Aufgabengruppe 2

Die Gerade Formula: g_1 verläuft durch die Punkte $Formula: P(0 \mid-2)$ $Formula: P(0 \mid-2)$ und $Formula: Q(7 \mid 1,5).$ $Formula: Q(7 \mid 1,5).$

Bestimme rechnerisch die Funktionsgleichung von Formula: g_1.

Gegeben ist die Gerade Formula: g_2 mit der Funktionsgleichung $Formula: y=\tfrac{1}{4}x-5,5.$ $Formula: y=\tfrac{1}{4}x-5,5.$

Überprüfe rechnerisch, ob der Punkt $Formula: R(-2 \mid-5,5)$ $Formula: R(-2 \mid-5,5)$ auf Formula: g_2 liegt.

Die Geraden Formula: g_3: y=-4x+3 und Formula: g_2 schneiden sich in einem rechten Winkel.

Begründe diese Aussage nachvollziehbar.

Zeige rechnerisch, dass $Formula: S(2 \mid –5)$ $Formula: S(2 \mid –5)$ der Schnittpunkt der Geraden Formula: g_2 und Formula: g_3 ist.

Die Gerade Formula: g_4 hat die Funktionsgleichung $Formula: y-1=\tfrac{1}{3} x$ $Formula: y-1=\tfrac{1}{3} x$ und schneidet die Formula: x -Achse im Punkt Formula: N.

Berechne die Formula: x -Koordinate von Formula: N.

Die Gerade Formula: g_5 hat keinen Punkt mit der Geraden Formula: g_3 gemeinsam.

Gib die Funktionsgleichung einer möglichen Geraden Formula: g_5 in der Normalform an.

Zeichne die Geraden Formula: g_1 und Formula: g_3 in ein Koordinatensystem mit der Längeneinheit $Formula: 1\;\text{cm}.$ $Formula: 1\;\text{cm}.$

7 P

Bei einer zentrischen Streckung wird das unregelmäßige Dreieck Formula: ZAB auf das Bilddreieck Formula: ZA'B' abgebildet. Für den Streckungsfaktor gilt: Formula: k=1,5

Geometrische Zeichnung mit Strecken und Maßangaben in cm.

Hinweis: Skizze nicht maßstabsgetreu

Berechne den Umfang des Dreiecks Formula: ZA'B'.

Das Dreieck Formula: ZA'B' hat einen Flächeninhalt von $Formula: 155,88 \mathrm{~cm}^2.$ $Formula: 155,88 \mathrm{~cm}^2.$

Bestimme rechnerisch den Flächeninhalt des Dreiecks Formula: ZAB.

3 P

Der Wirkstoff eines bestimmten Medikaments hat im menschlichen Körper eine Halbwertszeit von drei Stunden.

Um 07:00 Uhr morgens nimmt ein Patient $Formula: 90\;\text{mg}$ $Formula: 90\;\text{mg}$ dieses Wirkstoffs ein.

Berechne die Masse des um 13:00 Uhr noch im Körper vorhandenen Wirkstoffs in Milligramm.

Eine Patientin nimmt ebenfalls $Formula: 90\;\text{mg}$ $Formula: 90\;\text{mg}$ dieses Wirkstoffs ein.

Berechne, nach wie vielen Stunden noch $Formula: 5,7\;\text{mg}$ $Formula: 5,7\;\text{mg}$ davon im Körper vorhanden sind.

Eine weitere Person nimmt um 08:00 Uhr eine bestimmte Ausgangsmasse dieses Wirkstoffs ein. Um 17:00 Uhr sind noch $Formula: 21,9\;\text{mg}$ $Formula: 21,9\;\text{mg}$ davon im Körper enthalten.

Berechne die Ausgangsmasse in Milligramm.

5 P

Auf einem Glücksrad befinden sich die Zahlen Formula: 3, 4 und Formula: 5 (siehe Abbildung).

Die vier kleinen Felder sind gleich groß, das große Feld nimmt die Hälfte der Kreisfläche ein.

Kreisdiagramm mit Pfeil oben und mehreren beschrifteten Sektoren.

Das Glücksrad wird zweimal nacheinander gedreht.

Es wird jeweils die Zahl abgelesen, auf deren Feld der Pfeil zeigt.

Zeichne ein dazu passendes Baumdiagramm und beschrifte die Äste mit den jeweiligen Wahrscheinlichkeiten.

