Aufgabengruppe 1

Berechne die Funktionsgleichung der Parabel Formula: p_1: y=(x+5,5)^2+1 in der Normalform.

Überprüfe rechnerisch, ob die Punkte $Formula: P(-3 \mid 4)$ $Formula: P(-3 \mid 4)$ und $Formula: Q(0,5 \mid 37)$ $Formula: Q(0,5 \mid 37)$ auf der Parabel Formula: p_1 liegen.

Bestimme die Funktionsgleichung der Parabel Formula: p_2: y=-x^2-9 x-14,25 in der Scheitelpunktform und gib den Scheitelpunkt Formula: S_2 an.

Ermittle rechnerisch die Koordinaten der Schnittpunkte Formula: A und Formula: B der beiden Parabeln Formula: p_1 und Formula: p_2.

Zeichne die Parabeln Formula: p_1 und Formula: p_2 in ein Koordinatensystem mit der Längeneinheit $Formula: 1\;\text{cm}.$ $Formula: 1\;\text{cm}.$

Der Scheitelpunkt einer nach unten geöffneten Parabel Formula: p_3 liegt im dritten Quadranten.

Diese Parabel wird erst an der Formula: x -Achse und dann an der Formula: y -Achse gespiegelt.

Beschreibe nachvollziehbar, in welchem Quadranten der Scheitelpunkt der so entstandenen Parabel Formula: p_4 liegt und in welche Richtung die Parabel geöffnet ist.

9 P

Folgende Gleichungen sind Anwendungen von binomischen Formeln.

Stelle die vollständigen Gleichungen auf und notiere diese.

$Formula: (\text{I})$ $Formula: (\text{I})$	$Formula: (\text{II})$ $Formula: (\text{II})$
 $Formula: -0,55 x^2) \cdot($ $Formula: -0,55 x^2) \cdot($ 	

3 P

Bestimme rechnerisch die Funktionsgleichung der Geraden Formula: g_1, die durch die Punkte $Formula: A(-1 \mid-4,5)$ $Formula: A(-1 \mid-4,5)$ und $Formula: B(4 \mid 3)$ $Formula: B(4 \mid 3)$ verläuft.

Die Gerade Formula: g_3 mit der Funktionsgleichung Formula: 0,5 y=2,5+x steht senkrecht auf der Geraden Formula: g_2.

Berechne zu einer möglichen Geraden Formula: g_2 die Funktionsgleichung in der Normalform und beschreibe dein Vorgehen in Worten.

Gegeben ist die Gerade Formula: g_4 mit der Funktionsgleichung Formula: y=2 x+4.

Formula: N_4 ist der Schnittpunkt der Geraden Formula: g_4 mit der Formula: x -Achse.

Bestimme rechnerisch die Formula: x -Koordinate dieses Punktes und gib Formula: N_4 an.

Zeichne die Geraden Formula: g_1 und Formula: g_4 in ein Koordinatensystem mit der Längeneinheit $Formula: 1\;\text{cm}.$ $Formula: 1\;\text{cm}.$

Begründe in Worten, warum diese beiden Geraden sich schneiden.

Berechne den spitzen Winkel, den die Gerade Formula: g_1 mit der Formula: x -Achse einschließt.

7 P

Gib die Definitionsmenge der folgenden Gleichung an und ermittle rechnerisch die Lösungsmenge.

$Formula: \dfrac{x}{2}+\dfrac{x+7}{2 x-4}=\dfrac{6(x-2)}{16}$ $Formula: \dfrac{x}{2}+\dfrac{x+7}{2 x-4}=\dfrac{6(x-2)}{16}$

4 P

Eine Hohlkugel mit einem Außendurchmesser von $Formula: 3\;\text{m}$ $Formula: 3\;\text{m}$ soll als Dekoration für einen Baumarkt verwendet werden. Sie besteht aus Holz und hat eine Wandstärke von $Formula: 6,4\;\text{cm}.$ $Formula: 6,4\;\text{cm}.$

Die Hohlkugel erhält außen einen farbigen Anstrich.

Berechne den zu streichenden Oberflächeninhalt.

Die Hohlkugel soll von einem Kran auf das Dach des Baumarktes gehoben werden.

Berechne die Masse der Hohlkugel, wenn ein Kubikmeter des verwendeten Holzes $Formula: 755\;\text{kg}$ $Formula: 755\;\text{kg}$ wiegt.

