Aufgabengruppe 1

Ermittle rechnerisch die Funktionsgleichung der nach oben geöffneten Normalparabel Formula: p_1 mit dem Scheitelpunkt $Formula: S_1(–4 \mid 1)$ $Formula: S_1(–4 \mid 1)$ in der Normalform.

Die nach unten geöffnete Normalparabel Formula: p_2 geht durch die Punkte $Formula: A(-4 \mid 1)$ $Formula: A(-4 \mid 1)$ und $Formula: B(0 \mid 1).$ $Formula: B(0 \mid 1).$

Ermittle rechnerisch die Funktionsgleichung von Formula: p_2 in der Scheitelpunktform und gib den Scheitelpunkt Formula: S_2 an.

Bestimme zeichnerisch die Koordinaten der Schnittpunkte Formula: Q und Formula: R der beiden Normalparabeln Formula: p_1 und Formula: p_2 in einem Koordinatensystem mit der Längeneinheit $Formula: 1\;\text{cm}.$ $Formula: 1\;\text{cm}.$

Gib Formula: Q und Formula: R an.

Die Normalparabeln Formula: p_3: y=x^2+2 x-2 sowie Formula: p_4: y=-x^2-2 x+4 schneiden sich in den Punkten Formula: M und Formula: N.

Berechne die Koordinaten von Formula: M und Formula: N und gib beide Punkte an.

8 P

Der Neupreis eines Autos beträgt $Formula: 37\,450\;\text{€}.$ $Formula: 37\,450\;\text{€}.$

Berechne, in wie vielen Jahren sich der Wert dieses Autos auf $Formula: 25\,000\;\text{€}$ $Formula: 25\,000\;\text{€}$ verringert, wenn man von einem jährlich gleichbleibenden prozentualen Wertverlust von $Formula: 12,7\,\%$ $Formula: 12,7\,\%$ ausgeht.

Der Neuwagen soll nach acht Jahren als Gebrauchtwagen für $Formula: 9\,000\;\text{€}$ $Formula: 9\,000\;\text{€}$ verkauft werden.

Bestimme für diesen Fall den Wertverlust pro Jahr in Prozent, unter der Annahme, dass dieser über die Jahre hinweg gleich bleibt.

Tatsächlich ist der Wertverlust aber nicht gleichbleibend.

Im ersten Jahr beträgt er $Formula: 25\,\%,$ $Formula: 25\,\%,$ im zweiten Jahr $Formula: 18\,\%$ $Formula: 18\,\%$ und in den darauffolgenden vier Jahren jeweils $Formula: 9\,\%.$ $Formula: 9\,\%.$

Ermittle den Wert des Autos nach diesen Formula: 6 Jahren.

4 P

Die folgende Abbildung zeigt eine Figur, bei der gilt:

$Formula: \overline{AD}=8 \mathrm{~cm} ;$ $Formula: \overline{AD}=8 \mathrm{~cm} ;$
$Formula: \alpha=25^{\circ} ;$ $Formula: \alpha=25^{\circ} ;$
$Formula: A_{ADEF}=72 \mathrm{~cm}^2$ $Formula: A_{ADEF}=72 \mathrm{~cm}^2$

Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks Formula: ABC.

Geometrische Skizze mit Dreieck ABC und Rechteck AFED, markierten Winkeln und Winkel α bei A.

Hinweis: Skizze nicht maßstabsgetreu

3 P

Vereinfache den unten stehenden Term so weit wie möglich.

Es gilt: $Formula: x ; y ; z \neq 0$ $Formula: x ; y ; z \neq 0$

$Formula: \dfrac{21 x^{-4} \cdot 9 y^3 \cdot 6 z^5 \cdot x^3 \cdot 8 z^{-8}}{4 y^2 \cdot 7 x^{-6} \cdot 3 y \cdot 18 z^{-4}}$ $Formula: \dfrac{21 x^{-4} \cdot 9 y^3 \cdot 6 z^5 \cdot x^3 \cdot 8 z^{-8}}{4 y^2 \cdot 7 x^{-6} \cdot 3 y \cdot 18 z^{-4}}$

2 P

Die Gerade Formula: g_1 verläuft durch den Punkt $Formula: A(4\mid 4,5)$ $Formula: A(4\mid 4,5)$ und hat die Steigung $Formula: m_1=\tfrac{3}{4}.$ $Formula: m_1=\tfrac{3}{4}.$

Bestimme rechnerisch die Funktionsgleichung von Formula: g_1.

Berechne die Formula: x -Koordinate der Nullstelle Formula: N der Geraden Formula: g_2: y=-2,5x-7,5.

Der Punkt $Formula: P(-4 \mid y)$ $Formula: P(-4 \mid y)$ liegt auf Formula: g_2.

Berechne die fehlende Formula: y -Koordinate.

Die Gerade Formula: g_4 durch den Punkt $Formula: C(4,5 \mid-2)$ $Formula: C(4,5 \mid-2)$ steht senkrecht auf der Geraden Formula: g_3: y=0,25 x+4.

Ermittle rechnerisch die Funktionsgleichung von Formula: g_4.

Die Gerade Formula: g_5 mit der Funktionsgleichung Formula: 14-3 y=3,75 x-7 schneidet die Gerade Formula: g_3 im Punkt Formula: D.

Bestimme rechnerisch die Koordinaten des Schnittpunkts Formula: D.

Ermittle rechnerisch die Funktionsgleichung der Geraden Formula: g_6, auf der die Punkte $Formula: E(4,5 \mid-2)$ $Formula: E(4,5 \mid-2)$ und $Formula: F(-1,5 \mid 6)$ $Formula: F(-1,5 \mid 6)$ liegen.

