Aufgabengruppe 2

Die Gerade Formula: g_1 verläuft durch den Punkt $Formula: A(1,5\mid-4)$ $Formula: A(1,5\mid-4)$ und hat die Steigung Formula: m_1=-2.

Berechne die Funktionsgleichung von Formula: g_1.

Die Gerade Formula: g_2 verläuft durch die Punkte $Formula: B(1,5 \mid 3)$ $Formula: B(1,5 \mid 3)$ und $Formula: C(4 \mid-2).$ $Formula: C(4 \mid-2).$

Überprüfe, ob die Geraden Formula: g_2 und Formula: g_1 parallel zueinander sind.

Die Gerade Formula: g_3: 4+2y-2x=2 x schneidet die Gerade Formula: g_4: y=-1,5 x+5 im Punkt Formula: D.

Ermittle rechnerisch die Koordinaten des Schnittpunkts Formula: D.

Die Gerade $Formula: g_5: y=\tfrac{5}{2} x-\tfrac{5}{2}$ $Formula: g_5: y=\tfrac{5}{2} x-\tfrac{5}{2}$ schneidet die Formula: x -Achse im Punkt Formula: N.

Berechne die Formula: x -Koordinate von Formula: N.

Zeichne die Geraden Formula: g_4 und Formula: g_5 in ein Koordinatensystem mit der Längeneinheit $Formula: 1\;\text{cm}.$ $Formula: 1\;\text{cm}.$

Die Gerade Formula: g_6 steht senkrecht auf Formula: g_5 und hat den Formula: y -Achsenabschnitt Formula: t_6=4. Gib die Funktionsgleichung von an.

7 P

Gib die Definitionsmenge der folgenden Gleichung an und ermittle die Lösungsmenge rechnerisch.

$Formula: \dfrac{(x+3)^2}{x-1}=\dfrac{14 x-6}{4}$ $Formula: \dfrac{(x+3)^2}{x-1}=\dfrac{14 x-6}{4}$

4 P

Die Halbwertszeit des radioaktiven Elements Actinium- Formula: 227 beträgt Formula: 21,8 Jahre.

Berechne die Masse von Actinium- Formula: 227, die von ursprünglich $Formula: 32\;\text{mg}$ $Formula: 32\;\text{mg}$ nach Formula: 10 Jahren noch vorhanden ist.

Berechne, nach wie vielen Jahren von ursprünglich $Formula: 2\;\text{g}$ $Formula: 2\;\text{g}$ Actinium- Formula: 227 noch $Formula: 0,125\;\text{g}$ $Formula: 0,125\;\text{g}$ vorhanden sind.

Nach Formula: 150 Jahren sind von einer ursprünglichen Masse Actinium- Formula: 227 noch $Formula: 10\;\text{mg}$ $Formula: 10\;\text{mg}$ vorhanden.

Ermittle rechnerisch die ursprüngliche Masse.

5 P

Bei einem Haus mit der Breite $Formula: 9,4 \mathrm{~m}$ $Formula: 9,4 \mathrm{~m}$ beträgt der Winkel $Formula: \alpha$ $Formula: \alpha$ zwischen Dachbalken und Wand $Formula: 62^{\circ}.$ $Formula: 62^{\circ}.$ Der Dachbalken ragt $Formula: 0,8 \mathrm{~m}$ $Formula: 0,8 \mathrm{~m}$ über die Hausmauer hinaus (siehe Abbildung).

Berechne die Länge Formula: b.

Skizze eines Hauses mit Dachmaßen und Winkelangaben, Grundseite 9,4 m und Dachlänge b.

Hinweis: Skizze nicht maßstabsgetreu

2 P

Die Parabel Formula: p_1 hat die Funktionsgleichung Formula: y=x^2-4 x+3.

Bestimme rechnerisch die Koordinaten des Scheitelpunkts Formula: S_1.

Die Parabel Formula: p_1 schneidet die Formula: x -Achse in den Punkten Formula: N_1 und Formula: N_2.

Berechne die Formula: x -Koordinaten von Formula: N_1 und Formula: N_2.