3 P

In der folgenden Skizze stehen die drei parallelen Geraden Formula: g, h und Formula: f senkrecht auf der Geraden Formula: e.

Skizze mit mehreren sich schneidenden Geraden, markierten Punkten und dem Winkel α.

Geometrische Zeichnung mit mehreren sich schneidenden Geraden, markierten Punkten und dem Winkel α.

Die folgenden Aussagen sind richtig oder falsch.

Berichtige die falschen Aussagen und begründe die richtigen.

$Formula: (\text{I})\quad \dfrac{|\overline{ZC}|}{|\overline{ZD}|}=\dfrac{|\overline{ZA}|}{|\overline{AB}|}$ $Formula: (\text{I})\quad \dfrac{|\overline{ZC}|}{|\overline{ZD}|}=\dfrac{|\overline{ZA}|}{|\overline{AB}|}$

$Formula: (\text{II})\quad \sin \alpha=\dfrac{|\overline{BD}|}{|\overline{ZD}|}$ $Formula: (\text{II})\quad \sin \alpha=\dfrac{|\overline{BD}|}{|\overline{ZD}|}$

$Formula: (\text{III})\quad \sphericalangle E F Z=\sphericalangle B D Z$ $Formula: (\text{III})\quad \sphericalangle E F Z=\sphericalangle B D Z$

3 P

Frau Müller legt $Formula: 1000\;\text{€}$ $Formula: 1000\;\text{€}$ an und erhält einen jährlichen Zinssatz von $Formula: 4,9\,\%.$ $Formula: 4,9\,\%.$

Berechne für diesen Fall die Höhe des Kapitals nach einem Anlagezeitraum von vier Jahren.

Ermittle rechnerisch, nach wie vielen Jahren sich das Kapital bei diesem Zinssatz von $Formula: 4,9\,\%$ $Formula: 4,9\,\%$ verdreifacht.

Berechne den jährlichen Zinssatz in Prozent, wenn das Kapital von $Formula: 1000\;\text{€}$ $Formula: 1000\;\text{€}$ innerhalb von fünf Jahren auf $Formula: 1160\;\text{€}$ $Formula: 1160\;\text{€}$ anwächst.

4 P

In einer Tüte befinden sich eine blaue, sieben rote und vier grüne Schokoladenkugeln.

Karl nimmt nacheinander nach dem Zufallsprinzip jeweils eine Kugel heraus und isst sie sofort.

Bestimme die Wahrscheinlichkeit in Prozent, dass die ersten beiden entnommenen Kugeln die gleiche Farbe haben.

Entscheide, ob es möglich ist, dass die elfte entnommene Schokoladenkugel blau ist.

Begründe deine Antwort.

3 P

Berechne die Fläche des Dreiecks Formula: ABC.

Es gilt: $Formula: |\overline{AB}|=3 \mathrm{~cm}$ $Formula: |\overline{AB}|=3 \mathrm{~cm}$ und $Formula: |\overline{CD}|=8 \mathrm{~cm}$ $Formula: |\overline{CD}|=8 \mathrm{~cm}$

Geometrische Skizze eines Dreiecks ABC mit Punkt D auf AC und markierten Winkeln bei B und D.

Hinweis: Skizze nicht maßstabsgetreu.

Dreieck ABC mit Punkt D auf AC und eingezeichneten Winkeln bei B und D.

Hinweis: Skizze nicht maßstabsgetreu.

4 P

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Für die Funktionsgleichung der Parabel Formula: p_1 in der Normalform gilt:

$Formula: \begin{array}{rlll} y&=&(x+5,5)^2+1 \\[5pt] &=&x^2+11 x+30,25+1 \\[5pt] &=&x^2+11 x+31,25 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} y&=&(x+5,5)^2+1 \\[5pt] &=&x^2+11 x+30,25+1 \\[5pt] &=&x^2+11 x+31,25 \end{array}$

Beim Einsetzen von $Formula: P(-3 \mid 4)$ $Formula: P(-3 \mid 4)$ in die Gleichung von Formula: p_1 folgt:

$Formula: \begin{array}{rlll} 4 &=&(-3)^2+11 \cdot(-3)+31,25 \\[5pt] 4 &=& 9-33+31,25 \\[5pt] 4 &=& 7,25 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} 4 &=&(-3)^2+11 \cdot(-3)+31,25 \\[5pt] 4 &=& 9-33+31,25 \\[5pt] 4 &=& 7,25 \end{array}$

$Formula: P(-3 \mid 4)$ $Formula: P(-3 \mid 4)$ liegt somit nicht auf Formula: p_1.

