Aufgabengruppe 1

Die folgende Abbildung zeigt die Gerade Formula: g_1:

Koordinatensystem mit fallender Geraden g1.

Gib die Funktionsgleichung von Formula: g_1 an.

Die Gerade Formula: g_2 verläuft durch den Punkt $Formula: P(5 \mid 4)$ $Formula: P(5 \mid 4)$ und steht senkrecht auf der Geraden Formula: g_3:y=2 x-6.
Bestimme rechnerisch die Funktionsgleichung von Formula: g_2.

Überprüfe rechnerisch, ob der Punkt $Formula: Q(-24 \mid-54)$ $Formula: Q(-24 \mid-54)$ auf der Geraden Formula: g_3 liegt.

Die Gerade Formula: g_4 mit der Funktionsgleichung Formula: 2 x+y=4 schneidet die Gerade Formula: g_3 im Punkt Formula: C.

Berechne die Koordinaten des Punkts Formula: C und gib diesen an.

Zeichne die Geraden Formula: g_3 und Formula: g_4 in ein Koordinatensystem mit der Längeneinheit $Formula: 1\;\text{cm}.$ $Formula: 1\;\text{cm}.$

Gib die Funktionsgleichung einer beliebigen Geraden Formula: g_5 an, die die gleiche Nullstelle hat wie die abgebildete Gerade Formula: g_1.

7 P

Gib die Definitionsmenge der folgenden Gleichung an und ermittle die Lösungsmenge rechnerisch.

$Formula: \dfrac{4}{x}+6=\dfrac{(x-1) \cdot 2}{x+2}$ $Formula: \dfrac{4}{x}+6=\dfrac{(x-1) \cdot 2}{x+2}$

4 P

Ein kugelförmiger Gasbehälter aus Stahl hat einen Außendurchmesser von $Formula: 30\;\text{m}$ $Formula: 30\;\text{m}$ und eine Wandstärke von $Formula: 3\;\text{cm}.$ $Formula: 3\;\text{cm}.$ Im Folgenden werden eventuelle Öffnungen vernachlässigt.

Die Außenseite des Gasbehälters soll gestrichen werden.

Ermittle rechnerisch den zu streichenden Oberflächeninhalt.

Bestimme die Masse des Gasbehälters in Tonnen, wenn $Formula: 1 \mathrm{~m}^3$ $Formula: 1 \mathrm{~m}^3$ des verwendeten Stahls $Formula: 7,8\;\text{t}$ $Formula: 7,8\;\text{t}$ wiegt.

4 P

Vereinfache den folgenden Term so weit wie möglich.

Es gilt $Formula: a, b, c \neq 0.$ $Formula: a, b, c \neq 0.$

$Formula: \dfrac{4 a^7 \cdot 3 b^{-8} \cdot 5 c^{-3} \cdot 2 a^{-2} \cdot 4 b^7 \cdot 1 c^4}{16 c \cdot 15 a^2 \cdot 3 b^{-2}}$ $Formula: \dfrac{4 a^7 \cdot 3 b^{-8} \cdot 5 c^{-3} \cdot 2 a^{-2} \cdot 4 b^7 \cdot 1 c^4}{16 c \cdot 15 a^2 \cdot 3 b^{-2}}$

2 P

Die Parabel Formula: p_1 hat die Funktionsgleichung Formula: y=x^2-2 x-3.

Ermittle rechnerisch die Koordinaten des Scheitelpunkts Formula: S_1.

Die Punkte $Formula: A(-1 \mid-3)$ $Formula: A(-1 \mid-3)$ und $Formula: B(3 \mid 1)$ $Formula: B(3 \mid 1)$ liegen auf der nach unten geöffneten Normalparabel Formula: p_2.

Ermittle rechnerisch die Funktionsgleichung von Formula: p_2 in der Normalform.

Die Parabel Formula: p_3 mit der Funktionsgleichung Formula: y=-x^2+6 x-3 schneidet die Parabel Formula: p_1 in den Punkten und Formula: Q.

Ermittle rechnerisch die Koordinaten dieser Schnittpunkte und gib Formula: P und Formula: Q an.

Die nach oben geöffnete Normalparabel Formula: p_4 mit dem Scheitelpunkt $Formula: S_4(3 \mid-2)$ $Formula: S_4(3 \mid-2)$ wird an der Formula: x -Achse gespiegelt. Dadurch entsteht die Parabel Formula: p_5.

