Aufgabengruppe 2

Gegeben sind die Geraden Formula: g_1, g_2 und Formula: g_3 sowie die Punkte $Formula: A(−2 \mid 2)$ $Formula: A(−2 \mid 2)$ und $Formula: C(6 \mid4).$ $Formula: C(6 \mid4).$

Die Gerade Formula: g_1 verläuft parallel zur Formula: x -Achse und durch den Punkt Formula: A.

Die Gerade Formula: g_2 verläuft durch die Punkte Formula: A und Formula: C.

Die Gerade Formula: g_3 schneidet Formula: g_2 im Punkt Formula: C und steht senkrecht auf Formula: g_2.

Zeichne die Geraden Formula: g_1,g_2 und Formula: g_3 in ein Koordinatensystem mit der Längeneinheit $Formula: 1\;\text{cm}.$ $Formula: 1\;\text{cm}.$

Berechne den Abstand zwischen den Punkten Formula: A und Formula: C.

Gib die Funktionsgleichung der Geraden Formula: g_1 an.

Bestimme rechnerisch die Funktionsgleichung der Geraden Formula: g_2.

Die Gerade Formula: g_4 mit der Funktionsgleichung $Formula: g_4: \tfrac{1}{2} y+1-3 x=0$ $Formula: g_4: \tfrac{1}{2} y+1-3 x=0$ schneidet die Gerade Formula: g_5:y=-0,5 x+4,5 im Punkt Formula: D.

Ermittle rechnerisch die Koordinaten des Schnittpunkts Formula: D.

7 P

Gib die Definitionsmenge der folgenden Gleichung an und ermittle die Lösungsmenge rechnerisch.

$Formula: \dfrac{28 x-12}{8}=\dfrac{(x+3)^2}{x-1}$ $Formula: \dfrac{28 x-12}{8}=\dfrac{(x+3)^2}{x-1}$

4 P

Johannes kauft einen neuen Elektroroller im Wert von $Formula: 3250\;\text{€}.$ $Formula: 3250\;\text{€}.$

Ermittle rechnerisch, nach wie vielen Jahren dieser Elektroroller noch einen Wert von $Formula: 880\,\text{€}$ $Formula: 880\,\text{€}$ hätte, wenn man von einem jährlichen Wertverlust von $Formula: 23\,\%$ $Formula: 23\,\%$ ausgeht.

Der Roller verliert in Wirklichkeit aber anfangs schneller an Wert.

So beträgt die Wertminderung im ersten Jahr $Formula: 26 \,\%,$ $Formula: 26 \,\%,$ im zweiten Jahr $Formula: 24 \,\%$ $Formula: 24 \,\%$ und in den beiden Folgejahren jeweils $Formula: 18,5 \,\%.$ $Formula: 18,5 \,\%.$

Berechne den Wert des Elektrorollers nach diesen vier Jahren.

Ein Schulfreund von Johannes kauft sich einen vier Jahre alten Elektroroller im Wert von $Formula: 1129\,\text{€}.$ $Formula: 1129\,\text{€}.$

Berechne den Neupreis des Rollers bei einer jährlichen Wertminderung von $Formula: 21\,\%$ $Formula: 21\,\%$ in den ersten vier Jahren.

4 P

Die nach oben geöffnete Normalparabel Formula: p_1 verläuft durch die Punkte $Formula: A(-2\mid-3)$ $Formula: A(-2\mid-3)$ und $Formula: B(0\mid-3).$ $Formula: B(0\mid-3).$

Berechne die Funktionsgleichung von Formula: p_1 in der Normalform.

Die nach unten geöffnete Normalparabel Formula: p_2 hat den Scheitelpunkt $Formula: S_2(2 \mid 1).$ $Formula: S_2(2 \mid 1).$

Ermittle rechnerisch die Funktionsgleichung von Formula: p_2 in der Normalform.

Zeichne die Parabeln Formula: p_1 und Formula: p_2 in ein Koordinatensystem mit der Längeneinheit $Formula: 1\;\text{cm}.$ $Formula: 1\;\text{cm}.$

Die Parabel Formula: p_3 hat die Funktionsgleichung Formula: p_3: y=x^2-14 x+37.

Bestimme rechnerisch die Koordinaten des Scheitelpunkts Formula: S_3.

