Aufgabengruppe 1

Die Gerade Formula: g_1 verläuft durch die Punkte $Formula: A(1\mid-3)$ $Formula: A(1\mid-3)$ und $Formula: B(3\mid-5).$ $Formula: B(3\mid-5).$

Ermittle rechnerisch die Funktionsgleichung der Geraden Formula: g_1.

Gegeben ist die Gerade Formula: g_2: y=3x – 3.

Überprüfe rechnerisch, ob der Punkt $Formula: C(1,5 \mid1,5)$ $Formula: C(1,5 \mid1,5)$ auf dieser Geraden liegt.

Die Gerade Formula: g_3 verläuft durch den Punkt $Formula: D(3\mid−2)$ $Formula: D(3\mid−2)$ und steht senkrecht auf der Geraden Formula: g_2.

Ermittle die Funktionsgleichung der Geraden Formula: g_3.

Berechne die Formula: x -Koordinate des Schnittpunkts Formula: N_4 der Geraden Formula: g_4: y= –x – 1 mit der -Achse.

Ermittle rechnerisch die Koordinaten des Schnittpunkts Formula: S der Geraden Formula: g_2 und Formula: g_4 und gib an.

Die Geraden $Formula: g_5:y=\tfrac{3}{7}x-3$ $Formula: g_5:y=\tfrac{3}{7}x-3$ und $Formula: g_6: y=\tfrac{3}{7} x+7$ $Formula: g_6: y=\tfrac{3}{7} x+7$ haben keinen gemeinsamen Punkt.

Verändere genau eine Zahl in einer der beiden Funktionsgleichungen so, dass die beiden Geraden mindestens einen Punkt gemeinsam haben.

Zeichne die Geraden Formula: g_2 und Formula: g_4 in ein Koordinatensystem mit der Längeneinheit $Formula: 1\;\text{cm}.$ $Formula: 1\;\text{cm}.$

7 P

In der folgenden Skizze gilt: $Formula: |\overline{AC}|=53 \mathrm{~m}$ $Formula: |\overline{AC}|=53 \mathrm{~m}$

Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks Formula: ACD.

Geometrische Skizze mit Punkten A, B, C und D sowie eingezeichneten Winkeln 24° und 118°

Hinweis: Skizze nicht maßstabsgetreu

Skizziere die Abbildung auf deinem Lösungsblatt und zeichne genau eine Strecke $Formula: \overline{BE}$ $Formula: \overline{BE}$ so ein, dass für eines der abgebildeten Dreiecke der Höhensatz und der Kathetensatz aufgestellt werden kann.

5 P

Vereinfache den folgenden Term so weit wie möglich.

Es gilt: $Formula: x,y,z \neq 0$ $Formula: x,y,z \neq 0$

$Formula: \dfrac{9 x^{-2} y \cdot 4 y^2 z^{-3} \cdot 5 x^7 y^{-1} z}{2 y^2 \cdot 3 x^{-2} y^{-1} \cdot 2 x^1 z^{-2}}$ $Formula: \dfrac{9 x^{-2} y \cdot 4 y^2 z^{-3} \cdot 5 x^7 y^{-1} z}{2 y^2 \cdot 3 x^{-2} y^{-1} \cdot 2 x^1 z^{-2}}$

2 P

Die nachfolgende Abbildung zeigt die Parabel Formula: p_1.

Ermittle rechnerisch die Funktionsgleichung von Formula: p_1 in der Normalform.

Parabel im Koordinatensystem mit Scheitelpunkt bei etwa (2,5).

Die Parabel Formula: p_1 wird an der Formula: x -Achse gespiegelt.

Gib die Funktionsgleichung dieser gespiegelten Parabel Formula: p_2 in der Scheitelpunktform an.

Die Parabel Formula: p_3: y=x^2-8 x+7 schneidet die Formula: x -Achse in den Punkten Formula: N_1 und Formula: N_2.

Berechne die Formula: x -Koordinaten dieser beiden Punkte.