Gib die Funktionsgleichung von Formula: p_5 in der Scheitelpunktform an.

Zeichne die Parabeln Formula: p_2 und Formula: p_4 in ein Koordinatensystem mit der Längeneinheit $Formula: 1\;\text{cm} .$ $Formula: 1\;\text{cm} .$

Gegeben ist die Parabel Formula: p_6 mit der Funktionsgleichung Formula: y=-x^2+4.

Gib einen beliebigen Punkt Formula: C an, der im Formula: 3. Quadranten und auf der Parabel Formula: p_6 liegt.

8 P

Bei einer zentrischen Streckung wurde das Dreieck Formula: ZAD mit dem Streckungsfaktor Formula: k=1,125 auf das Dreieck Formula: ZBC abgebildet.

Es gilt: $Formula: \quad$ $Formula: \quad$ Flächeninhalt des Dreiecks $Formula: ZAD =21,33 \mathrm{~cm}^2$ $Formula: ZAD =21,33 \mathrm{~cm}^2$
$Formula: \quad\quad\quad\,|\overline{AC}|=4 \mathrm{~cm}$ $Formula: \quad\quad\quad\,|\overline{AC}|=4 \mathrm{~cm}$

Ermittle rechnerisch die Länge der Strecke $Formula: \overline{Z A}.$ $Formula: \overline{Z A}.$

Geometrische Zeichnung mit Linien, Punkten und markierten Winkeln, beschriftet mit Z, A, B, C und D.

Skizze nicht maßstabsgetreu

3 P

In den vergangenen Jahren sind die Umsatzzahlen beim Verkauf von Gesellschaftsspielen exponentiell stark gestiegen. Im Jahr 2018 lag der Umsatz noch bei Formula: 550 Millionen Euro, im Jahr 2022 bereits bei Formula: 710 Millionen Euro.

Berechne den durchschnittlichen jährlichen Zuwachs beim Umsatz von Gesellschaftsspielen in diesen vier Jahren in Prozent.

In den Formula: 13 Jahren vor 2018 war der Umsatz jährlich um durchschnittlich $Formula: 2,5\,\%$ $Formula: 2,5\,\%$ gestiegen.

Ermittle den Umsatz zu Beginn dieser Formula: 13 Jahre.

Ein Hersteller für Puzzles verkaufte innerhalb eines Jahres $Formula: 100\,000$ $Formula: 100\,000$ Puzzles.

Berechne, nach wie vielen Jahren sich die Anzahl der innerhalb eines Jahres verkauften Puzzles bei einem durchschnittlichen jährlichen Zuwachs von $Formula: 10,5\,\%$ $Formula: 10,5\,\%$ verdoppeln würde.

4 P

Im abgebildeten Parallelogramm Formula: ABCD gilt:

$Formula: |\overline{BE}|=5 \mathrm{~cm}\quad$ $Formula: |\overline{BE}|=5 \mathrm{~cm}\quad$ und $Formula: \quad|\overline{CD}|=10 \mathrm{~cm}$ $Formula: \quad|\overline{CD}|=10 \mathrm{~cm}$

Berechne den Flächeninhalt des Parallelogramms Formula: ABCD.

Berechne den Winkel $Formula: \alpha.$ $Formula: \alpha.$

Geometrische Skizze mit Punkten A, B, C, D, E, F und eingezeichneten Winkeln.

Skizze nicht maßstabsgetreu

4 P

Beim Spiel „Glück gehabt“ legt Romy fünf rote Kugeln, Giovanni fünf gelbe Kugeln und Bettina fünf blaue Kugeln in einen gemeinsamen Beutel. Nacheinander wird jeweils eine Kugel aus dem Beutel zufällig entnommen und nicht zurückgelegt. Es gewinnt die Person, deren fünf Kugeln zuerst gezogen werden.

Stelle die ersten beiden Züge in einem Baumdiagramm dar und beschrifte die Äste mit den jeweiligen Wahrscheinlichkeiten.

Berechne die Wahrscheinlichkeit in Prozent, dass bei den ersten beiden Zügen zwei Kugeln der gleichen Farbe gezogen werden.

Giovanni möchte berechnen, mit welcher Wahrscheinlichkeit das Spiel bereits nach fünf Zügen beendet ist.