Der Punkt $Formula: C(-4 \mid y)$ $Formula: C(-4 \mid y)$ liegt auf der Parabel Formula: p_3.

Berechnen Sie die Formula: y -Koordinate des Punkts Formula: C.

Die folgende Abbildung zeigt die Normalparabel Formula: p_4.

Lese die Formula: x -Koordinaten der Nullstellen von Formula: p_4 aus dem Graphen ab und überprüfe diese rechnerisch.

Parabel im Koordinatensystem mit Scheitelpunkt S(4|-9) und markiertem Punkt p4.

In der folgenden Aufgabenstellung ist ein mathematischer Fehler enthalten.

„Gegeben ist die Parabel Formula: p_5: y=x^2 - 6x - 3. Berechne die Koordinaten der zwei Schnittpunkte von mit der Formula: y -Achse.“

Ändere die Aufgabenstellung so, dass sie mathematisch korrekt ist.

Notiere diese auf deinem Lösungsblatt.

8 P

In einer Getränkekiste befinden sich ungeordnet Formula: 12 Flaschen mit gleicher Form.

Drei Flaschen enthalten Wasser Formula: (W), fünf Flaschen Apfelschorle Formula: (A) und die restlichen Holunderschorle Formula: (H).

Da die Kiste in einem sehr dunklen Kellerraum steht, sieht man erst nach dem Verlassen des Raums, welches Getränk man entnommen hat.

Yannis holt sich zweimal nacheinander je eine Flasche aus der Kiste.

Stelle die möglichen Ergebnisse in einem Baumdiagramm dar.

Beschrifte die Äste mit den jeweiligen Wahrscheinlichkeiten.

Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass Yannis beide Male eine Flasche mit Holunderschorle entnimmt.

Ermittle rechnerisch die Wahrscheinlichkeit dafür, dass keine der beiden Flaschen Apfelschorle enthält.

Gib die Anzahl der möglichen Getränkekombinationen aus den zwei Flaschen an.

Die Reihenfolge der Entnahme wird dabei nicht berücksichtigt.

4 P

Bei folgender Figur gilt:

$Formula: |\overline{AE}|=2,5 \mathrm{~cm} ; \quad|\overline{AB}|=9,5 \mathrm{~cm} ; \quad|\overline{ED}|=0,7 \mathrm{~cm} ; \quad \delta=55^{\circ}$ $Formula: |\overline{AE}|=2,5 \mathrm{~cm} ; \quad|\overline{AB}|=9,5 \mathrm{~cm} ; \quad|\overline{ED}|=0,7 \mathrm{~cm} ; \quad \delta=55^{\circ}$

Geometrische Zeichnung eines Dreiecks mit eingezeichneten Strecken und Winkeln.

Berechne den Flächeninhalt des Quadrats Formula: CHFG.

Berechne die Länge der Kathete $Formula: \overline{AC}$ $Formula: \overline{AC}$ mithilfe des Kathetensatzes.

4 P

Bei einem massiven Werkstück ist auf die Grund- und Deckfläche eines Zylinders je eine Halbkugel aufgesetzt. Die Abbildung zeigt den Querschnitt des Werkstücks mit den entsprechenden Maßen.

Geometrische Figur mit Maßangaben: 12 cm lang, 6 cm hoch und 2 cm breite Aussparung.

Hinweis: Skizze nicht maßstabsgetreu

Technische Zeichnung einer Form mit Maßen in cm und halbkreisförmigen Enden.

Hinweis: Skizze nicht maßstabsgetreu

Das Werkstück besteht aus Aluminium.

$Formula: 1 \mathrm{~cm}^3$ $Formula: 1 \mathrm{~cm}^3$ dieses Materials hat eine Masse von $Formula: 2,7\;\text{g}.$ $Formula: 2,7\;\text{g}.$

Berechne die Masse des Werkstücks.

Die beiden Halbkugeln des Werkstücks erhalten einen farbigen Schutzanstrich.

Die Mantelfläche des Zylinders wird nicht eingefärbt.

Berechne den Oberflächeninhalt der zu färbenden Fläche.