Die Gerade Formula: g: y=x-1 schneidet die Parabel Formula: p_1 in den Punkten Formula: A und Formula: B.

Bestimme rechnerisch die Koordinaten von Formula: A und Formula: B.

Die Punkte $Formula: C(-3 \mid 2)$ $Formula: C(-3 \mid 2)$ und $Formula: D(1 \mid 2)$ $Formula: D(1 \mid 2)$ liegen auf der nach oben geöffneten Normalparabel Formula: p_2.

Ermittle rechnerisch die Funktionsgleichung von Formula: p_2 in der Normalform.

Zeichne die Graphen von Formula: p_2 und Formula: p_3: y=-(x+1)^2+3 in ein Koordinatensystem mit der Längeneinheit $Formula: 1\;\text{cm}.$ $Formula: 1\;\text{cm}.$

Begründe nachvollziehbar, dass der Punkt $Formula: E(9 \mid-103)$ $Formula: E(9 \mid-103)$ nicht auf der Parabel Formula: p_3 liegt.

8 P

Die in der Aufgabe genannten Gleichungen sind Anwendungen von binomischen Formeln.

Stelle die vollständige Gleichung auf und notiere diese auf deinem Lösungsblatt.

Formula: (  Formula: -7 a)^2=36 c^2 d^2-  Formula: +49 a^2

Ersetze die Platzhalter durch sechs der acht gegebenen Terme so, dass eine korrekte Gleichung entsteht und notiere diese auf deinem Lösungsblatt.

Formula: 5 x^2

Formula: 4 y^8

Formula: 5 y^2

Formula: 5 x^2

Formula: 4 y^4

Formula: 2 y^4

Formula: 25 x^4

Formula: 2 y^4

Formula: (  Formula: +  Formula: )(  Formula: -  Formula: )= 

2 P

Zwei Freikarten für ein Basketballspiel werden unter Formula: 15 Teammitgliedern einer Basketball-AG verlost. Dazu schreibt jedes der Mitglieder seinen Namen auf einen Zettel und gibt diesen in einen gemeinsamen Lostopf. Anschließend werden nacheinander zwei Zettel nach dem Zufallsprinzip gezogen und nicht wieder zurückgelegt.

Die Teammitglieder Moritz und Tugba überlegen sich, wie groß die Wahrscheinlichkeit ist, Karten zu erhalten.

Sie unterscheiden bei ihren Überlegungen zwischen den drei Ergebnissen „Moritz“ Formula: (M), „Tugba“ Formula: (T) und „Alle anderen Teammitglieder“ Formula: (A).

Zeichne passend zu den Überlegungen der beiden ein Baumdiagramm und beschrifte die Äste mit den jeweiligen Wahrscheinlichkeiten.

Ermittle durch Rechnung die Wahrscheinlichkeit dafür, dass mindestens einer der beiden eine Freikarte erhält.

Tugba behauptet: „Die Wahrscheinlichkeit, dass wir beide die zwei Karten gewinnen, liegt unter einem Prozent.“

Beurteile diese Aussage.

4 P

Im abgebildeten Dreieck Formula: ABC gilt:

$Formula: |\overline{AE}|=9,67 \mathrm{~cm}\quad$ $Formula: |\overline{AE}|=9,67 \mathrm{~cm}\quad$ und $Formula: \quad|\overline{AB}|=12,70 \mathrm{~cm}$ $Formula: \quad|\overline{AB}|=12,70 \mathrm{~cm}$

Berechne die Längen der Strecken, die du für eine Umfangsberechnung des Dreiecks Formula: ABC benötigst.

Geometrische Skizze mit Dreieck ACB, Punkt E und eingezeichneten Hilfslinien sowie rechten Winkeln.

Hinweis: Skizze nicht maßstabsgetreu

2 P

Das Spielfeld eines Brettspiels besteht aus Formula: 19 regelmäßigen Sechsecken. Jedes dieser Sechsecke hat eine Seitenlänge von $Formula: a=4,5 \mathrm{~cm}.$ $Formula: a=4,5 \mathrm{~cm}.$ Für eine Verkaufsmesse sollen das Spielfeld, die Würfel und die Figuren um den Streckungsfaktor Formula: k=4 vergrößert werden.