Beim Einsetzen von $Formula: Q(0,5 \mid 37)$ $Formula: Q(0,5 \mid 37)$ in die Gleichung von Formula: p_1 ergibt sich:

$Formula: \begin{array}{rlll} 37 &=&0,5^2+11 \cdot 0,5+31,25 \\[5pt] 37 &=& 0,25+5,5+31,25 \\[5pt] 37&=&37 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} 37 &=&0,5^2+11 \cdot 0,5+31,25 \\[5pt] 37 &=& 0,25+5,5+31,25 \\[5pt] 37&=&37 \end{array}$

$Formula: Q(0,5 \mid 37)$ $Formula: Q(0,5 \mid 37)$ liegt somit auf Formula: p_1.

Für die Funktionsgleichung in der Scheitelpunktform gilt:

$Formula: \begin{array}{rlll} p_2: y&=&-x^2-9 x-14,25 \\[5pt] &=&-\left(x^2+9 x+14,25\right) \\[5pt] &=&-\left(x^2+9 x+4,5^2-4,5^2+14,25\right) \\[5pt] &=&-((x+4,5)^2-6) \\[5pt] &=&-(x+4,5)^2+6 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} p_2: y&=&-x^2-9 x-14,25 \\[5pt] &=&-\left(x^2+9 x+14,25\right) \\[5pt] &=&-\left(x^2+9 x+4,5^2-4,5^2+14,25\right) \\[5pt] &=&-((x+4,5)^2-6) \\[5pt] &=&-(x+4,5)^2+6 \end{array}$

Für den Scheitelpunkt Formula: S_2 folgt:

$Formula: S_2(-4,5 \mid 6)$ $Formula: S_2(-4,5 \mid 6)$

Für das Gleichsetzen der Funktionsgleichungen von Formula: p_1 und Formula: p_2 ergibt sich:

$Formula: \begin{array}{rlll} x^2+11 x+31,25&=&-x^2-9 x-14,25 &\mid\;+x^2 \\[5pt] 2x^2+11x+31,25&=&-9x-14,25 &\mid\;+9x \\[5pt] 2x^2+20x+31,25&=&-14,25 &\mid\;+14,25 \\[5pt] 2x^2+20x+45,5&=&0 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} x^2+11 x+31,25&=&-x^2-9 x-14,25 &\mid\;+x^2 \\[5pt] 2x^2+11x+31,25&=&-9x-14,25 &\mid\;+9x \\[5pt] 2x^2+20x+31,25&=&-14,25 &\mid\;+14,25 \\[5pt] 2x^2+20x+45,5&=&0 \end{array}$

Mit der Formula: abc -Formel folgt:

$Formula: \begin{array}{rlll} x_{1 ;2}&=&\dfrac{-20 \pm \sqrt{20^2-4\cdot2\cdot45,5}}{2\cdot2} \\[5pt] x_{1 ;2}&=&\dfrac{-20 \pm \sqrt{36}}{2\cdot2} \\[5pt] x_{1 ;2}&=&-5 \pm 1,5 \\[5pt] x_1&=&-5+1,5 \\[5pt] &=&-3,5 \\[5pt] x_2&=&-5-1,5 \\[5pt] &=&-6,5 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} x_{1 ;2}&=&\dfrac{-20 \pm \sqrt{20^2-4\cdot2\cdot45,5}}{2\cdot2} \\[5pt] x_{1 ;2}&=&\dfrac{-20 \pm \sqrt{36}}{2\cdot2} \\[5pt] x_{1 ;2}&=&-5 \pm 1,5 \\[5pt] x_1&=&-5+1,5 \\[5pt] &=&-3,5 \\[5pt] x_2&=&-5-1,5 \\[5pt] &=&-6,5 \end{array}$

Einsetzen von Formula: x_1=-3,5 in die Funktionsgleichung von Formula: p_1 liefert:

$Formula: \begin{array}{rlll} y_1&=&(-3,5)^2+11 \cdot(-3,5)+31,25 \\[5pt] &=&5 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} y_1&=&(-3,5)^2+11 \cdot(-3,5)+31,25 \\[5pt] &=&5 \end{array}$

Daraus ergibt sich $Formula: A(-3,5 \mid 5).$ $Formula: A(-3,5 \mid 5).$

Formula: x_2 Einsetzen von Formula: x_2=-6,5 in die Funktionsgleichung von Formula: p_1 liefert:

$Formula: \begin{array}{rlll} y_2&=&(-6,5)^2+11 \cdot(-6,5)+31,25 \\[5pt] &=&2 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} y_2&=&(-6,5)^2+11 \cdot(-6,5)+31,25 \\[5pt] &=&2 \end{array}$

Es folgt $Formula: B(-6,5 \mid 2).$ $Formula: B(-6,5 \mid 2).$

Koordinatensystem mit zwei Parabeln p₁ und p₂ sowie den Scheitelpunkten S₁ und S₂.

