Aufgabengruppe 2

Die folgende Abbildung zeigt den Graphen der Geraden Formula: g_1.

Koordinatensystem mit einer ansteigenden Geraden g₁ und markiertem Steigungswinkel α.

Gib die Funktionsgleichung der Geraden Formula: g_1 an.

Berechnen Sie den Winkel $Formula: \alpha,$ $Formula: \alpha,$ den die Gerade Formula: g_1 mit der Formula: x -Achse einschließt

(siehe Abbildung).

Die Gerade Formula: g_2 verläuft durch die Punkte $Formula: A(-4\mid5)$ $Formula: A(-4\mid5)$ und $Formula: B(1\mid-2,5).$ $Formula: B(1\mid-2,5).$

Bestimme rechnerisch die Funktionsgleichung von Formula: g_2.

Die Gerade $Formula: g_3: y=-\tfrac{4}{5} x+2$ $Formula: g_3: y=-\tfrac{4}{5} x+2$ steht senkrecht auf der Geraden Formula: g_4, die durch den Ursprung verläuft.

Bestimme die Funktionsgleichung von Formula: g_4.

Formula: N_3 ist der Schnittpunkt der Geraden Formula: g_3 mit der Formula: x -Achse.

Ermittle rechnerisch die Formula: x -Koordinate des Punktes Formula: N_3 und gib diesen Punkt an.

Die Gerade Formula: g_5 hat die Funktionsgleichung Formula: y=1,2 x-3.

Zeige nachvollziehbar, dass der Schnittpunkt der Geraden Formula: g_5 mit der Geraden Formula: g_3 auf der Formula: x -Achse liegt.

Zeichne die Geraden Formula: g_2 und Formula: g_3 in ein Koordinatensystem mit der Längeneinheit $Formula: 1\;\text{cm}.$ $Formula: 1\;\text{cm}.$

8 P

Löse die folgende Gleichung rechnerisch.

Gib die Definitionsmenge und die Lösungsmenge an.

$Formula: \dfrac{x}{5+x}=\dfrac{4}{x+1}-\dfrac{4 x}{(5+x)(x+1)}$ $Formula: \dfrac{x}{5+x}=\dfrac{4}{x+1}-\dfrac{4 x}{(5+x)(x+1)}$

3 P

Das Alter von archäologischen Knochenfunden kann über die Masse des vorhandenen radioaktiven Kohlenstoffisotops $Formula: \text{C}14$ $Formula: \text{C}14$ bestimmt werden.

Die Halbwertszeit für das Kohlenstoffisotop $Formula: \text{C}14$ $Formula: \text{C}14$ beträgt $Formula: 5\,730$ $Formula: 5\,730$ Jahre.

Berechne die Masse an $Formula: \text{C}14,$ $Formula: \text{C}14,$ die bei einer Ausgangsmasse von Formula: 10,5 Gramm nach $Formula: 28\,650$ $Formula: 28\,650$ Jahren noch vorhanden ist.

In einem gefundenen Knochen befinden sich noch Formula: 0,125 Milligramm des Kohlenstoffisotops $Formula: \text{C}14.$ $Formula: \text{C}14.$ Wissenschaftler bestimmen das Alter des Knochens auf $Formula: 48\,705$ $Formula: 48\,705$ Jahre.

Bestimme rechnerisch die Masse des ursprünglich vorhandenen Kohlenstoffisotops $Formula: \text{C}14.$ $Formula: \text{C}14.$

Im Lonetal wurde der Knochen eines Mammuts gefunden. Der Anteil des radioaktiven Kohlenstoffisotops $Formula: \text{C}14$ $Formula: \text{C}14$ ist zum Zeitpunkt der Untersuchung bereits auf $Formula: 63\,\%$ $Formula: 63\,\%$ gesunken.

Berechne das Alter des Knochens.

5 P

Ein Pralinenhersteller fertigt Kugeln aus weißer Schokolade an, die mit Nougat gefüllt sind.

Der Außendurchmesser dieser Kugeln beträgt zwei Zentimeter, die Wandstärke aus weißer Schokolade Formula: 1,5 Millimeter.

Ein Kubikzentimeter des Nougats hat eine Masse von Formula: 0,6 Gramm.

Berechne die Masse der Nougatfüllung, die für die Herstellung von Formula: 80 Kugeln benötigt wird.

Berechne das Volumen der weißen Schokolade, das für die Herstellung von Formula: 80 Kugeln benötigt wird.

Damit das Nougat nicht durch die weiße Schokolade dringen kann, wird die Innenwand der Hohlkugel aus weißer Schokolade mit einer Zuckerlösung bestrichen.

Berechne den Inhalt der zu bestreichenden Fläche einer Hohlkugel.