Die Mitarbeitenden des Herstellers unterhalten sich und machen folgende Aussagen:

$Formula: (\text{I})$ $Formula: (\text{I})$	„Die vergrößerte Seitenlänge eines Sechsecks beträgt $Formula: 20\;\text{cm}.$ $Formula: 20\;\text{cm}.$ “
$Formula: (\text{II})$ $Formula: (\text{II})$	„Der Flächeninhalt des vergrößerten Spielfelds ist -mal so groß wie der Flächeninhalt des ursprünglichen Spielfelds.“
$Formula: (\text{III})$ $Formula: (\text{III})$	„Der ursprüngliche Würfel hat eine Kantenlänge von $Formula: 2\;\text{cm}$ $Formula: 2\;\text{cm}$ und somit ein Volumen von $Formula: 8\;\text{cm}^3.$ $Formula: 8\;\text{cm}^3.$ Dann hat der vergrößerte Würfel ein Volumen von $Formula: 32\;\text{cm}^3.$ $Formula: 32\;\text{cm}^3.$ “

Begründe, ob die jeweiligen Aussagen wahr oder falsch sind.

3 P

Ein Körper besteht aus einer Halbkugel und einem Kegel, der zentral auf die Kreisfläche der Halbkugel aufgesetzt wurde (siehe Abbildung).

Der Kreisflächeninhalt der Halbkugel beträgt $Formula: 132,75\;\text{cm}^2.$ $Formula: 132,75\;\text{cm}^2.$ Die Halbkugel und der Kegel haben das gleiche Volumen.

Berechne das Volumen des Körpers und den grau eingefärbten Oberflächeninhalt der Halbkugel.

Kegel und Halbkugel als geometrische Form.

Hinweis: Abbildung nicht maßstabsgetreu

3 P

40 P

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Der Punkt $Formula: A(1,5 \mid-4)$ $Formula: A(1,5 \mid-4)$ und Formula: m_1=-2 wird in Formula: y=m x+b eingesetzt. Es folgt:

$Formula: \begin{array}{rlll} -4&=&-2 \cdot 1,5+b \\[5pt] -4&=&-3+b &\mid\;+3 \\[5pt] -1&=&b \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} -4&=&-2 \cdot 1,5+b \\[5pt] -4&=&-3+b &\mid\;+3 \\[5pt] -1&=&b \end{array}$

Somit gilt:

Formula: g_1: y=-2 x-1

Zur Überprüfung der Steigung folgt:

$Formula: \begin{array}{rlll} m_2&=&\dfrac{-2-3}{4-1,5}\\[5pt] &=&-2 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} m_2&=&\dfrac{-2-3}{4-1,5}\\[5pt] &=&-2 \end{array}$

Da Formula: m_1=m_2 gilt, sind Formula: g_1 und Formula: g_2 parallel zueinander.

Für die Normalform von Formula: g_3 ergibt sich:

Formula: g_3: y=2 x-2

Gleichsetzen der Gleichungen der Geraden Formula: g_2 und Formula: g_3 liefert:

$Formula: \begin{array}{rlll} 2 x-2&=&-1,5 x+5 &\mid\;+1,5x \\[5pt] 3,5x-2&=&5 &\mid\;+2 \\[5pt] 3,5x&=&7 &\mid\;:3,5 \\[5pt] x&=&2 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} 2 x-2&=&-1,5 x+5 &\mid\;+1,5x \\[5pt] 3,5x-2&=&5 &\mid\;+2 \\[5pt] 3,5x&=&7 &\mid\;:3,5 \\[5pt] x&=&2 \end{array}$

Mit Formula: x=2 folgt für Formula: y :

$Formula: \begin{array}{rlll} y&=&2 \cdot 2-2\\[5pt] &=&2 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} y&=&2 \cdot 2-2\\[5pt] &=&2 \end{array}$

Somit gilt:

$Formula: D(2 \mid 2)$ $Formula: D(2 \mid 2)$

Auf der Formula: x -Achse gilt Formula: y=0. Damit ergibt sich:

$Formula: \begin{array}{rlll} 0&=&\dfrac{5}{2} x-\dfrac{5}{2} &\mid\;+\dfrac{5}{2}\\[5pt] \dfrac{5}{2}&=&\dfrac{5}{2} x &\mid\;:\dfrac{5}{2}\\[5pt] 1&=&x \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} 0&=&\dfrac{5}{2} x-\dfrac{5}{2} &\mid\;+\dfrac{5}{2}\\[5pt] \dfrac{5}{2}&=&\dfrac{5}{2} x &\mid\;:\dfrac{5}{2}\\[5pt] 1&=&x \end{array}$

Somit folgt:

$Formula: N(1 \mid 0)$ $Formula: N(1 \mid 0)$

Koordinatensystem mit zwei sich schneidenden Geraden.

Für die Steigung von Formula: g_5 gilt:

$Formula: m_5=\dfrac{5}{2}$ $Formula: m_5=\dfrac{5}{2}$

Die Steigung einer senkrechten Geraden ist der negative Kehrwert. Somit folgt:

$Formula: m_6=-\dfrac{2}{5}$ $Formula: m_6=-\dfrac{2}{5}$

Mit Formula: t_6=4 ergibt sich:

$Formula: g_6: y=-\dfrac{2}{5} x+4$ $Formula: g_6: y=-\dfrac{2}{5} x+4$

Es gilt:

$Formula: \begin{array}{rlll} x-1 &\neq& 0&\mid\;+1 \\[5pt] x &\neq& 1 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} x-1 &\neq& 0&\mid\;+1 \\[5pt] x &\neq& 1 \end{array}$

Damit folgt:

$Formula: D=\mathbb{R} \setminus\{1\}$ $Formula: D=\mathbb{R} \setminus\{1\}$

Für die Lösungsmenge ergibt sich:

$Formula: \begin{array}{rlll} \dfrac{(x+3)^2}{x-1}&=&\dfrac{14 x-6}{4} &\mid\;\cdot 4(x-1)\\[5pt] 4(x+3)^2&=&(14 x-6)(x-1) \\[5pt] 4 x^2+24 x+36&=&14 x^2-20 x+6 &\mid\;-14x^2 \\[5pt] -10x^2+24x+36&=&-20x+6 &\mid\;+20x \\[5pt] -10x^2+44x+36&=&6 &\mid\;-6 \\[5pt] -10x^2+44x+30&=&0 &\mid\;:(-2) \\[5pt] 5x^2-22x-15&=&0 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} \dfrac{(x+3)^2}{x-1}&=&\dfrac{14 x-6}{4} &\mid\;\cdot 4(x-1)\\[5pt] 4(x+3)^2&=&(14 x-6)(x-1) \\[5pt] 4 x^2+24 x+36&=&14 x^2-20 x+6 &\mid\;-14x^2 \\[5pt] -10x^2+24x+36&=&-20x+6 &\mid\;+20x \\[5pt] -10x^2+44x+36&=&6 &\mid\;-6 \\[5pt] -10x^2+44x+30&=&0 &\mid\;:(-2) \\[5pt] 5x^2-22x-15&=&0 \end{array}$

Mit der Formula: abc -Formel folgt:

$Formula: \begin{array}{rlll} x_{1;2}&=&\dfrac{22 \pm \sqrt{(-22)^2-4 \cdot 5 \cdot(-15)}}{2 \cdot 5} \\[5pt] x_{1;2}&=&\dfrac{22 \pm \sqrt{784}}{10} \\[5pt] x_{1;2}&=&\dfrac{22 \pm 28}{10} \\[5pt] x_1&=&\dfrac{22 +28}{10} \\[5pt] &=&5 \\[5pt] x_2&=&\dfrac{22 -28}{10} \\[5pt] &=&-0,6 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} x_{1;2}&=&\dfrac{22 \pm \sqrt{(-22)^2-4 \cdot 5 \cdot(-15)}}{2 \cdot 5} \\[5pt] x_{1;2}&=&\dfrac{22 \pm \sqrt{784}}{10} \\[5pt] x_{1;2}&=&\dfrac{22 \pm 28}{10} \\[5pt] x_1&=&\dfrac{22 +28}{10} \\[5pt] &=&5 \\[5pt] x_2&=&\dfrac{22 -28}{10} \\[5pt] &=&-0,6 \end{array}$