4 P

Gegeben sind die Punkte $Formula: A(0 \mid 2)$ $Formula: A(0 \mid 2)$ und $Formula: B(4 \mid 0)$ $Formula: B(4 \mid 0)$ sowie das Zentrum $Formula: Z(0 \mid 0).$ $Formula: Z(0 \mid 0).$

Die Strecke $Formula: \overline{AB}$ $Formula: \overline{AB}$ wird durch eine zentrische Streckung mit dem Streckungsfaktor Formula: k_1=2,5 auf die Strecke $Formula: \overline{A^{\prime} B^{\prime}}$ $Formula: \overline{A^{\prime} B^{\prime}}$ abgebildet.

Bei einer zweiten zentrischen Streckung wird die Strecke $Formula: \overline{AB}$ $Formula: \overline{AB}$ mit Formula: k_2=0,5 auf $Formula: \overline{A^{\prime \prime} B^{\prime \prime}}$ $Formula: \overline{A^{\prime \prime} B^{\prime \prime}}$ abgebildet. Zeichne die Strecken $Formula: \overline{AB}, \overline{A^{\prime} B^{\prime}}$ $Formula: \overline{AB}, \overline{A^{\prime} B^{\prime}}$ und $Formula: \overline{A^{\prime \prime} B^{\prime \prime}}$ $Formula: \overline{A^{\prime \prime} B^{\prime \prime}}$ in ein Koordinatensystem mit der Längeneinheit $Formula: 1\;\text{cm}$ $Formula: 1\;\text{cm}$ und gib den Streckungsfaktor Formula: k_3 für die Streckung von $Formula: \overline{A^{\prime} B^{\prime}}$ $Formula: \overline{A^{\prime} B^{\prime}}$ auf $Formula: \overline{A^{\prime \prime} B^{\prime \prime}}$ $Formula: \overline{A^{\prime \prime} B^{\prime \prime}}$ an.

3 P

Bei einer Gleichung zur Anwendung einer binomischen Formel ist nur das gemischte Glied bekannt.

Stelle eine mögliche vollständige Gleichung auf und notiere diese.

Formula: (  Formula: +  Formula: )^2=  Formula: +16 x^8 y^2+ 

2 P

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Koordinatensystem mit drei Geraden und den Punkten A(-2|2) und C(6|4)

Für die Unterschiede der Koordinaten gilt:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} \Delta x&=&6-(-2) \\[5pt] &=&8 \\[5pt] \Delta y&=&4-2\\[5pt] & =&2 \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} \Delta x&=&6-(-2) \\[5pt] &=&8 \\[5pt] \Delta y&=&4-2\\[5pt] & =&2 \end{array}$

Mit dem Satz des Pythagoras folgt für den Abstand:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} d&=&\sqrt{8^2+2^2}\\[5pt] &=&\sqrt{68} \\[5pt] &\approx&8,25\;\text{cm} \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} d&=&\sqrt{8^2+2^2}\\[5pt] &=&\sqrt{68} \\[5pt] &\approx&8,25\;\text{cm} \end{array}$

Formula: g_1: y=2

Für die Steigung gilt:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} m&=&\dfrac{4-2}{6-(-2)} \\[5pt] & =&\dfrac{1}{4} \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} m&=&\dfrac{4-2}{6-(-2)} \\[5pt] & =&\dfrac{1}{4} \end{array}$

Für den Ansatz folgt:

$Formula: y=\dfrac{1}{4} x+b$ $Formula: y=\dfrac{1}{4} x+b$

Mit Punkt $Formula: A(-2 \mid 2)$ $Formula: A(-2 \mid 2)$ ergibt sich:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} 2&=&\dfrac{1}{4} \cdot(-2)+b \\[5pt] 2&=&-0,5+b &\mid\;+0,5 \\[5pt] 2,5&=&b \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} 2&=&\dfrac{1}{4} \cdot(-2)+b \\[5pt] 2&=&-0,5+b &\mid\;+0,5 \\[5pt] 2,5&=&b \end{array}$

Damit gilt:

$Formula: g_2: y=\dfrac{1}{4} x+2,5$ $Formula: g_2: y=\dfrac{1}{4} x+2,5$

Die Gerade Formula: g_4 wird nach Formula: y aufgelöst. Es gilt:

Formula: g_4: y=6 x-2

Gleichsetzen der Geradengleichungen von Formula: g_4 und Formula: g_5 ergibt:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} 6x-2&=&-0,5x+4,5 &\mid\;+2 \\[5pt] 6x&=&-0,5x+6,5 &\mid\;+0,5x \\[5pt] 6,5x&=&6,5 &\mid\;:6,5 \\[5pt] x&=&1 \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} 6x-2&=&-0,5x+4,5 &\mid\;+2 \\[5pt] 6x&=&-0,5x+6,5 &\mid\;+0,5x \\[5pt] 6,5x&=&6,5 &\mid\;:6,5 \\[5pt] x&=&1 \end{array}$

Mit Formula: x=1 gilt:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} y&=&6\cdot 1-2 \\[5pt] &=&4 \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} y&=&6\cdot 1-2 \\[5pt] &=&4 \end{array}$

Es folgt:

$Formula: D(1\mid4)$ $Formula: D(1\mid4)$

Es gilt:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} x-1&\neq&0 &\mid\;+1\\[5pt] x&\neq&1 \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} x-1&\neq&0 &\mid\;+1\\[5pt] x&\neq&1 \end{array}$

Für die Definitionsmenge folgt:

$Formula: \mathrm{D}=\mathbb{R} \backslash\{1\}$ $Formula: \mathrm{D}=\mathbb{R} \backslash\{1\}$

Für die Lösungsmenge gilt:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} \dfrac{28 x-12}{8}&=&\dfrac{(x+3)^2}{x-1} &\mid\;\cdot 8(x-1) \\[5pt] (28 x-12)(x-1)&=&8(x+3)^2 \\[5pt] 28 x^2-40 x+12&=&8 x^2+48 x+72 &\mid\;-8x^2 \\[5pt] 20x^2-40x+12&=&48x+72 &\mid\;-48x \\[5pt] 20x^2-88x+12&=&72 &\mid\;-72 \\[5pt] 20x^2-88x-60&=&0 &\mid\;:20 \\[5pt] x^2-4,4x-3&=&0 \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} \dfrac{28 x-12}{8}&=&\dfrac{(x+3)^2}{x-1} &\mid\;\cdot 8(x-1) \\[5pt] (28 x-12)(x-1)&=&8(x+3)^2 \\[5pt] 28 x^2-40 x+12&=&8 x^2+48 x+72 &\mid\;-8x^2 \\[5pt] 20x^2-40x+12&=&48x+72 &\mid\;-48x \\[5pt] 20x^2-88x+12&=&72 &\mid\;-72 \\[5pt] 20x^2-88x-60&=&0 &\mid\;:20 \\[5pt] x^2-4,4x-3&=&0 \end{array}$

Mit der Formula: pq -Formel folgt:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} x_{1 ;2}&=&-\dfrac{-4,4}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{-4,4}{2}\right)^2-(-3)} \\[5pt] &=&2,2 \pm \sqrt{7,84} \\[5pt] &=&2,2 \pm 2,8 \\[5pt] x_1&=&2,2+2,8 \\[5pt] &=&5 \\[5pt] x_2&=&2,2-2,8 \\[5pt] &=&-0,6 \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} x_{1 ;2}&=&-\dfrac{-4,4}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{-4,4}{2}\right)^2-(-3)} \\[5pt] &=&2,2 \pm \sqrt{7,84} \\[5pt] &=&2,2 \pm 2,8 \\[5pt] x_1&=&2,2+2,8 \\[5pt] &=&5 \\[5pt] x_2&=&2,2-2,8 \\[5pt] &=&-0,6 \end{array}$

Somit gilt:

$Formula: \mathrm{L}=\{-0,6 ; 5\}$ $Formula: \mathrm{L}=\{-0,6 ; 5\}$

Für den Wachstumsfaktor gilt:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} q&=&1-0,23 \\[5pt] &=&0,77 \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} q&=&1-0,23 \\[5pt] &=&0,77 \end{array}$

Für den Ansatz folgt:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} 3250 \cdot 0,77^n&=&880 &\mid\;:3250 \\[5pt] 0,77^n&=&\dfrac{880}{3250} &\mid\;\log_{0,77}{\;} \\[5pt] n&\approx&5 \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} 3250 \cdot 0,77^n&=&880 &\mid\;:3250 \\[5pt] 0,77^n&=&\dfrac{880}{3250} &\mid\;\log_{0,77}{\;} \\[5pt] n&\approx&5 \end{array}$