Er rechnet fehlerhaft: $Formula: P=\tfrac{5}{15} \cdot \tfrac{4}{14} \cdot \tfrac{3}{13} \cdot \tfrac{2}{12} \cdot \tfrac{1}{11}$ $Formula: P=\tfrac{5}{15} \cdot \tfrac{4}{14} \cdot \tfrac{3}{13} \cdot \tfrac{2}{12} \cdot \tfrac{1}{11}$

Beschreibe den Fehler, den Giovanni gemacht hat.

4 P

40 P

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Mithilfe der Abbildung folgt der Achsenabschnitt Formula: b=2.

Mit den Punkten $Formula: P(0\mid2)$ $Formula: P(0\mid2)$ und $Formula: Q(5\mid0)$ $Formula: Q(5\mid0)$ auf dem Graphen gilt für die Steigung:

$Formula: \begin{array}{rlll} m&=&\dfrac{0-2}{5-0} \\[5pt] &=&-\dfrac{2}{5} \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} m&=&\dfrac{0-2}{5-0} \\[5pt] &=&-\dfrac{2}{5} \end{array}$

Somit folgt:

$Formula: g_1:y=-\dfrac{2}{5}x+2$ $Formula: g_1:y=-\dfrac{2}{5}x+2$

Für die Gerade Formula: g_3 gilt Formula: m_3=2.
Da Formula: g_2 senkrecht auf steht, folgt $Formula: m_2=-\tfrac{1}{2}.$ $Formula: m_2=-\tfrac{1}{2}.$
Der Punkt $Formula: P(5 \mid 4)$ $Formula: P(5 \mid 4)$ wird eingesetzt. Es gilt:

$Formula: \begin{array}{rlll} 4&=&-\dfrac{1}{2}\cdot 5+b\\[5pt] 4&=&-2,5+b &\mid\;+2,5\\[5pt] 6,5&=&b \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} 4&=&-\dfrac{1}{2}\cdot 5+b\\[5pt] 4&=&-2,5+b &\mid\;+2,5\\[5pt] 6,5&=&b \end{array}$

Somit folgt:

$Formula: g_2: y=-\frac{1}{2} x+6,5$ $Formula: g_2: y=-\frac{1}{2} x+6,5$

Für die Punktprobe mit $Formula: Q(-24 \mid-54)$ $Formula: Q(-24 \mid-54)$ in Formula: g_3 ergibt sich:

$Formula: \begin{array}{rlll} -54&=&2 \cdot(-24)-6\\[5pt] -54&=&-54 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} -54&=&2 \cdot(-24)-6\\[5pt] -54&=&-54 \end{array}$

Der Punkt $Formula: Q(-24 \mid-54)$ $Formula: Q(-24 \mid-54)$ liegt auf Formula: g_3.

Für den Funktionsterm von Formula: g_4 liefert Umstellen:

Formula: g_4:y=4-2x

Gleichsetzen der Gleichungen von Formula: g_3 und Formula: g_4 liefert:

$Formula: \begin{array}{rlll} 2 x-6&=&4-2 x&\mid\;+2x\\[5pt] 4x-6&=&4 &\mid\;+6\\[5pt] 4x&=&10 &\mid\;:4\\[5pt] x&=&2,5 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} 2 x-6&=&4-2 x&\mid\;+2x\\[5pt] 4x-6&=&4 &\mid\;+6\\[5pt] 4x&=&10 &\mid\;:4\\[5pt] x&=&2,5 \end{array}$

Einsetzen von Formula: x=2,5 in die Gleichung von Formula: g_3 liefert:

$Formula: \begin{array}{rlll} y&=&2 \cdot 2,5-6 \\[5pt] &=&-1 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} y&=&2 \cdot 2,5-6 \\[5pt] &=&-1 \end{array}$

Daraus ergibt sich:

$Formula: C(2,5 \mid-1)$ $Formula: C(2,5 \mid-1)$

Koordinatensystem mit zwei sich schneidenden Geraden.

Die Nullstelle von Formula: g_1 liegt bei Formula: x=5. Eine mögliche Gerade mit derselben Nullstelle ist daher Formula: g_5: y=x-5.