Ermittle rechnerisch die Wahrscheinlichkeit dafür, dass zweimal nacheinander eine Formula: 5 gedreht wird.

Man erhält einen kleinen Gewinn, wenn die Summe der beiden Zahlen neun ergibt.

Berechne die Wahrscheinlichkeit für einen „kleinen Gewinn“.

3 P

Die Parabel Formula: p_1 mit der Funktionsgleichung Formula: y=x^2-6 x+7 hat den Scheitelpunkt Formula: S_1.

Bestimme rechnerisch die Koordinaten von Formula: S_1.

Die Punkte $Formula: A(3 \mid 2)$ $Formula: A(3 \mid 2)$ und $Formula: B(-1 \mid-6)$ $Formula: B(-1 \mid-6)$ liegen auf der nach unten geöffneten Normalparabel Formula: p_2.

Ermittle rechnerisch die Funktionsgleichung in der Normalform.

Die nach oben geöffnete Normalparabel Formula: p_3 hat den Scheitelpunkt $Formula: S_3(2,5 \mid 2).$ $Formula: S_3(2,5 \mid 2).$

Bestimme die Funktionsgleichung von Formula: p_3 in der Normalform.

Gegeben ist die Parabel Formula: p_4: y=-x^2+8 x-13. Diese schneidet Formula: p_1 in den Punkten Formula: T_1 und Formula: T_2.

Berechne die Koordinaten der Schnittpunkte Formula: T_1 und Formula: T_2.

Zeichne die Parabeln Formula: p_2 und Formula: p_3 in ein Koordinatensystem mit der Längeneinheit $Formula: 1\;\text{cm}.$ $Formula: 1\;\text{cm}.$

Die Parabel Formula: p_5 hat die Funktionsgleichung Formula: y=(x-4)^2-3.

Gib die Funktionsgleichung einer möglichen Geraden Formula: g an, die Formula: p_5 nicht schneidet.

7 P

Vereinfache den nachfolgenden Term so weit wie möglich.

Es gilt: $Formula: x, y, z \neq 0$ $Formula: x, y, z \neq 0$

$Formula: \dfrac{20 x^{-12} z^{-2} \cdot 13 y^{18} \cdot 2,1 x^7}{0,7 x^{-7} \cdot 156 y^{10} \cdot 5 z^{-2} \cdot 4 x^6}$ $Formula: \dfrac{20 x^{-12} z^{-2} \cdot 13 y^{18} \cdot 2,1 x^7}{0,7 x^{-7} \cdot 156 y^{10} \cdot 5 z^{-2} \cdot 4 x^6}$

Bei der Herleitung der Gleichung zur Formula: 3. binomischen Formel ist ein Fehler aufgetreten.

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} (a+b) \cdot(a-b) &=&a \cdot(a-b)+b \cdot(a-b) \\[5pt] &=&a^2-a b-b a-b^2\\[5pt] &=&a^2-2 a b-b^2 \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} (a+b) \cdot(a-b) &=&a \cdot(a-b)+b \cdot(a-b) \\[5pt] &=&a^2-a b-b a-b^2\\[5pt] &=&a^2-2 a b-b^2 \end{array}$

Korrigiere den Fehler, indem du die korrekte Herleitung aufschreibst.

3 P

Ein Silberwürfel mit einer Kantenlänge von $Formula: 3\;\text{cm}$ $Formula: 3\;\text{cm}$ wird eingeschmolzen. Aus dem gewonnenen Silber wird ein neuer Körper gegossen. Dieser besteht aus einer Halbkugel und einem aufgesetzten Kegel (siehe Abbildung).

Der Kegel und die Halbkugel haben sowohl das gleiche Volumen als auch den gleichen Durchmesser.

Berechne den Oberflächeninhalt der sichtbaren Halbkugel.

Skizze eines Kegels mit Halbkugel und markiertem Radius r.

Hinweis: Skizze nicht maßstabsgetreu

3 P

Gib die Definitionsmenge der folgenden Gleichung an und ermittle rechnerisch die Lösungsmenge.

$Formula: \dfrac{x+4}{2}+\dfrac{3 x-12}{x-4}=4,5$ $Formula: \dfrac{x+4}{2}+\dfrac{3 x-12}{x-4}=4,5$

4 P

Formula: M ist der Mittelpunkt des Thaleskreises über der Strecke $Formula: \overline{AB}.$ $Formula: \overline{AB}.$

Der Flächeninhalt des Kreises beträgt $Formula: 113,04 \mathrm{~cm}^2.$ $Formula: 113,04 \mathrm{~cm}^2.$

Es gilt: $Formula: |\overline{MD}|:|\overline{DB}|=1: 2$ $Formula: |\overline{MD}|:|\overline{DB}|=1: 2$

Geometrische Zeichnung eines Kreises mit Punkten A, B, C, D und M sowie eingezeichneten Strecken und Winkeln.

