Aufgabengruppe 2

Die Gerade Formula: g_1 hat die Funktionsgleichung Formula: y=-0,5x+3.

Berechne die Koordinaten des Schnittpunktes Formula: N von Formula: g_1 mit der Formula: x -Achse und gib an.

Übertrage die Wertetabelle zur Geraden Formula: g_1 und ergänze die fehlenden Werte.

$Formula: \boldsymbol{x}$ $Formula: \boldsymbol{x}$
$Formula: \boldsymbol{y}$ $Formula: \boldsymbol{y}$

Die Gerade Formula: g_2 verläuft durch den Punkt $Formula: B(-2,5\mid 0)$ $Formula: B(-2,5\mid 0)$ und steht senkrecht auf der Geraden Formula: g_1.

Bestimme rechnerisch die Funktionsgleichung der Geraden Formula: g_2.

Zeichne die Geraden Formula: g_1 und Formula: g_2 in ein Koordinatensystem mit der Längeneinheit $Formula: 1\;\text{cm}.$ $Formula: 1\;\text{cm}.$

Die Gerade Formula: g_3 verläuft durch die Punkte $Formula: C(-1 \mid-1)$ $Formula: C(-1 \mid-1)$ und $Formula: D(4 \mid 1).$ $Formula: D(4 \mid 1).$

Ermittle die Funktionsgleichung von Formula: g_3 rechnerisch.

Die Gerade Formula: g_4:-0,5 x=-5-y schneidet die Gerade Formula: g_1 im Punkt Formula: T.

Bestimme durch Rechnung die Koordinaten dieses Schnittpunkts Formula: T und gib an.

Gegeben ist der Graph der Funktion Formula: g_5 (siehe Zeichnung).

Gib die Funktionsgleichung der Geraden Formula: g_5 an.

Koordinatensystem mit der Geraden g₅ und dem markierten Steigungswinkel α.

Berechne den Winkel $Formula: \alpha$ $Formula: \alpha$ (siehe Zeichnung).

9 P

Löse die folgende Gleichung rechnerisch.

Gib die Definitionsmenge und die Lösungsmenge an.

$Formula: \dfrac{60}{x}-\dfrac{32}{x+1}=\dfrac{26}{x-2}$ $Formula: \dfrac{60}{x}-\dfrac{32}{x+1}=\dfrac{26}{x-2}$

4 P

Am 1. Januar 1998 hatte ein Sportverein in einer Großstadt $Formula: 85\,000$ $Formula: 85\,000$ Mitglieder.

Die Mitgliederzahl sank bis zum 1. Januar 2017 auf $Formula: 63\,750$ $Formula: 63\,750$ Mitglieder.

Bestimme die durchschnittliche prozentuale Abnahme pro Jahr.

Am 1. Januar 2019 hatte der Verein $Formula: 67\,800$ $Formula: 67\,800$ Mitglieder. Die Vereinsführung erhoffte sich ab diesem Zeitpunkt ein jährliches Wachstum von $Formula: 2,9 \,\%.$ $Formula: 2,9 \,\%.$

Berechne, nach wie vielen Jahren der Verein in diesem Fall wieder den Mitgliederstand vom 1. Januar 1998 erreichen würde. Runde das Ergebnis auf volle Jahre.

Berechne die Mitgliederzahl am 1. Januar 2030 im Falle einer gleichbleibenden jährlichen Steigerung um $Formula: 3,3 \,\%$ $Formula: 3,3 \,\%$ ab dem 1. Januar 2019.

4 P

In nachstehender Skizze gilt:

$Formula: \overline{AF}=16 \;\mathrm{dm} ; \;\overline{ED}=22\; \mathrm{dm} ; \;\overline{DC}=2 \;\mathrm{dm}.$ $Formula: \overline{AF}=16 \;\mathrm{dm} ; \;\overline{ED}=22\; \mathrm{dm} ; \;\overline{DC}=2 \;\mathrm{dm}.$

Geometrische Zeichnung mit den Punkten A bis F, mehreren Strecken, Winkeln und einer gestrichelten Verbindungslinie.

Geometrische Skizze mit den Punkten A bis F, Winkeln und gestrichelter Diagonale FB.

Hinweis: Skizze nicht maßstabsgetreu

Berechne den Flächeninhalt des Trapezes Formula: ABDE.

In der oben abgebildeten Skizze lässt sich der Kathetensatz anwenden.

Stelle eine korrekte Anwendung dieses Satzes mit den entsprechenden Streckenbezeichnungen auf.

5 P

Eine nach oben geöffnete Normalparabel Formula: p_1 verläuft durch die Punkte $Formula: A(-2\mid -3)$ $Formula: A(-2\mid -3)$ und $Formula: B(2 \mid 5).$ $Formula: B(2 \mid 5).$

Ermittle rechnerisch die Funktionsgleichung von Formula: p_1 in der Normalform.

