Wahlteil B

Aufgabe 1

Im rechtwinkligen Trapez

Formula: ABCD liegt das gleichschenklige Dreieck Formula: EBC.

Es gilt:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} \overline{AB} &=&15,8 \mathrm{~cm} \\[5pt] \overline{BC} &=& 11,4 \mathrm{~cm} \\[5pt] \beta &=& 36,0^{\circ} \\[5pt] \overline{BE} &=& \overline{CE} \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} \overline{AB} &=&15,8 \mathrm{~cm} \\[5pt] \overline{BC} &=& 11,4 \mathrm{~cm} \\[5pt] \beta &=& 36,0^{\circ} \\[5pt] \overline{BE} &=& \overline{CE} \end{array}$

Geometrische Skizze mit Viereck und Dreieck, Punkten A bis D und markiertem Winkel β.

Berechne den Flächeninhalt des Vierecks Formula: AECD.

5 BE

Die nach oben geöffnete Normalparabel Formula: p_1 mit dem Scheitelpunkt $Formula: S_1(-2,5 \mid 7,75)$ $Formula: S_1(-2,5 \mid 7,75)$ und die Parabel Formula: p_2 mit der Funktionsgleichung $Formula: y=-\tfrac{1}{4} x^2+9$ $Formula: y=-\tfrac{1}{4} x^2+9$ haben den Schnittpunkt Formula: C.

Berechne die Koordinaten des Punktes

Durch den Punkt Formula: C und den Ursprung $Formula: O(0 \mid 0)$ $Formula: O(0 \mid 0)$ verläuft die Gerade Formula: g.

Bestimme die Funktionsgleichung von

Die Parabel Formula: p_2 schneidet die Formula: x -Achse in den Punkten Formula: N_1 und Formula: N_2. Die Punkte und bilden mit dem Punkt Formula: C das Dreieck Formula: N_1N_2C.

Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks
Begründe, dass die Gerade die Fläche des Dreiecks halbiert.

5 BE

Aufgabe 2

Das Schaubild zeigt den Ausschnitt einer verschobenen nach oben geöffneten Normalparabel Formula: p_1.

Bestimme die Funktionsgleichung der Parabel

Der Scheitelpunkt Formula: S_1 der Parabel Formula: p_1 wird um $Formula: 1\;\mathrm{LE}$ $Formula: 1\;\mathrm{LE}$ (Längeneinheit) nach rechts und $Formula: 2\;\mathrm{LE}$ $Formula: 2\;\mathrm{LE}$ nach oben verschoben. Dadurch entsteht der Scheitelpunkt Formula: S_2 der Normalparabel Formula: p_2.

Gib die Funktionsgleichung von in Normalform an.

Die Gerade Formula: g geht durch die Scheitelpunkte Formula: S_1 und Formula: S_2.

Berechne die Funktionsgleichung von

Die Punkte $Formula: C\left(x_c \mid 7\right)$ $Formula: C\left(x_c \mid 7\right)$ und $Formula: D\left(x_D \mid 7\right)$ $Formula: D\left(x_D \mid 7\right)$ liegen auf der Parabel Formula: p_2. Der Punkt liegt links vom Punkt Formula: C, das heißt Formula: x_D < x_C.

Berechne die -Koordinaten von und

Der Punkt Formula: B liegt auf der Geraden Formula: g. $Formula: \overline{BC}$ $Formula: \overline{BC}$ ist parallel zu $Formula: \overline{DN_1}.$ $Formula: \overline{DN_1}.$ Dadurch entsteht das Trapez Formula: DN_1BC.

Bestimme die Koordinaten des Punktes

Graph einer Parabel im Koordinatensystem mit den Punkten N1 und P1.

5 BE

In einer regelmäßigen fünfseitigen Pyramide liegt das Dreieck Formula: ABS.

Es gilt:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} a &=& 7,0 \mathrm{~cm} \\[5pt] \varphi &=& 40,0^{\circ} \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} a &=& 7,0 \mathrm{~cm} \\[5pt] \varphi &=& 40,0^{\circ} \end{array}$

Berechne den Umfang des Dreiecks Formula: ABS.