Somit gilt:

$Formula: L=\{-0,6 ; 5\}$ $Formula: L=\{-0,6 ; 5\}$

Mit $Formula: m_0=32 \;\mathrm{mg}$ $Formula: m_0=32 \;\mathrm{mg}$ und Formula: t=10 folgt:

$Formula: \begin{array}{rlll} m(10)&=&32 \cdot\left(\dfrac{1}{2}\right)^{\tfrac{10}{21,8}} \\[5pt] &\approx&23,28\;\text{mg} \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} m(10)&=&32 \cdot\left(\dfrac{1}{2}\right)^{\tfrac{10}{21,8}} \\[5pt] &\approx&23,28\;\text{mg} \end{array}$

Es gilt:

$Formula: \begin{array}{rlll} 0,125&=&2 \cdot 0,5^n &\mid\;:2\\[5pt] 0,0625&=&0,5^n &\mid\;\log_{0,5}\\[5pt] \log_{0,5}(0,0625)&=&n \\[5pt] 4&=&n \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} 0,125&=&2 \cdot 0,5^n &\mid\;:2\\[5pt] 0,0625&=&0,5^n &\mid\;\log_{0,5}\\[5pt] \log_{0,5}(0,0625)&=&n \\[5pt] 4&=&n \end{array}$

Somit folgt für die Anzahl der Jahre:

$Formula: \begin{array}{rlll} \dfrac{t}{21,8}&=&4 &\mid\;\cdot 21,8\\[5pt] t&=&4 \cdot 21,8 \\[5pt] t&=&87,2 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} \dfrac{t}{21,8}&=&4 &\mid\;\cdot 21,8\\[5pt] t&=&4 \cdot 21,8 \\[5pt] t&=&87,2 \end{array}$

Für die Masse Formula: m_0 gilt:

$Formula: \begin{array}{rlll} 10&=&m_0 \cdot 0,5^{\tfrac{150}{21,8}} &\mid\;:0,5^{\tfrac{150}{21,8}}\\[5pt] \dfrac{10}{0,5^{\tfrac{150}{21,8}}}&=&m_0\\[5pt] 1178\;\text{mg}&\approx&m_0 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} 10&=&m_0 \cdot 0,5^{\tfrac{150}{21,8}} &\mid\;:0,5^{\tfrac{150}{21,8}}\\[5pt] \dfrac{10}{0,5^{\tfrac{150}{21,8}}}&=&m_0\\[5pt] 1178\;\text{mg}&\approx&m_0 \end{array}$

Für den Winkel $Formula: \beta$ $Formula: \beta$ folgt:

$Formula: \begin{array}{rlll} 90^{\circ}+62^{\circ}+\beta&=&180^{\circ} &\mid\;-90^{\circ}\\[5pt] 62^{\circ}+\beta&=&90^{\circ} &\mid\;-62^{\circ} \\[5pt] \beta&=&28^{\circ} \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} 90^{\circ}+62^{\circ}+\beta&=&180^{\circ} &\mid\;-90^{\circ}\\[5pt] 62^{\circ}+\beta&=&90^{\circ} &\mid\;-62^{\circ} \\[5pt] \beta&=&28^{\circ} \end{array}$

Somit gilt für die Länge Formula: b:

$Formula: \begin{array}{rlll} \cos 28^{\circ}&=&\dfrac{4,7}{b} &\mid\;\cdot b\\[5pt] \cos 28^{\circ}\cdot b&=&4,7 &\mid\;:\cos 28^{\circ} \\[5pt] b&=&\dfrac{4,7}{\cos 28^{\circ}} \\[5pt] b&\approx&5,3\;\text{m} \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} \cos 28^{\circ}&=&\dfrac{4,7}{b} &\mid\;\cdot b\\[5pt] \cos 28^{\circ}\cdot b&=&4,7 &\mid\;:\cos 28^{\circ} \\[5pt] b&=&\dfrac{4,7}{\cos 28^{\circ}} \\[5pt] b&\approx&5,3\;\text{m} \end{array}$