Hinweis: Skizze nicht maßstabsgetreu

Berechne den Umfang des Dreiecks Formula: ABC.

Schreibe die folgende Gleichung auf und ersetze die Platzhalter so, dass sich eine korrekte Aussage ergibt.

$Formula: \cos \alpha=\dfrac{\square}{\square}$ $Formula: \cos \alpha=\dfrac{\square}{\square}$

Verwende dazu die Bezeichnungen aus der Skizze.

5 P

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Für die Steigung folgt mit $Formula: P(0 \mid-2)$ $Formula: P(0 \mid-2)$ und $Formula: Q(7 \mid 1,5):$ $Formula: Q(7 \mid 1,5):$

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} m&=&\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1} \\[5pt] &=&\dfrac{1,5-(-2)}{7-0} \\[5pt] &=&\dfrac{3,5}{7} \\[5pt] &=&0,5 \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} m&=&\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1} \\[5pt] &=&\dfrac{1,5-(-2)}{7-0} \\[5pt] &=&\dfrac{3,5}{7} \\[5pt] &=&0,5 \end{array}$

Da $Formula: P(0 \mid-2)$ $Formula: P(0 \mid-2)$ auf der Formula: y -Achse liegt, gilt für den -Achsenabschnitt Formula: b=-2.

Es folgt:

Formula: g_1: y=0,5 x-2

Für die Punktprobe mit $Formula: R(-2 \mid-5,5)$ $Formula: R(-2 \mid-5,5)$ folgt:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} -5,5&=&\dfrac{1}{4} \cdot(-2)-5,5 \\[5pt] -5,5&=&-0,5-5,5 \\[5pt] -5,5 &\neq&-6 \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} -5,5&=&\dfrac{1}{4} \cdot(-2)-5,5 \\[5pt] -5,5&=&-0,5-5,5 \\[5pt] -5,5 &\neq&-6 \end{array}$

$Formula: R(-2 \mid-5,5)$ $Formula: R(-2 \mid-5,5)$ liegt nicht auf Formula: g_2.

Für die Steigungen gilt:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} m_2&=&\dfrac{1}{4} \\[5pt] m_3&=&-4 \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} m_2&=&\dfrac{1}{4} \\[5pt] m_3&=&-4 \end{array}$

Da $Formula: \dfrac{1}{4} \cdot(-4)=-1$ $Formula: \dfrac{1}{4} \cdot(-4)=-1$ gilt, stehen die Geraden senkrecht aufeinander und schneiden sich im rechten Winkel.

Einsetzen des Punkts $Formula: S(2 \mid-5)$ $Formula: S(2 \mid-5)$ in die Gleichung von Formula: g_2 liefert:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} -5&=&\dfrac{1}{4} \cdot 2-5,5 \\[5pt] -5&=&-5 \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} -5&=&\dfrac{1}{4} \cdot 2-5,5 \\[5pt] -5&=&-5 \end{array}$

Somit liegt $Formula: S(2 \mid-5)$ $Formula: S(2 \mid-5)$ auf Formula: g_2.

Für die Punktprobe mit $Formula: S(2 \mid-5)$ $Formula: S(2 \mid-5)$ für Formula: g_3 gilt:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} -5&=&-2\cdot2+3 \\[5pt] -5&=&-5 \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} -5&=&-2\cdot2+3 \\[5pt] -5&=&-5 \end{array}$

$Formula: S(2 \mid-5)$ $Formula: S(2 \mid-5)$ ist der Schnittpunkt von Formula: g_2 und Formula: g_3.

Für Formula: y=0 folgt:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} 0-1&=&\dfrac{1}{3} x &\mid\;\cdot3\\[5pt] -3&=&x \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} 0-1&=&\dfrac{1}{3} x &\mid\;\cdot3\\[5pt] -3&=&x \end{array}$

Die Gerade Formula: g_5 soll keinen gemeinsamen Punkt mit Formula: g_3:y=−4x+3 haben, somit muss parallel zu sein.