Geometrische Pyramide mit eingezeichneter Höhe h und Grundkante a.

5 BE

Aufgabe 3

Neun gleichgroße Karten sind mit drei unterschiedlichen Symbolen (zweimal Birne, dreimal Kiwi, viermal Apfel) bedruckt. Die Karten werden gemischt und verdeckt auf den Tisch gelegt.

Claus behauptet: „Wenn ich sechs Karten umdrehe, ist auf jeden Fall eine Karte mit einem Apfel dabei.“

Überprüfe diese Behauptung. Begründe deine Antwort.

Für ein Gewinnspiel, bei dem zwei Karten ohne Zurücklegen aufgedeckt werden, soll der abgebildete Gewinnplan verwendet werden.

Berechne den Erwartungswert.

Der Veranstalter des Glücksspiels möchte seinen Gewinn verdoppeln. Dazu soll der Gewinn von „zweimal Birne“ verändert werden, während alles andere unverändert bleibt.

Wie hoch muss dann der Gewinn für „zweimal Birne“ sein? Berechne.

Neun rote Spielkarten mit der Rückseite nach oben in einem 3x3-Layout.

Ereignis	Gewinn
zweimal Birne	$Formula: 9,00\,€$ $Formula: 9,00\,€$
zweimal Kiwi	$Formula: 4,00\,€$ $Formula: 4,00\,€$
Birne und Kiwi	$Formula: 2,00\,€$ $Formula: 2,00\,€$
Einsatz pro Spiel: $Formula: 1,00\,€$ $Formula: 1,00\,€$

5 BE

Das Foto zeigt einen Siebenmeterwurf beim olympischen Handballturnier 2024. Genau über der Siebenmeterlinie verlässt der Ball in einer Höhe von $Formula: 2,20\;\text{m}$ $Formula: 2,20\;\text{m}$ die Hand des Werfers.

Nach einer horizontalen Entfernung von $Formula: 3\;\text{m}$ $Formula: 3\;\text{m}$ erreicht der Ball seine maximale Höhe von $Formula: 3,10 \mathrm{~m}.$ $Formula: 3,10 \mathrm{~m}.$

Die Flugbahn des Handballs ist annähernd parabelförmig.

Berechne eine mögliche Funktionsgleichung der Parabel.

Der Torwart steht $Formula: 3,50 \mathrm{~m}$ $Formula: 3,50 \mathrm{~m}$ vor der Torlinie. Er erreicht mit nach oben gestreckten Armen eine Höhe von $Formula: 2,60 \mathrm{~m}.$ $Formula: 2,60 \mathrm{~m}.$

Kann er den Ball, ohne hochzuspringen, berühren? Begründe rechnerisch.

Das Tor hat eine Höhe von $Formula: 2\;\text{m}.$ $Formula: 2\;\text{m}.$

Überprüfe durch Rechnung, ob der Spieler bei diesem Siebenmeterwurf ein Tor erzielt.

Handballszene mit markierter Siebenmeterlinie und Torlinie

[„Olympia-Viertelfinale: Wer soll bei Deutschland die Siebenmeter werfen?“

https://www.handball-world.news/artikel/olympia-finale-wer-soll-bei-deutschland-die-siebenmeter-werfen-1043703; Zugriff am 15.01.2025]