Für Formula: p_1 ergibt die quadratische Ergänzung:

$Formula: \begin{array}{rlll} y&=&\left(x^2-4 x+4\right)-4+3 \\[5pt] &=&(x-2)^2-1 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} y&=&\left(x^2-4 x+4\right)-4+3 \\[5pt] &=&(x-2)^2-1 \end{array}$

Damit folgt für den Scheitelpunkt:

$Formula: S_1(2 \mid-1)$ $Formula: S_1(2 \mid-1)$

Auf der Formula: x -Achse gilt Formula: y=0.

$Formula: \begin{array}{rlll} 0&=&x^2-4 x+3\\[5pt] 0&=&(x-1)(x-3) \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} 0&=&x^2-4 x+3\\[5pt] 0&=&(x-1)(x-3) \end{array}$

Damit folgt:

$Formula: N_1(1 \mid 0), \quad N_2(3 \mid 0)$ $Formula: N_1(1 \mid 0), \quad N_2(3 \mid 0)$

Gleichsetzen der Funktionsgleichungen liefert:

$Formula: \begin{array}{rlll} x^2-4 x+3&=&x-1 &\mid\;+1\\[5pt] x^2-4x+4&=&x &\mid\;-x\\[5pt] x^2-5x+4&=&0 \\[5pt] (x-1)(x-4)&=&0 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} x^2-4 x+3&=&x-1 &\mid\;+1\\[5pt] x^2-4x+4&=&x &\mid\;-x\\[5pt] x^2-5x+4&=&0 \\[5pt] (x-1)(x-4)&=&0 \end{array}$

Damit folgt:

$Formula: x_1=1, \quad x_2=4$ $Formula: x_1=1, \quad x_2=4$

Die Formula: x -Werte werden in die Gleichung von Formula: g eingesetzt. Somit gilt:

$Formula: \begin{array}{rlll} y&=&1-1 \\[5pt] &=&0 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} y&=&1-1 \\[5pt] &=&0 \end{array}$

$Formula: \begin{array}{rlll} y&=&4-1 \\[5pt] &=&3 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} y&=&4-1 \\[5pt] &=&3 \end{array}$

Es folgt:

$Formula: A(1 \mid 0),\quad B(4 \mid 3)$ $Formula: A(1 \mid 0),\quad B(4 \mid 3)$

Einsetzen von Punkt Formula: C in die Funktionsgleichung von Formula: p_2 liefert:

$Formula: \begin{array}{rlll} 2&=&(-3)^2+b \cdot(-3)+c \\[5pt] 2&=&9-3 b+c \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} 2&=&(-3)^2+b \cdot(-3)+c \\[5pt] 2&=&9-3 b+c \end{array}$

Einsetzen von Punkt Formula: D in die Funktionsgleichung von Formula: p_2 ergibt:

$Formula: \begin{array}{rlll} 2&=&1^2+b \cdot 1+c\\[5pt] 2&=&1+b+c \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} 2&=&1^2+b \cdot 1+c\\[5pt] 2&=&1+b+c \end{array}$

Die zweite Gleichung wird von der ersten abgezogen. Damit folgt:

$Formula: \begin{array}{rlll} 2-2&=&(9-3 b+c)-(1+b+c) \\[5pt] 0&=&9-3 b+c-1-b-c \\[5pt] 0&=&8-4 b &\mid\;+4b \\[5pt] 4b&=&8 &\mid\;:4 \\[5pt] b&=&2 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} 2-2&=&(9-3 b+c)-(1+b+c) \\[5pt] 0&=&9-3 b+c-1-b-c \\[5pt] 0&=&8-4 b &\mid\;+4b \\[5pt] 4b&=&8 &\mid\;:4 \\[5pt] b&=&2 \end{array}$

Für Formula: b=2 liefert die zweite Gleichung:

$Formula: \begin{array}{rlll} 2&=&1+2+c \\[5pt] 2&=&3+c &\mid\;-3 \\[5pt] -1&=&c \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} 2&=&1+2+c \\[5pt] 2&=&3+c &\mid\;-3 \\[5pt] -1&=&c \end{array}$

Damit gilt:

Formula: p_2: y=x^2+2 x-1

Koordinatensystem mit zwei Parabeln und eingezeichneten Punkten p2 und p3.