Der E-Roller hat somit nach Formula: 5 Jahren noch einen Wert von $Formula: 880\;\text{€}.$ $Formula: 880\;\text{€}.$

Für das erste Jahr gilt:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} q_1&=&1-0,26 \\[5pt] &=&0,74 \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} q_1&=&1-0,26 \\[5pt] &=&0,74 \end{array}$

Für das zweite Jahr folgt:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} q_2&=&1-0,24 \\[5pt] &=&0,76 \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} q_2&=&1-0,24 \\[5pt] &=&0,76 \end{array}$

Für das dritte und vierte Jahr ergibt sich:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} q_3&=&q_4 \\[5pt] &=&1-0,185 \\[5pt] &=&0,815 \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} q_3&=&q_4 \\[5pt] &=&1-0,185 \\[5pt] &=&0,815 \end{array}$

Somit folgt:

$Formula: 3250 \cdot 0,74 \cdot 0,76 \cdot 0,815^2\approx 1214,07\,\text{€}$ $Formula: 3250 \cdot 0,74 \cdot 0,76 \cdot 0,815^2\approx 1214,07\,\text{€}$

Nach vier Jahren ist der Elektroroller noch etwa $Formula: 1214\,\text{€}$ $Formula: 1214\,\text{€}$ wert.

Für den Wachstumsfaktor gilt:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} q&=&1-0,21 \\[5pt] &=&0,79 \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} q&=&1-0,21 \\[5pt] &=&0,79 \end{array}$

Es folgt:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} n \cdot 0,79^4&=&1129 &\mid\;:0,79^4 \\[5pt] n&=&\dfrac{1129}{0,79^4} \\[5pt] n&\approx&2899\,\text{€} \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} n \cdot 0,79^4&=&1129 &\mid\;:0,79^4 \\[5pt] n&=&\dfrac{1129}{0,79^4} \\[5pt] n&\approx&2899\,\text{€} \end{array}$

Da es sich um eine nach oben geöffnete Normalparabel handelt, gilt:

Formula: y=x^2+b x+c

Mit Punkt $Formula: B(0 \mid-3),$ $Formula: B(0 \mid-3),$ folgt:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} -3&=&0^2+b \cdot 0+c \\[5pt] -3&=&c \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} -3&=&0^2+b \cdot 0+c \\[5pt] -3&=&c \end{array}$

Mit Punkt $Formula: A(-2 \mid-3)$ $Formula: A(-2 \mid-3)$ ergibt sich:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} -3&=&(-2)^2+b \cdot(-2)-3 \\[5pt] -3&=&1-2 b &\mid\;-1\\[5pt] -4&=&-2b &\mid\;:(-2)\\[5pt] 2&=&b \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} -3&=&(-2)^2+b \cdot(-2)-3 \\[5pt] -3&=&1-2 b &\mid\;-1\\[5pt] -4&=&-2b &\mid\;:(-2)\\[5pt] 2&=&b \end{array}$

Damit folgt:

Formula: p_1: y=x^2+2 x-3

Da die Normalparabel nach unten geöffnet ist, folgt mit $Formula: S_2(2 \mid 1):$ $Formula: S_2(2 \mid 1):$

Formula: y=-(x-2)^2+1

Nach dem Ausmultiplizieren ergibt sich:

Formula: p_2: y=-x^2+4 x-3

Koordinatensystem mit zwei Parabeln und markierten Punkten A, B und S₂.

Graph mit zwei Parabeln und markierten Punkten A, B und S2.

Für die quadratische Ergänzung von Formula: p_3 gilt:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} y&=&x^2-14 x+49-49+37 \\[5pt] y&=&(x-7)^2-12 \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} y&=&x^2-14 x+49-49+37 \\[5pt] y&=&(x-7)^2-12 \end{array}$

Für den Scheitelpunkt folgt somit:

$Formula: S_3(7 \mid-12)$ $Formula: S_3(7 \mid-12)$

Für Formula: x=-4 folgt:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} y&=&(-4)^2-14 \cdot(-4)+37 \\[5pt] &=&16+56+37 \\[5pt] &=&109 \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} y&=&(-4)^2-14 \cdot(-4)+37 \\[5pt] &=&16+56+37 \\[5pt] &=&109 \end{array}$