5 BE

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Lösung 1

Das gleichschenklige Dreieck Formula: EBC kann durch eine Höhe von der Grundseite $Formula: \overline{BC}$ $Formula: \overline{BC}$ zu in zwei rechtwinklige Dreiecke geteilt werden. Für die Länge von $Formula: \overline{BE}$ $Formula: \overline{BE}$ folgt dann:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} \cos(\beta)&=&\dfrac{\tfrac{1}{2}\cdot\overline{BC}}{\overline{BE}} &\quad\scriptsize\mid\;\cdot\overline{BE} \\[5pt] \cos(\beta)\cdot\overline{BE}&=&\dfrac{1}{2}\cdot\overline{BC} &\quad\scriptsize\mid\;:\cos(\beta) \\[5pt] \overline{BE}&=&\dfrac{\tfrac{1}{2}\cdot11,4}{\cos(36^\circ)} \\[5pt] \overline{BE}&\approx&7,05\;[\text{cm}] \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} \cos(\beta)&=&\dfrac{\tfrac{1}{2}\cdot\overline{BC}}{\overline{BE}} &\quad\scriptsize\mid\;\cdot\overline{BE} \\[5pt] \cos(\beta)\cdot\overline{BE}&=&\dfrac{1}{2}\cdot\overline{BC} &\quad\scriptsize\mid\;:\cos(\beta) \\[5pt] \overline{BE}&=&\dfrac{\tfrac{1}{2}\cdot11,4}{\cos(36^\circ)} \\[5pt] \overline{BE}&\approx&7,05\;[\text{cm}] \end{array}$

Damit ist auch die Kante $Formula: \overline{CE}$ $Formula: \overline{CE}$ ca. $Formula: 7,05\;\text{cm}$ $Formula: 7,05\;\text{cm}$ lang. Für die Länge der Kante $Formula: \overline{AE}$ $Formula: \overline{AE}$ ergibt sich:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} \overline{AE}&=&\overline{AB}-\overline{BE} \\[5pt] &=&15,8-7,05 \\[5pt] &=&8,75\;[\text{cm}] \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} \overline{AE}&=&\overline{AB}-\overline{BE} \\[5pt] &=&15,8-7,05 \\[5pt] &=&8,75\;[\text{cm}] \end{array}$

Projektion des Punktes Formula: C auf die Strecke $Formula: \overline{AB}$ $Formula: \overline{AB}$ liefert einen Punkt Formula: C'. Dadurch entsteht ein rechtwinkliges Dreieck Formula: CC'B und es folgt:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} \sin(\beta)&=&\dfrac{\overline{CC'}}{\overline{BC}} &\quad\scriptsize\mid\;\cdot\overline{BC} \\[5pt] \sin(\beta)\cdot\overline{BC}&=&\overline{CC'} \\[5pt] \sin(36^\circ)\cdot11,4&=&\overline{CC'} \\[5pt] 6,7\;[\text{cm}]&\approx&\overline{CC'} \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} \sin(\beta)&=&\dfrac{\overline{CC'}}{\overline{BC}} &\quad\scriptsize\mid\;\cdot\overline{BC} \\[5pt] \sin(\beta)\cdot\overline{BC}&=&\overline{CC'} \\[5pt] \sin(36^\circ)\cdot11,4&=&\overline{CC'} \\[5pt] 6,7\;[\text{cm}]&\approx&\overline{CC'} \end{array}$

Diese Strecke ist genauso lang wie die Strecke $Formula: \overline{AD}.$ $Formula: \overline{AD}.$ Zudem folgt:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} \cos(\beta)&=&\dfrac{\overline{C'B}}{\overline{BC}} &\quad\scriptsize\mid\;\cdot\overline{BC} \\[5pt] \cos(\beta)\cdot\overline{BC}&=&\overline{C'B} \\[5pt] \cos(36^\circ)\cdot11,4&=&\overline{C'B} \\[5pt] 9,22\;[\text{cm}]&\approx&\overline{C'B} \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} \cos(\beta)&=&\dfrac{\overline{C'B}}{\overline{BC}} &\quad\scriptsize\mid\;\cdot\overline{BC} \\[5pt] \cos(\beta)\cdot\overline{BC}&=&\overline{C'B} \\[5pt] \cos(36^\circ)\cdot11,4&=&\overline{C'B} \\[5pt] 9,22\;[\text{cm}]&\approx&\overline{C'B} \end{array}$