Die Parabel Formula: p_3 ist nach unten geöffnet und ihr Scheitelpunkt liegt im dritten Quadranten. Wird an der Formula: x -Achse gespiegelt, liegt der Scheitelpunkt im zweiten Quadranten und die Parabel ist nach oben geöffnet. Durch die anschließende Spiegelung an der Formula: y -Achse liegt der Scheitelpunkt im ersten Quadranten und die Parabel bleibt nach oben geöffnet.

Mit der Formula: 3. binomischen Formel folgt für $Formula: (\text{I}):$ $Formula: (\text{I}):$

$Formula: 0,0625 y^6-0,3025 x^4=\left(0,25 y^3-0,55 x^2\right) \cdot\left(0,25 y^3+0,55 x^2\right)$ $Formula: 0,0625 y^6-0,3025 x^4=\left(0,25 y^3-0,55 x^2\right) \cdot\left(0,25 y^3+0,55 x^2\right)$

Mit der Formula: 2. binomischen Formel gilt für $Formula: (\text{II}):$ $Formula: (\text{II}):$

$Formula: 100 a^4-8 a^2 d^3+0,16 d^6=\left(10 a^2-0,4 d^3\right)^2$ $Formula: 100 a^4-8 a^2 d^3+0,16 d^6=\left(10 a^2-0,4 d^3\right)^2$

Für die Steigung Formula: m folgt mit den Punkten Formula: A und Formula: B:

$Formula: \begin{array}{rlll} m_1&=&\dfrac{3-(-4,5)}{4-(-1)} \\[5pt] &=&\dfrac{7,5}{5} \\[5pt] &=&1,5 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} m_1&=&\dfrac{3-(-4,5)}{4-(-1)} \\[5pt] &=&\dfrac{7,5}{5} \\[5pt] &=&1,5 \end{array}$

Für den Formula: y -Achsenabschnitt gilt:

$Formula: \begin{array}{rlll} y&=&m_1 \cdot x+t_1 \\[5pt] 3&=&1,5 \cdot 4+t_1 \\[5pt] 3&=&6+t_1 &\mid\;-6 \\[5pt] -3&=&t_1 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} y&=&m_1 \cdot x+t_1 \\[5pt] 3&=&1,5 \cdot 4+t_1 \\[5pt] 3&=&6+t_1 &\mid\;-6 \\[5pt] -3&=&t_1 \end{array}$

Daraus ergibt sich:

Formula: g_1: y=1,5 x-3

Für die Umformung von Formula: g_3 folgt:

Formula: g_3:y=2 x+5

Die Steigung von ist Formula: m_3=2. Für eine Gerade die zu dieser senkrecht ist gilt somit:

Formula: m_2=-0,5

Eine mögliche Gerade ist somit Formula: g_2: y=-0,5 x.

Am Schnittpunkt mit der Formula: x -Achse gilt Formula: y=0. Es folgt:

$Formula: \begin{array}{rlll} 0&=&2 x+4 &\mid\;-4\\[5pt] -4&=&2x &\mid\;:2\\[5pt] -2&=&x \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} 0&=&2 x+4 &\mid\;-4\\[5pt] -4&=&2x &\mid\;:2\\[5pt] -2&=&x \end{array}$

Somit gilt:

$Formula: N_4(-2 \mid 0)$ $Formula: N_4(-2 \mid 0)$

Koordinatensystem mit zwei parallelen Geraden g₁ und g₄, Steigungsdreiecken und markiertem Winkel α.