Die Nenner dürfen nicht Formula: 0 werden. Es folgt:

$Formula: \begin{array}{rlll} x+2 &\neq& 0 &\mid\;-2\\[5pt] x&\neq&-2 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} x+2 &\neq& 0 &\mid\;-2\\[5pt] x&\neq&-2 \end{array}$

Daraus ergibt sich:

$Formula: D=\mathbb{R} \setminus\{-2 ; 0\}$ $Formula: D=\mathbb{R} \setminus\{-2 ; 0\}$

Für die Lösungsmenge folgt:

$Formula: \begin{array}{rlll} \dfrac{4}{x}+6&=&\dfrac{(x-1) \cdot 2}{x+2} &\mid\;\cdot x(x+2)\\[5pt] 4(x+2)+6 x(x+2)&=&2 x(x-1)\\[5pt] 4 x+8+6 x^2+12 x&=&2 x^2-2 x\\[5pt] 6 x^2+16 x+8&=&2 x^2-2 x&\mid\;-2x^2\\[5pt] 4x^2+16x+8&=&-2x &\mid\;+2x\\[5pt] 4x^2+18x+8&=&0 &\mid\;:2\\[5pt] 2x^2+9x+4&=&0\\[5pt] (2 x+1)(x+4)&=&0 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} \dfrac{4}{x}+6&=&\dfrac{(x-1) \cdot 2}{x+2} &\mid\;\cdot x(x+2)\\[5pt] 4(x+2)+6 x(x+2)&=&2 x(x-1)\\[5pt] 4 x+8+6 x^2+12 x&=&2 x^2-2 x\\[5pt] 6 x^2+16 x+8&=&2 x^2-2 x&\mid\;-2x^2\\[5pt] 4x^2+16x+8&=&-2x &\mid\;+2x\\[5pt] 4x^2+18x+8&=&0 &\mid\;:2\\[5pt] 2x^2+9x+4&=&0\\[5pt] (2 x+1)(x+4)&=&0 \end{array}$

Mit dem Satz des Nullprodukts folgt:

$Formula: \begin{array}{rlll} 2x+1&=&0 &\mid\;-1 \\[5pt] 2x&=&-1 &\mid\;:2 \\[5pt] x&=&-\dfrac{1}{2} \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} 2x+1&=&0 &\mid\;-1 \\[5pt] 2x&=&-1 &\mid\;:2 \\[5pt] x&=&-\dfrac{1}{2} \end{array}$

$Formula: \begin{array}{rlll} x+4&=&0 &\mid\;-4\\[5pt] x&=&-4 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} x+4&=&0 &\mid\;-4\\[5pt] x&=&-4 \end{array}$

Somit folgt für die Wertemenge:

$Formula: L=\left\{-4 ;-\dfrac{1}{2}\right\}$ $Formula: L=\left\{-4 ;-\dfrac{1}{2}\right\}$

$Formula: \begin{array}{rlll} O&=&4\cdot r^2 \cdot\pi \\[5pt] &\approx&4 \cdot 15^2 \cdot 3,14 \\[5pt] &=&2826\;\text{m}^2 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} O&=&4\cdot r^2 \cdot\pi \\[5pt] &\approx&4 \cdot 15^2 \cdot 3,14 \\[5pt] &=&2826\;\text{m}^2 \end{array}$

Für das Volumen folgt:

$Formula: \begin{array}{rlll} V_{\text {Stahl }}&=&V_{\text {außen }}-V_{\text {innen }}\\[5pt] &\approx&\dfrac{4}{3} \cdot\left(15^3-14,97^3\right) \cdot 3,14 \\[5pt] &\approx&84,61\;\text{m}^3 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} V_{\text {Stahl }}&=&V_{\text {außen }}-V_{\text {innen }}\\[5pt] &\approx&\dfrac{4}{3} \cdot\left(15^3-14,97^3\right) \cdot 3,14 \\[5pt] &\approx&84,61\;\text{m}^3 \end{array}$

Für die Masse gilt:

$Formula: 84,61 \cdot 7,8 \approx 660\;\text{t}$ $Formula: 84,61 \cdot 7,8 \approx 660\;\text{t}$

Für das Zusammenfassen der Zahlen ergibt sich:

$Formula: \dfrac{4\cdot3\cdot5\cdot2\cdot4\cdot1}{16\cdot15\cdot3}=\dfrac{480}{720}=\dfrac{2}{3}$ $Formula: \dfrac{4\cdot3\cdot5\cdot2\cdot4\cdot1}{16\cdot15\cdot3}=\dfrac{480}{720}=\dfrac{2}{3}$

Für die jeweiligen Potenzen folgt:

$Formula: \begin{array}{rlll} \dfrac{a^7\cdot a^{-2}}{a^2}&=&a^{7-2-2} \\[5pt] &=&a^3 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} \dfrac{a^7\cdot a^{-2}}{a^2}&=&a^{7-2-2} \\[5pt] &=&a^3 \end{array}$