Die Strecke $Formula: \overline{DC}$ $Formula: \overline{DC}$ ist genauso lang wie die Strecke $Formula: \overline{AC'}.$ $Formula: \overline{AC'}.$ Damit ergibt sich:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} \overline{DC}&=&\overline{AB}-\overline{C'B} \\[5pt] &\approx&15,8-9,22 \\[5pt] &=&6,58\;[\text{cm}] \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} \overline{DC}&=&\overline{AB}-\overline{C'B} \\[5pt] &\approx&15,8-9,22 \\[5pt] &=&6,58\;[\text{cm}] \end{array}$

Für den Flächeninhalt des Vierecks Formula: AECD folgt somit:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} A&=&\dfrac{\overline{AE}+\overline{DC}}{2}\cdot\overline{AD} \\[5pt] &\approx&\dfrac{8,75+6,58}{2}\cdot6,7 \\[5pt] &\approx&51,35\;[\text{cm}^2] \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} A&=&\dfrac{\overline{AE}+\overline{DC}}{2}\cdot\overline{AD} \\[5pt] &\approx&\dfrac{8,75+6,58}{2}\cdot6,7 \\[5pt] &\approx&51,35\;[\text{cm}^2] \end{array}$

Koordinaten von $Formula: \boldsymbol{C}$ $Formula: \boldsymbol{C}$ berechnen

Für die Funktionsgleichung der Parabel Formula: p_1 ergibt sich:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} y&=&(x+2,5)^2+7,75 \\[5pt] &=& x^2+5 x+14 \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} y&=&(x+2,5)^2+7,75 \\[5pt] &=& x^2+5 x+14 \end{array}$

Gleichsetzen mit der Funktionsgleichung von Formula: p_2 liefert:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} x^2+5x+14&=&-\dfrac{1}{4} x^2+9 &\quad\scriptsize\mid\;+\dfrac{1}{4} x^2 \\[5pt] \dfrac{5}{4}x^2+5x+14&=&9 &\quad\scriptsize\mid\;-9 \\[5pt] \dfrac{5}{4}x^2+5x+5&=&0 &\quad\scriptsize\mid\;\cdot\dfrac{4}{5} \\[5pt] x^2+4x+4&=&0 \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} x^2+5x+14&=&-\dfrac{1}{4} x^2+9 &\quad\scriptsize\mid\;+\dfrac{1}{4} x^2 \\[5pt] \dfrac{5}{4}x^2+5x+14&=&9 &\quad\scriptsize\mid\;-9 \\[5pt] \dfrac{5}{4}x^2+5x+5&=&0 &\quad\scriptsize\mid\;\cdot\dfrac{4}{5} \\[5pt] x^2+4x+4&=&0 \end{array}$

Mit der Formula: pq -Formel ergibt sich:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} x_{1;2}&=&-\dfrac{4}{2}\pm\sqrt{\left(\dfrac{4}{2}\right)^2-4} \\[5pt] &=&-2 \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} x_{1;2}&=&-\dfrac{4}{2}\pm\sqrt{\left(\dfrac{4}{2}\right)^2-4} \\[5pt] &=&-2 \end{array}$

Einsetzen in die Funktionsgleichung von Formula: p_2 ergibt:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} y&=&-\dfrac{1}{4} (-2)^2+9 \\[5pt] &=&8 \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} y&=&-\dfrac{1}{4} (-2)^2+9 \\[5pt] &=&8 \end{array}$

Somit ergeben sich die Koordinaten $Formula: C(-2\mid8).$ $Formula: C(-2\mid8).$

Funktionsgleichung bestimmen

Für die Steigung von Formula: g gilt:

$Formula: \dfrac{8-0}{-2-0}=-4$ $Formula: \dfrac{8-0}{-2-0}=-4$

Da der Achsenabschnitt Formula: 0 ist, ergibt sich Formula: g:y=-4x.