4 P

Bei einer Gleichung zur Anwendung einer binomischen Formel ist nur das gemischte Glied bekannt.

Stelle eine mögliche vollständige Gleichung auf und notiere diese.

Formula: (  Formula: +  $Formula: ) { }^2=$ $Formula: ) { }^2=$ Formula: +36 x^4 y+ 

2 P

Berechne die Höhe Formula: h_K der Pyramide mit quadratischer Grundfläche (siehe Skizze).

Es gilt: $Formula: |\overline{CN}|=0,53 \mathrm{~cm} ; \quad|\overline{SN}|=7,02 \mathrm{~cm} ; \quad \alpha=74^{\circ}$ $Formula: |\overline{CN}|=0,53 \mathrm{~cm} ; \quad|\overline{SN}|=7,02 \mathrm{~cm} ; \quad \alpha=74^{\circ}$

Pyramide SABC mit eingezeichneten Höhen hₖ und hₛ sowie dem Winkel α an der Seitenfläche.

Dreieck mit den Punkten B, C und S, den Höhen hₛ und MN sowie rechten Winkeln bei M und N.

Seitenfläche der Pyramide

Hinweis: Skizzen nicht maßstabsgetreu.

3 P

Eine nach oben geöffnete Normalparabel Formula: p_1 schneidet die Formula: x -Achse in den Punkten $Formula: A(1,5 \mid 0)$ $Formula: A(1,5 \mid 0)$ und $Formula: B(6 \mid 0).$ $Formula: B(6 \mid 0).$

Ermittle rechnerisch die Normalform der Parabel Formula: p_1.

Eine weitere Parabel Formula: p_2: y=-x^2-10 x-22 hat den Scheitelpunkt Formula: S_2.

Bestimme rechnerisch die Koordinaten von Formula: S_2.

Die Parabel Formula: p_3: y=-(x+4)^2+9 wird an der Formula: x -Achse gespiegelt.

Dadurch entsteht die Parabel Formula: p_4.

Ermittle rechnerisch die Funktionsgleichung von Formula: p_4 in der Normalform.

Bestimme rechnerisch die Schnittpunkte Formula: N_1 und Formula: N_2 der Parabel Formula: p_3 mit der Formula: x -Achse und gib diese an.

Zeichne die Parabeln Formula: p_1 und Formula: p_3 in ein Koordinatensystem mit der Längeneinheit $Formula: 1\;\text{cm}.$ $Formula: 1\;\text{cm}.$

Die Parabel Formula: p_5 hat die Funktionsgleichung Formula: y=x^2, die Parabel Formula: p_6 die Funktionsgleichung Formula: y=-(x-2)^2-3.

Begründe nachvollziehbar, dass die Parabeln Formula: p_5 und Formula: p_6 keinen Schnittpunkt haben.

8 P

Eine Hardrockband plant Konzerte in Deutschland.

Für jedes Konzert gewinnen zwei Besucher mit ihrer Eintrittskarte ein Treffen mit der Band.

Für das erste Konzert gibt es Formula: 500 Eintrittskarten.

Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass beim Verkauf der ersten beiden Eintrittskarten genau eine Gewinnerkarte verkauft wird.

Nach dem Verkauf der ersten Formula: 200 von den Formula: 500 Eintrittskarten für das erste Konzert sind beide Gewinnerkarten noch nicht verkauft.

Ermittle rechnerisch die Wahrscheinlichkeit, dass beim Verkauf der nächsten drei Karten beide Gewinnerkarten dabei sind.

In Frankreich plant die Band zehn weitere Konzerte. Diese sollen in zehn verschiedenen Städten stattfinden.

Berechne die Anzahl der Kombinationsmöglichkeiten für die Auswahl der ersten drei Städte.

4 P

In der folgenden Abbildung gilt:

$Formula: \overline{AB}\left\|\overline{A^{\prime} B^{\prime}} ; \quad \overline{BC}\right\| \overline{B^{\prime}C^{\prime}} ; \quad \overline{CA} \| \overline{C^{\prime} A^{\prime}}$ $Formula: \overline{AB}\left\|\overline{A^{\prime} B^{\prime}} ; \quad \overline{BC}\right\| \overline{B^{\prime}C^{\prime}} ; \quad \overline{CA} \| \overline{C^{\prime} A^{\prime}}$

Geometrische Darstellung einer zentrischen Streckung mit den Punkten A, B, C sowie deren Bildpunkten A′, B′, C′.

Zentrische Streckung mit Zentrum Z: Dreieck ABC wird auf A'B'C' abgebildet.

Schreibe die folgenden Aussagen auf und ergänze jeweils die Platzhalter $Formula: \square$ $Formula: \square$ so, dass die drei Gleichungen richtig sind.

