Mindestens die Hälfte aller Schülerinnen und Schüler der Klasse 10a hat höchstens Minuten gebraucht.			

Vervollständige die Rangliste mit möglichen Werten für die Schülerinnen und Schüler der Klasse 10a.

Rang	Zeit (Min.)
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.

Rang	Zeit (Min.)
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.

3,5 BE

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Lösung 1

Für die Länge der Strecke $Formula: \overline{DE}$ $Formula: \overline{DE}$ ergibt sich:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} \sin(\delta_1) &=& \dfrac{\overline{AE}}{\overline{DE}}\\[5pt] \sin(24^\circ) &=& \dfrac{3,2}{\overline{DE}} &\quad\scriptsize\mid\;\cdot\overline{DE} \\[5pt] \sin(24^\circ)\cdot\overline{DE} &=& 3,2 &\quad\scriptsize\mid\;:\sin(24^\circ) \\[5pt] \overline{DE} &\approx&7,87\;[\text{cm}] \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} \sin(\delta_1) &=& \dfrac{\overline{AE}}{\overline{DE}}\\[5pt] \sin(24^\circ) &=& \dfrac{3,2}{\overline{DE}} &\quad\scriptsize\mid\;\cdot\overline{DE} \\[5pt] \sin(24^\circ)\cdot\overline{DE} &=& 3,2 &\quad\scriptsize\mid\;:\sin(24^\circ) \\[5pt] \overline{DE} &\approx&7,87\;[\text{cm}] \end{array}$

Für die dritte Seite in diesem Dreieck folgt mit dem Tangens:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} \tan(\delta_1) &=& \dfrac{\overline{AE}}{\overline{AD}}\\[5pt] \tan(24^\circ) &=& \dfrac{3,2}{\overline{AD}} &\quad\scriptsize\mid\;\cdot\overline{AD} \\[5pt] \tan(24^\circ)\cdot\overline{AD} &=& 3,2 &\quad\scriptsize\mid\;:\tan(24^\circ) \\[5pt] \overline{AD} &\approx&7,19\;[\text{cm}] \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} \tan(\delta_1) &=& \dfrac{\overline{AE}}{\overline{AD}}\\[5pt] \tan(24^\circ) &=& \dfrac{3,2}{\overline{AD}} &\quad\scriptsize\mid\;\cdot\overline{AD} \\[5pt] \tan(24^\circ)\cdot\overline{AD} &=& 3,2 &\quad\scriptsize\mid\;:\tan(24^\circ) \\[5pt] \overline{AD} &\approx&7,19\;[\text{cm}] \end{array}$

Über die Seitenlänge des Quadrats ergibt sich dann:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} \overline{AD}&=& \overline{AE}+\overline{EB}\\[5pt] 7,19&=& 3,2+\overline{EB} &\quad\scriptsize\mid\;-3,2 \\[5pt] 3,99\;[\text{cm}]&\approx&\overline{EB} \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} \overline{AD}&=& \overline{AE}+\overline{EB}\\[5pt] 7,19&=& 3,2+\overline{EB} &\quad\scriptsize\mid\;-3,2 \\[5pt] 3,99\;[\text{cm}]&\approx&\overline{EB} \end{array}$

Die Länge der Strecke $Formula: \overline{BF}$ $Formula: \overline{BF}$ ist aus Symmetriegründen genau gleich. Mit Hilfe des Satzes des Pythagoras folgt dann:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} \overline{EF}^2&=& \overline{EB}^2+\overline{BF}^2 &\quad\scriptsize\mid\;\sqrt{\;} \\[5pt] \overline{EF}&=& \sqrt{3,99^2+3,99^2} \\[5pt] \overline{EF}&\approx&5,64\;[\text{cm}] \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} \overline{EF}^2&=& \overline{EB}^2+\overline{BF}^2 &\quad\scriptsize\mid\;\sqrt{\;} \\[5pt] \overline{EF}&=& \sqrt{3,99^2+3,99^2} \\[5pt] \overline{EF}&\approx&5,64\;[\text{cm}] \end{array}$

Damit ergibt sich der Umfang des Dreiecks Formula: EFD wie folgt:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} U&=& 7,87+7,87+5,64 \\[5pt] &\approx&21,4\;[\text{cm}] \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} U&=& 7,87+7,87+5,64 \\[5pt] &\approx&21,4\;[\text{cm}] \end{array}$