Für die Berechnung des spitzen Winkels der Geraden Formula: g_1 mit der Formula: x -Achse kann ein Dreieck betrachtet werden, welches mit der -Achse einschließt. Da die Steigung von genau Formula: 1,5 ist, beträgt die Länge der Gegenkathete des Winkels im Steigungsdreieck $Formula: 1,5\;\text{cm}$ $Formula: 1,5\;\text{cm}$ und die Länge der Ankathete $Formula: 1\;\text{cm}.$ $Formula: 1\;\text{cm}.$
Somit folgt für den spitzen Winkel $Formula: \alpha:$ $Formula: \alpha:$

$Formula: \begin{array}{rlll} \tan \alpha&=&\dfrac{1,5 \mathrm{~cm}}{1 \mathrm{~cm}} \\[5pt] \tan \alpha&=&1,5 &\mid\;\tan^{-1} \\[5pt] \alpha&\approx&56^{\circ} \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} \tan \alpha&=&\dfrac{1,5 \mathrm{~cm}}{1 \mathrm{~cm}} \\[5pt] \tan \alpha&=&1,5 &\mid\;\tan^{-1} \\[5pt] \alpha&\approx&56^{\circ} \end{array}$

Es gilt:

$Formula: \begin{array}{rlll} 2x-4&\neq&0 &\mid\;+4 \\[5pt] 2x&\neq&4 &\mid\;:2 \\[5pt] x&\neq&2 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} 2x-4&\neq&0 &\mid\;+4 \\[5pt] 2x&\neq&4 &\mid\;:2 \\[5pt] x&\neq&2 \end{array}$

Damit folgt:

$Formula: \mathrm{D}=\mathbb{R} \setminus\{2\}$ $Formula: \mathrm{D}=\mathbb{R} \setminus\{2\}$

Für die Lösungsmenge ergibt sich:

$Formula: \begin{array}{rlll} \dfrac{x}{2}+\dfrac{x+7}{2 x-4}&=&\dfrac{6(x-2)}{16}&\mid\;\cdot 16(2x-4) \\[5pt] x \cdot 8(2 x-4)+(x+7) \cdot 16&=&6(x-2)(2 x-4) \\[5pt] 16 x^2-16 x+112&=&12 x^2-48 x+48 &\mid\;-12x^2 \\[5pt] 4x^2-16x+112&=&-48x+48 &\mid\;+48x \\[5pt] 4x^2+32x+112&=&48 &\mid\;-48 \\[5pt] 4x^2+32x+64&=&0 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} \dfrac{x}{2}+\dfrac{x+7}{2 x-4}&=&\dfrac{6(x-2)}{16}&\mid\;\cdot 16(2x-4) \\[5pt] x \cdot 8(2 x-4)+(x+7) \cdot 16&=&6(x-2)(2 x-4) \\[5pt] 16 x^2-16 x+112&=&12 x^2-48 x+48 &\mid\;-12x^2 \\[5pt] 4x^2-16x+112&=&-48x+48 &\mid\;+48x \\[5pt] 4x^2+32x+112&=&48 &\mid\;-48 \\[5pt] 4x^2+32x+64&=&0 \end{array}$

Mit der Formula: abc -Formel folgt:

$Formula: \begin{array}{rlll} x_{1 ; 2}&=&\dfrac{-32\pm \sqrt{32^2-4\cdot4\cdot64}}{2\cdot4} \\[5pt] x_{1 ; 2}&=&\dfrac{-32\pm 0}{8} \\[5pt] x_{1 ; 2}&=&4 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} x_{1 ; 2}&=&\dfrac{-32\pm \sqrt{32^2-4\cdot4\cdot64}}{2\cdot4} \\[5pt] x_{1 ; 2}&=&\dfrac{-32\pm 0}{8} \\[5pt] x_{1 ; 2}&=&4 \end{array}$

Somit gilt:

$Formula: \mathrm{L}=\{-4\}$ $Formula: \mathrm{L}=\{-4\}$

Für den Oberflächeninhalt der Kugel folgt:

$Formula: \begin{array}{rlll} O&=&4\cdot r^2 \cdot \pi \\[5pt] &=&d^2 \cdot \pi \\[5pt] &\approx&(3 \mathrm{~m})^2 \cdot 3,14 \\[5pt] &\approx&28,26\;\text{m}^2 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} O&=&4\cdot r^2 \cdot \pi \\[5pt] &=&d^2 \cdot \pi \\[5pt] &\approx&(3 \mathrm{~m})^2 \cdot 3,14 \\[5pt] &\approx&28,26\;\text{m}^2 \end{array}$

Für das Volumen der äußeren Kugel ergibt sich:

$Formula: \begin{array}{rlll} V_{\text {außen }}&=&\dfrac{4}{3}r^3 \cdot \pi \\[5pt] &\approx&\dfrac{4}{3} \cdot(1,5 \mathrm{~m})^3 \cdot 3,14 \\[5pt] &\approx&14,13\;\text{m}^3 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} V_{\text {außen }}&=&\dfrac{4}{3}r^3 \cdot \pi \\[5pt] &\approx&\dfrac{4}{3} \cdot(1,5 \mathrm{~m})^3 \cdot 3,14 \\[5pt] &\approx&14,13\;\text{m}^3 \end{array}$

Für den Radius der inneren Kugel gilt:

$Formula: \begin{array}{rlll} r_{\text {innen }}&=&1,5 \mathrm{~m}-0,064 \mathrm{~m} \\[5pt] &=&1,436\;\text{m} \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} r_{\text {innen }}&=&1,5 \mathrm{~m}-0,064 \mathrm{~m} \\[5pt] &=&1,436\;\text{m} \end{array}$

Daraus ergibt sich für das Volumen:

$Formula: \begin{array}{rlll} V_{\text{innen}}&=&\dfrac{4}{3} r^3 \cdot \pi \\[5pt] &\approx&\dfrac{4}{3} \cdot(1,436 \mathrm{~m})^3 \cdot 3,14 \\[5pt] &\approx&12,4\;\text{m}^3 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} V_{\text{innen}}&=&\dfrac{4}{3} r^3 \cdot \pi \\[5pt] &\approx&\dfrac{4}{3} \cdot(1,436 \mathrm{~m})^3 \cdot 3,14 \\[5pt] &\approx&12,4\;\text{m}^3 \end{array}$

Für das Holzvolumen folgt:

$Formula: \begin{array}{rlll} V_{\text {Holz}}&=&V_{\text {außen }}-V_{\text {innen }} \\[5pt] &=&14,13 \mathrm{~m}^3-12,4 \mathrm{~m}^3 \\[5pt] &=&1,73\;\text{m}^3 \\[5pt] &\approx&1,7\;\text{m}^3 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} V_{\text {Holz}}&=&V_{\text {außen }}-V_{\text {innen }} \\[5pt] &=&14,13 \mathrm{~m}^3-12,4 \mathrm{~m}^3 \\[5pt] &=&1,73\;\text{m}^3 \\[5pt] &\approx&1,7\;\text{m}^3 \end{array}$

Für die Masse der Hohlkugel gilt somit:

$Formula: \begin{array}{rlll} m&=&1,7 \mathrm{~m}^3 \cdot 755 \;\dfrac{\mathrm{~kg}}{\mathrm{~m}^3} \\[5pt] &\approx&1\,284\mathrm{~kg} \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} m&=&1,7 \mathrm{~m}^3 \cdot 755 \;\dfrac{\mathrm{~kg}}{\mathrm{~m}^3} \\[5pt] &\approx&1\,284\mathrm{~kg} \end{array}$

Bei $Formula: (\text{I})$ $Formula: (\text{I})$ gilt:

$Formula: \dfrac{|\overline{ZC}|}{|\overline{ZD}|}\neq \dfrac{|\overline{ZA}|}{|\overline{AB}|}$ $Formula: \dfrac{|\overline{ZC}|}{|\overline{ZD}|}\neq \dfrac{|\overline{ZA}|}{|\overline{AB}|}$

Die Aussage ist falsch, nach den Strahlensätzen muss $Formula: \overline{AB}$ $Formula: \overline{AB}$ eigentlich $Formula: \overline{ZB}$ $Formula: \overline{ZB}$ sein. Somit gilt:

$Formula: \dfrac{|\overline{ZC}|}{|\overline{ZD}|}=\dfrac{|\overline{ZA}|}{|\overline{ZB}|}$ $Formula: \dfrac{|\overline{ZC}|}{|\overline{ZD}|}=\dfrac{|\overline{ZA}|}{|\overline{ZB}|}$

Für $Formula: (\text{II})$ $Formula: (\text{II})$ ergibt sich:

Die Aussage ist richtig, da im rechtwinkligen Dreieck Formula: ZDB die Strecke $Formula: \overline{BD}$ $Formula: \overline{BD}$ die Gegenkathete zum Winkel $Formula: \alpha$ $Formula: \alpha$ und die Strecke $Formula: \overline{ZD}$ $Formula: \overline{ZD}$ die Hypotenuse ist.

Für $Formula: (\text{III})$ $Formula: (\text{III})$ folgt:

Die Aussage ist richtig, da in ähnlichen Dreiecken die Original- und Bildwinkel gleich groß sind.

