Aufgabengruppe 1

Forme die Funktionsgleichung der Normalparabel Formula: p_1: y=x^2+2 x-3 in die Scheitelpunktform um und gib den Scheitelpunkt Formula: S_1 an.

Überprüfe durch Rechnung, ob die Punkte $Formula: A(-2 \mid-3)$ $Formula: A(-2 \mid-3)$ und $Formula: B(2 \mid 5)$ $Formula: B(2 \mid 5)$ auf der Normalparabel Formula: p_1 liegen.

Die Normalparabel Formula: p_1 schneidet die Formula: x -Achse in den Punkten und Formula: Q .

Ermittle rechnerisch die Koordinaten dieser beiden Punkte und gib Formula: P und Formula: Q an.

Die nach unten geöffnete Normalparabel Formula: p_2 verläuft durch die Punkte $Formula: C(1 \mid-6)$ $Formula: C(1 \mid-6)$ und $Formula: D(-4\mid -1).$ $Formula: D(-4\mid -1).$

Bestimme rechnerisch die Funktionsgleichung von Formula: p_2 in der Normalform.

Die nachfolgende Abbildung zeigt den Graphen einer Normalparabel Formula: p_3.

Ermittle rechnerisch die Funktionsgleichung von Formula: p_3 in der Normalform.

Parabel p₃ in einem Koordinatensystem mit nach unten geöffnetem Verlauf. Scheitelpunkt bei etwa (−2, 6).

Berechne die Koordinaten der Schnittpunkte Formula: T und Formula: U der Normalparabel Formula: p_4: y=x^2-2 x+1 mit der Geraden Formula: g: y=2 x-2 und gib und an.

Zeichne die Graphen der Normalparabeln Formula: p_1 und Formula: p_2 in ein Koordinatensystem mit der Längeneinheit $Formula: 1\;\text{cm}.$ $Formula: 1\;\text{cm}.$

9 P

In einer bayerischen Stadt waren am 01.01.2010 insgesamt $Formula: 67\,279$ $Formula: 67\,279$ Menschen gemeldet.

Neun Jahre später waren es bereits $Formula: 81\,240$ $Formula: 81\,240$ Menschen. Berechne für diesen Zeitraum das durchschnittliche jährliche Bevölkerungswachstum in Prozent.

Die Anzahl der unter Formula: 6 -jährigen Kinder ging im Zeitraum von zwei Jahren um jährlich $Formula: 1,3 \,\%$ $Formula: 1,3 \,\%$ auf $Formula: 3\,245$ $Formula: 3\,245$ Personen zurück.

Berechne die Anzahl der Personen dieser Altersgruppe zu Beginn dieser beiden Jahre.

Berechne, nach wie vielen Jahren sich die Zahl der Bewohner dieser Stadt verdoppeln würde, wenn man von einem durchschnittlichen jährlichen Zuwachs von $Formula: 3,75\, \%$ $Formula: 3,75\, \%$ ausgeht. Runde das Ergebnis auf volle Jahre.

4 P

In der folgenden Skizze gilt:

$Formula: \overline{AB}=46 \mathrm{~cm};\; \alpha=28^{\circ}; \;\beta=140^{\circ}.$ $Formula: \overline{AB}=46 \mathrm{~cm};\; \alpha=28^{\circ}; \;\beta=140^{\circ}.$

Berechne die Länge der Strecke Formula: [AC] in $Formula: \text{cm}.$ $Formula: \text{cm}.$

Geometrische Skizze eines Dreiecks ABC mit Punkt D, gestrichelter Verbindung BD und markierten Winkeln α und β.

Hinweis: Skizze nicht maßstabsgetreu

4 P

Vereinfache den unten stehenden Term so weit wie möglich.

Es gilt: $Formula: x, y, z \neq 0.$ $Formula: x, y, z \neq 0.$

$Formula: \dfrac{2 \cdot x^3 \cdot 6 \cdot y^{-4} \cdot 10 \cdot z^{-6} \cdot x^{-2} \cdot 2 \cdot y^8 \cdot z^2}{3 \cdot y^2 \cdot 10 \cdot x^{-3} \cdot 4 \cdot z^{-4}}$ $Formula: \dfrac{2 \cdot x^3 \cdot 6 \cdot y^{-4} \cdot 10 \cdot z^{-6} \cdot x^{-2} \cdot 2 \cdot y^8 \cdot z^2}{3 \cdot y^2 \cdot 10 \cdot x^{-3} \cdot 4 \cdot z^{-4}}$

2 P

Bestimme rechnerisch die Funktionsgleichung der Geraden Formula: g_1, die durch die Punkte $Formula: A(4\mid -1)$ $Formula: A(4\mid -1)$ und $Formula: B(6\mid 1)$ $Formula: B(6\mid 1)$ verläuft.

Die Gerade Formula: g_2 verläuft durch den Punkt $Formula: C(2 \mid 4)$ $Formula: C(2 \mid 4)$ und steht senkrecht auf der Geraden $Formula: g_3: \tfrac{y}{x}=1.$ $Formula: g_3: \tfrac{y}{x}=1.$

Ermittle rechnerisch die Funktionsgleichung der Geraden Formula: g_2.

Zeichne die Geraden Formula: g_1 und Formula: g_2 in ein Koordinatensystem mit der Längeneinheit $Formula: 1\;\text{cm}.$ $Formula: 1\;\text{cm}.$

Gib eine mögliche Funktionsgleichung einer Geraden Formula: g_4 an, die parallel zur Formula: x -Achse verläuft.

Der Punkt $Formula: D(-3\mid 3)$ $Formula: D(-3\mid 3)$ liegt auf der Geraden Formula: g_5: y=m_5 x-9.

Bestimme die Steigung Formula: m_5 rechnerisch.