Für die Punktprobe mit Punkt $Formula: E(9 \mid-103)$ $Formula: E(9 \mid-103)$ folgt:

$Formula: \begin{array}{rlll} -(9+1)^2+3&=& -103 \\[5pt] -10^2+3&=& -103 \\[5pt] -100+3&=& -103 \\[5pt] -97 &=&-103 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} -(9+1)^2+3&=& -103 \\[5pt] -10^2+3&=& -103 \\[5pt] -100+3&=& -103 \\[5pt] -97 &=&-103 \end{array}$

$Formula: E(9 \mid-103)$ $Formula: E(9 \mid-103)$ liegt somit nicht auf Formula: p_3.

Die Gleichung wurde mit der Formula: 2. binomischen Formel aufgestellt. Dafür gilt:

Formula: (x-y)^2=x^2-2 x y+y^2

Der letzte Term beträgt Formula: 49 a^2=(7 a)^2. Der erste Term auf der rechten Seite liefert:

Formula: 36 c^2 d^2=(6 c d)^2

Für den mittleren Term ergibt sich:

$Formula: -2 \cdot 6 c d \cdot 7 a=-84 a c d$ $Formula: -2 \cdot 6 c d \cdot 7 a=-84 a c d$

Damit gilt für den vollständigen Term:

Formula: (6 c d-7 a)^2=36 c^2 d^2-84 a c d+49 a^2

Bei diesem Term wird die Formula: 3. binomische Formeln verwendet. Damit gilt:

Formula: (a+b)(a-b)=a^2-b^2

Es werden also zwei Terme, deren Quadrate rechts vorkommen, gesucht. Aus der Liste sind das $Formula: 25 x^4=\left(5 x^2\right)^2$ $Formula: 25 x^4=\left(5 x^2\right)^2$ und $Formula: 4 y^8=\left(2 y^4\right)^2.$ $Formula: 4 y^8=\left(2 y^4\right)^2.$

Somit folgt:

$Formula: \left(5 x^2+2 y^4\right)\left(5 x^2-2 y^4\right)=25 x^4-4 y^8$ $Formula: \left(5 x^2+2 y^4\right)\left(5 x^2-2 y^4\right)=25 x^4-4 y^8$

Wahrscheinlichkeitsbaum mit Buchstaben und Brüchen

Für die Wahrscheinlichkeit „mindestens einer der beiden erhält eine Freikarte“ gilt:

$Formula: \begin{array}{rlll} P&=&1-\dfrac{13 \cdot 12}{15 \cdot 14} \\[5pt] &=&\dfrac{9}{35} \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} P&=&1-\dfrac{13 \cdot 12}{15 \cdot 14} \\[5pt] &=&\dfrac{9}{35} \end{array}$

Zur Überprüfung der Aussage folgt:

$Formula: \begin{array}{rlll} P&=&\dfrac{1}{15} \cdot \dfrac{1}{14}+\dfrac{1}{15} \cdot \dfrac{1}{14} \\[5pt] &\approx& 0,0095 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} P&=&\dfrac{1}{15} \cdot \dfrac{1}{14}+\dfrac{1}{15} \cdot \dfrac{1}{14} \\[5pt] &\approx& 0,0095 \end{array}$

Da $Formula: 0,0095\lt0,01=1\,\%$ $Formula: 0,0095\lt0,01=1\,\%$ gilt, ist die Aussage wahr.