Für die Nullstellen aus dem Graphen gilt:

$Formula: x_1=1, \quad x_2=7$ $Formula: x_1=1, \quad x_2=7$

Mit dem Scheitelpunkt $Formula: S(4 \mid-9)$ $Formula: S(4 \mid-9)$ folgt für die Scheitelpunktform:

Formula: y=(x-4)^2-9

Für die Nullstellen gilt Formula: y=0. Somit folgt:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} 0&=&(x-4)^2-9 &\mid\;+9 \\[5pt] 9&=&(x-4)^2 &\mid\;\sqrt{\;} \\[5pt] \pm 3&=&x-4 &\mid\;+4 \\[5pt] 4\pm 3&=&x \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} 0&=&(x-4)^2-9 &\mid\;+9 \\[5pt] 9&=&(x-4)^2 &\mid\;\sqrt{\;} \\[5pt] \pm 3&=&x-4 &\mid\;+4 \\[5pt] 4\pm 3&=&x \end{array}$

Damit ergibt sich:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} x_1&=&3+4 \\[5pt] &=&7 \\[5pt] x_2&=&-3+4 \\[5pt] &=&1 \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} x_1&=&3+4 \\[5pt] &=&7 \\[5pt] x_2&=&-3+4 \\[5pt] &=&1 \end{array}$

Eine Parabel kann die Formula: y -Achse nur in einem Punkt schneiden. Deshalb gilt:

„Gegeben ist die Parabel Formula: p_5: y=x^2-6 x-3. Berechne die Koordinaten des Schnittpunkts von mit der Formula: y -Achse."

Baumdiagramm mit W, A und H sowie Bruchwahrscheinlichkeiten

Baumdiagramm mit Wahrscheinlichkeiten und den Buchstaben W, A und H.

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} P(H;H)&=&\dfrac{4}{12} \cdot \dfrac{3}{11} \\[5pt] &=&\dfrac{12}{132} \\[5pt] &=&\dfrac{1}{11} \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} P(H;H)&=&\dfrac{4}{12} \cdot \dfrac{3}{11} \\[5pt] &=&\dfrac{12}{132} \\[5pt] &=&\dfrac{1}{11} \end{array}$

Keine Apfelschorle bedeutet, dass jeweils Wasser oder Holunderschorle gezogen wird. Das gilt für die folgende Anzahl an Flaschen:

Formula: 3+4=7

Damit ergibt sich:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} P(\overline {A})&=&\dfrac{7}{12} \cdot \dfrac{6}{11} \\[5pt] &=&\dfrac{42}{132} \\[5pt] &=&\dfrac{7}{22} \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} P(\overline {A})&=&\dfrac{7}{12} \cdot \dfrac{6}{11} \\[5pt] &=&\dfrac{42}{132} \\[5pt] &=&\dfrac{7}{22} \end{array}$

Für die möglichen Getränkekombinationen gilt:

$Formula: W W, \quad W A, \quad W H, \quad A A, \quad A H, \quad H H$ $Formula: W W, \quad W A, \quad W H, \quad A A, \quad A H, \quad H H$

Damit gibt es Formula: 6 verschiedene Getränkekombinationen.

Für die Länge der Strecke $Formula: \overline{EB}$ $Formula: \overline{EB}$ gilt:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} |\overline{EB}|&=&|\overline{AB}|-| \overline{AE}| \\[5pt] &=&9,5 \mathrm{~cm}-2,5 \mathrm{~cm} \\[5pt] &=&7\;\text{cm} \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} |\overline{EB}|&=&|\overline{AB}|-| \overline{AE}| \\[5pt] &=&9,5 \mathrm{~cm}-2,5 \mathrm{~cm} \\[5pt] &=&7\;\text{cm} \end{array}$