Flächeninhalt berechnen

Für die Nullstellen von Formula: p_2 ergibt sich:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} -\dfrac{1}{4} x^2+9&=&0 &\quad\scriptsize\mid\;-9 \\[5pt] -\dfrac{1}{4} x^2&=&-9 &\quad\scriptsize\mid\;\cdot(-4) \\[5pt] x^2&=&36 &\quad\scriptsize\mid\;\sqrt{\;} \\[5pt] x&=&\pm6 \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} -\dfrac{1}{4} x^2+9&=&0 &\quad\scriptsize\mid\;-9 \\[5pt] -\dfrac{1}{4} x^2&=&-9 &\quad\scriptsize\mid\;\cdot(-4) \\[5pt] x^2&=&36 &\quad\scriptsize\mid\;\sqrt{\;} \\[5pt] x&=&\pm6 \end{array}$

Die Grundseite des Dreiecks mit der Länge Formula: 6-(-6)=12 liegt auf der Formula: x -Achse, sodass die Höhe durch die Formula: y -Koordinate von Formula: C gegeben ist. Damit folgt für den Flächeninhalt:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} A&=&\dfrac{1}{2}\cdot12\cdot8 \\[5pt] &=&48 \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} A&=&\dfrac{1}{2}\cdot12\cdot8 \\[5pt] &=&48 \end{array}$

Halbierung des Dreiecks begründen

Die Grundseite des Dreiecks wird durch die Gerade Formula: g im Punkt $Formula: O(0 \mid 0)$ $Formula: O(0 \mid 0)$ halbiert. Da sie auch durch Formula: C verläuft und somit die Höhe mit $Formula: 8\;\text{LE}$ $Formula: 8\;\text{LE}$ für beide Teildreiecke gleichbleibt, wird der Flächeninhalt durch die Gerade halbiert.

Lösung 2

Funktionsgleichung von $Formula: \boldsymbol{p_1}$ $Formula: \boldsymbol{p_1}$ bestimmen

Aus der Abbildung wird klar, dass der Scheitelpunkt bei Formula: x=1 liegt. Zudem lässt sich erkennen, dass die Parabel bei Formula: y=0 die Breite Formula: 4 besitzt, somit liegt der Scheitelpunkt Schritte in negative -Richtung ausgehend von Formula: y=0. Damit ergibt sich:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} p_1:y&=&(x-1)^2-4 \\[5pt] &=&x^2-2x-3 \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} p_1:y&=&(x-1)^2-4 \\[5pt] &=&x^2-2x-3 \end{array}$

Funktionsgleichung von $Formula: \boldsymbol{p_2}$ $Formula: \boldsymbol{p_2}$ angeben

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} p_2:y&=&(x-2)^2-2 \\[5pt] &=&x^2-4x+2 \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} p_2:y&=&(x-2)^2-2 \\[5pt] &=&x^2-4x+2 \end{array}$

Funktionsgleichung von $Formula: \boldsymbol{g}$ $Formula: \boldsymbol{g}$ angeben

Mit den Scheitelpunkten $Formula: S_1(1\mid-4)$ $Formula: S_1(1\mid-4)$ und $Formula: S_2(2\mid-2)$ $Formula: S_2(2\mid-2)$ ergibt sich für die Steigung von Formula: g:

$Formula: \dfrac{-2-(-4)}{2-1}=2$ $Formula: \dfrac{-2-(-4)}{2-1}=2$

Damit ergibt sich die allgemeine Gleichung Formula: y=2x+b. Einsetzen von den Koordinaten von z.B. Formula: S_1 liefert:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} -4&=&2\cdot1+b &\quad\scriptsize\mid\;-2 \\[5pt] -6&=&b \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} -4&=&2\cdot1+b &\quad\scriptsize\mid\;-2 \\[5pt] -6&=&b \end{array}$

Somit ergibt sich die Funktionsgleichung Formula: g:y=2x-6.