Die Steigung muss also ebenfalls Formula: m=−4 sein, der Formula: y -Achsenabschnitt muss jedoch anders sein. Eine mögliche Lösung wäre:

Formula: g_5: y=-4 x+1

Koordinatensystem mit zwei Geraden g1 und g3 sowie den Punkten P und Q.

Für die Strecke Formula: ZA' gilt:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} ZA'&=&1,5\cdot ZA \\[5pt] &=&1,5\cdot16 \\[5pt] &=&24\;\text{cm} \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} ZA'&=&1,5\cdot ZA \\[5pt] &=&1,5\cdot16 \\[5pt] &=&24\;\text{cm} \end{array}$

Für die Strecke Formula: A'B' folgt:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} A' B'&=&1,5 \cdot A B \\[5pt] &=&1,5\cdot10 \\[5pt] &=&15\;\text{cm} \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} A' B'&=&1,5 \cdot A B \\[5pt] &=&1,5\cdot10 \\[5pt] &=&15\;\text{cm} \end{array}$

Es gilt:

$Formula: Z B^{\prime}=1,5 \cdot Z B$ $Formula: Z B^{\prime}=1,5 \cdot Z B$

Außerdem gilt:

$Formula: B B^{\prime}=Z B^{\prime}-Z B$ $Formula: B B^{\prime}=Z B^{\prime}-Z B$

Da $Formula: B B^{\prime}=7 \mathrm{~cm},$ $Formula: B B^{\prime}=7 \mathrm{~cm},$ folgt:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} 1,5 Z B-Z B&=&7 \\[5pt] 0,5 Z B&=&7 &\mid\;:0,5 \\[5pt] ZB&=&14\;\text{cm} \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} 1,5 Z B-Z B&=&7 \\[5pt] 0,5 Z B&=&7 &\mid\;:0,5 \\[5pt] ZB&=&14\;\text{cm} \end{array}$

Damit folgt:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} Z B^{\prime}&=&1,5 \cdot 14 \\[5pt] &=&21\;\text{cm} \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} Z B^{\prime}&=&1,5 \cdot 14 \\[5pt] &=&21\;\text{cm} \end{array}$

Für den Umfang ergibt sich:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} U&=&Z A^{\prime}+A^{\prime} B^{\prime}+Z B^{\prime} \\[5pt] &=&24+15+21 \\[5pt] &=&60\;\text{cm} \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} U&=&Z A^{\prime}+A^{\prime} B^{\prime}+Z B^{\prime} \\[5pt] &=&24+15+21 \\[5pt] &=&60\;\text{cm} \end{array}$

Es gilt:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} k^2&=&1,5 ^2\\[5pt] &=&2,25 \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} k^2&=&1,5 ^2\\[5pt] &=&2,25 \end{array}$

Es folgt:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} A_{Z A^{\prime} B^{\prime}}&=&2,25 \cdot A_{Z A B} &\mid\;:2,25 \\[5pt] \dfrac{155,88}{2,25}&=&A_{Z A B}\\[5pt] &=&69,28 \mathrm{~cm}^2 \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} A_{Z A^{\prime} B^{\prime}}&=&2,25 \cdot A_{Z A B} &\mid\;:2,25 \\[5pt] \dfrac{155,88}{2,25}&=&A_{Z A B}\\[5pt] &=&69,28 \mathrm{~cm}^2 \end{array}$

Von 07:00 Uhr bis 13:00 Uhr vergehen Formula: 6 Stunden. Das entspricht $Formula: \tfrac{6}{3}=2$ $Formula: \tfrac{6}{3}=2$ Halbwertszeiten. Es folgt:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} m(6)&=&90 \cdot\left(\dfrac{1}{2}\right)^2 \\[5pt] &=&90\cdot\dfrac{1}{4} \\[5pt] &=&22,5 \;\text{mg} \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} m(6)&=&90 \cdot\left(\dfrac{1}{2}\right)^2 \\[5pt] &=&90\cdot\dfrac{1}{4} \\[5pt] &=&22,5 \;\text{mg} \end{array}$