Die Geraden Formula: g_6: y=2 x-7 und $Formula: g_7: y=-\tfrac{1}{2} x+3$ $Formula: g_7: y=-\tfrac{1}{2} x+3$ schneiden sich im Punkt Formula: S.

Ermittle rechnerisch die Koordinaten des Schnittpunkts Formula: S und gib an.

Berechne die Koordinaten des Schnittpunkts Formula: N der Geraden $Formula: \mathrm{g}_7$ $Formula: \mathrm{g}_7$ mit der Formula: x -Achse und gib an.

8 P

Löse die folgende Gleichung rechnerisch.

Gib die Definitionsmenge und die Lösungsmenge an.

$Formula: \dfrac{4}{x}+\dfrac{1}{3+x}=\dfrac{7}{x-2}$ $Formula: \dfrac{4}{x}+\dfrac{1}{3+x}=\dfrac{7}{x-2}$

4 P

Für die Herstellung eines goldenen, halbkugelförmigen Schmuckanhängers mit einem Durchmesser von $Formula: 11\;\text{mm}$ $Formula: 11\;\text{mm}$ verwendet ein Goldschmied das Gold von acht kleineren Kugeln mit einem Durchmesser von jeweils $Formula: 4,5\;\text{mm}.$ $Formula: 4,5\;\text{mm}.$

Anschließend stellt er aus dem überschüssigen Material eine Goldkugel für ein weiteres Schmuckstück her.

Berechne den Radius dieser neuen Goldkugel.

4 P

Es gilt: $Formula: g_1\left\|g_2\right\| g_3$ $Formula: g_1\left\|g_2\right\| g_3$

Geometrische Zeichnung mit drei parallelen Geraden g₁, g₂, g₃ und zwei sich kreuzenden Geraden.

Geometrische Darstellung mit drei parallelen Geraden g1, g2, g3 und zwei sich kreuzenden Geraden.

Hinweis: Skizze nicht maßstabsgetreu

Durch korrektes Ersetzen der Platzhalter $Formula: \square$ $Formula: \square$ sollen richtige Anwendungen der Strahlensätze entstehen.

Schreibe die richtigen Gleichungen vollständig auf.

$Formula: (1)\quad \dfrac{i+e}{k}=\dfrac{e}{\square}$ $Formula: (1)\quad \dfrac{i+e}{k}=\dfrac{e}{\square}$

$Formula: (2)\quad \dfrac{\square}{e}=\dfrac{c}{\square}$ $Formula: (2)\quad \dfrac{\square}{e}=\dfrac{c}{\square}$

$Formula: (3)\quad \dfrac{a}{k}=\dfrac{c}{\square}$ $Formula: (3)\quad \dfrac{a}{k}=\dfrac{c}{\square}$

3 P

Folgende Aufgaben sind Anwendungen von binomischen Formeln.

Ersetze die Platzhalter $Formula: \square$ $Formula: \square$ jeweils durch den entsprechenden Term und schreibe die mathematisch richtige Gleichung auf.

$Formula: (1)\quad (\sqrt{2} a+\square) \cdot(\sqrt{2} a-\square)=\square-64 b^2$ $Formula: (1)\quad (\sqrt{2} a+\square) \cdot(\sqrt{2} a-\square)=\square-64 b^2$

$Formula: (2)\quad \dfrac{1}{16}a^2 b^4-\square+\square=(\square-2 a)^2$ $Formula: (2)\quad \dfrac{1}{16}a^2 b^4-\square+\square=(\square-2 a)^2$

3 P

In einem Behälter befinden sich sechs Kugeln, von denen eine Kugel schwarz, drei grün und zwei rot sind.

Zwei Mal nacheinander wird eine Kugel zufällig gezogen und nicht zurückgelegt.

Zeichne ein Baumdiagramm mit den möglichen Ergebnissen und beschrifte die Äste mit den entsprechenden Wahrscheinlichkeiten.

Die zweite gezogene Kugel soll schwarz sein.

Bestimme für dieses Ereignis die Wahrscheinlichkeit in Prozent.

Die höchstmögliche Wahrscheinlichkeit für eine bestimmte Farbkombination, ohne Beachtung der Reihenfolge, beträgt beim im Vortext beschriebenen Zufallsexperiment Formula: 40 Prozent.

Gib an, für welche Farbkombination dies zutrifft, und begründe deine Entscheidung mithilfe einer Rechnung.

4 P

Für die Funktionsgleichung der Parabel Formula: p_1 in der Scheitelpunktform folgt:

$Formula: \begin{array}{rlll} y&=&x^2+2 x-3 \\[5pt] &=&x^2+2 x+1^2-1^2-3 \\[5pt] &=&(x+1)^2-1-3 \\[5pt] &=&(x+1)^2-4 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} y&=&x^2+2 x-3 \\[5pt] &=&x^2+2 x+1^2-1^2-3 \\[5pt] &=&(x+1)^2-1-3 \\[5pt] &=&(x+1)^2-4 \end{array}$

Für den Scheitelpunkt gilt:

$Formula: S_1(-1 \mid-4)$ $Formula: S_1(-1 \mid-4)$

Für die Überprüfung, ob Punkt Formula: A auf der Parabel Formula: p_1 liegt, ergibt sich:

$Formula: \begin{array}{rlll} -3&=&(-2)^2+2 \cdot(-2)-3 \\[5pt] -3&=&4-4-3 \\[5pt] -3&=&-3 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} -3&=&(-2)^2+2 \cdot(-2)-3 \\[5pt] -3&=&4-4-3 \\[5pt] -3&=&-3 \end{array}$

Der Punkt Formula: A liegt somit auf Formula: p_1.

Für Punkt Formula: B folgt:

$Formula: \begin{array}{rlll} 5&=&2^2+2 \cdot 2-3 \\[5pt] 5&=&4+4-3 \\[5pt] 5&=&5 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} 5&=&2^2+2 \cdot 2-3 \\[5pt] 5&=&4+4-3 \\[5pt] 5&=&5 \end{array}$

Der Punkt Formula: B liegt damit auch auf Formula: p_1.