Für das Kapital nach Formula: 4 Jahren gilt:

$Formula: \begin{array}{rlll} K_4&=&1000\;\text{€} \cdot 1,049^4 \\[5pt] &\approx&1210,88\;\text{€} \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} K_4&=&1000\;\text{€} \cdot 1,049^4 \\[5pt] &\approx&1210,88\;\text{€} \end{array}$

Für die Anzahl der Jahre, bis sich das Kapital verdreifacht hat, folgt:

$Formula: \begin{array}{rlll} 3000\;\text{€}&=&1000\;\text{€} \cdot 1,049^n&\mid\;:1000\;\text{€} \\[5pt] 3&=&1,049^n &\mid\;\log_{1,049} \\[5pt] \log _{1,049} (3)&=&n \\[5pt] 23&\approx&n \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} 3000\;\text{€}&=&1000\;\text{€} \cdot 1,049^n&\mid\;:1000\;\text{€} \\[5pt] 3&=&1,049^n &\mid\;\log_{1,049} \\[5pt] \log _{1,049} (3)&=&n \\[5pt] 23&\approx&n \end{array}$

Für den Wachstumsfaktor gilt:

$Formula: \begin{array}{rlll} 1160\;\text{€}&=&1000 \;\text{€} \cdot q^5&\mid\;:1000\;\text{€} \\[5pt] 1,16&=&q^5 &\mid\;\sqrt[5]{ \;} \\[5pt] 1,03012&\approx&q \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} 1160\;\text{€}&=&1000 \;\text{€} \cdot q^5&\mid\;:1000\;\text{€} \\[5pt] 1,16&=&q^5 &\mid\;\sqrt[5]{ \;} \\[5pt] 1,03012&\approx&q \end{array}$

Für den Zinssatz ergibt sich:

$Formula: \begin{array}{rlll} 1,03012&=&1+p&\mid\; -1\\[5pt] 0,03012&=&p \\[5pt] \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} 1,03012&=&1+p&\mid\; -1\\[5pt] 0,03012&=&p \\[5pt] \end{array}$

In Prozent gilt:

$Formula: \begin{array}{rlll} 0,03012\cdot 100\,\%&=&p\,\% \\[5pt] 3,01\,\%&\approx&p\,\% \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} 0,03012\cdot 100\,\%&=&p\,\% \\[5pt] 3,01\,\%&\approx&p\,\% \end{array}$

Für die Wahrscheinlichkeiten für die gleiche Farbe der ersten zwei Kugeln folgt:

$Formula: \begin{array}{rlll} p(r; r)&=&\dfrac{7}{12} \cdot \dfrac{6}{11} \\[5pt] &=&\dfrac{7}{22} \\[5pt] p(g; g)&=&\dfrac{4}{12} \cdot \dfrac{3}{11} \\[5pt] &=&\dfrac{1}{11} \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} p(r; r)&=&\dfrac{7}{12} \cdot \dfrac{6}{11} \\[5pt] &=&\dfrac{7}{22} \\[5pt] p(g; g)&=&\dfrac{4}{12} \cdot \dfrac{3}{11} \\[5pt] &=&\dfrac{1}{11} \end{array}$

Somit gilt:

$Formula: \begin{array}{rlll} p{\text{(gleiche Farbe)}}&=&\dfrac{7}{22}+\dfrac{1}{11} \\[5pt] &=&\dfrac{9}{22} \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} p{\text{(gleiche Farbe)}}&=&\dfrac{7}{22}+\dfrac{1}{11} \\[5pt] &=&\dfrac{9}{22} \end{array}$

Für die Wahrscheinlichkeit in Prozent folgt:

$Formula: \begin{array}{rlll} p \,\%&=&\dfrac{9}{22} \cdot 100 \,\% \\[5pt] &\approx&40,9 \,\% \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} p \,\%&=&\dfrac{9}{22} \cdot 100 \,\% \\[5pt] &\approx&40,9 \,\% \end{array}$

Ja, das ist möglich. Die blaue Kugel kann bis zur elften Ziehung in der Tüte bleiben, wenn vorher zehn der insgesamt elf roten und grünen Kugeln gezogen werden.