Überprüfe rechnerisch, ob die Punkte $Formula: A(4 \mid-8)$ $Formula: A(4 \mid-8)$ und $Formula: B(10 \mid 27)$ $Formula: B(10 \mid 27)$ auf der Parabel Formula: p_3 liegen.

Die Gerade Formula: g: y=x-9 schneidet die Parabel Formula: p_4: y=-x^2+3 x-6 in den Punkten Formula: C und Formula: D.

Ermittle rechnerisch die Koordinaten dieser Schnittpunkte und gib Formula: C und Formula: D an.

Zeichne die Parabeln Formula: p_3 und Formula: p_4 in ein Koordinatensystem mit der Längeneinheit $Formula: 1\;\text{cm}.$ $Formula: 1\;\text{cm}.$

7 P

In einer beliebten Urlaubsregion gab es im Jahr 2010 insgesamt Formula: 88 Millionen Übernachtungen. In den folgenden neun Jahren ist die Zahl der Übernachtungen exponentiell auf Formula: 101 Millionen im Jahr 2019 gestiegen.

Berechne den jährlichen Zuwachs in diesen neun Jahren in Prozent.

In den zwei Jahren ab 2019 nahm die Zahl der Übernachtungen um jährlich $Formula: 22,3\,\%$ $Formula: 22,3\,\%$ ab. Berechne die Zahl der Übernachtungen nach diesen zwei Jahren.

Von 2021 bis 2022 stieg die Übernachtungszahl wieder um $Formula: 1,65 \,\%$ $Formula: 1,65 \,\%$ auf Formula: 62 Millionen an.

Berechne, wie viele Jahre es bei diesem jährlichen prozentualen Zuwachs noch dauern würde, bis die Übernachtungszahl von Formula: 101 Millionen wieder erreicht würde.

4 P

Berechne für folgende Längen die Höhe des Baumes (siehe Skizze):

$Formula: a = 20\;\text{cm}, \quad b=25 \;\text{cm}, \quad c= 20\;\text{m}, \quad d=1,60\;\text{m}$ $Formula: a = 20\;\text{cm}, \quad b=25 \;\text{cm}, \quad c= 20\;\text{m}, \quad d=1,60\;\text{m}$

Skizze eines Baums mit Höhen- und Entfernungsmaßen

2 P

Eine Messingkugel soll in einem würfelförmigen Behälter aufbewahrt werden. Der Würfel hat ein Innenvolumen von $Formula: 100 \mathrm{~cm}^3.$ $Formula: 100 \mathrm{~cm}^3.$ Die Kugel hat eine Masse von $Formula: 550\;\text{g},$ $Formula: 550\;\text{g},$ wobei $Formula: 1 \mathrm{~cm}^3$ $Formula: 1 \mathrm{~cm}^3$ Messing eine Masse von $Formula: 8,73\;\text{g}$ $Formula: 8,73\;\text{g}$ hat.

Begründe nachvollziehbar, ob die Kugel in den Behälter passt.

3 P

Gib die Definitionsmenge der folgenden Gleichung an und ermittle die Lösungsmenge rechnerisch.

$Formula: \dfrac{32}{8 x+16}=\dfrac{5 x}{2 x+4}$ $Formula: \dfrac{32}{8 x+16}=\dfrac{5 x}{2 x+4}$

3 P

Bei einem Zufallsexperiment befinden sich in einem Behälter Formula: 20 Kugeln.

Auf jede Kugel ist genau eine Zahl aufgedruckt:

Viermal die Zahl Formula: 1, sechsmal die Zahl Formula: 2 und zehnmal die Zahl Formula: 3.

Nacheinander wird jeweils eine Kugel gezogen und nicht mehr zurückgelegt.

Es wird zweimal gezogen.

Stelle diesen Sachverhalt in einem Baumdiagramm dar und beschrifte die Äste mit den jeweiligen Wahrscheinlichkeiten.

Es wird dreimal gezogen.

Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass dreimal die gleiche Zahl gezogen wird.