Für die Berechnung der Schnittpunkte Formula: P und Formula: Q von Formula: p_1 mit der Formula: x -Achse liefert Nullsetzen der Funktionsgleichung:

$Formula: \begin{array}{rlll} x^2+2 x-3&=&0 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} x^2+2 x-3&=&0 \end{array}$

Mit der Formula: abc -Formel folgt:

$Formula: \begin{array}{rlll} x_{1;2}&=&\dfrac{-2\pm \sqrt{2^2-4\cdot1\cdot(-3)}}{2\cdot1} \\[5pt] x_{1;2}&=&\dfrac{-2\pm\sqrt{16}}{2} \\[5pt] x_{1;2}&=&-1 \pm 2 \\[5pt] x_1&=&-1-2 \\[5pt] &=&-3 \\[5pt] x_2&=&-1+2 \\[5pt] &=&1 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} x_{1;2}&=&\dfrac{-2\pm \sqrt{2^2-4\cdot1\cdot(-3)}}{2\cdot1} \\[5pt] x_{1;2}&=&\dfrac{-2\pm\sqrt{16}}{2} \\[5pt] x_{1;2}&=&-1 \pm 2 \\[5pt] x_1&=&-1-2 \\[5pt] &=&-3 \\[5pt] x_2&=&-1+2 \\[5pt] &=&1 \end{array}$

Einsetzen in die Funktionsgleichung von Formula: p_1 liefert:

$Formula: \begin{array}{rlll} y_1&=&(-3)^2+2\cdot(-3)-3 \\[5pt] &=&0 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} y_1&=&(-3)^2+2\cdot(-3)-3 \\[5pt] &=&0 \end{array}$

$Formula: \begin{array}{rlll} y_2&=&1^2+2\cdot1-3 \\[5pt] &=&0 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} y_2&=&1^2+2\cdot1-3 \\[5pt] &=&0 \end{array}$

Für die Koordinaten folgt somit:

$Formula: P(-3 \mid 0) ;\quad Q(1 \mid 0)$ $Formula: P(-3 \mid 0) ;\quad Q(1 \mid 0)$

Das Parabel Formula: p_2 ist nach unten geöffnet mit Formula: y=-x^2+p x+q. Mit den Punkten Formula: C und Formula: D folgt:

$Formula: \begin{array}{rlll} \text{I} \quad -6&=&-1^2+p \cdot 1+q\\[5pt] \text{II}\quad -1&=&-(-4)^2+p \cdot(-4)+q \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} \text{I} \quad -6&=&-1^2+p \cdot 1+q\\[5pt] \text{II}\quad -1&=&-(-4)^2+p \cdot(-4)+q \end{array}$

Es folgt:

$Formula: \begin{array}{rlll} \text{I} \quad -6&=&-1+p+q \\[5pt] \text{II}\quad -1&=&-16-4 p+q \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} \text{I} \quad -6&=&-1+p+q \\[5pt] \text{II}\quad -1&=&-16-4 p+q \end{array}$

Mit Gleichung $Formula: \text{I}$ $Formula: \text{I}$ folgt:

$Formula: \begin{array}{rlll} -6&=&-1+p+q &\quad\scriptsize\mid\;+(1-p) \\[5pt] -5-p&=&q \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} -6&=&-1+p+q &\quad\scriptsize\mid\;+(1-p) \\[5pt] -5-p&=&q \end{array}$

Für $Formula: \text{I}$ $Formula: \text{I}$ in $Formula: \text{II}$ $Formula: \text{II}$ folgt:

$Formula: \begin{array}{rlll} -1&=&-16-4 p-5-p\\[5pt] -1&=&-21-5 p &\mid\;+21\\[5pt] 20&=&-5p &\mid\;:(-5)\\[5pt] -4&=&p \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} -1&=&-16-4 p-5-p\\[5pt] -1&=&-21-5 p &\mid\;+21\\[5pt] 20&=&-5p &\mid\;:(-5)\\[5pt] -4&=&p \end{array}$

Für das Einsetzen in $Formula: \text{I}$ $Formula: \text{I}$ gilt:

$Formula: \begin{array}{rlll} -5-(-4)&=&q \\[5pt] -1&=&q \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} -5-(-4)&=&q \\[5pt] -1&=&q \end{array}$

Damit ergibt sich:

Formula: p_2: y=-x^2-4 x-1

Für die Funktionsgleichung der Parabel Formula: p_3 in der Normalform folgt:

$Formula: \begin{array}{rlll} y&=&-\left(x-x_S\right)^2+y_S \\[5pt] &=&-(x+2)^2+6 \\[5pt] &=&-\left(x^2+4 x+4\right)+6 \\[5pt] &=&-x^2-4 x-4+6 \\[5pt] &=&-x^2-4 x+2 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} y&=&-\left(x-x_S\right)^2+y_S \\[5pt] &=&-(x+2)^2+6 \\[5pt] &=&-\left(x^2+4 x+4\right)+6 \\[5pt] &=&-x^2-4 x-4+6 \\[5pt] &=&-x^2-4 x+2 \end{array}$

Damit gilt:

Formula: p_3: y=-x^2-4 x+2

Das Gleichsetzen der Funktionsterme von Formula: p_4 und Formula: g liefert:

$Formula: \begin{array}{rlll} x^2-2 x+1&=&2 x-2 &\mid\;-2x \\[5pt] x^2-4x+1&=&-2 &\mid\;+2\\[5pt] x^2-4x+3&=&0 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} x^2-2 x+1&=&2 x-2 &\mid\;-2x \\[5pt] x^2-4x+1&=&-2 &\mid\;+2\\[5pt] x^2-4x+3&=&0 \end{array}$

Mit der Formula: abc -Formel gilt:

$Formula: \begin{array}{rlll} x_{1 ; 2}&=&\dfrac{4 \pm \sqrt{\left(-4\right)^2-4\cdot1\cdot3}}{2\cdot1} \\[5pt] x_{1 ; 2}&=&\dfrac{4 \pm \sqrt{4}}{2}\\[5pt] x_{1 ; 2}&=&2 \pm 1\\[5pt] x_1&=&2-1\\[5pt] &=&1\\[5pt] x_2&=&2+1\\[5pt] &=&3 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} x_{1 ; 2}&=&\dfrac{4 \pm \sqrt{\left(-4\right)^2-4\cdot1\cdot3}}{2\cdot1} \\[5pt] x_{1 ; 2}&=&\dfrac{4 \pm \sqrt{4}}{2}\\[5pt] x_{1 ; 2}&=&2 \pm 1\\[5pt] x_1&=&2-1\\[5pt] &=&1\\[5pt] x_2&=&2+1\\[5pt] &=&3 \end{array}$

Für das Einsetzen von Formula: x_1 in die Funktionsgleichung von Formula: g folgt:

$Formula: \begin{array}{rlll} y_1&=&2 \cdot 1-2 \\[5pt] &=&0 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} y_1&=&2 \cdot 1-2 \\[5pt] &=&0 \end{array}$

Für Formula: x_2 gilt:

$Formula: \begin{array}{rlll} y_2&=&2 \cdot 3-2 \\[5pt] &=&4 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} y_2&=&2 \cdot 3-2 \\[5pt] &=&4 \end{array}$

Somit gilt:

$Formula: T(1 \mid 0) ;\quad U(3 \mid 4)$ $Formula: T(1 \mid 0) ;\quad U(3 \mid 4)$

Koordinatensystem mit zwei Parabeln und den markierten Punkten D, C und S₁.

Für das durchschnittliche Bevölkerungswachstum in Prozent gilt:

$Formula: \begin{array}{rlll} W_n&=&W_0 \cdot q^n \\[5pt] 81\,240&=&67\,279 \cdot q^9 &\mid\;:67\,279 \\[5pt] \dfrac{81\,240}{67\,279}&=&q^9 &\mid\;\sqrt[9]{ \;} \\[5pt] 1,02117 &\approx&q \\[5pt] 1,02117&=&1+\dfrac{p}{100} &\mid\;-1 \\[5pt] 0,02117 &=&\dfrac{p}{100} &\mid\;\cdot 100\,\% \\[5pt] 2,1\,\%&\approx&p\,\% \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} W_n&=&W_0 \cdot q^n \\[5pt] 81\,240&=&67\,279 \cdot q^9 &\mid\;:67\,279 \\[5pt] \dfrac{81\,240}{67\,279}&=&q^9 &\mid\;\sqrt[9]{ \;} \\[5pt] 1,02117 &\approx&q \\[5pt] 1,02117&=&1+\dfrac{p}{100} &\mid\;-1 \\[5pt] 0,02117 &=&\dfrac{p}{100} &\mid\;\cdot 100\,\% \\[5pt] 2,1\,\%&\approx&p\,\% \end{array}$

Für den jährlichen Abnahmefaktor Formula: q ergibt sich:

$Formula: \begin{array}{rlll} q&=&1-0,013 \\[5pt] &=&0,987 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} q&=&1-0,013 \\[5pt] &=&0,987 \end{array}$

Für die Anzahl der unter Formula: 6 -jährigen Kinder folgt:

$Formula: \begin{array}{rlll} W_n&=&W_0 \cdot q^n \\[5pt] 3\,245&=&W_0 \cdot 0,987^2 &\mid\;:0,987^2\\[5pt] 3\,331&\approx&W_0 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} W_n&=&W_0 \cdot q^n \\[5pt] 3\,245&=&W_0 \cdot 0,987^2 &\mid\;:0,987^2\\[5pt] 3\,331&\approx&W_0 \end{array}$

Zu Beginn der beiden Jahre gab es insgesamt $Formula: 3\,331$ $Formula: 3\,331$ unter Formula: 6 -jährige Kinder.

Für den Zunahmefaktor ergibt sich:

$Formula: \begin{array}{rlll} q&=&1+\dfrac{p}{100} \\[5pt] &=&1+0,0375\\[5pt] &=&1,0375 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} q&=&1+\dfrac{p}{100} \\[5pt] &=&1+0,0375\\[5pt] &=&1,0375 \end{array}$

Für den Verdoppelungszeitraum folgt:

$Formula: \begin{array}{rlll} W_n&=&W_0 \cdot q^n \\[5pt] 134\,558&=&67\,279 \cdot 1,0375^n &\mid\;:67\,279 \\[5pt] 2&=&1,0375^n &\mid\;\log _{1,0375}\\[5pt] \log _{1,0375} 2&=&n\\[5pt] 19&\approx&n \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} W_n&=&W_0 \cdot q^n \\[5pt] 134\,558&=&67\,279 \cdot 1,0375^n &\mid\;:67\,279 \\[5pt] 2&=&1,0375^n &\mid\;\log _{1,0375}\\[5pt] \log _{1,0375} 2&=&n\\[5pt] 19&\approx&n \end{array}$

Somit würde sich die Zahl der Bewohner nach ca. Formula: 19 Jahren verdoppeln.