Für die Länge $Formula: \overline{A C}$ $Formula: \overline{A C}$ gilt mit dem Kathetensatz:

$Formula: \begin{array}{rlll} 12,70^2&=&9,67 \cdot|\overline{AC}| &\mid\;:9,67\\[5pt] 16,68\;\text{cm}&\approx&|\overline{AC}| \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} 12,70^2&=&9,67 \cdot|\overline{AC}| &\mid\;:9,67\\[5pt] 16,68\;\text{cm}&\approx&|\overline{AC}| \end{array}$

Für die Länge von $Formula: \overline{B C}$ $Formula: \overline{B C}$ folgt:

$Formula: \begin{array}{rlll} 16,68^2&=&12,70^2+|\overline{BC}|^2 &\mid\;-12,70^2\\[5pt] 116,9324&=&|\overline{BC}|^2 &\mid\;\sqrt{\;}\\[5pt] 10,81\;\text{cm}&\approx&|\overline{BC}| \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} 16,68^2&=&12,70^2+|\overline{BC}|^2 &\mid\;-12,70^2\\[5pt] 116,9324&=&|\overline{BC}|^2 &\mid\;\sqrt{\;}\\[5pt] 10,81\;\text{cm}&\approx&|\overline{BC}| \end{array}$

Für die Aussage $Formula: (\text{I})$ $Formula: (\text{I})$ gilt:

$Formula: \begin{array}{rlll} a^{\prime}&=&4 \cdot 4,5\\[5pt] &=&18\;\text{cm} \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} a^{\prime}&=&4 \cdot 4,5\\[5pt] &=&18\;\text{cm} \end{array}$

Da $Formula: 18 \neq 20,$ $Formula: 18 \neq 20,$ ist die Aussage falsch.

Für den Faktor für die Flächenvergrößerung in Aussage $Formula: (\text{II})$ $Formula: (\text{II})$ folgt:

Formula: 4^2=16

Somit ist die Aussage wahr.

Für den Faktor der Volumenvergrößerung in Aussage $Formula: (\text{III})$ $Formula: (\text{III})$ ergibt sich:

Formula: 4^3=64

Für das neue Volumen folgt somit:

$Formula: 8\cdot64=512\;\text{cm}^3$ $Formula: 8\cdot64=512\;\text{cm}^3$

Da $Formula: 512 \neq 32,$ $Formula: 512 \neq 32,$ ist die Aussage falsch.

Für den Radius der Halbkugel gilt:

$Formula: \begin{array}{rlll} A&=&\pi r^2\\[5pt] 132,75&\approx&r^2 \cdot 3,14 &\mid\;:3,14\\[5pt] \dfrac{132,75}{3,14}&=&r^2 &\mid\;\sqrt{\;} \\[5pt] 6,5\;\text{cm}&\approx&r \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} A&=&\pi r^2\\[5pt] 132,75&\approx&r^2 \cdot 3,14 &\mid\;:3,14\\[5pt] \dfrac{132,75}{3,14}&=&r^2 &\mid\;\sqrt{\;} \\[5pt] 6,5\;\text{cm}&\approx&r \end{array}$

Für das Volumen der Halbkugel folgt:

$Formula: \begin{array}{rlll} V_{HK}&=&\dfrac{2}{3}\pi r^3\\[5pt] &\approx&\dfrac{2}{3}\cdot 3,14 \cdot 6,5^3\\[5pt] &\approx&574,9\;\text{cm}^3 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} V_{HK}&=&\dfrac{2}{3}\pi r^3\\[5pt] &\approx&\dfrac{2}{3}\cdot 3,14 \cdot 6,5^3\\[5pt] &\approx&574,9\;\text{cm}^3 \end{array}$

Für das Volumen des Körpers ergibt sich:

$Formula: 574,9 \cdot 2=1149,8\;\text{cm}^3$ $Formula: 574,9 \cdot 2=1149,8\;\text{cm}^3$

Für den Oberflächeninhalt folgt:

$Formula: \begin{array}{rlll} O_{HK}&=&2\pi r^2 \\[5pt] &=&2\cdot 3,14 \cdot 6,5^2 \\[5pt] &\approx&265,3\;\text{cm}^2 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} O_{HK}&=&2\pi r^2 \\[5pt] &=&2\cdot 3,14 \cdot 6,5^2 \\[5pt] &\approx&265,3\;\text{cm}^2 \end{array}$

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