Es wird dreimal gezogen. Die drei Zahlen bilden in der gezogenen Reihenfolge eine dreistellige Zahl.

Berechne, wie viele unterschiedliche dreistellige Zahlen auftreten können.

4 P

Folgende Gleichungen sind Anwendungen von binomischen Formeln.

Stelle die vollständigen Gleichungen auf und notiere diese.

 Formula: -  Formula: +169 y^6=(9 x-  Formula: )^2

Formula: -(  Formula: -15 y)^2=-49 x^2  Formula: 210xy  Formula: 225y^2

3 P

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Für die Steigung gilt:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} m&=&\dfrac{-5-(-3)}{3-1} \\[5pt] &=&\dfrac{-2}{2}\\[5pt] & =&-1 \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} m&=&\dfrac{-5-(-3)}{3-1} \\[5pt] &=&\dfrac{-2}{2}\\[5pt] & =&-1 \end{array}$

Einsetzen von Formula: m=-1 in Formula: y=mx+b liefert mit den Koordinaten von Formula: A:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} -3&=&-1 \cdot 1+b &\mid\;+1 \\[5pt] -2& =&b \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} -3&=&-1 \cdot 1+b &\mid\;+1 \\[5pt] -2& =&b \end{array}$

Es gilt:

Formula: g_1: y=-x-2

Für die Punktprobe mit $Formula: C(1,5 \mid 1,5)$ $Formula: C(1,5 \mid 1,5)$ und Formula: g_2: y=3 x-3 folgt:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} 1,5&=&3 \cdot 1,5-3 \\[5pt] 1,5&=&4,5-3\\[5pt] 1,5&=&1,5 \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} 1,5&=&3 \cdot 1,5-3 \\[5pt] 1,5&=&4,5-3\\[5pt] 1,5&=&1,5 \end{array}$

Der Punkt Formula: C liegt auf der Geraden Formula: g_2.

Für die Steigung ergibt sich:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} m_3 \cdot m_2&=&-1 \\[5pt] m_3\cdot 3&=&-1 &\mid\;:3 \\[5pt] m_3&=&-\dfrac{1}{3} \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} m_3 \cdot m_2&=&-1 \\[5pt] m_3\cdot 3&=&-1 &\mid\;:3 \\[5pt] m_3&=&-\dfrac{1}{3} \end{array}$

Für den Formula: y -Achsenabschnitt folgt durch Einsetzen der Koordinaten von Formula: D:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} y&=&m_3 \cdot x+b \\[5pt] -2&=&-\dfrac{1}{3} \cdot 3+b \\[5pt] -2&=&-1+b &\mid\;+1 \\[5pt] -1&=&b \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} y&=&m_3 \cdot x+b \\[5pt] -2&=&-\dfrac{1}{3} \cdot 3+b \\[5pt] -2&=&-1+b &\mid\;+1 \\[5pt] -1&=&b \end{array}$

Somit gilt:

$Formula: g_3: y=-\dfrac{1}{3} x-1$ $Formula: g_3: y=-\dfrac{1}{3} x-1$

Auf der Formula: x -Achse gilt Formula: y=0. Somit gilt:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} 0&=&-x-1 &\mid\;+1\\[5pt] 1&=&-x &\mid\;\cdot (-1) \\[5pt] -1&=&x \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} 0&=&-x-1 &\mid\;+1\\[5pt] 1&=&-x &\mid\;\cdot (-1) \\[5pt] -1&=&x \end{array}$

Gleichsetzen der Geraden Formula: g_2 und Formula: g_4 liefert:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} 3 x-3&=&-x-1 &\mid\;+x\\[5pt] 4x-3&=&-1 &\mid\;+3 \\[5pt] 4x&=&2 &\mid\;:4 \\[5pt] x&=&\dfrac{1}{2} \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} 3 x-3&=&-x-1 &\mid\;+x\\[5pt] 4x-3&=&-1 &\mid\;+3 \\[5pt] 4x&=&2 &\mid\;:4 \\[5pt] x&=&\dfrac{1}{2} \end{array}$