Für die Berechnung der Strecke $Formula: \overline{AD}$ $Formula: \overline{AD}$ gilt:

$Formula: \begin{array}{rlll} \cos \alpha&=&\dfrac{\overline{AD}}{\overline{AB}} \\[5pt] \cos 28^{\circ}&=&\dfrac{\overline{AD}}{46 \mathrm{~cm}} &\mid\;\cdot 46\;\text{cm}\\[5pt] 46 \mathrm{~cm} \cdot \cos 28^{\circ}&=&\overline{AD}\\[5pt] 40,6\;\text{cm}&\approx&\overline{AD} \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} \cos \alpha&=&\dfrac{\overline{AD}}{\overline{AB}} \\[5pt] \cos 28^{\circ}&=&\dfrac{\overline{AD}}{46 \mathrm{~cm}} &\mid\;\cdot 46\;\text{cm}\\[5pt] 46 \mathrm{~cm} \cdot \cos 28^{\circ}&=&\overline{AD}\\[5pt] 40,6\;\text{cm}&\approx&\overline{AD} \end{array}$

Für die Strecke $Formula: \overline {BD}$ $Formula: \overline {BD}$ folgt:

$Formula: \begin{array}{rlll} \sin \alpha&=&\dfrac{\text { Gegenkathete }}{\text { Hypotenuse }}\\[5pt] \sin \alpha&=&\dfrac{\overline{BD}}{\overline{AB}} \\[5pt] \sin 28^{\circ}&=&\dfrac{\overline{BD}}{46 \mathrm{~cm}} &\mid\;\cdot 46\;\text{cm} \\[5pt] 46 \mathrm{~cm} \cdot \sin 28^{\circ}&=&\overline{BD} \\[5pt] 21,6\;\text{cm}&\approx&\overline{BD} \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} \sin \alpha&=&\dfrac{\text { Gegenkathete }}{\text { Hypotenuse }}\\[5pt] \sin \alpha&=&\dfrac{\overline{BD}}{\overline{AB}} \\[5pt] \sin 28^{\circ}&=&\dfrac{\overline{BD}}{46 \mathrm{~cm}} &\mid\;\cdot 46\;\text{cm} \\[5pt] 46 \mathrm{~cm} \cdot \sin 28^{\circ}&=&\overline{BD} \\[5pt] 21,6\;\text{cm}&\approx&\overline{BD} \end{array}$

Für den Winkel $Formula: \gamma$ $Formula: \gamma$ gilt:

$Formula: \begin{array}{rlll} 28^{\circ}+140^{\circ}+\gamma&=&180^{\circ}&\mid\;-140^{\circ} \\[5pt] 28^{\circ}+\gamma&=&40^{\circ}&\mid\;-28^{\circ} \\[5pt] \gamma&=&12^{\circ} \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} 28^{\circ}+140^{\circ}+\gamma&=&180^{\circ}&\mid\;-140^{\circ} \\[5pt] 28^{\circ}+\gamma&=&40^{\circ}&\mid\;-28^{\circ} \\[5pt] \gamma&=&12^{\circ} \end{array}$

Für die Strecke $Formula: \overline{DC}$ $Formula: \overline{DC}$ ergibt sich:

$Formula: \begin{array}{rlll} \tan \gamma&=&\dfrac{\text { Gegenkathete }}{\text { Ankathete }} \\[5pt] \tan \gamma&=&\dfrac{\overline{BD}}{\overline{DC}} \\[5pt] \tan 12^{\circ}&=&\dfrac{21,6 \mathrm{~cm}}{\overline{DC}} &\mid\;\cdot \overline{DC} \\[5pt] \tan 12^{\circ}\cdot \overline{DC}&=&21,6 \mathrm{~cm} &\mid\;:\tan 12^{\circ} \\[5pt] \overline{DC}&=&\dfrac{21,6 \mathrm{~cm}}{\tan 12^{\circ}} \\[5pt] \overline{DC}&\approx&101,6\;\text{cm} \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} \tan \gamma&=&\dfrac{\text { Gegenkathete }}{\text { Ankathete }} \\[5pt] \tan \gamma&=&\dfrac{\overline{BD}}{\overline{DC}} \\[5pt] \tan 12^{\circ}&=&\dfrac{21,6 \mathrm{~cm}}{\overline{DC}} &\mid\;\cdot \overline{DC} \\[5pt] \tan 12^{\circ}\cdot \overline{DC}&=&21,6 \mathrm{~cm} &\mid\;:\tan 12^{\circ} \\[5pt] \overline{DC}&=&\dfrac{21,6 \mathrm{~cm}}{\tan 12^{\circ}} \\[5pt] \overline{DC}&\approx&101,6\;\text{cm} \end{array}$

Für die Berechnung der Strecke $Formula: \overline{AC}$ $Formula: \overline{AC}$ gilt:

$Formula: \begin{array}{rlll} \overline{AC}&=&\overline{AD}+\overline{DC} \\[5pt] &=&40,6 \mathrm{~cm}+101,6 \mathrm{~cm} \\[5pt] &=&142,2 \mathrm{~cm} \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} \overline{AC}&=&\overline{AD}+\overline{DC} \\[5pt] &=&40,6 \mathrm{~cm}+101,6 \mathrm{~cm} \\[5pt] &=&142,2 \mathrm{~cm} \end{array}$

$Formula: \begin{array}{rlll} \dfrac{2 \cdot x^3 \cdot 6 \cdot y^{-4} \cdot 10 \cdot z^{-6} \cdot x^{-2} \cdot 2 \cdot y^8 \cdot z^2}{3 \cdot y^2 \cdot 10 \cdot x^{-3} \cdot 4 \cdot z^{-4}}&=&\dfrac{2 \cdot 6 \cdot 10 \cdot 2 \cdot x^3 \cdot x^{-2} \cdot y^{-4} \cdot y^8 \cdot z^{-6} \cdot z^2}{3 \cdot 10 \cdot 4 \cdot y^2 \cdot x^{-3} \cdot z^{-4}} \\[5pt] &=&\dfrac{240 \cdot x^1 \cdot y^4 \cdot z^{-4}}{120 \cdot y^2 \cdot x^{-3} \cdot z^{-4}}\\[5pt] &=&2 x^4 y^2 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} \dfrac{2 \cdot x^3 \cdot 6 \cdot y^{-4} \cdot 10 \cdot z^{-6} \cdot x^{-2} \cdot 2 \cdot y^8 \cdot z^2}{3 \cdot y^2 \cdot 10 \cdot x^{-3} \cdot 4 \cdot z^{-4}}&=&\dfrac{2 \cdot 6 \cdot 10 \cdot 2 \cdot x^3 \cdot x^{-2} \cdot y^{-4} \cdot y^8 \cdot z^{-6} \cdot z^2}{3 \cdot 10 \cdot 4 \cdot y^2 \cdot x^{-3} \cdot z^{-4}} \\[5pt] &=&\dfrac{240 \cdot x^1 \cdot y^4 \cdot z^{-4}}{120 \cdot y^2 \cdot x^{-3} \cdot z^{-4}}\\[5pt] &=&2 x^4 y^2 \end{array}$