$Formula: (\text{I})\quad \dfrac{|\overline{ZA}|}{\square}=\dfrac{\square}{\left|\overline{A^{\prime} B^{\prime}}\right|}$ $Formula: (\text{I})\quad \dfrac{|\overline{ZA}|}{\square}=\dfrac{\square}{\left|\overline{A^{\prime} B^{\prime}}\right|}$

$Formula: (\text{II})\quad \dfrac{\square}{\left|\overline{AA^{\prime}}\right|}=\dfrac{|\overline{ZB}|}{\square}$ $Formula: (\text{II})\quad \dfrac{\square}{\left|\overline{AA^{\prime}}\right|}=\dfrac{|\overline{ZB}|}{\square}$

$Formula: (\text{III})\quad \dfrac{|\overline{ZC}|}{|\overline{CB}|}=\dfrac{\square}{\square}$ $Formula: (\text{III})\quad \dfrac{|\overline{ZC}|}{|\overline{CB}|}=\dfrac{\square}{\square}$

3 P

Weiter lernen mit SchulLV Plus!

monatlich kündbarSchulLV Plus-Vorteile im ÜberblickDu hast bereits einen Account?

Mithilfe des Graphen folgt:

$Formula: m_1=\dfrac{2}{3};\quad t_1=-2$ $Formula: m_1=\dfrac{2}{3};\quad t_1=-2$

Somit ergibt sich für die Funktionsgleichung:

$Formula: g_1: y=\dfrac{2}{3} x-2$ $Formula: g_1: y=\dfrac{2}{3} x-2$

Die Länge der Gegenkathete eines passenden Steigungsdreiecks beträgt $Formula: 2 \;\text{cm}$ $Formula: 2 \;\text{cm}$ und die Länge der Ankathete entspricht $Formula: 3\;\text{cm}.$ $Formula: 3\;\text{cm}.$ Es folgt:

$Formula: \begin{array}{rlll} \tan \alpha&=&\dfrac{2 \mathrm{~cm}}{3 \mathrm{~cm}}\\[5pt] \tan \alpha&=&\dfrac{2}{3} &\mid\;\tan^{-1} \\[5pt] \alpha&\approx&33,7^{\circ} \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} \tan \alpha&=&\dfrac{2 \mathrm{~cm}}{3 \mathrm{~cm}}\\[5pt] \tan \alpha&=&\dfrac{2}{3} &\mid\;\tan^{-1} \\[5pt] \alpha&\approx&33,7^{\circ} \end{array}$

Für die Steigung Formula: m_2 gilt mit den Punkten $Formula: A(–4 \mid 5)$ $Formula: A(–4 \mid 5)$ und $Formula: B(1 \mid –2,5):$ $Formula: B(1 \mid –2,5):$

$Formula: \begin{array}{rlll} m_2&=&\dfrac{-2,5-5}{1-(-4)} \\[5pt] &=&\dfrac{-7,5}{5} \\[5pt] &=&-1,5 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} m_2&=&\dfrac{-2,5-5}{1-(-4)} \\[5pt] &=&\dfrac{-7,5}{5} \\[5pt] &=&-1,5 \end{array}$

Für den Formula: y -Achsenabschnitt folgt mit Formula: m_2=-1,5 und $Formula: A(-4 \mid 5):$ $Formula: A(-4 \mid 5):$

$Formula: \begin{array}{rlll} y&=&m_2 \cdot x+t_2 \\[5pt] 5&=&-1,5 \cdot(-4)+t_2 \\[5pt] 5&=&6+t_2 &\mid\;-6 \\[5pt] -1&=&t_2 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} y&=&m_2 \cdot x+t_2 \\[5pt] 5&=&-1,5 \cdot(-4)+t_2 \\[5pt] 5&=&6+t_2 &\mid\;-6 \\[5pt] -1&=&t_2 \end{array}$

Somit gilt:

Formula: g_2: y=-1,5 x-1

$Formula: \begin{array}{rlll} m_3 \cdot m_4&=&-1 \\[5pt] -\dfrac{4}{5} \cdot m_4&=&-1 &\mid\;:(-\dfrac{4}{5}) \\[5pt] m_4&=&\dfrac{5}{4} \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} m_3 \cdot m_4&=&-1 \\[5pt] -\dfrac{4}{5} \cdot m_4&=&-1 &\mid\;:(-\dfrac{4}{5}) \\[5pt] m_4&=&\dfrac{5}{4} \end{array}$

Für die Funktionsgleichung gilt somit, da die Gerade durch den Ursprung verläuft:

$Formula: g_4: y=\frac{5}{4} x$ $Formula: g_4: y=\frac{5}{4} x$

$Formula: \begin{array}{rlll} 0&=&-\dfrac{4}{5} x+2&\mid\;-2 \\[5pt] -2&=&-\dfrac{4}{5}x &\mid\;:(-\dfrac{4}{5}) \\[5pt] 2,5&=&x \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} 0&=&-\dfrac{4}{5} x+2&\mid\;-2 \\[5pt] -2&=&-\dfrac{4}{5}x &\mid\;:(-\dfrac{4}{5}) \\[5pt] 2,5&=&x \end{array}$

Damit gilt:

$Formula: N_3(2,5 \mid 0)$ $Formula: N_3(2,5 \mid 0)$

Gleichsetzen der Funktionsgleichungen von Formula: g_3 und Formula: g_5 liefert:

$Formula: \begin{array}{rlll} -\dfrac{4}{5} x+2&=&1,2 x-3&\mid\; -2 \\[5pt] -\dfrac{4}{5} x&=&1,2 x-5&\mid\; -1,2x \\[5pt] -2x&=&-5 &\mid\;:(-2) \\[5pt] x&=&2,5 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} -\dfrac{4}{5} x+2&=&1,2 x-3&\mid\; -2 \\[5pt] -\dfrac{4}{5} x&=&1,2 x-5&\mid\; -1,2x \\[5pt] -2x&=&-5 &\mid\;:(-2) \\[5pt] x&=&2,5 \end{array}$

Formula: x=2,5 Einsetzen in die Funktionsgleichung von Formula: g_5 liefert:

$Formula: \begin{array}{rlll} y&=&1,2 \cdot 2,5-3 \\[5pt] &=&0 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} y&=&1,2 \cdot 2,5-3 \\[5pt] &=&0 \end{array}$

Da Formula: y = 0 ist, liegt der Schnittpunkt von Formula: g_3 und Formula: g_5 auf der Formula: x -Achse.

Koordinatensystem mit zwei Geraden g₂ und g₃ sowie gestrichelten Hilfslinien.

Koordinatensystem mit zwei fallenden Geraden g₂ und g₃ sowie gestrichelten Hilfslinien.

Es gilt:

$Formula: \begin{array}{rlll} 5+x&\neq&0 &\mid\; -5 \\[5pt] x&\neq&-5 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} 5+x&\neq&0 &\mid\; -5 \\[5pt] x&\neq&-5 \end{array}$

Zudem gilt:

$Formula: \begin{array}{rlll} x+1&\neq&0 &\mid\; -1\\[5pt] x&\neq&-1 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} x+1&\neq&0 &\mid\; -1\\[5pt] x&\neq&-1 \end{array}$

Damit ergibt sich:

$Formula: \mathrm{D}=\mathbb{R} \setminus\{-5 ;-1\}$ $Formula: \mathrm{D}=\mathbb{R} \setminus\{-5 ;-1\}$

Für die Lösungsmenge gilt:

$Formula: \begin{array}{rlll} \dfrac{x}{5+x}&=&\dfrac{4}{x+1}-\dfrac{4 x}{(5+x)(x+1)}&\mid\;\cdot (5+x)(x+1) \\[5pt] x(x+1)&=&4(5+x)-4 x \\[5pt] x^2+x&=&20 &\mid\;-20 \\[5pt] x^2+x-20&=&0 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} \dfrac{x}{5+x}&=&\dfrac{4}{x+1}-\dfrac{4 x}{(5+x)(x+1)}&\mid\;\cdot (5+x)(x+1) \\[5pt] x(x+1)&=&4(5+x)-4 x \\[5pt] x^2+x&=&20 &\mid\;-20 \\[5pt] x^2+x-20&=&0 \end{array}$

Mit der Formula: abc -Formel folgt:

$Formula: \begin{array}{rlll} x_{1 ;2}&=&\dfrac{-1\pm \sqrt{1^2-4\cdot1\cdot(-20)}}{2\cdot1} \\[5pt] &=&\dfrac{-1\pm \sqrt{81}}{2} \\[5pt] &=&-\dfrac{1}{2} \pm 4,5 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} x_{1 ;2}&=&\dfrac{-1\pm \sqrt{1^2-4\cdot1\cdot(-20)}}{2\cdot1} \\[5pt] &=&\dfrac{-1\pm \sqrt{81}}{2} \\[5pt] &=&-\dfrac{1}{2} \pm 4,5 \end{array}$

Damit gilt:

$Formula: \begin{array}{rlll} x_1&=&-\dfrac{1}{2}+4,5 \\[5pt] &=&4 \\[5pt] x_2&=&-\dfrac{1}{2}-4,5 \\[5pt] &=&-5 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} x_1&=&-\dfrac{1}{2}+4,5 \\[5pt] &=&4 \\[5pt] x_2&=&-\dfrac{1}{2}-4,5 \\[5pt] &=&-5 \end{array}$

Da Formula: x_2=-5 nicht in Formula: D liegt, folgt:

$Formula: \mathrm{L}=\{4\}$ $Formula: \mathrm{L}=\{4\}$

Für die Anzahl der Halbwertszeiten gilt:

$Formula: \begin{array}{rlll} n&=&\dfrac{28\,650}{5\,730} \\[5pt] &=&5 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} n&=&\dfrac{28\,650}{5\,730} \\[5pt] &=&5 \end{array}$

Für die Masse folgt:

$Formula: \begin{array}{rlll} W_5&=&10,5 \mathrm{~g} \cdot 0,5^5 \\[5pt] &\approx&0,33\;\text{g} \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} W_5&=&10,5 \mathrm{~g} \cdot 0,5^5 \\[5pt] &\approx&0,33\;\text{g} \end{array}$

Für die Anzahl der Halbwertszeiten gilt:

$Formula: \begin{array}{rlll} n&=&\dfrac{48\,705}{5\,730} \\[5pt] &=&8,5 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} n&=&\dfrac{48\,705}{5\,730} \\[5pt] &=&8,5 \end{array}$

Für die Masse ergibt sich:

$Formula: \begin{array}{rlll} 0,125\;\mathrm{mg}&=&W_0 \cdot 0,5^{8,5} &\mid\;:0,5^{8,5} \\[5pt] 45,25\;\text{mg}&\approx&W_0 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} 0,125\;\mathrm{mg}&=&W_0 \cdot 0,5^{8,5} &\mid\;:0,5^{8,5} \\[5pt] 45,25\;\text{mg}&\approx&W_0 \end{array}$

Es gilt:

$Formula: \begin{array}{rlll} W_n&=&W_0 \cdot 0,5^n &\mid\;:W_0 \\[5pt] \dfrac{W_n}{W_0}&=&0,5^n \\[5pt] 63\,\%&=&0,5^n \\[5pt] 0,63&=&0,5^n \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} W_n&=&W_0 \cdot 0,5^n &\mid\;:W_0 \\[5pt] \dfrac{W_n}{W_0}&=&0,5^n \\[5pt] 63\,\%&=&0,5^n \\[5pt] 0,63&=&0,5^n \end{array}$

Damit folgt für Formula: n:

$Formula: \begin{array}{rlll} 0,63&=&0,5^n &\mid\;\log_{0,5} \\[5pt] \log _{0,5} (0,63)&=&n \\[5pt] 0,6665&\approx&n \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} 0,63&=&0,5^n &\mid\;\log_{0,5} \\[5pt] \log _{0,5} (0,63)&=&n \\[5pt] 0,6665&\approx&n \end{array}$

Für die Gesamtzeit in Jahren ergibt sich:

$Formula: \begin{array}{rlll} t&=&0,6665 \cdot 5\,730 \\[5pt] &\approx&3819 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} t&=&0,6665 \cdot 5\,730 \\[5pt] &\approx&3819 \end{array}$

Für den Durchmesser der Nougatfüllung gilt:

$Formula: \begin{array}{rlll} d_N&=&2 \mathrm{~cm}-0,3 \mathrm{~cm} \\[5pt] &=&1,7 \mathrm{~cm} \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} d_N&=&2 \mathrm{~cm}-0,3 \mathrm{~cm} \\[5pt] &=&1,7 \mathrm{~cm} \end{array}$

Somit folgt für den Radius:

$Formula: r_N=0,85 \mathrm{~cm}$ $Formula: r_N=0,85 \mathrm{~cm}$

Für das Volumen der Nougatfüllung ergibt sich:

$Formula: \begin{array}{rlll} V_N&=&\dfrac{4}{3}r_N^3 \cdot \pi \\[5pt] &\approx&\dfrac{4}{3} \cdot(0,85 \mathrm{~cm})^3 \cdot 3,14 \\[5pt] &\approx&2,57\;\text{cm}^3 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} V_N&=&\dfrac{4}{3}r_N^3 \cdot \pi \\[5pt] &\approx&\dfrac{4}{3} \cdot(0,85 \mathrm{~cm})^3 \cdot 3,14 \\[5pt] &\approx&2,57\;\text{cm}^3 \end{array}$

Für das das Volumen der benötigten Nougatfüllung für Formula: 80 Pralinen folgt:

$Formula: \begin{array}{rlll} V_{80N}&=&80 \cdot 2,57 \mathrm{~cm}^3 \\[5pt] &=&205,6\;\text{cm}^3 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} V_{80N}&=&80 \cdot 2,57 \mathrm{~cm}^3 \\[5pt] &=&205,6\;\text{cm}^3 \end{array}$

Für die Masse der Nougatfüllung für Formula: 80 Pralinen gilt:

$Formula: \begin{array}{rlll} m_N&=&205,6 \mathrm{~cm}^3 \cdot 0,6 \dfrac{\mathrm{~g}}{\mathrm{~cm}^3} \\[5pt] &=&123,36\;\text{g} \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} m_N&=&205,6 \mathrm{~cm}^3 \cdot 0,6 \dfrac{\mathrm{~g}}{\mathrm{~cm}^3} \\[5pt] &=&123,36\;\text{g} \end{array}$

Für das Volumen der ganzen Praline mit $Formula: d_P=2 \mathrm{~cm}$ $Formula: d_P=2 \mathrm{~cm}$ folgt:

$Formula: \begin{array}{rlll} V_P&=&\dfrac{1}{6} d_P^3 \cdot \pi \\[5pt] &\approx&\dfrac{1}{6} \cdot(2 \mathrm{~cm})^3 \cdot 3,14 \\[5pt] &\approx&4,19\;\text{cm}^3 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} V_P&=&\dfrac{1}{6} d_P^3 \cdot \pi \\[5pt] &\approx&\dfrac{1}{6} \cdot(2 \mathrm{~cm})^3 \cdot 3,14 \\[5pt] &\approx&4,19\;\text{cm}^3 \end{array}$

Für das Volumen der weißen Schokolade gilt:

$Formula: \begin{array}{rlll} V&=&V_P-V_N \\[5pt] &=&4,19 \mathrm{~cm}^3-2,57 \mathrm{~cm}^3 \\[5pt] &=&1,62\;\text{cm}^3 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} V&=&V_P-V_N \\[5pt] &=&4,19 \mathrm{~cm}^3-2,57 \mathrm{~cm}^3 \\[5pt] &=&1,62\;\text{cm}^3 \end{array}$

Damit folgt für Formula: 80 Pralinen:

$Formula: \begin{array}{rlll} V_{80}&=&80 \cdot 1,62 \mathrm{~cm}^3\\[5pt] &=&129,6\;\text{cm}^3 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} V_{80}&=&80 \cdot 1,62 \mathrm{~cm}^3\\[5pt] &=&129,6\;\text{cm}^3 \end{array}$

Für den Flächeninhalt der zu bestreichenden Fläche mit $Formula: r_N=0,85 \mathrm{~cm}$ $Formula: r_N=0,85 \mathrm{~cm}$ gilt:

$Formula: \begin{array}{rlll} O_N&=&4 \cdot r^2 \cdot \pi \\[5pt] &\approx&4 \cdot(0,85 \mathrm{~cm})^2 \cdot 3,14 \\[5pt] &\approx&9,07\;\text{cm}^2 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} O_N&=&4 \cdot r^2 \cdot \pi \\[5pt] &\approx&4 \cdot(0,85 \mathrm{~cm})^2 \cdot 3,14 \\[5pt] &\approx&9,07\;\text{cm}^2 \end{array}$

Mithilfe der Formula: 1. binomischen Formel folgt für eine mögliche Lösung:

Formula: (2x^4+9y)^2=4x^8+36x^4y+81y^2

Für die Länge der Strecke $Formula: \overline{CS}$ $Formula: \overline{CS}$ ergibt sich:

$Formula: \begin{array}{rlll} |\overline{CS}|&=&|\overline{CN}|+|\overline{SN}| \\[5pt] &=&0,53 \mathrm{~cm}+7,02 \mathrm{~cm} \\[5pt] &=&7,55\;\text{cm} \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} |\overline{CS}|&=&|\overline{CN}|+|\overline{SN}| \\[5pt] &=&0,53 \mathrm{~cm}+7,02 \mathrm{~cm} \\[5pt] &=&7,55\;\text{cm} \end{array}$

Für die Länge der Strecke $Formula: \overline{MC}$ $Formula: \overline{MC}$ gilt mit dem Kathetensatz:

$Formula: \begin{array}{rlll} |\overline{MC}|^2&=&|\overline{CN}| \cdot|\overline{CS}| \\[5pt] |\overline{MC}|^2&=&0,53 \mathrm{~cm} \cdot 7,55 \mathrm{~cm} \\[5pt] |\overline{MC}|^2&=&4,0015 \mathrm{~cm}^2 &\mid\;\sqrt{\;} \\[5pt] |\overline{MC}| &\approx& 2 \mathrm{~cm} \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} |\overline{MC}|^2&=&|\overline{CN}| \cdot|\overline{CS}| \\[5pt] |\overline{MC}|^2&=&0,53 \mathrm{~cm} \cdot 7,55 \mathrm{~cm} \\[5pt] |\overline{MC}|^2&=&4,0015 \mathrm{~cm}^2 &\mid\;\sqrt{\;} \\[5pt] |\overline{MC}| &\approx& 2 \mathrm{~cm} \end{array}$

Für die Höhe Formula: h_K folgt:

$Formula: \begin{array}{rlll} \tan \alpha&=&\dfrac{h_K}{|\overline{MZ}|} \\[5pt] \tan 74^{\circ}&=&\dfrac{h_K}{2 \mathrm{~cm}} &\mid\;\cdot 2\;\text{cm} \\[5pt] 6,97 \mathrm{~cm} &\approx& h_K \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} \tan \alpha&=&\dfrac{h_K}{|\overline{MZ}|} \\[5pt] \tan 74^{\circ}&=&\dfrac{h_K}{2 \mathrm{~cm}} &\mid\;\cdot 2\;\text{cm} \\[5pt] 6,97 \mathrm{~cm} &\approx& h_K \end{array}$

Für die Nullstellen gilt:

$Formula: x_1=1,5, \quad x_2=6$ $Formula: x_1=1,5, \quad x_2=6$

Für den Ansatz folgt:

$Formula: \begin{array}{rlll} y&=&(x-1,5)(x-6) \\[5pt] &=&x^2-6 x-1,5 x+9 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} y&=&(x-1,5)(x-6) \\[5pt] &=&x^2-6 x-1,5 x+9 \end{array}$

Für die Normalform ergibt sich somit:

Formula: p_1: y=x^2-7,5 x+9

Für die Quadratische Ergänzung folgt:

$Formula: \begin{array}{rlll} y&=&-\left(x^2+10 x\right)-22 \\[5pt] &=&-\left(x^2+10 x+25-25\right)-22 \\[5pt] &=&-\left((x+5)^2-25\right)-22 \\[5pt] &=&-(x+5)^2+3 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} y&=&-\left(x^2+10 x\right)-22 \\[5pt] &=&-\left(x^2+10 x+25-25\right)-22 \\[5pt] &=&-\left((x+5)^2-25\right)-22 \\[5pt] &=&-(x+5)^2+3 \end{array}$

Für den Scheitelpunkt gilt somit:

$Formula: S_2(-5 \mid 3)$ $Formula: S_2(-5 \mid 3)$

Eine Spiegelung an der Formula: x -Achse bedeutet, dass die Vorzeichen aller Formula: y -Koordinaten sich ändern. Damit ergibt sich:

Formula: p_4: y=(x+4)^2-9

Es wird ausmultipliziert. Damit gilt:

Formula: p_4: y=x^2+8 x+7

Nullsetzen der Funktionsgleichung von Formula: p_3 liefert:

$Formula: \begin{array}{rlll} 0&=&-(x+4)^2+9 &\mid\;-9 \\[5pt] -9&=&-(x+4)^2 &\mid\;\cdot (-1) \\[5pt] 9&=&(x+4)^2 &\mid\;\sqrt{\;} \\[5pt] \pm 3&=&x+4 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} 0&=&-(x+4)^2+9 &\mid\;-9 \\[5pt] -9&=&-(x+4)^2 &\mid\;\cdot (-1) \\[5pt] 9&=&(x+4)^2 &\mid\;\sqrt{\;} \\[5pt] \pm 3&=&x+4 \end{array}$

Damit gilt:

$Formula: x_1=-1;\quad x_2=-7$ $Formula: x_1=-1;\quad x_2=-7$

Für die Schnittpunkte folgt:

$Formula: N_1(-7 \mid 0);\quad N_2(-1 \mid 0)$ $Formula: N_1(-7 \mid 0);\quad N_2(-1 \mid 0)$

Koordinatensystem mit zwei Parabeln, Scheitelpunkten S₃ und einem markierten Schnittpunkt A sowie Nullstelle B.

Koordinatensystem mit zwei Parabeln, Scheitelpunkten S₃ und S₁ sowie Nullstellen A und B.

Formula: p_5 ist eine nach oben geöffnete Normalparabel mit dem Scheitelpunkt $Formula: S_5(0 \mid 0)$ $Formula: S_5(0 \mid 0)$ und verläuft durch die Quadranten $Formula: \text{I}$ $Formula: \text{I}$ und $Formula: \text{II}. \,p_6$ $Formula: \text{II}. \,p_6$ ist eine nach unten geöffnete Normalparabel mit dem Scheitelpunkt $Formula: S_6(2 \mid-3)$ $Formula: S_6(2 \mid-3)$ und verläuft durch die Quadranten $Formula: \text{III}$ $Formula: \text{III}$ und $Formula: \text{IV}$ $Formula: \text{IV}$ . Daher können die beiden Parabeln keinen Schnittpunkt haben.