Für $Formula: x=\tfrac{1}{2}$ $Formula: x=\tfrac{1}{2}$ gilt:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} y&=&3 \cdot \dfrac{1}{2}-3\\[5pt] &=&-1,5 \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} y&=&3 \cdot \dfrac{1}{2}-3\\[5pt] &=&-1,5 \end{array}$

Es folgt:

$Formula: S(0,5 \mid-1,5)$ $Formula: S(0,5 \mid-1,5)$

Zum Beispiel kann bei Formula: g_6 die Formula: 3 durch eine Formula: 4 ersetzt werden, dann folgt:

$Formula: g_6: y=\dfrac{4}{7} x+7$ $Formula: g_6: y=\dfrac{4}{7} x+7$

Jetzt haben Formula: g_5 und Formula: g_6 unterschiedliche Steigungen und schneiden sich deshalb in einem Punkt.

Koordinatensystem mit zwei Geraden g2 und g4 sowie markierten Punkten und Hilfslinien.

Koordinatensystem mit zwei Geraden, g2 steigend und g4 fallend.

Da Formula: B, C und Formula: D auf einer Geraden liegen, gilt für den Winkel des Dreiecks Formula: ABC bei Formula: C:

$Formula: 180^{\circ}-118^{\circ}=62^{\circ}$ $Formula: 180^{\circ}-118^{\circ}=62^{\circ}$

Für die Strecke $Formula: \overline{AB}$ $Formula: \overline{AB}$ gilt:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} \sin \left(62^{\circ}\right)&=&\dfrac{\overline{AB}}{53} &\mid\;\cdot 53\\[5pt] 53 \cdot \sin \left(62^{\circ}\right)&=&\overline{AB} \\[5pt] 46,80 \mathrm{~m}&\approx&\overline{AB} \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} \sin \left(62^{\circ}\right)&=&\dfrac{\overline{AB}}{53} &\mid\;\cdot 53\\[5pt] 53 \cdot \sin \left(62^{\circ}\right)&=&\overline{AB} \\[5pt] 46,80 \mathrm{~m}&\approx&\overline{AB} \end{array}$

Für die Strecke $Formula: \overline{BC}$ $Formula: \overline{BC}$ folgt:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} \cos \left(62^{\circ}\right)&=&\dfrac{\overline{BC}}{53} &\mid\;\cdot 53\\[5pt] 53 \cdot \cos \left(62^{\circ}\right)&=&\overline{BC} \\[5pt] 24,88 \mathrm{~m}&\approx& \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} \cos \left(62^{\circ}\right)&=&\dfrac{\overline{BC}}{53} &\mid\;\cdot 53\\[5pt] 53 \cdot \cos \left(62^{\circ}\right)&=&\overline{BC} \\[5pt] 24,88 \mathrm{~m}&\approx& \end{array}$

Für die Strecke $Formula: \overline{BD}$ $Formula: \overline{BD}$ ergibt sich:

$Formula: \angle C A B=90^{\circ}-62^{\circ}=28^{\circ}$ $Formula: \angle C A B=90^{\circ}-62^{\circ}=28^{\circ}$

Damit folgt:

$Formula: \angle D A B=28^{\circ}+24^{\circ}=52^{\circ}$ $Formula: \angle D A B=28^{\circ}+24^{\circ}=52^{\circ}$

Im rechtwinkligen Dreieck Formula: ABD, gilt:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} \tan \left(52^{\circ}\right)&=&\dfrac{\overline{BD}}{\overline{AB}} &\mid\;\cdot \overline{AB} \\[5pt] 46,80 \cdot \tan \left(52^{\circ}\right)&=&\overline{BD} \\[5pt] 59,90 \mathrm{~m}&\approx& \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} \tan \left(52^{\circ}\right)&=&\dfrac{\overline{BD}}{\overline{AB}} &\mid\;\cdot \overline{AB} \\[5pt] 46,80 \cdot \tan \left(52^{\circ}\right)&=&\overline{BD} \\[5pt] 59,90 \mathrm{~m}&\approx& \end{array}$