$Formula: \boldsymbol{x}$ $Formula: \boldsymbol{x}$ -Koordinaten berechnen

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} (x-2)^2-2&=&7 &\quad\scriptsize\mid\;+2 \\[5pt] (x-2)^2&=&9 &\quad\scriptsize\mid\;\sqrt{\;} \\[5pt] x-2&=&\pm3 &\quad\scriptsize\mid\;+2 \\[5pt] x&=&2\pm3 \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} (x-2)^2-2&=&7 &\quad\scriptsize\mid\;+2 \\[5pt] (x-2)^2&=&9 &\quad\scriptsize\mid\;\sqrt{\;} \\[5pt] x-2&=&\pm3 &\quad\scriptsize\mid\;+2 \\[5pt] x&=&2\pm3 \end{array}$

Es ergibt sich somit Formula: x_D=-1 und Formula: x_C=5.

Koordinaten bestimmen

Die Strecke $Formula: \overline{DN_1}$ $Formula: \overline{DN_1}$ verläuft parallel zur Formula: y -Achse. Somit besitzt der Punkt Formula: B die gleiche Formula: x -Koordinate wie Formula: C und es folgt:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} y&=&2\cdot5-6 \\[5pt] &=&4 \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} y&=&2\cdot5-6 \\[5pt] &=&4 \end{array}$

Der Punkt Formula: B besitzt somit die Koordinaten $Formula: B(5\mid4).$ $Formula: B(5\mid4).$

Die Strecke $Formula: \overline{AB}$ $Formula: \overline{AB}$ wird durch den Mittelpunkt der Grundfläche der Pyramide in zwei Teilstrecken aufgeteilt. Die Strecke von Formula: A zum Mittelpunkt ist der Umkreisradius Formula: R, für den gilt:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} R&=&\dfrac{a}{2 \cdot \sin \left(36^{\circ}\right)} \\[5pt] &=&\dfrac{7,0}{2 \cdot \sin \left(36^{\circ}\right)} \\[5pt] &\approx&5,95 \mathrm{~cm} \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} R&=&\dfrac{a}{2 \cdot \sin \left(36^{\circ}\right)} \\[5pt] &=&\dfrac{7,0}{2 \cdot \sin \left(36^{\circ}\right)} \\[5pt] &\approx&5,95 \mathrm{~cm} \end{array}$

Die andere Teilstrecke, von Formula: B zum Mittelpunkt, ist der Inkreisradius Formula: r, der wie folgt gegeben ist:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} r&=&\dfrac{a}{2 \cdot \tan \left(36^{\circ}\right)} \\[5pt] &=&\dfrac{7,0}{2 \cdot \tan \left(36^{\circ}\right)} \\[5pt] &\approx&4,82 \mathrm{~cm} \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} r&=&\dfrac{a}{2 \cdot \tan \left(36^{\circ}\right)} \\[5pt] &=&\dfrac{7,0}{2 \cdot \tan \left(36^{\circ}\right)} \\[5pt] &\approx&4,82 \mathrm{~cm} \end{array}$

Die Strecke $Formula: \overline{AB}$ $Formula: \overline{AB}$ ist somit ca. Formula: 5,95+4,82 $Formula: =10,77\;[\text{cm}]$ $Formula: =10,77\;[\text{cm}]$ lang. Mit Hilfe dem Umkreisradius folgt für die Höhe Formula: h der Pyramide:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} \tan(\varphi)&=&\dfrac{R}{h} &\quad\scriptsize\mid\;\cdot h \\[5pt] \tan(\varphi)\cdot h&=&R &\quad\scriptsize\mid\;:\tan(\varphi) \\[5pt] h&=&\dfrac{5,95}{\tan(40^\circ)} \\[5pt] h&\approx&7,09 \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} \tan(\varphi)&=&\dfrac{R}{h} &\quad\scriptsize\mid\;\cdot h \\[5pt] \tan(\varphi)\cdot h&=&R &\quad\scriptsize\mid\;:\tan(\varphi) \\[5pt] h&=&\dfrac{5,95}{\tan(40^\circ)} \\[5pt] h&\approx&7,09 \end{array}$