Eine weitere Normalparabel Formula: p_2 hat die Funktionsgleichung Formula: y=x^2-5 x+2,25.

Bestimme rechnerisch die Scheitelpunktform und gib den Scheitelpunkt Formula: S_2 an.

Die Normalparabel Formula: p_2 schneidet die Formula: x -Achse in den Punkten Formula: N_1 und Formula: N_2.

Berechne die Formula: x -Koordinaten dieser Nullstellen.

Eine nach unten geöffnete Normalparabel Formula: p_3 hat den Scheitelpunkt $Formula: S_3(3 \mid 4).$ $Formula: S_3(3 \mid 4).$

Ermittle rechnerisch die Normalform der Funktionsgleichung von Formula: p_3.

Zeichne die Normalparabeln Formula: p_1 und Formula: p_3 in ein Koordinatensystem mit der Längeneinheit $Formula: 1\;\text{cm}.$ $Formula: 1\;\text{cm}.$

Überprüfe nachvollziehbar, ob folgende Aussage richtig oder falsch ist:

Der Punkt $Formula: D(0\mid 1)$ $Formula: D(0\mid 1)$ ist ein gemeinsamer Punkt der Normalparabel Formula: p_4: y=(x-2)^2-3 und der Geraden Formula: g: y=x-3.

Die Normalparabel Formula: p_4 wird an der Formula: x -Achse gespiegelt.

Gib die Scheitelpunktform der so entstandenen Normalparabel Formula: p_5 an.

8 P

Ersetze die Platzhalter $Formula: \square$ $Formula: \square$ in der folgenden Gleichung so, dass eine korrekte Anwendung einer binomischen Formel entsteht.

Schreibe die korrekte Gleichung vollständig auf.

$Formula: 25 x^6 y^2+\square+36 z^8=(\square+\square)^2$ $Formula: 25 x^6 y^2+\square+36 z^8=(\square+\square)^2$

Vereinfache die folgenden Terme so weit wie möglich.

Es gilt: $Formula: y \neq 0.$ $Formula: y \neq 0.$

$Formula: (\text{I})\quad \dfrac{0,5 \cdot\left(y^4\right)^{-2} \cdot 4 y^3 \cdot 6 y^6}{12 y}$ $Formula: (\text{I})\quad \dfrac{0,5 \cdot\left(y^4\right)^{-2} \cdot 4 y^3 \cdot 6 y^6}{12 y}$

$Formula: (\text{II})\quad \dfrac{\left(y^{12}\right)^{0,5}}{\sqrt[4]{y^{16}}}$ $Formula: (\text{II})\quad \dfrac{\left(y^{12}\right)^{0,5}}{\sqrt[4]{y^{16}}}$

3 P

In folgender Skizze gilt:

$Formula: \overline{BD}=4 \mathrm{~m} ; \;\overline{{B}^{\prime} C}=6 \mathrm{~m} ; \;\overline{EZ}=1,2 \mathrm{~m} ; \;\overline{BZ}=56 \mathrm{~m}.$ $Formula: \overline{BD}=4 \mathrm{~m} ; \;\overline{{B}^{\prime} C}=6 \mathrm{~m} ; \;\overline{EZ}=1,2 \mathrm{~m} ; \;\overline{BZ}=56 \mathrm{~m}.$

Geometrische Skizze mit den Punkten A, B, C, D, E, A′, B′ und Z sowie rechten Winkeln.

Geometrische Skizze mit zwei rechtwinkligen Dreiecken und den Punkten A, B, C, D, E, A', B' und Z.

Hinweis: Skizze nicht maßstabsgetreu

Durch eine zentrische Streckung mit dem Zentrum Formula: Z wird die Strecke Formula: [AB] auf die Strecke Formula: [A'B'] abgebildet (siehe Skizze).

Ermittle den Streckungsfaktor Formula: k.

Berechne die Länge der Strecke Formula: [BB'].

3 P

In einem Baumarkt gibt es unterschiedlich große Deko-Kugeln aus verschiedenen Materialien.

Bei einer Kugel mit dem Radius $Formula: r=30 \mathrm{~cm}$ $Formula: r=30 \mathrm{~cm}$ ist die untere Halbkugel geschliffen und poliert.

Berechne die Oberfläche der unteren Halbkugel.

$Formula: 1 \mathrm{~cm}^3$ $Formula: 1 \mathrm{~cm}^3$ Granit wiegt $Formula: 2,8 \mathrm{~g}.$ $Formula: 2,8 \mathrm{~g}.$

Ermittle rechnerisch das Gewicht einer Granitkugel mit dem Durchmesser $Formula: d=44 \mathrm{~cm}$ $Formula: d=44 \mathrm{~cm}$ in Kilogramm.