Zeichne die Geraden Formula: g_2, g_3 und Formula: g_6 in ein Koordinatensystem mit der Längeneinheit $Formula: 1\;\text{cm}.$ $Formula: 1\;\text{cm}.$

8 P

Gegeben ist folgende Gleichung:

$Formula: \dfrac{1,5 x+6}{x+6,5}=\dfrac{x-3}{2 x-3}$ $Formula: \dfrac{1,5 x+6}{x+6,5}=\dfrac{x-3}{2 x-3}$

Gib die Definitionsmenge an, löse die Gleichung nach Formula: x auf und bestimme die Lösungsmenge.

4 P

In einer Firma werden vier gleich große Pralinenkugeln, die vollständig mit Marzipan gefüllt sind, mit einem Durchmesser von jeweils $Formula: 3\;\text{cm}$ $Formula: 3\;\text{cm}$ übereinander in eine Schachtel verpackt.

Die zylinderförmige Verpackung hat eine Höhe von $Formula: 12,2 \mathrm{~cm}$ $Formula: 12,2 \mathrm{~cm}$ und einen Innendurchmesser von $Formula: 3,2 \mathrm{~cm}.$ $Formula: 3,2 \mathrm{~cm}.$

Berechne den prozentualen Anteil der Luft in der Schachtel am Innenvolumen der Schachtel nach dem Verpacken der vier Pralinen.

Jede Pralinenkugel soll mit einer dünnen Blattgoldschicht überzogen werden. Berechne, wie viele $Formula: \mathrm{cm}^2$ $Formula: \mathrm{cm}^2$ Blattgold für eine Pralinenkugel mindestens benötigt werden.

Bestimme die Masse einer massiven Kugel aus Gold mit einem Volumen von $Formula: 753 \mathrm{~mm}^3.$ $Formula: 753 \mathrm{~mm}^3.$ Dabei wiegt ein $Formula: 1 \mathrm{~cm}^3$ $Formula: 1 \mathrm{~cm}^3$ Gold $Formula: 19,3 \mathrm{~g}.$ $Formula: 19,3 \mathrm{~g}.$

5 P

Ein Gemälde mit der Breite $Formula: \overline{D^{\prime} C^{\prime}}$ $Formula: \overline{D^{\prime} C^{\prime}}$ soll vollständig ausgeleuchtet werden (siehe Skizze, die eine Ansicht von oben darstellt). Wenn sich der Scheinwerfer $Formula: 1\;\text{m}$ $Formula: 1\;\text{m}$ entfernt befindet Formula: (A), bleiben insgesamt $Formula: 15\;\text{cm}$ $Formula: 15\;\text{cm}$ der Bildbreite schlecht beleuchtet. Um die ganze Breite gut auszuleuchten, wird die Lichtquelle um $Formula: 12\;\text{cm}$ $Formula: 12\;\text{cm}$ verschoben Formula: (A').

Ermittle rechnerisch die Breite $Formula: \overline{D^{\prime} C^{\prime}}$ $Formula: \overline{D^{\prime} C^{\prime}}$ und die Größe des Winkels $Formula: \alpha.$ $Formula: \alpha.$

Skizze eines Gemäldes mit zwei ähnlichen Dreiecken, Höhenangaben 100 und 12 cm sowie Winkel α.

Hinweis: Skizze nicht maßstabsgetreu

4 P

Bei den folgenden Umformungen werden die binomischen Formeln angewendet.

Ersetze die Platzhalter  jeweils durch den entsprechenden Term und schreibe die mathematisch richtige Gleichung auf.

$Formula: \text{I}. \quad 49 a^6+$ $Formula: \text{I}. \quad 49 a^6+$  Formula: +100 c^2=(  Formula: )^2

$Formula: \text{II}. \; (18 ac+$ $Formula: \text{II}. \; (18 ac+$  $Formula: ) \cdot(18ac-$ $Formula: ) \cdot(18ac-$  Formula: )=  $Formula: -\dfrac{1}{25} b^2$ $Formula: -\dfrac{1}{25} b^2$

3 P

10.

Ein Glücksrad ist in gleich große Sektoren unterteilt.

Auf jedem Feld befindet sich eines von drei Symbolen (siehe Skizze).

Kreisdiagramm mit grauen Kreisen, Quadraten und Dreiecken; ein Pfeil zeigt auf ein Quadrat.

Das Glücksrad wird zweimal nacheinander gedreht.

Zeichne ein Baumdiagramm mit den möglichen Ergebnissen und beschrifte die Äste mit den entsprechenden Wahrscheinlichkeiten.

Das Glücksrad wird dreimal nacheinander gedreht.

Berechne, mit welcher Wahrscheinlichkeit der Pfeil zuerst auf ein Dreieck, dann auf ein Viereck und danach auf einen Kreis zeigt, und gib diese in Prozent an.

Das Glücksrad wird viermal nacheinander gedreht.

Berechne die Wahrscheinlichkeit in Prozent, dass nicht viermal hintereinander ein Kreis angezeigt wird.