Für die Länge der Strecke $Formula: \overline{AD}$ $Formula: \overline{AD}$ ergibt sich:

$Formula: \begin{array}{rlll} |\overline{AB}|^2&=&|\overline{AC}| \cdot|\overline{AD}| \\[5pt] |\overline{AB}|^2&=&(|\overline{AD}|+|\overline{CD}|) \cdot|\overline{AD}| \\[5pt] 3^2&=&|\overline{AD}|^2+8 \mathrm{~cm} \cdot|\overline{AD}| &\mid\;-9 \\[5pt] 0&=&|\overline{AD}|^2+8 \mathrm{~cm} \cdot|\overline{AD}|-9 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} |\overline{AB}|^2&=&|\overline{AC}| \cdot|\overline{AD}| \\[5pt] |\overline{AB}|^2&=&(|\overline{AD}|+|\overline{CD}|) \cdot|\overline{AD}| \\[5pt] 3^2&=&|\overline{AD}|^2+8 \mathrm{~cm} \cdot|\overline{AD}| &\mid\;-9 \\[5pt] 0&=&|\overline{AD}|^2+8 \mathrm{~cm} \cdot|\overline{AD}|-9 \end{array}$

Mit $Formula: |\overline{AD}|= x$ $Formula: |\overline{AD}|= x$ folgt:

Formula: x^2+8 x-9=0

Daraus folgt mit der Formula: abc -Formel:

$Formula: \begin{array}{rlll} x_{1 ; 2}&=&\dfrac{-8 \pm \sqrt{8^2-4\cdot1\cdot(-9)}}{2\cdot1} \\[5pt] &=&\dfrac{-8 \pm \sqrt{100}}{2} \\[5pt] &=&-4 \pm 5 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} x_{1 ; 2}&=&\dfrac{-8 \pm \sqrt{8^2-4\cdot1\cdot(-9)}}{2\cdot1} \\[5pt] &=&\dfrac{-8 \pm \sqrt{100}}{2} \\[5pt] &=&-4 \pm 5 \end{array}$

Damit folgt:

$Formula: \begin{array}{rlll} x_1&=&-4-5 \\[5pt] &=&-9 \\[5pt] x_2&=&-4+5 \\[5pt] &=&1 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} x_1&=&-4-5 \\[5pt] &=&-9 \\[5pt] x_2&=&-4+5 \\[5pt] &=&1 \end{array}$

Da nur positive Längen existieren können, gilt somit:

$Formula: |\overline{AD}|=1 \mathrm{~cm}$ $Formula: |\overline{AD}|=1 \mathrm{~cm}$

Für die Länge der Strecke $Formula: \overline{BC}$ $Formula: \overline{BC}$ folgt:

$Formula: \begin{array}{rlll} |\overline{AB}|^2+|\overline{BC}|^2&=&|\overline{AC}|^2 \\[5pt] (3 \mathrm{~cm})^2+|\overline{BC}|^2&=&(9 \mathrm{~cm})^2 &\mid\;-(3\;\text{cm})^2 \\[5pt] |\overline{BC}|^2&=&81 \mathrm{~cm}^2-9 \mathrm{~cm}^2 \\[5pt] |\overline{BC}|^2&=&72 \mathrm{~cm}^2 &\mid\;\sqrt{\;} \\[5pt] |\overline{BC}|&\approx&8,5\;\text{cm} \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} |\overline{AB}|^2+|\overline{BC}|^2&=&|\overline{AC}|^2 \\[5pt] (3 \mathrm{~cm})^2+|\overline{BC}|^2&=&(9 \mathrm{~cm})^2 &\mid\;-(3\;\text{cm})^2 \\[5pt] |\overline{BC}|^2&=&81 \mathrm{~cm}^2-9 \mathrm{~cm}^2 \\[5pt] |\overline{BC}|^2&=&72 \mathrm{~cm}^2 &\mid\;\sqrt{\;} \\[5pt] |\overline{BC}|&\approx&8,5\;\text{cm} \end{array}$

Für den Flächeninhalt des Dreiecks Formula: ABC ergibt sich:

$Formula: \begin{array}{rlll} A&=&\dfrac{|\overline{BC}| \cdot|\overline{AB}|}{2} \\[5pt] &=&\dfrac{8,5 \mathrm{~cm} \cdot 3 \mathrm{~cm}}{2} \\[5pt] &=&12,75\;\text{cm}^2 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} A&=&\dfrac{|\overline{BC}| \cdot|\overline{AB}|}{2} \\[5pt] &=&\dfrac{8,5 \mathrm{~cm} \cdot 3 \mathrm{~cm}}{2} \\[5pt] &=&12,75\;\text{cm}^2 \end{array}$

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