Eine andere Deko-Kugel wird in einem mit Wasser gefüllten Zylinder aus Glas vollständig untergetaucht. Dieser Zylinder hat einen Durchmesser von $Formula: d=15 \mathrm{~cm}.$ $Formula: d=15 \mathrm{~cm}.$ Der Wasserstand ist nach dem Eintauchen um $Formula: 5\;\text{cm}$ $Formula: 5\;\text{cm}$ höher.

Berechne den Durchmesser dieser Deko-Kugel in $Formula: \text{cm}.$ $Formula: \text{cm}.$

5 P

Eine Lehrkraft bereitet für die Abschlussfeier Formula: 40 äußerlich identische Glückskekse vor.

Formula: 24 davon enthalten je einen Wunsch für die Zukunft Formula: (W), zwölf enthalten ein jeweils unterschiedliches Sprichwort Formula: (S) und in den restlichen Keksen steckt jeweils ein Glückssymbol Formula: (G).

Alle Glückskekse befinden sich in einem Karton und sollen in zufälliger Reihenfolge einzeln herausgenommen werden.

Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass der erste herausgenommene Keks ein Glückssymbol enthält.

Die Schülersprecherin darf als Erste nacheinander zwei Kekse zufällig herausnehmen.

Es wird nur zwischen den zwei Ereignissen „W“ und „kein W“ unterschieden.

Erstelle dazu ein Baumdiagramm. Beschrifte die Äste mit den jeweiligen Wahrscheinlichkeiten und berechne, mit welcher Wahrscheinlichkeit die Schülersprecherin mindestens ein „W“ zieht.

Nachdem alle Formula: 40 Kekse entnommen worden sind, werden die zwölf Sprichwörter nun laut vorgelesen.

Berechne die Anzahl aller möglichen Reihenfolgen, in denen die Sprichwörter vorgelesen werden können.

4 P

Nullsetzen der Funktionsgleichung von Formula: g_1 liefert:

$Formula: \begin{array}{rlll} -0,5 x+3&=&0 &\mid\;-3 \\[5pt] -0,5x&=&-3 &\mid\;:(-0,5) \\[5pt] x&=&6 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} -0,5 x+3&=&0 &\mid\;-3 \\[5pt] -0,5x&=&-3 &\mid\;:(-0,5) \\[5pt] x&=&6 \end{array}$

Somit ergibt sich:

$Formula: N(6 \mid 0)$ $Formula: N(6 \mid 0)$

Für das Einsetzen von Formula: x=5 in die Funktionsgleichung Formula: g_1: y=-0,5 x+3 folgt:

$Formula: \begin{array}{rlll} y&=&-0,5 \cdot 5+3 \\[5pt] &=&-2,5+3 \\[5pt] &=&0,5 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} y&=&-0,5 \cdot 5+3 \\[5pt] &=&-2,5+3 \\[5pt] &=&0,5 \end{array}$

Für das Einsetzen von Formula: y=21 in die Funktionsgleichung Formula: g_1: y=-0,5 x+3 gilt:

$Formula: \begin{array}{rlll} 21&=&-0,5 x+3 &\mid\;-3 \\[5pt] 18&=&-0,5 x &\mid\;:(-0,5)\\[5pt] -36&=&x \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} 21&=&-0,5 x+3 &\mid\;-3 \\[5pt] 18&=&-0,5 x &\mid\;:(-0,5)\\[5pt] -36&=&x \end{array}$

Damit ergibt sich für die Tabelle:

$Formula: \boldsymbol{x}$ $Formula: \boldsymbol{x}$
$Formula: \boldsymbol{y}$ $Formula: \boldsymbol{y}$

Für die Steigung von Formula: g_2 folgt:

$Formula: \begin{array}{rlll} m_1 \cdot m_2&=&-1 \\[5pt] -0,5 \cdot m_2&=&-1 &\mid\;:(-0,5) \\[5pt] m_2&=&2 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} m_1 \cdot m_2&=&-1 \\[5pt] -0,5 \cdot m_2&=&-1 &\mid\;:(-0,5) \\[5pt] m_2&=&2 \end{array}$

Für das Einsetzen von Formula: m_2=2 und $Formula: B(-2,5 \mid 0)$ $Formula: B(-2,5 \mid 0)$ in die Funktionsgleichung Formula: y=m x+t ergibt sich:

$Formula: \begin{array}{rlll} 0&=&2 \cdot(-2,5)+t_2 \\[5pt] 0&=&-5+t_2 &\mid\;+5 \\[5pt] 5&=&t_2 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} 0&=&2 \cdot(-2,5)+t_2 \\[5pt] 0&=&-5+t_2 &\mid\;+5 \\[5pt] 5&=&t_2 \end{array}$

Damit gilt:

Formula: g_2: y=2 x+5

Koordinatensystem mit zwei Geraden g₁ und g₂, die sich schneiden.