4 P

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Die Parabel Formula: p_1 ist nach oben geöffnet mit der Funktionsgleichung $Formula: y=\left(x-x_S\right)^2+y_S.$ $Formula: y=\left(x-x_S\right)^2+y_S.$ Somit folgt:

$Formula: \begin{array}{rlll} y&=&(x-(-4))^2+1 \\[5pt] &=&(x+4)^2+1 \\[5pt] &=&x^2+8 x+16+1 \\[5pt] &=&x^2+8 x+17 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} y&=&(x-(-4))^2+1 \\[5pt] &=&(x+4)^2+1 \\[5pt] &=&x^2+8 x+16+1 \\[5pt] &=&x^2+8 x+17 \end{array}$

Da $Formula: A(−4\mid 1)$ $Formula: A(−4\mid 1)$ und $Formula: B(0\mid 1)$ $Formula: B(0\mid 1)$ dieselbe Formula: y -Koordinate haben, liegt die Symmetrieachse genau zwischen ihren Formula: x -Koordinaten. Somit gilt:

$Formula: x_S=\frac{-4+0}{2}=-2$ $Formula: x_S=\frac{-4+0}{2}=-2$

Für den Ansatz folgt:

Formula: y=-(x+2)^2+y_S

Der Punkt $Formula: B(0 \mid 1)$ $Formula: B(0 \mid 1)$ wird einsetzt. Damit ergibt sich:

$Formula: \begin{array}{rlll} 1&=&-(0+2)^2+y_S \\[5pt] 1&=&-4+y_S &\mid\;+4 \\[5pt] 5&=&y_S \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} 1&=&-(0+2)^2+y_S \\[5pt] 1&=&-4+y_S &\mid\;+4 \\[5pt] 5&=&y_S \end{array}$

Somit gilt:

Formula: p_2: y=-(x+2)^2+5

Für den Scheitelpunkt Formula: S_2 folgt:

$Formula: S_2(-2 \mid 5)$ $Formula: S_2(-2 \mid 5)$

Koordinatensystem mit zwei Parabeln p₁ und p₂, die sich in Q(-4|1) und R(-2|5) schneiden.

Für die Schnittpunkte gilt:

$Formula: Q(-4 \mid 1); \quad R(-2 \mid 5)$ $Formula: Q(-4 \mid 1); \quad R(-2 \mid 5)$

Für die Formula: x -Koordinaten der Schnittpunkte Formula: M und Formula: N der Parabeln Formula: p_3 und Formula: p_4 ergibt sich:

$Formula: \begin{array}{rlll} x^2+2 x-2&=&-x^2-2 x+4 &\mid\;+x^2 \\[5pt] 2x^2+2x-2&=&-2x+4 &\mid\;+2x \\[5pt] 2x^2+4x-2&=&4 &\mid\;-4 \\[5pt] 2x^2+4x-6&=&0 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} x^2+2 x-2&=&-x^2-2 x+4 &\mid\;+x^2 \\[5pt] 2x^2+2x-2&=&-2x+4 &\mid\;+2x \\[5pt] 2x^2+4x-2&=&4 &\mid\;-4 \\[5pt] 2x^2+4x-6&=&0 \end{array}$

Mit der Formula: abc -Formel folgt:

$Formula: \begin{array}{rlll} x_{1 ; 2}&=&\dfrac{-4\pm \sqrt{4^2-4\cdot2\cdot(-6)}}{2\cdot2} \\[5pt] x_{1 ; 2}&=&\dfrac{-4\pm \sqrt{64}}{4} \\[5pt] x_{1 ; 2}&=&-1 \pm 2 \\[5pt] x_1&=&-1+2 \\[5pt] &=&1 \\[5pt] x_2&=&-1-2 \\[5pt] &=&-3 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} x_{1 ; 2}&=&\dfrac{-4\pm \sqrt{4^2-4\cdot2\cdot(-6)}}{2\cdot2} \\[5pt] x_{1 ; 2}&=&\dfrac{-4\pm \sqrt{64}}{4} \\[5pt] x_{1 ; 2}&=&-1 \pm 2 \\[5pt] x_1&=&-1+2 \\[5pt] &=&1 \\[5pt] x_2&=&-1-2 \\[5pt] &=&-3 \end{array}$

Nach dem Einsetzen von Formula: x_1 und Formula: x_2 in die Funktionsgleichung von Formula: p_3 gilt:

$Formula: \begin{array}{rlll} p_3(1)&=&1^2+2\cdot1-2 \\[5pt] &=&1 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} p_3(1)&=&1^2+2\cdot1-2 \\[5pt] &=&1 \end{array}$

$Formula: \begin{array}{rlll} p_3(-3)&=&(-3)^2+2\cdot(-3)-2 \\[5pt] &=&-1 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} p_3(-3)&=&(-3)^2+2\cdot(-3)-2 \\[5pt] &=&-1 \end{array}$

Für die Abnahmerate gilt:

$Formula: \begin{array}{rlll} p&=&12,7 \,\% \\[5pt] &=&0,127 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} p&=&12,7 \,\% \\[5pt] &=&0,127 \end{array}$

Für den Abnahmefaktor folgt:

$Formula: \begin{array}{rlll} q&=&1-0,127 \\[5pt] &=&0,873 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} q&=&1-0,127 \\[5pt] &=&0,873 \end{array}$

Für die Anzahl der Jahre ergibt sich:

$Formula: \begin{array}{rlll} W_n&=&W_0 \cdot q^n \\[5pt] 25\,000\;\text{€}&=&37\,450\;\text{€} \cdot 0,873^{n} &\mid\;:37\,450\;\text{€} \\[5pt] \dfrac{25\,000}{37\,450}&=&0,873^{n} &\mid\;\log_{0,873} \\[5pt] \log _{0,873} \dfrac{25\,000}{37\,450}&=&n \\[5pt] 3&\approx&n \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} W_n&=&W_0 \cdot q^n \\[5pt] 25\,000\;\text{€}&=&37\,450\;\text{€} \cdot 0,873^{n} &\mid\;:37\,450\;\text{€} \\[5pt] \dfrac{25\,000}{37\,450}&=&0,873^{n} &\mid\;\log_{0,873} \\[5pt] \log _{0,873} \dfrac{25\,000}{37\,450}&=&n \\[5pt] 3&\approx&n \end{array}$