Das Dreieck Formula: ABS besteht aus zwei rechtwinkligen Dreiecken. Mit dem Satz des Pythagoras folgt für die Hypotenuse dieser Teildreiecke jeweils:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} \overline{AS}^2&=&R^2+h^2 &\quad\scriptsize\mid\;\sqrt{\;} \\[5pt] \overline{AS}&=&\sqrt{5,95^2+7,09^2} \\[5pt] \overline{AS}&\approx&9,26\;[\text{cm}] \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} \overline{AS}^2&=&R^2+h^2 &\quad\scriptsize\mid\;\sqrt{\;} \\[5pt] \overline{AS}&=&\sqrt{5,95^2+7,09^2} \\[5pt] \overline{AS}&\approx&9,26\;[\text{cm}] \end{array}$

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} \overline{BS}^2&=&r^2+h^2 &\quad\scriptsize\mid\;\sqrt{\;} \\[5pt] \overline{BS}&=&\sqrt{4,82^2+7,09^2} \\[5pt] \overline{BS}&\approx&8,57\;[\text{cm}] \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} \overline{BS}^2&=&r^2+h^2 &\quad\scriptsize\mid\;\sqrt{\;} \\[5pt] \overline{BS}&=&\sqrt{4,82^2+7,09^2} \\[5pt] \overline{BS}&\approx&8,57\;[\text{cm}] \end{array}$

Der Umfang des Dreiecks Formula: ABS ergibt sich somit wie folgt:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} U&=&\overline{AB}+\overline{AS}+\overline{BS} \\[5pt] &=&10,77+9,26+8,57 \\[5pt] &=&28,6\;[\mathrm{cm}] \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} U&=&\overline{AB}+\overline{AS}+\overline{BS} \\[5pt] &=&10,77+9,26+8,57 \\[5pt] &=&28,6\;[\mathrm{cm}] \end{array}$

Lösung 3

Behauptung überprüfen

Die Behauptung von Claus stimmt. Es gibt fünf Karten, die nicht mit einem Apfelsymbol bedruckt sind, d.h. spätestens die sechste Karte muss ein Apfelsymbol haben.

Erwartungswert berechnen

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} E&=&\dfrac{2}{9}\cdot \dfrac{1}{8}\cdot 9,00\,€+\dfrac{3}{9} \cdot\dfrac{2}{8}\cdot 4,00\,€+\left(\dfrac{3}{9} \cdot\dfrac{2}{8}+\dfrac{2}{9} \cdot\dfrac{3}{8}\right) \cdot 2,00\,€-1,00\,€ \\[5pt] &=&\dfrac{1}{36} \cdot 9,00\,€+\dfrac{1}{12} \cdot 4,00\,€+\dfrac{1}{6} \cdot 2,00\,€-1,00\,€ \\[5pt] &\approx&-0,08\,€ \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} E&=&\dfrac{2}{9}\cdot \dfrac{1}{8}\cdot 9,00\,€+\dfrac{3}{9} \cdot\dfrac{2}{8}\cdot 4,00\,€+\left(\dfrac{3}{9} \cdot\dfrac{2}{8}+\dfrac{2}{9} \cdot\dfrac{3}{8}\right) \cdot 2,00\,€-1,00\,€ \\[5pt] &=&\dfrac{1}{36} \cdot 9,00\,€+\dfrac{1}{12} \cdot 4,00\,€+\dfrac{1}{6} \cdot 2,00\,€-1,00\,€ \\[5pt] &\approx&-0,08\,€ \end{array}$