Für die Strecke $Formula: \overline{CD}$ $Formula: \overline{CD}$ gilt:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} \overline{CD}&=&\overline{BD}-\overline{BC} \\[5pt] &=&59,90-24,88 \\[5pt] &\approx& 35,02 \mathrm{~m} \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} \overline{CD}&=&\overline{BD}-\overline{BC} \\[5pt] &=&59,90-24,88 \\[5pt] &\approx& 35,02 \mathrm{~m} \end{array}$

Es gilt:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} A&=&\dfrac{\overline{CD} \cdot \overline{AB}}{2} \\[5pt] &=&\dfrac{35,02 \cdot 46,80}{2} \\[5pt] &\approx& 819,3\;\text{m}^2 \\[5pt] &\approx&819\;\text{m}^2 \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} A&=&\dfrac{\overline{CD} \cdot \overline{AB}}{2} \\[5pt] &=&\dfrac{35,02 \cdot 46,80}{2} \\[5pt] &\approx& 819,3\;\text{m}^2 \\[5pt] &\approx&819\;\text{m}^2 \end{array}$

Geometrische Zeichnung mit den Punkten A, B, C, D und E sowie markierten Winkeln.

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} \dfrac{9 x^{-2} y \cdot 4 y^2 z^{-3} \cdot 5 x^7 y^{-1} z}{2 y^2 \cdot 3 x^{-2} y^{-1} \cdot 2 x^1 z^{-2}} &=&\dfrac{9 \cdot 4 \cdot 5 \cdot x^{-2} \cdot x^7 \cdot y \cdot y^2 \cdot y^{-1} \cdot z^{-3} \cdot z}{2 \cdot 3 \cdot 2 \cdot x^{-2} \cdot x^1 \cdot y^2 \cdot y^{-1} \cdot z^{-2}} \\[5pt] &=&\dfrac{180 \cdot x^5 \cdot y^2 \cdot z^{-2}}{12 \cdot x^{-1} \cdot y^1 \cdot z^{-2}} \\[5pt] &=&15 x^6 y \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} \dfrac{9 x^{-2} y \cdot 4 y^2 z^{-3} \cdot 5 x^7 y^{-1} z}{2 y^2 \cdot 3 x^{-2} y^{-1} \cdot 2 x^1 z^{-2}} &=&\dfrac{9 \cdot 4 \cdot 5 \cdot x^{-2} \cdot x^7 \cdot y \cdot y^2 \cdot y^{-1} \cdot z^{-3} \cdot z}{2 \cdot 3 \cdot 2 \cdot x^{-2} \cdot x^1 \cdot y^2 \cdot y^{-1} \cdot z^{-2}} \\[5pt] &=&\dfrac{180 \cdot x^5 \cdot y^2 \cdot z^{-2}}{12 \cdot x^{-1} \cdot y^1 \cdot z^{-2}} \\[5pt] &=&15 x^6 y \end{array}$

Für die Scheitelpunktform gilt:

Formula: y=a(x-2)^2+5

Der Punkt $Formula: P(0\mid1)$ $Formula: P(0\mid1)$ liegt auf der Parabel. Es folgt:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} 1&=&a(0-2)^2+5 \\[5pt] 1&=&4 a+5 &\mid\;-5 \\[5pt] -4&=&4a &\mid\;:4 \\[5pt] -1&=&a \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} 1&=&a(0-2)^2+5 \\[5pt] 1&=&4 a+5 &\mid\;-5 \\[5pt] -4&=&4a &\mid\;:4 \\[5pt] -1&=&a \end{array}$

Damit gilt:

Formula: y=-(x-2)^2+5

Für die Normalform folgt:

Formula: p_1: y=-x^2+4 x+1

Bei der Spiegelung an der Formula: x -Achse ändern sich alle Formula: y -Werte im Vorzeichen.