$Formula: \begin{array}{rlll} \dfrac{b^{-8}\cdot b^7}{b^{-2}}&=&b^{-8+7-(-2)} \\[5pt] &=&b \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} \dfrac{b^{-8}\cdot b^7}{b^{-2}}&=&b^{-8+7-(-2)} \\[5pt] &=&b \end{array}$

$Formula: \begin{array}{rlll} \dfrac{c^{-3}\cdot c^4}{c}&=&c^{-3+4-1} \\[5pt]&=&c^0 \\[5pt]&=&1\end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} \dfrac{c^{-3}\cdot c^4}{c}&=&c^{-3+4-1} \\[5pt]&=&c^0 \\[5pt]&=&1\end{array}$

Daraus ergibt sich insgesamt:

$Formula: \dfrac{4 a^7 \cdot 3 b^{-8} \cdot 5 c^{-3} \cdot 2 a^{-2} \cdot 4 b^7 \cdot 1 c^4}{16 c \cdot 15 a^2 \cdot 3 b^{-2}}=\dfrac{2}{3} a^3 b$ $Formula: \dfrac{4 a^7 \cdot 3 b^{-8} \cdot 5 c^{-3} \cdot 2 a^{-2} \cdot 4 b^7 \cdot 1 c^4}{16 c \cdot 15 a^2 \cdot 3 b^{-2}}=\dfrac{2}{3} a^3 b$

Die quadratische Ergänzung liefert:

$Formula: \begin{array}{rlll} y&=&x^2-2 x+1-1-3 \\[5pt] &=&(x-1)^2-4 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} y&=&x^2-2 x+1-1-3 \\[5pt] &=&(x-1)^2-4 \end{array}$

Damit folgt:

$Formula: S_1(1 \mid-4)$ $Formula: S_1(1 \mid-4)$

Da es sich um eine nach unten geöffnete Normalparabel handelt, gilt:

Formula: y=-x^2+b x+c

Für Punkt $Formula: A(-1 \mid-3)$ $Formula: A(-1 \mid-3)$ folgt:

$Formula: \begin{array}{rlll} -3&=&-(-1)^2+b \cdot(-1)+c\\[5pt] -3&=&-1-b+c &\mid\;+1\\[5pt] -2&=&-b+c \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} -3&=&-(-1)^2+b \cdot(-1)+c\\[5pt] -3&=&-1-b+c &\mid\;+1\\[5pt] -2&=&-b+c \end{array}$

Für Punkt $Formula: B(3 \mid 1)$ $Formula: B(3 \mid 1)$ ergibt sich:

$Formula: \begin{array}{rlll} 1&=&-3^2+3 b+c \\[5pt] 1&=&-9+3 b+c&\mid\;+9\\[5pt] 10&=&3b+c \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} 1&=&-3^2+3 b+c \\[5pt] 1&=&-9+3 b+c&\mid\;+9\\[5pt] 10&=&3b+c \end{array}$

Damit gilt:

$Formula: \begin{array}{rlll} (3 b+c)-(-b+c)&=&10-(-2) \\[5pt] 3 b+c+b-c&=&12\\[5pt] 4b&=&12 &\mid\;:4 \\[5pt] b&=&3 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} (3 b+c)-(-b+c)&=&10-(-2) \\[5pt] 3 b+c+b-c&=&12\\[5pt] 4b&=&12 &\mid\;:4 \\[5pt] b&=&3 \end{array}$

Für das Einsetzten folgt:

$Formula: \begin{array}{rlll} -3+c&=&-2 &\mid\;+3\\[5pt] c&=&1 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} -3+c&=&-2 &\mid\;+3\\[5pt] c&=&1 \end{array}$

Somit gilt:

Formula: p_2: y=-x^2+3 x+1

Gleichsetzen der Funktionsgleichungen von Formula: p_1 und Formula: p_3 liefert:

$Formula: \begin{array}{rlll} x^2-2 x-3&=&-x^2+6 x-3 &\mid\;+x^2 \\[5pt] 2x^2-2x-3&=&6x-3&\mid\;-6x \\[5pt] 2x^2-8x-3&=&-3&\mid\;+3 \\[5pt] 2x^2-8x&=&0\\[5pt] 2 x(x-4)&=0 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} x^2-2 x-3&=&-x^2+6 x-3 &\mid\;+x^2 \\[5pt] 2x^2-2x-3&=&6x-3&\mid\;-6x \\[5pt] 2x^2-8x-3&=&-3&\mid\;+3 \\[5pt] 2x^2-8x&=&0\\[5pt] 2 x(x-4)&=0 \end{array}$

Damit folgt Formula: x_1=0 und Formula: x_2=4.