Für den Wachstumsfaktor gilt:

$Formula: \begin{array}{rlll} W_n&=&W_0 \cdot q^n \\[5pt] 9\,000\;\text{€}&=&37\,450\;\text{€} \cdot q^8 &\mid\;:37\,450\;\text{€} \\[5pt] \dfrac{9\,000}{37\,450}&=&q^8 &\mid\;\sqrt[8]{ \;} \\[5pt] 0,8368&\approx&q \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} W_n&=&W_0 \cdot q^n \\[5pt] 9\,000\;\text{€}&=&37\,450\;\text{€} \cdot q^8 &\mid\;:37\,450\;\text{€} \\[5pt] \dfrac{9\,000}{37\,450}&=&q^8 &\mid\;\sqrt[8]{ \;} \\[5pt] 0,8368&\approx&q \end{array}$

Für den jährlichen Wertverlust in Prozent folgt:

$Formula: \begin{array}{rlll} 0,8368&=&1-p &\mid\;-1 \\[5pt] -0,1632&=&-p &\mid\;\cdot(-1) \\[5pt] 0,1632&=&p &\mid\;\cdot 100\,\% \\[5pt] 16,3\,\%&\approx&p\,\% \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} 0,8368&=&1-p &\mid\;-1 \\[5pt] -0,1632&=&-p &\mid\;\cdot(-1) \\[5pt] 0,1632&=&p &\mid\;\cdot 100\,\% \\[5pt] 16,3\,\%&\approx&p\,\% \end{array}$

Für den Wert nach Formula: 6 Jahren gilt:

$Formula: \begin{array}{rlll} W_6&=&W_0 \cdot q_1{ }^{n_1} \cdot q_2{ }^{n_2} \cdot q_3{ }^{n_3} \\[5pt] &=&37\,450\;\text{€} \cdot 0,75 \cdot 0,82 \cdot 0,91^4 \\[5pt] &\approx&15\,794\;\text{€} \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} W_6&=&W_0 \cdot q_1{ }^{n_1} \cdot q_2{ }^{n_2} \cdot q_3{ }^{n_3} \\[5pt] &=&37\,450\;\text{€} \cdot 0,75 \cdot 0,82 \cdot 0,91^4 \\[5pt] &\approx&15\,794\;\text{€} \end{array}$

Für die Länge der Strecke $Formula: \overline{AF}$ $Formula: \overline{AF}$ folgt:

$Formula: \begin{array}{rlll} A_{ADEF}&=&\overline{AD} \cdot \overline{AF} \\[5pt] 72 \mathrm{~cm}^2&=&8 \mathrm{~cm} \cdot \overline{AF} &\mid\;:8\;\text{cm} \\[5pt] 9\;\text{cm}&=&\overline{AF} \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} A_{ADEF}&=&\overline{AD} \cdot \overline{AF} \\[5pt] 72 \mathrm{~cm}^2&=&8 \mathrm{~cm} \cdot \overline{AF} &\mid\;:8\;\text{cm} \\[5pt] 9\;\text{cm}&=&\overline{AF} \end{array}$

Für die Länge der Strecke $Formula: \overline{CF}$ $Formula: \overline{CF}$ gilt:

$Formula: \begin{array}{rlll} \tan \alpha&=&\dfrac{\overline{CF}}{\overline{AF}} \\[5pt] \tan 25^{\circ}&=&\dfrac{\overline{CF}}{9 \mathrm{~cm}} &\mid\;\cdot 9 \mathrm{~cm} \\[5pt] 4,2\;\text{cm}&\approx&\overline{CF} \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} \tan \alpha&=&\dfrac{\overline{CF}}{\overline{AF}} \\[5pt] \tan 25^{\circ}&=&\dfrac{\overline{CF}}{9 \mathrm{~cm}} &\mid\;\cdot 9 \mathrm{~cm} \\[5pt] 4,2\;\text{cm}&\approx&\overline{CF} \end{array}$

Für die Länge der Strecke $Formula: \overline{BF}$ $Formula: \overline{BF}$ folgt mit dem Höhensatz:

$Formula: \begin{array}{rlll} \overline{CF}^2&=&\overline{FA}\cdot\overline{BF} \\[5pt] (4,2 \mathrm{~cm})^2&=&9 \mathrm{~cm} \cdot \overline{BF} &\mid\;:9 \mathrm{~cm} \\[5pt] 2\;\text{cm}&\approx&\overline{BF} \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} \overline{CF}^2&=&\overline{FA}\cdot\overline{BF} \\[5pt] (4,2 \mathrm{~cm})^2&=&9 \mathrm{~cm} \cdot \overline{BF} &\mid\;:9 \mathrm{~cm} \\[5pt] 2\;\text{cm}&\approx&\overline{BF} \end{array}$

Für den Flächeninhalt des Dreiecks Formula: ABC gilt:

$Formula: \begin{array}{rlll} A_{ABC}&=&\dfrac{(\overline{AF}+\overline{BF}) \cdot \overline{CF}}{2} \\[5pt] &=&\dfrac{(9 \mathrm{~cm}+2,0 \mathrm{~cm}) \cdot 4,2 \mathrm{~cm}}{2} \\[5pt] &=&23,1 \mathrm{~cm}^2 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} A_{ABC}&=&\dfrac{(\overline{AF}+\overline{BF}) \cdot \overline{CF}}{2} \\[5pt] &=&\dfrac{(9 \mathrm{~cm}+2,0 \mathrm{~cm}) \cdot 4,2 \mathrm{~cm}}{2} \\[5pt] &=&23,1 \mathrm{~cm}^2 \end{array}$