Für die Wahrscheinlichkeiten für genau einen Gewinn gilt:

$Formula: \begin{array}{rlll} P(G;N)&=&\dfrac{2}{500} \cdot \dfrac{498}{499} \\[5pt] &=&\dfrac{249}{62\,375} \\[5pt] P(N;G)&=&\dfrac{498}{500} \cdot \dfrac{2}{499} \\[5pt] &=&\dfrac{249}{62\,375} \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} P(G;N)&=&\dfrac{2}{500} \cdot \dfrac{498}{499} \\[5pt] &=&\dfrac{249}{62\,375} \\[5pt] P(N;G)&=&\dfrac{498}{500} \cdot \dfrac{2}{499} \\[5pt] &=&\dfrac{249}{62\,375} \end{array}$

Zusammengefasst folgt:

$Formula: \begin{array}{rlll} P{\text{(genau ein Gewinn)}}&=&\dfrac{249}{62\,375}+\dfrac{249}{62\,375} \\[5pt] &=&\dfrac{498}{62\,375} \\[5pt] &\approx&0,8\,\% \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} P{\text{(genau ein Gewinn)}}&=&\dfrac{249}{62\,375}+\dfrac{249}{62\,375} \\[5pt] &=&\dfrac{498}{62\,375} \\[5pt] &\approx&0,8\,\% \end{array}$

Für die Wahrscheinlichkeiten für beide Gewinnerkarten in den nächsten drei Verkäufen gilt:

$Formula: \begin{array}{rlll} P(G;G;N)&=&\dfrac{2}{300} \cdot \dfrac{1}{299} \cdot \dfrac{298}{298} \\[5pt] &=&\dfrac{1}{44\,850} \\[5pt] P(G;N;G)&=&\dfrac{2}{300} \cdot \dfrac{298}{299} \cdot \dfrac{1}{298} \\[5pt] &=&\dfrac{1}{44\,850} \\[5pt] P(N;G;G)&=&\dfrac{298}{300} \cdot \dfrac{2}{299} \cdot \dfrac{1}{298} \\[5pt] &=&\dfrac{1}{44\,850} \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} P(G;G;N)&=&\dfrac{2}{300} \cdot \dfrac{1}{299} \cdot \dfrac{298}{298} \\[5pt] &=&\dfrac{1}{44\,850} \\[5pt] P(G;N;G)&=&\dfrac{2}{300} \cdot \dfrac{298}{299} \cdot \dfrac{1}{298} \\[5pt] &=&\dfrac{1}{44\,850} \\[5pt] P(N;G;G)&=&\dfrac{298}{300} \cdot \dfrac{2}{299} \cdot \dfrac{1}{298} \\[5pt] &=&\dfrac{1}{44\,850} \end{array}$

Zusammengefasst folgt:

$Formula: \begin{array}{rlll} P{\text{(beide Gewinnkarten)}}&=&\dfrac{1}{44\,850}+\dfrac{1}{44\,850}+\dfrac{1}{44\,850} \\[5pt] &=&\dfrac{1}{14\,950} \\[5pt] &\approx&0,007\,\% \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} P{\text{(beide Gewinnkarten)}}&=&\dfrac{1}{44\,850}+\dfrac{1}{44\,850}+\dfrac{1}{44\,850} \\[5pt] &=&\dfrac{1}{14\,950} \\[5pt] &\approx&0,007\,\% \end{array}$

Für die Anzahl der Möglichkeiten gilt:

$Formula: 10 \cdot 9 \cdot 8=720$ $Formula: 10 \cdot 9 \cdot 8=720$

$Formula: (\text{I})\quad \dfrac{|\overline{ZA}|}{|\overline{AB}|}=\dfrac{\left|\overline{ZA'}\right|}{\left|\overline{A^{\prime} B^{\prime}}\right|}$ $Formula: (\text{I})\quad \dfrac{|\overline{ZA}|}{|\overline{AB}|}=\dfrac{\left|\overline{ZA'}\right|}{\left|\overline{A^{\prime} B^{\prime}}\right|}$

$Formula: (\text{II})\quad \dfrac{|\overline{ZA}|}{\left|\overline{AA^{\prime}}\right|}=\dfrac{|\overline{ZB}|}{\left|\overline{BB'}\right|}$ $Formula: (\text{II})\quad \dfrac{|\overline{ZA}|}{\left|\overline{AA^{\prime}}\right|}=\dfrac{|\overline{ZB}|}{\left|\overline{BB'}\right|}$

$Formula: (\text{III})\quad \dfrac{|\overline{ZC}|}{|\overline{CB}|}=\dfrac{\left|\overline{ZC'}\right|}{\left|\overline{C'B'}\right|}$ $Formula: (\text{III})\quad \dfrac{|\overline{ZC}|}{|\overline{CB}|}=\dfrac{\left|\overline{ZC'}\right|}{\left|\overline{C'B'}\right|}$

Weiter lernen mit SchulLV Plus!

monatlich kündbarSchulLV Plus-Vorteile im ÜberblickDu hast bereits einen Account?