Die Formula: x -Werte werden in Formula: p_1 eingesetzt. Damit gilt:

$Formula: \begin{array}{rlll} p_1(0)&=&0^2-2\cdot0-3 \\[5pt] &=&-3 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} p_1(0)&=&0^2-2\cdot0-3 \\[5pt] &=&-3 \end{array}$

$Formula: \begin{array}{rlll} p_1(4)&=&4^2-2\cdot4-3 \\[5pt] &=&5 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} p_1(4)&=&4^2-2\cdot4-3 \\[5pt] &=&5 \end{array}$

Für die Koordinaten folgt damit:

$Formula: P(0 \mid-3), \quad Q(4 \mid 5)$ $Formula: P(0 \mid-3), \quad Q(4 \mid 5)$

Die Parabel Formula: p_4 hat den Scheitelpunkt $Formula: S_4(3 \mid-2).$ $Formula: S_4(3 \mid-2).$ Damit folgt:

Formula: p_4: y=(x-3)^2-2

Bei der Spiegelung an der Formula: x -Achse werden alle Formula: y -Werte mit Formula: -1 multipliziert. Somit ergibt sich:

Formula: p_5: y=-(x-3)^2+2

Koordinatensystem mit drei gezeichneten Parabeln und Achsenbeschriftung.

Für einen Punkt im Formula: 3. Quadranten folgt:

Formula: x<0 und Formula: y<0

Für das Beispiel mit Formula: x=-3 gilt:

$Formula: \begin{array}{rlll} y&=&-(-3)^2+4 \\[5pt] &=&-9+4 \\[5pt] &=&-5 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} y&=&-(-3)^2+4 \\[5pt] &=&-9+4 \\[5pt] &=&-5 \end{array}$

Damit liegt der Punkt $Formula: C(−3\mid−5)$ $Formula: C(−3\mid−5)$ auf der Parabel Formula: p_6 und im Formula: 3. Quadranten.

Für den Flächeninhalt des Dreiecks Formula: ZBC gilt:

$Formula: \begin{array}{rlll} A_{Z B C}&=&21,33 \cdot 1,125^2 \\[5pt] &=&27\;\text{cm}^2 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} A_{Z B C}&=&21,33 \cdot 1,125^2 \\[5pt] &=&27\;\text{cm}^2 \end{array}$

Für die Länge der Strecke $Formula: \overline{ZB}$ $Formula: \overline{ZB}$ folgt:

$Formula: \begin{array}{rlll} \dfrac{|\overline{ZB}| \cdot 4}{2}&=&27 &\mid\;\cdot\dfrac{1}{2} \\[5pt] |\overline{ZB}|&=&13,5\;\text{cm} \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} \dfrac{|\overline{ZB}| \cdot 4}{2}&=&27 &\mid\;\cdot\dfrac{1}{2} \\[5pt] |\overline{ZB}|&=&13,5\;\text{cm} \end{array}$

Für die Länge der Strecke $Formula: \overline{ZA}$ $Formula: \overline{ZA}$ ergibt sich:

$Formula: \begin{array}{rlll} |\overline{ZA}| \cdot 1,125&=&13,5 &\mid\;:1,125 \\[5pt] |\overline{ZA}|&=&12\;\text{cm} \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} |\overline{ZA}| \cdot 1,125&=&13,5 &\mid\;:1,125 \\[5pt] |\overline{ZA}|&=&12\;\text{cm} \end{array}$

Bei exponentiellem Wachstum gilt:

$Formula: \begin{array}{rlll} 710&=&550 \cdot q^4 &\mid\;:550 \\[5pt] \dfrac{710}{550}&=&q^4 &\mid\;\sqrt[4]{\;} \\[5pt] \sqrt[4]{\dfrac{710}{550}}&=&q \\[5pt] 1,066&\approx&q \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} 710&=&550 \cdot q^4 &\mid\;:550 \\[5pt] \dfrac{710}{550}&=&q^4 &\mid\;\sqrt[4]{\;} \\[5pt] \sqrt[4]{\dfrac{710}{550}}&=&q \\[5pt] 1,066&\approx&q \end{array}$

Ein Wachstumsfaktor von Formula: 1,066 bedeutet Formula: 1,066=1+0,066. Der zusätzliche Anteil beträgt daher Formula: 0,066.