Lösung 2

Mit Hilfe des Durchmessers der Kugel folgt für die Höhe Formula: h_Z des Zylinders:

$Formula: h_Z=6-\dfrac{1}{2}\cdot5=3,5\;[\text{cm}]$ $Formula: h_Z=6-\dfrac{1}{2}\cdot5=3,5\;[\text{cm}]$

Die Mantelfläche des Zylinders ergibt sich somit wie folgt:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} M&=& 3,5\cdot(2\pi\cdot2,5) \\[5pt] &\approx&54,98\;[\text{cm}^2] \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} M&=& 3,5\cdot(2\pi\cdot2,5) \\[5pt] &\approx&54,98\;[\text{cm}^2] \end{array}$

Der Rest der Oberfläche des Schokokusses ergibt sich durch die Oberfläche der Halbkugel. Für diese gilt:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} O_K&=& \dfrac{1}{2}\cdot4\pi\cdot2,5^2 \\[5pt] &\approx&39,27\;[\text{cm}^2] \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} O_K&=& \dfrac{1}{2}\cdot4\pi\cdot2,5^2 \\[5pt] &\approx&39,27\;[\text{cm}^2] \end{array}$

Damit sind insgesamt ca. $Formula: 54,98+39,27\approx94,3\;\text{cm}^2$ $Formula: 54,98+39,27\approx94,3\;\text{cm}^2$ mit Schokolade überzogen. Damit ergibt sich:

$Formula: \dfrac{2000}{94,3}\approx21,21$ $Formula: \dfrac{2000}{94,3}\approx21,21$

Somit können Formula: 21 Schokoküsse mit Schokolade überzogen werden.

Lösung 3

Prozentualen Anstieg berechnen

Der stärkste Anstieg war von 2019 auf das Jahr 2020. Für den gesuchten prozentualen Anstieg ergibt sich somit:

$Formula: \dfrac{205}{258-205}\approx0,259=25,9\,\%$ $Formula: \dfrac{205}{258-205}\approx0,259=25,9\,\%$

Tägliche Online-Nutzungszeit 2026 berechnen

Es gilt $Formula: 0,05\cdot220=11.$ $Formula: 0,05\cdot220=11.$ Damit ergibt sich eine tägliche Online-Nutzungszeit von Formula: 220-11=209 Minuten in 2026.

Tägliche Zeit in sozialen Netzwerken berechnen

Mit dem Kreisdiagramm ergibt sich eine durchschnittliche tägliche Nutzungszeit von $Formula: 0,197\cdot208\approx41$ $Formula: 0,197\cdot208\approx41$ Minuten.

Lösung 4

Werden die drei Ereignisse der Reihe nach mit Formula: A,B und Formula: C bezeichnet, ergibt sich:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} P(A)&=& \dfrac{3}{6}\cdot\dfrac{3}{6}+\dfrac{2}{6}\cdot\dfrac{2}{6}+\dfrac{1}{6}\cdot\dfrac{1}{6} \\[5pt] &=&\dfrac{7}{18} \\[5pt] &\approx&38,9\,\% \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} P(A)&=& \dfrac{3}{6}\cdot\dfrac{3}{6}+\dfrac{2}{6}\cdot\dfrac{2}{6}+\dfrac{1}{6}\cdot\dfrac{1}{6} \\[5pt] &=&\dfrac{7}{18} \\[5pt] &\approx&38,9\,\% \end{array}$

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} P(B)&=& \dfrac{3}{6}\cdot\dfrac{2}{6}+\dfrac{2}{6}\cdot\dfrac{3}{6} \\[5pt] &=&\dfrac{1}{3} \\[5pt] &\approx&33,3\,\% \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} P(B)&=& \dfrac{3}{6}\cdot\dfrac{2}{6}+\dfrac{2}{6}\cdot\dfrac{3}{6} \\[5pt] &=&\dfrac{1}{3} \\[5pt] &\approx&33,3\,\% \end{array}$