Für die Länge der Strecke $Formula: \overline{CE}$ $Formula: \overline{CE}$ folgt mit dem Höhensatz:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} |\overline{CE}|^2&=&|\overline{AE}| \cdot|\overline{EB}| \\[5pt] |\overline{CE}|^2&=&2,5 \mathrm{~cm} \cdot 7 \mathrm{~cm} \\[5pt] |\overline{CE}|^2&=&17,5 \mathrm{~cm} &\mid\;\sqrt{\;} \\[5pt] |\overline{CE}|&\approx&4,18\;\text{cm} \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} |\overline{CE}|^2&=&|\overline{AE}| \cdot|\overline{EB}| \\[5pt] |\overline{CE}|^2&=&2,5 \mathrm{~cm} \cdot 7 \mathrm{~cm} \\[5pt] |\overline{CE}|^2&=&17,5 \mathrm{~cm} &\mid\;\sqrt{\;} \\[5pt] |\overline{CE}|&\approx&4,18\;\text{cm} \end{array}$

Für $Formula: \overline{CD}$ $Formula: \overline{CD}$ ergibt sich:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} |\overline{CD}|&=&|\overline{CE}|-|\overline{ED}| \\[5pt] &=&4,18 \mathrm{~cm}-0,7 \mathrm{~cm} \\[5pt] &=&3,48\;\text{cm} \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} |\overline{CD}|&=&|\overline{CE}|-|\overline{ED}| \\[5pt] &=&4,18 \mathrm{~cm}-0,7 \mathrm{~cm} \\[5pt] &=&3,48\;\text{cm} \end{array}$

Für die Länge von $Formula: \overline{CH}$ $Formula: \overline{CH}$ folgt damit:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} \sin (\delta)&=&\dfrac{|\overline{CH}|}{|\overline{CD}|} \\[5pt] \sin (55^{\circ})&=&\dfrac{|\overline{CH}|}{3,48 \mathrm{~cm}} &\mid\;\cdot 3,48 \\[5pt] 2,8506\;\text{cm}&\approx&|\overline{CH}| \\[5pt] 2,85\;\text{cm}&\approx&|\overline{CH}| \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} \sin (\delta)&=&\dfrac{|\overline{CH}|}{|\overline{CD}|} \\[5pt] \sin (55^{\circ})&=&\dfrac{|\overline{CH}|}{3,48 \mathrm{~cm}} &\mid\;\cdot 3,48 \\[5pt] 2,8506\;\text{cm}&\approx&|\overline{CH}| \\[5pt] 2,85\;\text{cm}&\approx&|\overline{CH}| \end{array}$

Für den Flächeninhalt folgt:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} A&=&|\overline{CH}|^2 \\[5pt] &=&(2,85 \mathrm{~cm})^2 \\[5pt] &=&8,1225 \mathrm{~cm}^2 \\[5pt] &\approx&8\;\text{cm}^2 \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} A&=&|\overline{CH}|^2 \\[5pt] &=&(2,85 \mathrm{~cm})^2 \\[5pt] &=&8,1225 \mathrm{~cm}^2 \\[5pt] &\approx&8\;\text{cm}^2 \end{array}$

Für die Länge der Kathete $Formula: \overline{AC}$ $Formula: \overline{AC}$ gilt mit dem Kathetensatz:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} |\overline{AC}|^2&=&|\overline{AB}| \cdot|\overline{AE}| \\[5pt] |\overline{AC}|^2&=&9,5 \mathrm{~cm} \cdot 2,5 \mathrm{~cm} \\[5pt] |\overline{AC}|^2&=&23,75 \mathrm{~cm} &\mid\;\sqrt{\;}\\[5pt] |\overline{AC}|&=&4,8733 \mathrm{~cm} \\[5pt] |\overline{AC}|&\approx&4,87\;\text{cm} \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} |\overline{AC}|^2&=&|\overline{AB}| \cdot|\overline{AE}| \\[5pt] |\overline{AC}|^2&=&9,5 \mathrm{~cm} \cdot 2,5 \mathrm{~cm} \\[5pt] |\overline{AC}|^2&=&23,75 \mathrm{~cm} &\mid\;\sqrt{\;}\\[5pt] |\overline{AC}|&=&4,8733 \mathrm{~cm} \\[5pt] |\overline{AC}|&\approx&4,87\;\text{cm} \end{array}$

Für das Volumen der zwei Halbkugeln gilt:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} V_{HK}&=&2\cdot\dfrac{2}{3} \cdot(3 \mathrm{~cm})^3 \cdot 3,14 \\[5pt] &=&113,04 \mathrm{~cm}^3 \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} V_{HK}&=&2\cdot\dfrac{2}{3} \cdot(3 \mathrm{~cm})^3 \cdot 3,14 \\[5pt] &=&113,04 \mathrm{~cm}^3 \end{array}$