Somit folgt für den durchschnittlich jährlichen Zuwachs:

$Formula: 0,066 \cdot 100\;\%=6,6\,\%$ $Formula: 0,066 \cdot 100\;\%=6,6\,\%$

Für den Umsatz Formula: x folgt:

$Formula: \begin{array}{rlll} 550&=&x \cdot 1,025^{13} &\mid\;:1,025^{13} \\[5pt] 339&=&x \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} 550&=&x \cdot 1,025^{13} &\mid\;:1,025^{13} \\[5pt] 339&=&x \end{array}$

Der gesuchte Wert beträgt somit Formula: 339 Millionen.

Für die Anzahl der Jahre gilt:

$Formula: \begin{array}{rlll} 2 &= &1,105^n &\mid\;\log_{1,105} \\[5pt] \log_{1,105}(2)&=&n \\[5pt] 7&\approx&n \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} 2 &= &1,105^n &\mid\;\log_{1,105} \\[5pt] \log_{1,105}(2)&=&n \\[5pt] 7&\approx&n \end{array}$

Für die Länge der Strecke $Formula: \overline{FB}$ $Formula: \overline{FB}$ folgt mit dem Kathetensatz:

$Formula: \begin{array}{rlll} 5^2&=&10 \cdot|\overline{FB}| &\mid\;:10\\[5pt] 2,5\;\text{cm}&=&|\overline{FB}| \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} 5^2&=&10 \cdot|\overline{FB}| &\mid\;:10\\[5pt] 2,5\;\text{cm}&=&|\overline{FB}| \end{array}$

Für die Länge der Strecke $Formula: \overline{FE}$ $Formula: \overline{FE}$ gilt:

$Formula: \begin{array}{rlll} |\overline{FE}|^2+2,5^2&=&5^2&\mid\;-2,5^2\\[5pt] |\overline{FE}|&\approx&4,33\;\text{cm} \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} |\overline{FE}|^2+2,5^2&=&5^2&\mid\;-2,5^2\\[5pt] |\overline{FE}|&\approx&4,33\;\text{cm} \end{array}$

Somit ergibt sich für den Flächeninhalt des Parallelogramms Formula: ABCD:

$Formula: \begin{array}{rlll} A_{A B C D}&=&10 \cdot 4,33\\[5pt] &=&43,3\;\text{cm}^2 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} A_{A B C D}&=&10 \cdot 4,33\\[5pt] &=&43,3\;\text{cm}^2 \end{array}$

$Formula: \begin{array}{rlll} \sin \alpha&=&\dfrac{5}{10} &\mid\;\sin^{-1} \\[5pt] \alpha&=&\sin^{-1}\left(\dfrac{5}{10}\right) \\[5pt] \alpha&=&30^{\circ} \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} \sin \alpha&=&\dfrac{5}{10} &\mid\;\sin^{-1} \\[5pt] \alpha&=&\sin^{-1}\left(\dfrac{5}{10}\right) \\[5pt] \alpha&=&30^{\circ} \end{array}$

Baumdiagramm mit roten, grünen und blauen Kugeln und Wahrscheinlichkeiten.

Für die Wahrscheinlichkeit für „zwei Kugeln der gleichen Farbe“ ergibt sich:

$Formula: \begin{array}{rlll} \dfrac{5}{15} \cdot \dfrac{4}{14}+\dfrac{5}{15} \cdot \dfrac{4}{14}+\dfrac{5}{15} \cdot \dfrac{4}{14}&=&\dfrac{2}{7}\\[5pt] &\approx&28,6\,\% \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} \dfrac{5}{15} \cdot \dfrac{4}{14}+\dfrac{5}{15} \cdot \dfrac{4}{14}+\dfrac{5}{15} \cdot \dfrac{4}{14}&=&\dfrac{2}{7}\\[5pt] &\approx&28,6\,\% \end{array}$

Die Farbe der ersten Kugel spielt keine Rolle, daher beträgt der erste Faktor $Formula: \tfrac{15}{15}$ $Formula: \tfrac{15}{15}$ statt $Formula: \tfrac{5}{15}.$ $Formula: \tfrac{5}{15}.$

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