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} P(C)&=& \dfrac{3}{6}\cdot\dfrac{3}{6}+\dfrac{3}{6}\cdot1 \\[5pt] &=&\dfrac{3}{4} \\[5pt] &\approx&75\,\% \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} P(C)&=& \dfrac{3}{6}\cdot\dfrac{3}{6}+\dfrac{3}{6}\cdot1 \\[5pt] &=&\dfrac{3}{4} \\[5pt] &\approx&75\,\% \end{array}$

Lösung 5

Der Scheitelpunkt der Parabel ist um Formula: 7 Einheiten in positive Formula: y -Richtung verschoben und sie ist nach unten geöffnet. Damit folgt:

$Formula: p_1{:}\;y=-x^2+7$ $Formula: p_1{:}\;y=-x^2+7$

Für die Steigung von Formula: g ergibt sich mit den Koordinaten der beiden Punkte:

$Formula: \dfrac{5-(-3)}{4-(-4)}=1$ $Formula: \dfrac{5-(-3)}{4-(-4)}=1$

Die allgemeine Funktionsgleichung ist somit gegeben durch Formula: g:y=x+b. Einsetzen der Koordinaten von z.B. Formula: A liefert für Formula: b:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} -3&=& -4+b &\quad\scriptsize\mid\;+4 \\[5pt] 1&=&b \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} -3&=& -4+b &\quad\scriptsize\mid\;+4 \\[5pt] 1&=&b \end{array}$

Die Funktionsgleichung von Formula: g ist somit gegeben durch Formula: g:y=x+1.

Gleichsetzen von Formula: g und Formula: p_1 ergibt:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} x+1&=&-x^2+7 &\quad\scriptsize\mid\;+x^2-7 \\[5pt] x^2+x-6&=&0 \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} x+1&=&-x^2+7 &\quad\scriptsize\mid\;+x^2-7 \\[5pt] x^2+x-6&=&0 \end{array}$

Mit der Formula: pq -Formel ergibt sich:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} x_{1;2}&=&-\dfrac{1}{2}\pm\sqrt{\left(\dfrac{1}{2}\right)^2+6} \\[5pt] x_{1;2}&=&-\dfrac{1}{2}\pm\sqrt{\dfrac{25}{4}} \\[5pt] x_{1;2}&=&-\dfrac{1}{2}\pm\dfrac{5}{2} \\[5pt] x_1&=&-3 \\[5pt] x_2&=&2 \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} x_{1;2}&=&-\dfrac{1}{2}\pm\sqrt{\left(\dfrac{1}{2}\right)^2+6} \\[5pt] x_{1;2}&=&-\dfrac{1}{2}\pm\sqrt{\dfrac{25}{4}} \\[5pt] x_{1;2}&=&-\dfrac{1}{2}\pm\dfrac{5}{2} \\[5pt] x_1&=&-3 \\[5pt] x_2&=&2 \end{array}$

Einsetzen der beiden Formula: x -Koordinaten in die Funktionsgleichung von z.B. Formula: g liefert:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} y_1&=& -3+1 \\[5pt] &=&-2 \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} y_1&=& -3+1 \\[5pt] &=&-2 \end{array}$

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} y_2&=& 2+1 \\[5pt] &=&3 \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} y_2&=& 2+1 \\[5pt] &=&3 \end{array}$

Die beiden Schnittpunkte Formula: T und Formula: U haben somit die Koordinaten $Formula: T(-3\mid-2)$ $Formula: T(-3\mid-2)$ und $Formula: U(2\mid3).$ $Formula: U(2\mid3).$

Eine mögliche Funktionsgleichung von Formula: p_2 ist wie folgt gegeben:

Formula: p_2:y=-x^2-3

Lösung 6

	Stimmt	Stimmt nicht	Entscheidung nicht möglich
Die schnellste Zeit wurde in der Klasse 10a gelaufen.			
Mindestens $Formula: 50\,\%$ $Formula: 50\,\%$ der Schülerinnen und Schüler der Klasse 10b haben Minuten oder weniger gebraucht.			
Die durchschnittliche Laufzeit der Schülerinnen und Schüler der Klasse 10b betrug Minuten.			
Mindestens die Hälfte aller Schülerinnen und Schüler der Klasse 10a hat höchstens Minuten gebraucht.			

Für die restlichen Werte folgt mit Hilfe des Boxplots zum Beispiel:

Rang	Zeit (Min.)
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.

Rang	Zeit (Min.)
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.

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