Für den Ansatz gilt:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} 5,7&=&90 \cdot\left(\dfrac{1}{2}\right)^n &\mid\;:90 \\[5pt] \dfrac{5,7}{90}&=&\left(\dfrac{1}{2}\right)^n \\[5pt] 0,06333&=&\left(\dfrac{1}{2}\right)^n &\mid\;\log_{0,5} \\[5pt] \log _{0,5} (0,06333)&=&n \\[5pt] 4&\approx&n \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} 5,7&=&90 \cdot\left(\dfrac{1}{2}\right)^n &\mid\;:90 \\[5pt] \dfrac{5,7}{90}&=&\left(\dfrac{1}{2}\right)^n \\[5pt] 0,06333&=&\left(\dfrac{1}{2}\right)^n &\mid\;\log_{0,5} \\[5pt] \log _{0,5} (0,06333)&=&n \\[5pt] 4&\approx&n \end{array}$

Für die Gesamtzeit in Stunden gilt:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} t&=&4\cdot3\\[5pt] &=&12\;\text{h} \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} t&=&4\cdot3\\[5pt] &=&12\;\text{h} \end{array}$

Formula: 9 Stunden entsprechen $Formula: \tfrac{9}{3}=3$ $Formula: \tfrac{9}{3}=3$ Halbwertszeiten. Es folgt:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} 21,9&=&m_0 \cdot\left(\dfrac{1}{2}\right)^3 \\[5pt] 21,9&=&m_0 \cdot\left(\dfrac{1}{8}\right) &\mid\;\cdot 8 \\[5pt] 175,2\;\text{mg}&=&m_0 \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} 21,9&=&m_0 \cdot\left(\dfrac{1}{2}\right)^3 \\[5pt] 21,9&=&m_0 \cdot\left(\dfrac{1}{8}\right) &\mid\;\cdot 8 \\[5pt] 175,2\;\text{mg}&=&m_0 \end{array}$

Baumdiagramm mit Wahrscheinlichkeiten und Zahlenkreisen.

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} P(5;5)&=&\dfrac{1}{8}\cdot \dfrac{1}{8} \\[5pt] &=&\dfrac{1}{64} \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} P(5;5)&=&\dfrac{1}{8}\cdot \dfrac{1}{8} \\[5pt] &=&\dfrac{1}{64} \end{array}$

Es gilt:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} P(4;5)&=&\dfrac{2}{8} \cdot \dfrac{1}{8}\\[5pt] &=&\dfrac{1}{32} \\[5pt] P(5;4)&=&\dfrac{1}{8}\cdot \dfrac{2}{8} \\[5pt] &=&\dfrac{1}{32} \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} P(4;5)&=&\dfrac{2}{8} \cdot \dfrac{1}{8}\\[5pt] &=&\dfrac{1}{32} \\[5pt] P(5;4)&=&\dfrac{1}{8}\cdot \dfrac{2}{8} \\[5pt] &=&\dfrac{1}{32} \end{array}$

Es folgt:

$Formula: P\text{( kleiner Gewinn )}=\dfrac{1}{32}+\dfrac{1}{32}=\dfrac{1}{16}$ $Formula: P\text{( kleiner Gewinn )}=\dfrac{1}{32}+\dfrac{1}{32}=\dfrac{1}{16}$

Für die Scheitelpunktform gilt:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} y&=&x^2-6 x\\[5pt] &=&x^2-6 x+3^2-3^2+7 \\[5pt] &=&(x-3)^2-2 \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} y&=&x^2-6 x\\[5pt] &=&x^2-6 x+3^2-3^2+7 \\[5pt] &=&(x-3)^2-2 \end{array}$

Es folgt:

$Formula: S_1(3 \mid-2)$ $Formula: S_1(3 \mid-2)$

Einsetzen der Koordinaten von Formula: A in die allgemeine Normalform einer nach unten geöffneten Parabel liefert:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} 2&=&-(3)^2+3 b+c\\[5pt] 2&=&-9+3 b+c &\mid\;+9 \\[5pt] 11&=&3 b+c \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} 2&=&-(3)^2+3 b+c\\[5pt] 2&=&-9+3 b+c &\mid\;+9 \\[5pt] 11&=&3 b+c \end{array}$

Punkt Formula: B liefert:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} -6&=&-(-1)^2-b+c\\[5pt] -6&=&-1-b+c &\mid\;+1 \\[5pt] -5&=&-b+c \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} -6&=&-(-1)^2-b+c\\[5pt] -6&=&-1-b+c &\mid\;+1 \\[5pt] -5&=&-b+c \end{array}$

Daraus ergibt sich:

Formula: c=b-5

Einsetzen in die erste Gleichung liefert somit:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} 11&=&3 b+(b-5)\\[5pt] 11&=&4 b-5 &\mid\;+5\\[5pt] 16&=&4b &\mid\;:4 \\[5pt] 4&=&b \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} 11&=&3 b+(b-5)\\[5pt] 11&=&4 b-5 &\mid\;+5\\[5pt] 16&=&4b &\mid\;:4 \\[5pt] 4&=&b \end{array}$