Für die Steigung folgt:

$Formula: \begin{array}{rlll} m_1&=&\dfrac{1-(-1)}{6-4} \\[5pt] &=&\dfrac{2}{2} \\[5pt] &=&1 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} m_1&=&\dfrac{1-(-1)}{6-4} \\[5pt] &=&\dfrac{2}{2} \\[5pt] &=&1 \end{array}$

Für das Einsetzen von Formula: m_1=1 und $Formula: B(6 \mid 1)$ $Formula: B(6 \mid 1)$ in Formula: y=m x+t gilt:

$Formula: \begin{array}{rlll} y&=&m_1 \cdot x+t_1 \\[5pt] 1&=&1 \cdot 6+t_1 \\[5pt] 1&=&6+t_1 &\mid\;-6 \\[5pt] -5&=&t_1 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} y&=&m_1 \cdot x+t_1 \\[5pt] 1&=&1 \cdot 6+t_1 \\[5pt] 1&=&6+t_1 &\mid\;-6 \\[5pt] -5&=&t_1 \end{array}$

Für die Funktionsgleichung ergibt sich:

Formula: g_1: y=x-5

Für die Funktionsgleichung von Formula: g_3 in der Normalform gilt:

$Formula: \begin{array}{rlll} \dfrac{y}{x}&=&1 &\mid\;\cdot x \\[5pt] y&=&x \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} \dfrac{y}{x}&=&1 &\mid\;\cdot x \\[5pt] y&=&x \end{array}$

Damit folgt für die Steigung von Formula: g_3:

Formula: m_3=1

Für Formula: m_2 ergibt sich damit:

$Formula: \begin{array}{rlll} m_2 \cdot m_3&=&-1 \\[5pt] m_2 \cdot 1&=&-1 \\[5pt] m_2&=&-1 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} m_2 \cdot m_3&=&-1 \\[5pt] m_2 \cdot 1&=&-1 \\[5pt] m_2&=&-1 \end{array}$

Für das Einsetzen von Formula: m_2=-1 und $Formula: C(2 \mid 4)$ $Formula: C(2 \mid 4)$ in die Gleichung Formula: y=m x+t gilt:

$Formula: \begin{array}{rlll} 4&=&-1 \cdot 2+t_2 \\[5pt] 4&=&-2+t_2 &\mid\;+2 \\[5pt] 6&=&t_2 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} 4&=&-1 \cdot 2+t_2 \\[5pt] 4&=&-2+t_2 &\mid\;+2 \\[5pt] 6&=&t_2 \end{array}$

Damit folgt:

Formula: g_2: y=-x+6

Koordinatensystem mit den Geraden g₁ und g₂ sowie den Punkten A, B und C.

Die Gerade Formula: g_4 ist parallel zur Formula: x -Achse, daher beträgt ihre Steigung Formula: m_4=0. Für eine mögliche Funktionsgleichung ergibt sich:

Formula: g_4: y=2

Für die Steigung von Formula: g_5 gilt mit dem Einsetzen von $Formula: D(–3 \mid 3)$ $Formula: D(–3 \mid 3)$ in die Funktionsgleichung Formula: g_5: y =m_5 x - 9:

$Formula: \begin{array}{rlll} 3&=&m_5 \cdot(-3)-9&\mid\;+9 \\[5pt] 12&=&m_5 \cdot(-3)&\mid\;:(-3) \\[5pt] -4&=&m_5 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} 3&=&m_5 \cdot(-3)-9&\mid\;+9 \\[5pt] 12&=&m_5 \cdot(-3)&\mid\;:(-3) \\[5pt] -4&=&m_5 \end{array}$

Für das Gleichsetzen der Funktionsgleichungen von Formula: g_6 und Formula: g_7 folgt:

$Formula: \begin{array}{rlll} 2 x-7&=&-\dfrac{1}{2} x+3&\mid\;+\dfrac{1}{2}x \\[5pt] 2,5x-7&=&3&\mid\;+7 \\[5pt] 2,5x&=&10 &\mid\;:2,5 \\[5pt] x&=&4 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} 2 x-7&=&-\dfrac{1}{2} x+3&\mid\;+\dfrac{1}{2}x \\[5pt] 2,5x-7&=&3&\mid\;+7 \\[5pt] 2,5x&=&10 &\mid\;:2,5 \\[5pt] x&=&4 \end{array}$

Für das Einsetzen von Formula: x=4 in die Funktionsgleichung von Formula: g_6 ergibt sich:

$Formula: \begin{array}{rlll} y&=&2 \cdot 4-7 \\[5pt] &=&1 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} y&=&2 \cdot 4-7 \\[5pt] &=&1 \end{array}$

Somit gilt für die Koordinaten des Schnittpunktes Formula: S:

$Formula: S(4 \mid 1)$ $Formula: S(4 \mid 1)$

Nullsetzen der Gleichung von Formula: g_7 liefert:

$Formula: \begin{array}{rlll} -\dfrac{1}{2} x+3&=&0 &\mid\;-3\\[5pt] -\dfrac{1}{2} x&=&-3 &\mid\;:\left(-\dfrac{1}{2}\right)\\[5pt] x&=&6 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} -\dfrac{1}{2} x+3&=&0 &\mid\;-3\\[5pt] -\dfrac{1}{2} x&=&-3 &\mid\;:\left(-\dfrac{1}{2}\right)\\[5pt] x&=&6 \end{array}$