Somit gilt:

Formula: p_2: y=(x-2)^2-5

Nullsetzen der Gleichung der Parabel Formula: p_3 liefert:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} 0&=&x^2-8 x+7 \\[5pt] 0&=&(x-1)(x-7) \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} 0&=&x^2-8 x+7 \\[5pt] 0&=&(x-1)(x-7) \end{array}$

Es gilt:

$Formula: x_1=1,\quad x_2=7$ $Formula: x_1=1,\quad x_2=7$

Für die Punktprobe mit $Formula: A(4 \mid-8)$ $Formula: A(4 \mid-8)$ folgt:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} -8&=&4^2-8 \cdot 4+7 \\[5pt] -8&=&-9 \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} -8&=&4^2-8 \cdot 4+7 \\[5pt] -8&=&-9 \end{array}$

Der Punkt Formula: A liegt nicht auf Formula: p_3.

Für die Punktprobe mit $Formula: B(10 \mid 27)$ $Formula: B(10 \mid 27)$ folgt:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} 27&=&10^2-8 \cdot 10+7 \\[5pt] 27&=&27 \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} 27&=&10^2-8 \cdot 10+7 \\[5pt] 27&=&27 \end{array}$

Der Punkt Formula: B liegt auf Formula: p_3.

Gleichsetzen der Funktionsgleichungen von Formula: g und Formula: p_4 liefert:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} x-9&=&-x^2+3 x-6 &\mid\;-x \\[5pt] -9&=&-x^2+2x-6 &\mid\;+9 \\[5pt] -x^2+2x+3&=&0 &\mid\;\cdot (-1) \\[5pt] x^2-2x-3&=&0 \\[5pt] (x-3)(x+1)&=&0 \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} x-9&=&-x^2+3 x-6 &\mid\;-x \\[5pt] -9&=&-x^2+2x-6 &\mid\;+9 \\[5pt] -x^2+2x+3&=&0 &\mid\;\cdot (-1) \\[5pt] x^2-2x-3&=&0 \\[5pt] (x-3)(x+1)&=&0 \end{array}$

Es folgt:

$Formula: x_1=3, \quad x_2=-1$ $Formula: x_1=3, \quad x_2=-1$

Einsetzen der Formula: x -Werte in Formula: g liefert insgesamt die folgenden Koordinaten:

$Formula: C(3 \mid-6),\quad D(-1\mid-10)$ $Formula: C(3 \mid-6),\quad D(-1\mid-10)$

Koordinatensystem mit mehreren Parabeln und markierten Punkten.

Für den Ansatz gilt:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} 88 \cdot q^9&=&101 &\mid\;:88 \\[5pt] q^9&=&\dfrac{101}{88} &\mid\;\sqrt[9]{\;} \\[5pt] q&=&\sqrt[9]{\dfrac{101}{88}} \\[5pt] q&\approx& 1,0154 \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} 88 \cdot q^9&=&101 &\mid\;:88 \\[5pt] q^9&=&\dfrac{101}{88} &\mid\;\sqrt[9]{\;} \\[5pt] q&=&\sqrt[9]{\dfrac{101}{88}} \\[5pt] q&\approx& 1,0154 \end{array}$

Für den prozentualen Zuwachs folgt:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} p&=&(1,0154-1) \cdot 100\\[5pt] &\approx& 1,54\,\% \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} p&=&(1,0154-1) \cdot 100\\[5pt] &\approx& 1,54\,\% \end{array}$

Für denWachstumsfaktor gilt:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} q&=&1-0,223\\[5pt] &=&0,777 \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} q&=&1-0,223\\[5pt] &=&0,777 \end{array}$

Nach zwei Jahren folgt:

$Formula: 101 \cdot 0,777^2 \approx 60,98$ $Formula: 101 \cdot 0,777^2 \approx 60,98$

Nach zwei Jahren beträgt die Anzahl der Übernachtungen ca. Formula: 61 Millionen.