Es folgt:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} c&=&4-5\\[5pt] &=&-1 \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} c&=&4-5\\[5pt] &=&-1 \end{array}$

Daraus resultiert:

Formula: p_2: y=-x^2+4 x-1

Für die Scheitelpunktform gilt:

Formula: y=(x-2,5)^2+2

Nach dem Ausmultiplizieren ergibt sich für die Normalform:

Formula: p_3: y=x^2-5 x+8,25

Gleichsetzen liefert:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} x^2-6 x+7&=&-x^2+8 x-13 &\mid\;+x^2-8x+13 \\[5pt] 2 x^2-14 x+20&=&0 &\mid\;:2 \\[5pt] x^2-7 x+10&=&0 \\[5pt] (x-5)(x-2)&=&0 \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} x^2-6 x+7&=&-x^2+8 x-13 &\mid\;+x^2-8x+13 \\[5pt] 2 x^2-14 x+20&=&0 &\mid\;:2 \\[5pt] x^2-7 x+10&=&0 \\[5pt] (x-5)(x-2)&=&0 \end{array}$

Es gilt:

$Formula: x_1=2, \quad x_2=5$ $Formula: x_1=2, \quad x_2=5$

Einsetzen der Formula: x -Werte in die Funktionsgleichungen ergibt:

$Formula: T_1(2 \mid-1), \quad T_2(5 \mid 2)$ $Formula: T_1(2 \mid-1), \quad T_2(5 \mid 2)$

Koordinatensystem mit zwei Parabeln und markierten Punkten A, B und S3.

Der kleinste Formula: y -Wert der Parabel ist Formula: −3, da sie nach oben geöffnet ist.

Eine Gerade unterhalb davon schneidet die Parabel nicht, zum Beispiel Formula: g:y=-5.

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} \dfrac{20 x^{-12} z^{-2} \cdot 13 y^{18} \cdot 2,1 x^7}{0,7 x^{-7} \cdot 156 y^{10} \cdot 5 z^{-2} \cdot 4 x^6}&=&\dfrac{20 \cdot 13 \cdot 2,1 \cdot x^{-12} \cdot x^7 \cdot y^{18} \cdot z^{-2}}{0,7 \cdot 156 \cdot 5 \cdot 4 \cdot x^{-7} \cdot x^6 \cdot y^{10} \cdot z^{-2}}\\[5pt] &=&\dfrac{546 \cdot x^{-5} \cdot y^{18} \cdot z^{-2}}{2184 \cdot x^{-1} \cdot y^{10} \cdot z^{-2}} \\[5pt] &=&0,25 x^{-4} y^8 \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} \dfrac{20 x^{-12} z^{-2} \cdot 13 y^{18} \cdot 2,1 x^7}{0,7 x^{-7} \cdot 156 y^{10} \cdot 5 z^{-2} \cdot 4 x^6}&=&\dfrac{20 \cdot 13 \cdot 2,1 \cdot x^{-12} \cdot x^7 \cdot y^{18} \cdot z^{-2}}{0,7 \cdot 156 \cdot 5 \cdot 4 \cdot x^{-7} \cdot x^6 \cdot y^{10} \cdot z^{-2}}\\[5pt] &=&\dfrac{546 \cdot x^{-5} \cdot y^{18} \cdot z^{-2}}{2184 \cdot x^{-1} \cdot y^{10} \cdot z^{-2}} \\[5pt] &=&0,25 x^{-4} y^8 \end{array}$

Für die korrekte Herleitung der Formula: 3. binomischen Formel gilt:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} (a+b)\cdot(a-b)&=&a\cdot(a-b)+b\cdot(a-b)\\[5pt] &=&a^2-ab+ab-b^2\\[5pt] &=&a^2-b^2 \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} (a+b)\cdot(a-b)&=&a\cdot(a-b)+b\cdot(a-b)\\[5pt] &=&a^2-ab+ab-b^2\\[5pt] &=&a^2-b^2 \end{array}$

Für das Würfelvolumen gilt:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} V_W&=&3^3\\[5pt] &=&27\;\text{cm}^3 \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} V_W&=&3^3\\[5pt] &=&27\;\text{cm}^3 \end{array}$

Für das Volumen pro Form folgt:

$Formula: \frac{27}{2}=13,5 \mathrm{~cm}^3$ $Formula: \frac{27}{2}=13,5 \mathrm{~cm}^3$

Für den Radius gilt somit:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} V_{\text {Halbkugel }}&=&\dfrac{2}{3} \pi r^3\\[5pt] 13,5&=&\dfrac{2}{3} \pi r^3 &\mid\;\cdot\dfrac{3}{2} \\[5pt] 20,25&=&\pi r^3 &\mid\;:\pi \\[5pt] \dfrac{20,25}{\pi} &=&r^3 &\mid\;\sqrt[3]{\;} \\[5pt] 1,86&\approx& r \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} V_{\text {Halbkugel }}&=&\dfrac{2}{3} \pi r^3\\[5pt] 13,5&=&\dfrac{2}{3} \pi r^3 &\mid\;\cdot\dfrac{3}{2} \\[5pt] 20,25&=&\pi r^3 &\mid\;:\pi \\[5pt] \dfrac{20,25}{\pi} &=&r^3 &\mid\;\sqrt[3]{\;} \\[5pt] 1,86&\approx& r \end{array}$

Für die Oberfläche folgt:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} O&=&2 \pi r^2\\[5pt] &=& 2 \pi \cdot(1,86)^2 \\[5pt] &\approx& 21,73 \mathrm{~cm}^2 \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} O&=&2 \pi r^2\\[5pt] &=& 2 \pi \cdot(1,86)^2 \\[5pt] &\approx& 21,73 \mathrm{~cm}^2 \end{array}$

Definitionsmenge angeben

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} x-4 & \neq& 0 \\[5pt] x &\neq& 4 \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} x-4 & \neq& 0 \\[5pt] x &\neq& 4 \end{array}$

Es gilt:

$Formula: D=\mathbb{R} \setminus\{4\}$ $Formula: D=\mathbb{R} \setminus\{4\}$

Lösungsmenge ermitteln

Für den zweiten Bruch gilt:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} \dfrac{3 x-12}{x-4}&=&\dfrac{3(x-4)}{x-4}\\[5pt] &=&3 \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} \dfrac{3 x-12}{x-4}&=&\dfrac{3(x-4)}{x-4}\\[5pt] &=&3 \end{array}$

Es folgt:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} \dfrac{x+4}{2}+3&=&4,5 &\mid\;-3\\[5pt] \dfrac{x+4}{2}&=&1,5 &\mid\;\cdot2 \\[5pt] x+4&=&3 &\mid\;-4 \\[5pt] x&=&-1 \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} \dfrac{x+4}{2}+3&=&4,5 &\mid\;-3\\[5pt] \dfrac{x+4}{2}&=&1,5 &\mid\;\cdot2 \\[5pt] x+4&=&3 &\mid\;-4 \\[5pt] x&=&-1 \end{array}$

Somit folgt:

$Formula: L=\{-1\}$ $Formula: L=\{-1\}$

Für den Radius des Kreises gilt:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} A&=&\pi\cdot r^2\\[5pt] 113,04&=&\pi\cdot r^2 &\mid\;:\pi \\[5pt] \dfrac{113,04}{\pi}&=&r^2 &\mid\;\sqrt{\;} \\[5pt] 6\;\text{cm}&\approx&r \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} A&=&\pi\cdot r^2\\[5pt] 113,04&=&\pi\cdot r^2 &\mid\;:\pi \\[5pt] \dfrac{113,04}{\pi}&=&r^2 &\mid\;\sqrt{\;} \\[5pt] 6\;\text{cm}&\approx&r \end{array}$

Da Formula: M der Mittelpunkt ist, gilt:

$Formula: \vert\overline{A M}\vert=\vert\overline{MB}\vert=6 \mathrm{~cm}$ $Formula: \vert\overline{A M}\vert=\vert\overline{MB}\vert=6 \mathrm{~cm}$

Somit beträgt der Durchmesser $Formula: \vert\overline{A B}\vert=12 \mathrm{~cm}.$ $Formula: \vert\overline{A B}\vert=12 \mathrm{~cm}.$

Formula: D liegt auf $Formula: \overline{MB},$ $Formula: \overline{MB},$ somit folgt:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} \vert\overline{MB}\vert&=&\vert\overline{MD}\vert+\vert\overline{DB}\vert\\[5pt] &=&6 \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} \vert\overline{MB}\vert&=&\vert\overline{MD}\vert+\vert\overline{DB}\vert\\[5pt] &=&6 \end{array}$