Neuen Gewinn berechnen

Der neue insgesamte Gewinn soll Formula: 16 Cent betragen. Wenn der neue Gewinn für „zweimal Birne“ mit Formula: x bezeichnet wird, ergibt sich somit:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} -0,16\,€&=&\dfrac{1}{36} \cdot x+\dfrac{1}{12} \cdot 4,00\,€+\dfrac{1}{6} \cdot 2,00\,€-1,00\,€ \\[5pt] -0,16\,€&=&\dfrac{1}{36} \cdot x-\dfrac{1}{3}\,€ &\quad\scriptsize\mid\;+\dfrac{1}{3}\,€ \\[5pt] -0,16\,€+\dfrac{1}{3}\,€&=&\dfrac{1}{36} \cdot x &\quad\scriptsize\mid\;\cdot36 \\[5pt] 6,24\,€&\approx& x \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} -0,16\,€&=&\dfrac{1}{36} \cdot x+\dfrac{1}{12} \cdot 4,00\,€+\dfrac{1}{6} \cdot 2,00\,€-1,00\,€ \\[5pt] -0,16\,€&=&\dfrac{1}{36} \cdot x-\dfrac{1}{3}\,€ &\quad\scriptsize\mid\;+\dfrac{1}{3}\,€ \\[5pt] -0,16\,€+\dfrac{1}{3}\,€&=&\dfrac{1}{36} \cdot x &\quad\scriptsize\mid\;\cdot36 \\[5pt] 6,24\,€&\approx& x \end{array}$

Funktionsgleichung berechnen

Die maximale Höhe des Balles beträgt $Formula: 3,10\;\text{m},$ $Formula: 3,10\;\text{m},$ somit kann z.B. die Verschiebung in Formula: y -Richtung als gesetzt werden, wenn die Formula: x -Achse als im Boden verlaufend angenommen wird. Wird zusätzlich angenommen, dass die Parabel nicht in -Richtung verschoben ist, ergibt sich die allgemeine Gleichung Formula: y=ax^2+3,1. Einsetzen der Koordinaten $Formula: (-3\mid2,2)$ $Formula: (-3\mid2,2)$ die der Ball vor dem Wurf hat, ergibt:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} 2,2&=&a\cdot(-3)^2+3,1 \\[5pt] 2,2&=&9a+3,1 &\quad\scriptsize\mid\;-3,1 \\[5pt] -0,9&=&9a &\quad\scriptsize\mid\;:9 \\[5pt] -0,1&=& a \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} 2,2&=&a\cdot(-3)^2+3,1 \\[5pt] 2,2&=&9a+3,1 &\quad\scriptsize\mid\;-3,1 \\[5pt] -0,9&=&9a &\quad\scriptsize\mid\;:9 \\[5pt] -0,1&=& a \end{array}$

Eine mögliche Funktionsgleichung der Parabel ist somit Formula: p:y=-0,1x^2+3,1.

Aussage rechnerisch begründen

Die Siebenmeterlinie liegt im gewählten Modell bei Formula: x=-3. Wenn der Torwart $Formula: 3,5\;\text{m}$ $Formula: 3,5\;\text{m}$ vor dem Tor steht, und somit genau in der Mitte zwischen Siebenmeterlinie und Tor, ist er bei Formula: x=0,5. Für den Funktionswert der Parabel bei ergibt sich:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} -0,1\cdot(0,5)^2+3,1&=&-0,025+3,1 \\[5pt] &\approx&3,08 \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} -0,1\cdot(0,5)^2+3,1&=&-0,025+3,1 \\[5pt] &\approx&3,08 \end{array}$

Der Ball hat somit an der Stelle, wo der Torwart steht, eine Höhe von ungefähr $Formula: 3,08\;\text{m}.$ $Formula: 3,08\;\text{m}.$ Da der Torwart seine Hand auf eine maximale Höhe von $Formula: 2,60 \;\text{m}$ $Formula: 2,60 \;\text{m}$ bekommt, kann er somit den Ball nicht berühren, ohne hochzuspringen.

Tor überprüfen

Das Tor steht im Modell bei Formula: x=-3+7=4. Für die Höhe des Balls über dem Boden in Metern ergibt sich dort:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} -0,1\cdot4^2+3,1&=&-1,6+3,1 \\[5pt] &=&1,5 \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} -0,1\cdot4^2+3,1&=&-1,6+3,1 \\[5pt] &=&1,5 \end{array}$

Der Spieler erzielt somit ein Tor, da dieses $Formula: 2\;\text{m}$ $Formula: 2\;\text{m}$ hoch ist.

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