Mit dem Wachstumsfaktor Formula: q=1,0165, folgt:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} 62 \cdot 1,0165^x&=&101 &\mid\;:62 \\[5pt] 1,0165^x&=&\dfrac{101}{62} &\mid\;\ln{\;} \\[5pt] \ln(1,0165)\cdot x&=&\ln\left (\dfrac{101}{62}\right) &\mid\;:\ln(1,0165) \\[5pt] x&=&\dfrac{\ln\left (\tfrac{101}{62}\right)}{\ln (1,0165)} \\[5pt] x&\approx& 29,82 \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} 62 \cdot 1,0165^x&=&101 &\mid\;:62 \\[5pt] 1,0165^x&=&\dfrac{101}{62} &\mid\;\ln{\;} \\[5pt] \ln(1,0165)\cdot x&=&\ln\left (\dfrac{101}{62}\right) &\mid\;:\ln(1,0165) \\[5pt] x&=&\dfrac{\ln\left (\tfrac{101}{62}\right)}{\ln (1,0165)} \\[5pt] x&\approx& 29,82 \end{array}$

Es dauert rund Formula: 30 Jahre bis die Übernachtungszahl wieder Formula: 10 Millionen erreicht.

Mit dem Strahlensatz folgt:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} \dfrac{a}{b}&=&\dfrac{x}{c} \\[5pt] \dfrac{0,20}{0,25}&=&\dfrac{x}{20}\\[5pt] 0,8&=&\dfrac{x}{20} &\mid\;\cdot 20 \\[5pt] 16&=&x \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} \dfrac{a}{b}&=&\dfrac{x}{c} \\[5pt] \dfrac{0,20}{0,25}&=&\dfrac{x}{20}\\[5pt] 0,8&=&\dfrac{x}{20} &\mid\;\cdot 20 \\[5pt] 16&=&x \end{array}$

Für die Gesamthöhe gilt:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} h&=&x+d \\[5pt] &=&16+1,60\\[5pt] &=&17,60\;\text{m} \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} h&=&x+d \\[5pt] &=&16+1,60\\[5pt] &=&17,60\;\text{m} \end{array}$

Für die Kantenlänge des Würfels gilt:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} a^3&=&100 &\mid\;\sqrt[3]{\;}\\[5pt] a&=&\sqrt[3]{100}\\[5pt] &\approx&4,64\;\text{cm} \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} a^3&=&100 &\mid\;\sqrt[3]{\;}\\[5pt] a&=&\sqrt[3]{100}\\[5pt] &\approx&4,64\;\text{cm} \end{array}$

Die Kugel darf also höchstens einen Durchmesser von $Formula: 4,64\;\text{cm}$ $Formula: 4,64\;\text{cm}$ haben.

Für das Volumen der Kugel ergibt sich:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} V&=&\dfrac{550}{8,73} \\[5pt] &\approx&63\;\text{cm}^3 \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} V&=&\dfrac{550}{8,73} \\[5pt] &\approx&63\;\text{cm}^3 \end{array}$

Für den Radius der Kugel folgt:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} V&=&\dfrac{4}{3} \pi r^3 \\[5pt] 63&=&\dfrac{4}{3} \pi r^3 &\mid\;\cdot \dfrac{3}{4}\\[5pt] 47,25&=&\pi r^3 &\mid\;:\pi \\[5pt] \dfrac{47,25}{\pi}&=&r^3 &\mid\; \sqrt[3]{\;} \\[5pt] 2,47\;\text{cm}&\approx&r \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} V&=&\dfrac{4}{3} \pi r^3 \\[5pt] 63&=&\dfrac{4}{3} \pi r^3 &\mid\;\cdot \dfrac{3}{4}\\[5pt] 47,25&=&\pi r^3 &\mid\;:\pi \\[5pt] \dfrac{47,25}{\pi}&=&r^3 &\mid\; \sqrt[3]{\;} \\[5pt] 2,47\;\text{cm}&\approx&r \end{array}$

Somit gilt für den Durchmesser:

$Formula: d=2 r \approx 4,94 \mathrm{~cm}$ $Formula: d=2 r \approx 4,94 \mathrm{~cm}$

Für den Vergleich ergibt sich:

Formula: 4,94>4,64

Die Messingkugel passt nicht in den Behälter, da ihr Durchmesser von etwa $Formula: 4,94\;\text{cm}$ $Formula: 4,94\;\text{cm}$ größer als die Kantenlänge des Würfels von etwa $Formula: 4,64\;\text{cm}$ $Formula: 4,64\;\text{cm}$ ist.