Für das Volumen des Zylinders folgt:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} V_{Z}&=&(1 \mathrm{~cm})^2 \cdot 3,14 \cdot 12 \mathrm{~cm} \\[5pt] &=&37,68 \mathrm{~cm}^3 \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} V_{Z}&=&(1 \mathrm{~cm})^2 \cdot 3,14 \cdot 12 \mathrm{~cm} \\[5pt] &=&37,68 \mathrm{~cm}^3 \end{array}$

Für das Volumen des Werkstücks ergibt sich:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} V_W&=&113,04 \mathrm{~cm}^3+37,68 \mathrm{~cm}^3 \\[5pt] &=&150,72 \mathrm{~cm}^3 \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} V_W&=&113,04 \mathrm{~cm}^3+37,68 \mathrm{~cm}^3 \\[5pt] &=&150,72 \mathrm{~cm}^3 \end{array}$

Für die Masse folgt:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} m&=&150,72 \mathrm{~cm}^3 \cdot 2,7 \dfrac{\mathrm{~g}}{\mathrm{~cm}^3} \\[5pt] &\approx&406,94 \mathrm{~g} \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} m&=&150,72 \mathrm{~cm}^3 \cdot 2,7 \dfrac{\mathrm{~g}}{\mathrm{~cm}^3} \\[5pt] &\approx&406,94 \mathrm{~g} \end{array}$

Für den Oberflächeninhalt der Formula: 2 Halbkugeln gilt:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} O_{HK}&=&2\cdot2\cdot r_{HK}{}^2 \cdot \pi\\[5pt] &=&4\cdot(3 \mathrm{~cm})^2 \cdot 3,14 \\[5pt] &=&113,04 \mathrm{~cm}^2 \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} O_{HK}&=&2\cdot2\cdot r_{HK}{}^2 \cdot \pi\\[5pt] &=&4\cdot(3 \mathrm{~cm})^2 \cdot 3,14 \\[5pt] &=&113,04 \mathrm{~cm}^2 \end{array}$

Für den Flächeninhalt der zwei Kreisringe folgt:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} A_{KR}&=&2 \cdot\left(3 \mathrm{~cm}^2-1 \mathrm{~cm}^2\right) \cdot 3,14 \\[5pt] &=&50,24 \mathrm{~cm}^2 \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} A_{KR}&=&2 \cdot\left(3 \mathrm{~cm}^2-1 \mathrm{~cm}^2\right) \cdot 3,14 \\[5pt] &=&50,24 \mathrm{~cm}^2 \end{array}$

Für den Oberflächeninhalt der einzufärbenden Fläche gilt:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} O_{F}&=&113,04 \mathrm{~cm}^2+50,24 \mathrm{~cm}^2 \\[5pt] &=&163,28 \mathrm{~cm} \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} O_{F}&=&113,04 \mathrm{~cm}^2+50,24 \mathrm{~cm}^2 \\[5pt] &=&163,28 \mathrm{~cm} \end{array}$

Koordinatensystem mit mehreren eingezeichneten Punkten und zwei Geraden.

Koordinatensystem mit drei Linien und markierten Punkten A, B, A', B' und A''.

Für den Streckfaktor Formula: k_3 gilt:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} k_3&=&\dfrac{\left|\overline{{ZA}^{\prime \prime}}\right|}{\left|\overline{{ZA}^{\prime}}\right|}\\[5pt] &=&\dfrac{1 \mathrm{~cm}}{5 \mathrm{~cm}} \\[5pt] &=&0,2 \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} k_3&=&\dfrac{\left|\overline{{ZA}^{\prime \prime}}\right|}{\left|\overline{{ZA}^{\prime}}\right|}\\[5pt] &=&\dfrac{1 \mathrm{~cm}}{5 \mathrm{~cm}} \\[5pt] &=&0,2 \end{array}$

Mit der Formula: 1. binomischen Formel ergibt sich als mögliche Lösung:

$Formula: (2x^8+4y^2)^2=4x^{16}+16x^8y^2+16y^4$ $Formula: (2x^8+4y^2)^2=4x^{16}+16x^8y^2+16y^4$

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