Einsetzen von $Formula: \vert\overline{M D}\vert=x$ $Formula: \vert\overline{M D}\vert=x$ und $Formula: \vert\overline{D B}\vert=2 x$ $Formula: \vert\overline{D B}\vert=2 x$ liefert:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} x+2x&=&6\\[5pt] 3x&=&6 &\mid\;:3 \\[5pt] x&=&2 \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} x+2x&=&6\\[5pt] 3x&=&6 &\mid\;:3 \\[5pt] x&=&2 \end{array}$

Somit gilt:

$Formula: \vert\overline{M D}\vert=2 \mathrm{~cm}, \quad \vert\overline{D B}\vert=4 \mathrm{~cm}$ $Formula: \vert\overline{M D}\vert=2 \mathrm{~cm}, \quad \vert\overline{D B}\vert=4 \mathrm{~cm}$

Damit folgt:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} \vert\overline{AD}\vert&=&\vert\overline{AM}\vert+\vert\overline{MD}\vert\\[5pt] &=&6+2 \\[5pt] &=&8\;\text{cm} \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} \vert\overline{AD}\vert&=&\vert\overline{AM}\vert+\vert\overline{MD}\vert\\[5pt] &=&6+2 \\[5pt] &=&8\;\text{cm} \end{array}$

Für die Seitenlänge $Formula: \vert\overline{AC}\vert$ $Formula: \vert\overline{AC}\vert$ ergibt sich mit dem Kathetensatz:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} \vert\overline{A C}^2\vert&=&\vert\overline{A D}\vert \cdot \vert\overline{A B}\vert \\[5pt] \vert\overline{A C}^2\vert&=&8\cdot12 \\[5pt] \vert\overline{A C}^2\vert&=&96 &\mid\;\sqrt{\;} \\[5pt] \vert\overline{AC}\vert&\approx&9,80\;\text{cm} \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} \vert\overline{A C}^2\vert&=&\vert\overline{A D}\vert \cdot \vert\overline{A B}\vert \\[5pt] \vert\overline{A C}^2\vert&=&8\cdot12 \\[5pt] \vert\overline{A C}^2\vert&=&96 &\mid\;\sqrt{\;} \\[5pt] \vert\overline{AC}\vert&\approx&9,80\;\text{cm} \end{array}$

Für die Seitenlänge $Formula: \vert\overline{BC}\vert$ $Formula: \vert\overline{BC}\vert$ folgt ebenfalls mit dem Kathetensatz:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} \vert\overline{B C}^2\vert&=&\vert\overline{D B}\vert \cdot \vert\overline{A B}\vert \\[5pt] \vert\overline{B C}^2\vert&=&4\cdot12 \\[5pt] \vert\overline{B C}^2\vert&=&48 &\mid\;\sqrt{\;} \\[5pt] \vert\overline{AC}\vert&\approx&6,9\;\text{cm} \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} \vert\overline{B C}^2\vert&=&\vert\overline{D B}\vert \cdot \vert\overline{A B}\vert \\[5pt] \vert\overline{B C}^2\vert&=&4\cdot12 \\[5pt] \vert\overline{B C}^2\vert&=&48 &\mid\;\sqrt{\;} \\[5pt] \vert\overline{AC}\vert&\approx&6,9\;\text{cm} \end{array}$

Für den Umfang folgt:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} U&=&\vert\overline{A B}\vert+\vert\overline{A C}\vert+\vert\overline{B C}\vert\\[5pt] &=& 12+9,80+6,90 \\[5pt] &=&28,7\;\text{cm} \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} U&=&\vert\overline{A B}\vert+\vert\overline{A C}\vert+\vert\overline{B C}\vert\\[5pt] &=& 12+9,80+6,90 \\[5pt] &=&28,7\;\text{cm} \end{array}$

Die Ankathete zu $Formula: \alpha$ $Formula: \alpha$ ist die Seite $Formula: \overline{AD}.$ $Formula: \overline{AD}.$ Die Hypotenuse ist die Seite $Formula: \overline{AC}.$ $Formula: \overline{AC}.$ Somit folgt:

$Formula: \cos \alpha=\dfrac{\vert\overline{A D}\vert}{\vert\overline{A C}\vert}$ $Formula: \cos \alpha=\dfrac{\vert\overline{A D}\vert}{\vert\overline{A C}\vert}$

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