$Formula: \begin{array}{rlll} \dfrac{21 x^{-4} \cdot 9 y^3 \cdot 6 z^5 \cdot x^3 \cdot 8 z^{-8}}{4 y^2 \cdot 7 x^{-6} \cdot 3 y \cdot 18 z^{-4}}&=&\dfrac{21 \cdot 9 \cdot 6 \cdot 8 \cdot x^{-4} \cdot x^3 \cdot y^3 \cdot z^5 \cdot z^{-8}}{4 \cdot 7 \cdot 3 \cdot 18 \cdot x^{-6} \cdot y^2 \cdot y \cdot z^{-4}} \\[5pt] &=&\dfrac{9\,072 \cdot x^{-1} \cdot y^3 \cdot z^{-3}}{1\,512 \cdot x^{-6} \cdot y^3 \cdot z^{-4}} \\[5pt] &=&6 x^5 z \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} \dfrac{21 x^{-4} \cdot 9 y^3 \cdot 6 z^5 \cdot x^3 \cdot 8 z^{-8}}{4 y^2 \cdot 7 x^{-6} \cdot 3 y \cdot 18 z^{-4}}&=&\dfrac{21 \cdot 9 \cdot 6 \cdot 8 \cdot x^{-4} \cdot x^3 \cdot y^3 \cdot z^5 \cdot z^{-8}}{4 \cdot 7 \cdot 3 \cdot 18 \cdot x^{-6} \cdot y^2 \cdot y \cdot z^{-4}} \\[5pt] &=&\dfrac{9\,072 \cdot x^{-1} \cdot y^3 \cdot z^{-3}}{1\,512 \cdot x^{-6} \cdot y^3 \cdot z^{-4}} \\[5pt] &=&6 x^5 z \end{array}$

Mit $Formula: A(4 \mid 4,5)$ $Formula: A(4 \mid 4,5)$ und $Formula: m_1=\tfrac{3}{4}$ $Formula: m_1=\tfrac{3}{4}$ folgt:

$Formula: \begin{array}{rlll} y&=&m_1 \cdot x+t_1 \\[5pt] 4,5&=&\dfrac{3}{4} \cdot 4+t_1 \\[5pt] 4,5&=&3+t_1 &\mid\;-3 \\[5pt] 1,5&=&t_1 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} y&=&m_1 \cdot x+t_1 \\[5pt] 4,5&=&\dfrac{3}{4} \cdot 4+t_1 \\[5pt] 4,5&=&3+t_1 &\mid\;-3 \\[5pt] 1,5&=&t_1 \end{array}$

Damit ergibt sich:

$Formula: g_1: y=\dfrac{3}{4} x+1,5$ $Formula: g_1: y=\dfrac{3}{4} x+1,5$

Nullsetzen der Geradengleichung von Formula: g_2 liefert:

$Formula: \begin{array}{rlll} -2,5 x-7,5&=&0 &\mid\;+7,5 \\[5pt] -2,5x&=&7,5 &\mid\;:(-2,5) \\[5pt] x&=&-3 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} -2,5 x-7,5&=&0 &\mid\;+7,5 \\[5pt] -2,5x&=&7,5 &\mid\;:(-2,5) \\[5pt] x&=&-3 \end{array}$

Mit $Formula: P(-4 \mid y)$ $Formula: P(-4 \mid y)$ und Formula: g_2: y=-2,5 x-7,5 gilt für die Formula: y -Koordinate:

$Formula: \begin{array}{rlll} y&=&-2,5 \cdot(-4)-7,5 \\[5pt] &=&2,5 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} y&=&-2,5 \cdot(-4)-7,5 \\[5pt] &=&2,5 \end{array}$

Für die Steigung folgt:

$Formula: \begin{array}{rlll} m_3 \cdot m_4&=&-1 \\[5pt] 0,25 \cdot m_4&=&-1 &\mid\;:0,25 \\[5pt] m_4&=&-4 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} m_3 \cdot m_4&=&-1 \\[5pt] 0,25 \cdot m_4&=&-1 &\mid\;:0,25 \\[5pt] m_4&=&-4 \end{array}$

Für den Formula: y -Achsenabschnitt ergibt sich durch Einsetzen der Koordinaten von Formula: C:

$Formula: \begin{array}{rlll} y&=&m_4 \cdot x+t_4 \\[5pt] -2&=&-4 \cdot 4,5+t_4 \\[5pt] -2&=&-18+t_4 &\mid\;+18 \\[5pt] 16&=&t_4 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} y&=&m_4 \cdot x+t_4 \\[5pt] -2&=&-4 \cdot 4,5+t_4 \\[5pt] -2&=&-18+t_4 &\mid\;+18 \\[5pt] 16&=&t_4 \end{array}$

Damit ergibt sich:

Formula: g_4: y=-4 x+16

Für die Funktionsgleichung von Formula: g_5 in die Normalform folgt:

$Formula: \begin{array}{rlll} 14-3 y&=&3,75 x-7 &\mid\;-14 \\[5pt] -3y&=&3,75x-21 &\mid\;: (-3) \\[5pt] y&=&-1,25x+7 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} 14-3 y&=&3,75 x-7 &\mid\;-14 \\[5pt] -3y&=&3,75x-21 &\mid\;: (-3) \\[5pt] y&=&-1,25x+7 \end{array}$

Gleichsetzen der Geradengleichungen von Formula: g_3 und Formula: g_5 liefert:

$Formula: \begin{array}{rlll} 0,25 x+4&=&-1,25 x+7 &\mid\;+1,25x \\[5pt] 1,5x+4&=&7 &\mid\;-4 \\[5pt] 1,5x&=&3 &\mid\;:1,5 \\[5pt] x&=&2 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} 0,25 x+4&=&-1,25 x+7 &\mid\;+1,25x \\[5pt] 1,5x+4&=&7 &\mid\;-4 \\[5pt] 1,5x&=&3 &\mid\;:1,5 \\[5pt] x&=&2 \end{array}$

Für das Einsetzen von Formula: x=2 in Formula: g_3 folgt:

$Formula: \begin{array}{rlll} y&=&0,25 \cdot 2+4 \\[5pt] &=&4,5 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} y&=&0,25 \cdot 2+4 \\[5pt] &=&4,5 \end{array}$

Damit ergibt sich:

$Formula: D(2 \mid 4,5)$ $Formula: D(2 \mid 4,5)$

Für die Steigung mit $Formula: E(4,5 \mid –2)$ $Formula: E(4,5 \mid –2)$ und $Formula: F(–1,5 \mid 6)$ $Formula: F(–1,5 \mid 6)$ folgt:

$Formula: \begin{array}{rlll} m_6&=&\dfrac{6-(-2)}{-1,5-4,5} \\[5pt] &=&-\dfrac{4}{3} \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} m_6&=&\dfrac{6-(-2)}{-1,5-4,5} \\[5pt] &=&-\dfrac{4}{3} \end{array}$

Für den Formula: y -Achsenabschnitt folgt mit den Koordinaten von Formula: E:

$Formula: \begin{array}{rlll} y&=&m_6 \cdot x+t_6 \\[5pt] -2&=&-\dfrac{4}{3} \cdot 4,5+t_6 \\[5pt] -2&=&-6+t_6 &\mid\;+6 \\[5pt] 4&=&t_6 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} y&=&m_6 \cdot x+t_6 \\[5pt] -2&=&-\dfrac{4}{3} \cdot 4,5+t_6 \\[5pt] -2&=&-6+t_6 &\mid\;+6 \\[5pt] 4&=&t_6 \end{array}$

Damit ergibt sich:

$Formula: g_6: y=-\dfrac{4}{3} x+4$ $Formula: g_6: y=-\dfrac{4}{3} x+4$

Koordinatensystem mit drei Geraden g2, g3 und g6.

Es gilt:

$Formula: \begin{array}{rlll} x+6,5 &\neq& 0 &\mid\;-6,5 \\[5pt] x&\neq&-6,5 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} x+6,5 &\neq& 0 &\mid\;-6,5 \\[5pt] x&\neq&-6,5 \end{array}$

Außerdem ergibt sich:

$Formula: \begin{array}{rlll} 2 x-3 &\neq& 0 &\mid\;+3 \\[5pt] 2x&\neq&3 &\mid\;:2 \\[5pt] x&\neq&1,5 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} 2 x-3 &\neq& 0 &\mid\;+3 \\[5pt] 2x&\neq&3 &\mid\;:2 \\[5pt] x&\neq&1,5 \end{array}$

Damit gilt:

$Formula: \mathbb{D}=\mathbb{R} \setminus\{-6,5 ; 1,5\}$ $Formula: \mathbb{D}=\mathbb{R} \setminus\{-6,5 ; 1,5\}$

Für die Lösungsmenge folgt:

$Formula: \begin{array}{rlll} \dfrac{1,5 x+6}{x+6,5}&=&\dfrac{x-3}{2 x-3} &\mid\; \cdot (x+6,5) \\[5pt] 1,5x+6&=&\dfrac{x-3}{2 x-3} \cdot (x+6,5) &\mid\; \cdot (2x-3) \\[5pt] (1,5 x+6)(2 x-3)&=&(x+6,5)(x-3) \\[5pt] 3 x^2-4,5 x+12 x-18&=&x^2-3 x+6,5 x-19,5 &\mid\;-x^2 \\[5pt] 2 x^2+7,5 x-18&=&3,5 x-19,5 &\mid\;-3,5x \\[5pt] 2x^2+4x-18&=&-19,5 &\mid\;+19,5 \\[5pt] 2x^2+4x+1,5&=&0 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} \dfrac{1,5 x+6}{x+6,5}&=&\dfrac{x-3}{2 x-3} &\mid\; \cdot (x+6,5) \\[5pt] 1,5x+6&=&\dfrac{x-3}{2 x-3} \cdot (x+6,5) &\mid\; \cdot (2x-3) \\[5pt] (1,5 x+6)(2 x-3)&=&(x+6,5)(x-3) \\[5pt] 3 x^2-4,5 x+12 x-18&=&x^2-3 x+6,5 x-19,5 &\mid\;-x^2 \\[5pt] 2 x^2+7,5 x-18&=&3,5 x-19,5 &\mid\;-3,5x \\[5pt] 2x^2+4x-18&=&-19,5 &\mid\;+19,5 \\[5pt] 2x^2+4x+1,5&=&0 \end{array}$

Mit der Formula: abc -Formel gilt:

$Formula: \begin{array}{rlll} x_{1 ;2}&=&\dfrac{-4\pm \sqrt{4^2-4\cdot2\cdot1,5}}{2\cdot2} \\[5pt] x_{1 ;2}&=&\dfrac{-4\pm \sqrt{4}}{4} \\[5pt] x_{1 ;2}&=&-1 \pm 0,5 \\[5pt] x_1&=&-1+0,5 \\[5pt] &=&-0,5 \\[5pt] x_2&=&-1-0,5 \\[5pt] &=&-1,5 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} x_{1 ;2}&=&\dfrac{-4\pm \sqrt{4^2-4\cdot2\cdot1,5}}{2\cdot2} \\[5pt] x_{1 ;2}&=&\dfrac{-4\pm \sqrt{4}}{4} \\[5pt] x_{1 ;2}&=&-1 \pm 0,5 \\[5pt] x_1&=&-1+0,5 \\[5pt] &=&-0,5 \\[5pt] x_2&=&-1-0,5 \\[5pt] &=&-1,5 \end{array}$

Es folgt:

$Formula: \mathbb{L}=\{-1,5 ;-0,5\}$ $Formula: \mathbb{L}=\{-1,5 ;-0,5\}$

Für das Volumen der vier Kugeln gilt:

$Formula: \begin{array}{rlll} V_K&=&V \cdot 4 \\[5pt] &=&\dfrac{4}{3} r^3 \cdot \pi \cdot 4 \\[5pt] &\approx&\dfrac{4}{3}(1,5 \mathrm{~cm})^3 \cdot 3,14 \cdot 4 \\[5pt] &\approx&56,52 \mathrm{~cm}^3 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} V_K&=&V \cdot 4 \\[5pt] &=&\dfrac{4}{3} r^3 \cdot \pi \cdot 4 \\[5pt] &\approx&\dfrac{4}{3}(1,5 \mathrm{~cm})^3 \cdot 3,14 \cdot 4 \\[5pt] &\approx&56,52 \mathrm{~cm}^3 \end{array}$

Für das Volumen in der Verpackung folgt:

$Formula: \begin{array}{rlll} V_V&=&r^2 \cdot \pi \cdot h_V \\[5pt] &\approx&(1,6 \mathrm{~cm})^2 \cdot 3,14 \cdot 12,2 \mathrm{~cm} \\[5pt] &\approx&98,07\;\text{cm}^3 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} V_V&=&r^2 \cdot \pi \cdot h_V \\[5pt] &\approx&(1,6 \mathrm{~cm})^2 \cdot 3,14 \cdot 12,2 \mathrm{~cm} \\[5pt] &\approx&98,07\;\text{cm}^3 \end{array}$

Für den prozentualen Anteil der Kugeln am Volumen in der Verpackung ergibt sich:

$Formula: \begin{array}{rlll} p_K&= &\dfrac{56,52 \mathrm{~cm}^3}{98,07 \mathrm{~cm}^3} \\[5pt] p_K&=&0,57632 &\mid\;\cdot 100\,\% \\[5pt] p_K\,\%&\approx&58\,\% \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} p_K&= &\dfrac{56,52 \mathrm{~cm}^3}{98,07 \mathrm{~cm}^3} \\[5pt] p_K&=&0,57632 &\mid\;\cdot 100\,\% \\[5pt] p_K\,\%&\approx&58\,\% \end{array}$

Für den prozentualen Anteil der Luft am Volumen in der Verpackung gilt:

$Formula: \begin{array}{rlll} p_L\,\%&=&100 \,\%- p_K\,\% \\[5pt] &=&100 \,\%-58 \,\% \\[5pt] &=&42\,\% \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} p_L\,\%&=&100 \,\%- p_K\,\% \\[5pt] &=&100 \,\%-58 \,\% \\[5pt] &=&42\,\% \end{array}$

Für den Oberflächeninhalt einer Pralinenkugel folgt:

$Formula: \begin{array}{rlll} O_K&=&4r^2 \cdot \pi \\[5pt] &\approx&4\cdot(1,5 \mathrm{~cm})^2 \cdot 3,14 \\[5pt] &\approx&28,26\;\text{cm}^2 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} O_K&=&4r^2 \cdot \pi \\[5pt] &\approx&4\cdot(1,5 \mathrm{~cm})^2 \cdot 3,14 \\[5pt] &\approx&28,26\;\text{cm}^2 \end{array}$

Für die Masse der massiven Goldkugel gilt:

$Formula: \begin{array}{rlll} m&=&0,753 \mathrm{~cm}^3 \cdot 19,3\;\dfrac{\mathrm{g}}{\mathrm{cm}^3}\\[5pt] &\approx&14,5\;\text{g} \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} m&=&0,753 \mathrm{~cm}^3 \cdot 19,3\;\dfrac{\mathrm{g}}{\mathrm{cm}^3}\\[5pt] &\approx&14,5\;\text{g} \end{array}$

Für die Länge der Strecke $Formula: \overline{BC}$ $Formula: \overline{BC}$ ergibt sich:

$Formula: \begin{array}{rlll} \dfrac{\overline{BC}}{\overline{BA}}&=&\dfrac{\overline{CC}^{\prime}}{\overline{AA}^{\prime}} \\[5pt] \dfrac{\overline{BC}}{100 \mathrm{~cm}}&=&\dfrac{7,5 \mathrm{~cm}}{12 \mathrm{~cm}} &\mid\;\cdot 100\;\text{cm} \\[5pt] \overline{BC}&=&62,5 \mathrm{~cm} \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} \dfrac{\overline{BC}}{\overline{BA}}&=&\dfrac{\overline{CC}^{\prime}}{\overline{AA}^{\prime}} \\[5pt] \dfrac{\overline{BC}}{100 \mathrm{~cm}}&=&\dfrac{7,5 \mathrm{~cm}}{12 \mathrm{~cm}} &\mid\;\cdot 100\;\text{cm} \\[5pt] \overline{BC}&=&62,5 \mathrm{~cm} \end{array}$