Es gilt:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} 8 x+16 &\neq& 0 &\mid\;-16\\[5pt] 8 x &\neq&-16 &\mid\;:8 \\[5pt] x &\neq&-2 \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} 8 x+16 &\neq& 0 &\mid\;-16\\[5pt] 8 x &\neq&-16 &\mid\;:8 \\[5pt] x &\neq&-2 \end{array}$

Somit folgt:

$Formula: D=\mathbb{R} \backslash\{-2\}$ $Formula: D=\mathbb{R} \backslash\{-2\}$

Für die Lösungsmenge gilt:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} \dfrac{32}{8(x+2)}&=&\dfrac{5 x}{2(x+2)} &\mid\;\cdot 8(x+2)\\[5pt] 32&=&20x &\mid\;:20 \\[5pt] 1,6&=&x \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} \dfrac{32}{8(x+2)}&=&\dfrac{5 x}{2(x+2)} &\mid\;\cdot 8(x+2)\\[5pt] 32&=&20x &\mid\;:20 \\[5pt] 1,6&=&x \end{array}$

Somit folgt:

$Formula: L=\{1,6\}$ $Formula: L=\{1,6\}$

Baumdiagramm mit Zahlen und Bruchwahrscheinlichkeiten

Baumdiagramm mit Wahrscheinlichkeiten und Zahlen 1, 2, 3

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} p(1;1;1)&=&\dfrac{4}{20}\cdot \dfrac{3}{19} \cdot \dfrac{2}{18} \\[5pt] &=&\dfrac{1}{285}\\[5pt] p(2;2;2)&=&\dfrac{6}{20} \cdot \dfrac{5}{19} \cdot \dfrac{4}{18} \\[5pt] &=&\dfrac{1}{57} \\[5pt] p(3;3;3)&=&\dfrac{10}{20} \cdot \dfrac{9}{19} \cdot \dfrac{8}{18}\\[5pt] &=&\dfrac{2}{19} \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} p(1;1;1)&=&\dfrac{4}{20}\cdot \dfrac{3}{19} \cdot \dfrac{2}{18} \\[5pt] &=&\dfrac{1}{285}\\[5pt] p(2;2;2)&=&\dfrac{6}{20} \cdot \dfrac{5}{19} \cdot \dfrac{4}{18} \\[5pt] &=&\dfrac{1}{57} \\[5pt] p(3;3;3)&=&\dfrac{10}{20} \cdot \dfrac{9}{19} \cdot \dfrac{8}{18}\\[5pt] &=&\dfrac{2}{19} \end{array}$

Somit folgt:

$Formula: p\text{(dreimal gleiche Zahl)}=\dfrac{1}{285}+\dfrac{1}{57}+\dfrac{2}{19}=\dfrac{12}{95}$ $Formula: p\text{(dreimal gleiche Zahl)}=\dfrac{1}{285}+\dfrac{1}{57}+\dfrac{2}{19}=\dfrac{12}{95}$

Für die Anzahl der Kombinationen gilt:

$Formula: 3 \cdot 3 \cdot 3=27$ $Formula: 3 \cdot 3 \cdot 3=27$

$Formula: 81 x^2-234 x y^3+169 y^6=\left(9 x-13 y^3\right)^2$ $Formula: 81 x^2-234 x y^3+169 y^6=\left(9 x-13 y^3\right)^2$

Formula: -(7 x-15 y)^2 Formula: -(7 x-15 y)^2=-49 x^2+210 x y-225 y^2

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