Somit gilt:

$Formula: N(6 \mid 0)$ $Formula: N(6 \mid 0)$

Der Nenner des ersten Bruchs liefert:

$Formula: x \neq 0$ $Formula: x \neq 0$

Weiter gilt:

$Formula: \begin{array}{rlll} 3+x &\neq& 0&\mid\; -3\\[5pt] x&\neq&-3 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} 3+x &\neq& 0&\mid\; -3\\[5pt] x&\neq&-3 \end{array}$

Der dritte Bruch liefert:

$Formula: \begin{array}{rlll} x-2& \neq &0 &\mid\; +2\\[5pt] x&\neq&2 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} x-2& \neq &0 &\mid\; +2\\[5pt] x&\neq&2 \end{array}$

Damit gilt:

$Formula: \mathbb{D}=\mathbb{R} \setminus\{-3 ; 0 ; 2\}$ $Formula: \mathbb{D}=\mathbb{R} \setminus\{-3 ; 0 ; 2\}$

Für die Lösungsmenge folgt:

$Formula: \begin{array}{rlll} \dfrac{4}{x}+\dfrac{1}{3+x}&=&\dfrac{7}{x-2}&\mid\; \cdot x(3+x)(x-2) \\[5pt] 4(3+x)(x-2)+x(x-2)&=&7 x(3+x) \\[5pt] 2 x-24+5 x^2&=&21 x+7 x^2 &\mid\;-21x \\[5pt] -19x-24+5x^2&=&7x^2 &\mid\;-7x^2 \\[5pt] -2x^2-19x-24&=&0 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} \dfrac{4}{x}+\dfrac{1}{3+x}&=&\dfrac{7}{x-2}&\mid\; \cdot x(3+x)(x-2) \\[5pt] 4(3+x)(x-2)+x(x-2)&=&7 x(3+x) \\[5pt] 2 x-24+5 x^2&=&21 x+7 x^2 &\mid\;-21x \\[5pt] -19x-24+5x^2&=&7x^2 &\mid\;-7x^2 \\[5pt] -2x^2-19x-24&=&0 \end{array}$

Mit der Formula: abc -Formel gilt:

$Formula: \begin{array}{rlll} x_{1 ; 2}&=&\dfrac{19\pm \sqrt{\left(-19\right)^2-4\cdot(-2)\cdot(-24)}}{2\cdot(-2)} \\[5pt] x_{1 ; 2}&=&\dfrac{19\pm \sqrt{169}}{-4} \\[5pt] x_{1 ; 2}&=&\dfrac{19\pm 13}{-4} \\[5pt] x_1&=&\dfrac{19- 13}{-4}\\[5pt] &=&-1,5\\[5pt] x_2&=&\dfrac{19+ 13}{-4}\\[5pt] &=&-8 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} x_{1 ; 2}&=&\dfrac{19\pm \sqrt{\left(-19\right)^2-4\cdot(-2)\cdot(-24)}}{2\cdot(-2)} \\[5pt] x_{1 ; 2}&=&\dfrac{19\pm \sqrt{169}}{-4} \\[5pt] x_{1 ; 2}&=&\dfrac{19\pm 13}{-4} \\[5pt] x_1&=&\dfrac{19- 13}{-4}\\[5pt] &=&-1,5\\[5pt] x_2&=&\dfrac{19+ 13}{-4}\\[5pt] &=&-8 \end{array}$

Damit ergibt sich:

$Formula: \mathbb{L}=\{-8 ;-1,5\}$ $Formula: \mathbb{L}=\{-8 ;-1,5\}$

Für das Volumen der Formula: 8 kleinen Kugeln gilt:

$Formula: \begin{array}{rlll} V_{8 K}&=&8\cdot\dfrac{1}{6} \cdot d^3 \cdot \pi \\[5pt] &=&\dfrac{8}{6} \cdot(4,5 \mathrm{~mm})^3 \cdot \pi\\[5pt] &\approx&381,70 \mathrm{~mm}^3 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} V_{8 K}&=&8\cdot\dfrac{1}{6} \cdot d^3 \cdot \pi \\[5pt] &=&\dfrac{8}{6} \cdot(4,5 \mathrm{~mm})^3 \cdot \pi\\[5pt] &\approx&381,70 \mathrm{~mm}^3 \end{array}$

Für das Volumen der Halbkugel gilt:

$Formula: \begin{array}{rlll} V_{HK}&=&\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{6} \cdot d^3 \cdot \pi \\[5pt] &=&\dfrac{1}{12} \cdot(11 \mathrm{~mm})^3 \cdot \pi \\[5pt] &\approx&348,45 \mathrm{~mm}^3 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} V_{HK}&=&\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{6} \cdot d^3 \cdot \pi \\[5pt] &=&\dfrac{1}{12} \cdot(11 \mathrm{~mm})^3 \cdot \pi \\[5pt] &\approx&348,45 \mathrm{~mm}^3 \end{array}$

Für das Volumen der neuen Goldkugel gilt:

$Formula: \begin{array}{rlll} V_{n K}&=&V_{8 K}-V_{H K} \\[5pt] &=&381,70 \mathrm{~mm}^3-348,45 \mathrm{~mm}^3 \\[5pt] &=&33,25 \mathrm{~mm}^3 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} V_{n K}&=&V_{8 K}-V_{H K} \\[5pt] &=&381,70 \mathrm{~mm}^3-348,45 \mathrm{~mm}^3 \\[5pt] &=&33,25 \mathrm{~mm}^3 \end{array}$

Für den Radius der neuen Goldkugel ergibt sich damit:

$Formula: \begin{array}{rlll} V&=&\dfrac{4}{3} \cdot r^3 \cdot \pi \\[5pt] 33,25 \mathrm{~mm}^3&=&\dfrac{4}{3} \cdot r^3 \cdot \pi &\mid\;:\dfrac{4}{3}\pi \\[5pt] 7,9378 \mathrm{~mm}^3&=&r^3 &\mid\;\sqrt[3]{ \;} \\[5pt] 2\;\text{mm}&\approx&r \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} V&=&\dfrac{4}{3} \cdot r^3 \cdot \pi \\[5pt] 33,25 \mathrm{~mm}^3&=&\dfrac{4}{3} \cdot r^3 \cdot \pi &\mid\;:\dfrac{4}{3}\pi \\[5pt] 7,9378 \mathrm{~mm}^3&=&r^3 &\mid\;\sqrt[3]{ \;} \\[5pt] 2\;\text{mm}&\approx&r \end{array}$

$Formula: (1)\quad \dfrac{i+e}{k}=\dfrac{e}{f}$ $Formula: (1)\quad \dfrac{i+e}{k}=\dfrac{e}{f}$

$Formula: (2)\quad \dfrac{d}{e}=\dfrac{c}{b}$ $Formula: (2)\quad \dfrac{d}{e}=\dfrac{c}{b}$

$Formula: (3)\quad \dfrac{a}{k}=\dfrac{c}{d+h}$ $Formula: (3)\quad \dfrac{a}{k}=\dfrac{c}{d+h}$

Mit der Formula: 3. binomischen Formel folgt:

$Formula: (1)\quad (\sqrt{2} a+8b) \cdot(\sqrt{2} a-8b)=2a^2-64 b^2$ $Formula: (1)\quad (\sqrt{2} a+8b) \cdot(\sqrt{2} a-8b)=2a^2-64 b^2$

Mit der Formula: 2. binomischen Formel gilt:

$Formula: (2)\quad \dfrac{1}{16}a^2 b^4-a^2b^2+4a^2=\left(\dfrac{1}{4}ab^2-2 a\right)^2$ $Formula: (2)\quad \dfrac{1}{16}a^2 b^4-a^2b^2+4a^2=\left(\dfrac{1}{4}ab^2-2 a\right)^2$

Wahrscheinlichkeitsbaum mit den Ergebnissen s, g und r sowie den zugehörigen Wahrscheinlichkeiten.

Wahrscheinlichkeitsbaum mit den Zuständen s, g und r sowie den Übergangswahrscheinlichkeiten 1/6, 2/6, 3/6, 1/5 und 2/5

Für das Ereignis „zweite Kugel schwarz“ folgt für die Wahrscheinlichkeiten:

$Formula: \begin{array}{rlll} p(gs)&=&\dfrac{3}{6} \cdot \dfrac{1}{5} \\[5pt] &=&\dfrac{3}{30}\\[5pt] p(rs)&=&\dfrac{2}{6} \cdot \dfrac{1}{5}\\[5pt] &=&\dfrac{2}{30} \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} p(gs)&=&\dfrac{3}{6} \cdot \dfrac{1}{5} \\[5pt] &=&\dfrac{3}{30}\\[5pt] p(rs)&=&\dfrac{2}{6} \cdot \dfrac{1}{5}\\[5pt] &=&\dfrac{2}{30} \end{array}$

Zusammengefasst gilt:

$Formula: \begin{array}{rlll} p\text{(zweite schwarz)}&=&\dfrac{3}{30}+\dfrac{2}{30} \\[5pt] &=&\dfrac{1}{6} \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} p\text{(zweite schwarz)}&=&\dfrac{3}{30}+\dfrac{2}{30} \\[5pt] &=&\dfrac{1}{6} \end{array}$

Für die Wahrscheinlichkeit in Prozent ergibt sich:

$Formula: \begin{array}{rlll} p\, \%&=&\dfrac{1}{6} \cdot 100 \,\% \\[5pt] &\approx&16,7\,\% \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} p\, \%&=&\dfrac{1}{6} \cdot 100 \,\% \\[5pt] &\approx&16,7\,\% \end{array}$

Für die Suche der Farbkombinationen gilt:

$Formula: \begin{array}{rlll} p(gr)&=&\dfrac{3}{6} \cdot \dfrac{2}{5} \\[5pt] &=&\dfrac{6}{30} \\[5pt] p(rg)&=&\dfrac{2}{6} \cdot \dfrac{3}{5} \\[5pt] &=&\dfrac{6}{30} \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} p(gr)&=&\dfrac{3}{6} \cdot \dfrac{2}{5} \\[5pt] &=&\dfrac{6}{30} \\[5pt] p(rg)&=&\dfrac{2}{6} \cdot \dfrac{3}{5} \\[5pt] &=&\dfrac{6}{30} \end{array}$

Für die Wahrscheinlichkeit der Kombination rot und grün folgt:

$Formula: \begin{array}{rlll} p\text{(rot + grün)}&=&\dfrac{6}{30}+\dfrac{6}{30} \\[5pt] &=&\dfrac{12}{30}\\[5pt] &=&\dfrac{4}{10} \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} p\text{(rot + grün)}&=&\dfrac{6}{30}+\dfrac{6}{30} \\[5pt] &=&\dfrac{12}{30}\\[5pt] &=&\dfrac{4}{10} \end{array}$

In Prozentschreibweise ergibt sich:

$Formula: \begin{array}{rlll} p\, \%&=&\dfrac{4}{10} \cdot 100 \,\%\\[5pt] &=&40\,\% \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} p\, \%&=&\dfrac{4}{10} \cdot 100 \,\%\\[5pt] &=&40\,\% \end{array}$

Die Wahrscheinlichkeit der Farbkombination rot und grün beträgt $Formula: 40\,\%.$ $Formula: 40\,\%.$ Damit entspricht sie der gesuchten Wahrscheinlichkeit und stellt somit die richtige Kombination dar.