Für die Länge der Strecke $Formula: D^{\prime} C^{\prime}$ $Formula: D^{\prime} C^{\prime}$ gilt:

$Formula: \begin{array}{rlll} \overline{D^{\prime} \mathrm{C}^{\prime}}&=&2 \cdot \overline{BC}+15 \mathrm{~cm} \\[5pt] &=&2 \cdot 62,5 \mathrm{~cm}+15 \mathrm{~cm} \\[5pt] &=&140\;\text{cm} \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} \overline{D^{\prime} \mathrm{C}^{\prime}}&=&2 \cdot \overline{BC}+15 \mathrm{~cm} \\[5pt] &=&2 \cdot 62,5 \mathrm{~cm}+15 \mathrm{~cm} \\[5pt] &=&140\;\text{cm} \end{array}$

Für die Größe des Winkels $Formula: \alpha$ $Formula: \alpha$ folgt:

$Formula: \begin{array}{rlll} \tan \dfrac{\alpha}{2}&=&\dfrac{\overline{BC}}{\overline{BA}} \\[5pt] \tan \dfrac{\alpha}{2}&=&\dfrac{62,5 \mathrm{~cm}}{100 \mathrm{~cm}} &\mid\;\tan^{-1}\\[5pt] \dfrac{\alpha}{2} &\approx& 32,00^{\circ} &\mid\;\cdot 2 \\[5pt] \alpha&\approx&64^{\circ} \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} \tan \dfrac{\alpha}{2}&=&\dfrac{\overline{BC}}{\overline{BA}} \\[5pt] \tan \dfrac{\alpha}{2}&=&\dfrac{62,5 \mathrm{~cm}}{100 \mathrm{~cm}} &\mid\;\tan^{-1}\\[5pt] \dfrac{\alpha}{2} &\approx& 32,00^{\circ} &\mid\;\cdot 2 \\[5pt] \alpha&\approx&64^{\circ} \end{array}$

Für die Formula: 1. binomische Formel gilt:

Formula: (x+y)^2=x^2+2 xy+y^2

Somit folgt für $Formula: \text{I.}:$ $Formula: \text{I.}:$

$Formula: 49 a^6+140a^3 c+100 c^2=\left(7a^{3}+1 0 c\right)^2$ $Formula: 49 a^6+140a^3 c+100 c^2=\left(7a^{3}+1 0 c\right)^2$

Für die Formula: 3. binomische Formel ergibt sich:

Formula: (x+y)(x-y)=x^2-y^2

Damit folgt für $Formula: \text{II.}:$ $Formula: \text{II.}:$

$Formula: \left(18 ac+\dfrac{1}{5} b\right) \cdot\left(18 ac-\dfrac{1}{5} b\right)=324a^2 c^2-\dfrac{1}{25} b^2$ $Formula: \left(18 ac+\dfrac{1}{5} b\right) \cdot\left(18 ac-\dfrac{1}{5} b\right)=324a^2 c^2-\dfrac{1}{25} b^2$

Baumdiagramm mit drei Ebenen und Wahrscheinlichkeiten 3/12, 5/12 und 4/12.

Für die Wahrscheinlichkeit für die Reihenfolge „Dreieck – Viereck – Kreis“ gilt:

$Formula: \begin{array}{rlll} p(D;V;K)&=&\dfrac{3}{12} \cdot \dfrac{5}{12} \cdot \dfrac{4}{12} \\[5pt] &=&\dfrac{60}{1\,728} \\[5pt] &=&\dfrac{5}{144} \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} p(D;V;K)&=&\dfrac{3}{12} \cdot \dfrac{5}{12} \cdot \dfrac{4}{12} \\[5pt] &=&\dfrac{60}{1\,728} \\[5pt] &=&\dfrac{5}{144} \end{array}$

Für die Wahrscheinlichkeit in Prozent folgt:

$Formula: \begin{array}{rlll} p \,\%&=&\dfrac{5}{144} \cdot 100 \,\% \\[5pt] &\approx&3, 5\,\% \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} p \,\%&=&\dfrac{5}{144} \cdot 100 \,\% \\[5pt] &\approx&3, 5\,\% \end{array}$

Für die Wahrscheinlichkeit für „viermal Kreis“ gilt:

$Formula: \begin{array}{rlll} p{\text{(viermal Kreis)}}&=&\dfrac{4}{12} \cdot \dfrac{4}{12} \cdot \dfrac{4}{12} \cdot \dfrac{4}{12} \\[5pt] &=&\dfrac{256}{20\,736} \\[5pt] &=&\dfrac{1}{81} \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} p{\text{(viermal Kreis)}}&=&\dfrac{4}{12} \cdot \dfrac{4}{12} \cdot \dfrac{4}{12} \cdot \dfrac{4}{12} \\[5pt] &=&\dfrac{256}{20\,736} \\[5pt] &=&\dfrac{1}{81} \end{array}$

Für die Wahrscheinlichkeit für „nicht viermal Kreis“ folgt mit dem Gegenereignis:

$Formula: \begin{array}{rlll} p&=&1-\dfrac{1}{81} \\[5pt] &=&\dfrac{80}{81} \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} p&=&1-\dfrac{1}{81} \\[5pt] &=&\dfrac{80}{81} \end{array}$

Für die Prozentschreibweise ergibt sich:

$Formula: \begin{array}{rlll} p \,\%&=&\dfrac{80}{81} \cdot 100 \,\% \\[5pt] &\approx&98,8\,\% \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} p \,\%&=&\dfrac{80}{81} \cdot 100 \,\% \\[5pt] &\approx&98,8\,\% \end{array}$

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