Für die Steigung der Geraden Formula: g_3 mit den Punkten Formula: C und Formula: D folgt:

$Formula: \begin{array}{rlll} m_3&=&\dfrac{1-(-1)}{4-(-1)} \\[5pt] &=&\dfrac{2}{5} \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} m_3&=&\dfrac{1-(-1)}{4-(-1)} \\[5pt] &=&\dfrac{2}{5} \end{array}$

Für das Einsetzen von $Formula: m_3=\tfrac{2}{5}$ $Formula: m_3=\tfrac{2}{5}$ und $Formula: D(4 \mid 1)$ $Formula: D(4 \mid 1)$ in die Funktionsgleichung Formula: y=mx+t gilt:

$Formula: \begin{array}{rlll} 1&=&\dfrac{2}{5} \cdot 4+t_3 \\[5pt] 1&=&\dfrac{8}{5}+t_3 &\mid\;-\dfrac{8}{5}\\[5pt] -\dfrac{3}{5}&=&t_3 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} 1&=&\dfrac{2}{5} \cdot 4+t_3 \\[5pt] 1&=&\dfrac{8}{5}+t_3 &\mid\;-\dfrac{8}{5}\\[5pt] -\dfrac{3}{5}&=&t_3 \end{array}$

Damit ergibt sich für die Funktionsgleichung:

$Formula: g_3: y=\frac{2}{5} x-\frac{3}{5}$ $Formula: g_3: y=\frac{2}{5} x-\frac{3}{5}$

Für die Funktionsgleichung von Formula: g_4 in der Normalform gilt:

$Formula: \begin{array}{rlll} -0,5 x&=&-5-y &\mid\;+0,5x \\[5pt] 0&=&-5-y+0,5x &\mid\;+y \\[5pt] y&=&-5+0,5x \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} -0,5 x&=&-5-y &\mid\;+0,5x \\[5pt] 0&=&-5-y+0,5x &\mid\;+y \\[5pt] y&=&-5+0,5x \end{array}$

Für das Gleichsetzen der Funktionsgleichungen von Formula: g_1 und Formula: g_4 folgt:

$Formula: \begin{array}{rlll} -0,5 x+3&=&0,5 x-5 &\mid\;+0,5x \\[5pt] 3&=&x-5 &\mid\;+5 \\[5pt] 8&=&x \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} -0,5 x+3&=&0,5 x-5 &\mid\;+0,5x \\[5pt] 3&=&x-5 &\mid\;+5 \\[5pt] 8&=&x \end{array}$

Für das Einsetzen von Formula: x=8 in die Funktionsgleichung Formula: g_4 ergibt sich:

$Formula: \begin{array}{rlll} y&=&0,5 \cdot 8-5 \\[5pt] &=&-1 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} y&=&0,5 \cdot 8-5 \\[5pt] &=&-1 \end{array}$

Für den Schnittpunkt Formula: T gilt:

$Formula: T(8 \mid-1)$ $Formula: T(8 \mid-1)$

Aus dem Graphen lässt sich Formula: t_5=1 und $Formula: m_5=\tfrac{1}{4}$ $Formula: m_5=\tfrac{1}{4}$ ablesen. Damit folgt:

$Formula: g_5: y=\dfrac{1}{4} x+1$ $Formula: g_5: y=\dfrac{1}{4} x+1$

Für den Winkel $Formula: \alpha$ $Formula: \alpha$ folgt mit dem Steigungsdreieck mit Höhe Formula: 1:

$Formula: \begin{array}{rlll} \tan \alpha&=&\dfrac{\text { Gegenkathete }}{\text { Ankathete }} \\[5pt] \tan \alpha&=&\dfrac{1 \mathrm{~cm}}{4 \mathrm{~cm}} &\mid\;\tan^{-1} \\[5pt] \alpha&\approx&14^{\circ} \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} \tan \alpha&=&\dfrac{\text { Gegenkathete }}{\text { Ankathete }} \\[5pt] \tan \alpha&=&\dfrac{1 \mathrm{~cm}}{4 \mathrm{~cm}} &\mid\;\tan^{-1} \\[5pt] \alpha&\approx&14^{\circ} \end{array}$

Der Nenner des ersten Bruchs liefert:

$Formula: x \neq 0$ $Formula: x \neq 0$

Der zweite Bruch des Terms liefert:

$Formula: \begin{array}{rlll} x+1 &\neq& 0 &\mid\; -1\\[5pt] x&\neq&-1 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} x+1 &\neq& 0 &\mid\; -1\\[5pt] x&\neq&-1 \end{array}$

Der dritte Bruch ergibt sich:

$Formula: \begin{array}{rlll} x-2 &\neq& 0 &\mid\; +2\\[5pt] x&\neq&2 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} x-2 &\neq& 0 &\mid\; +2\\[5pt] x&\neq&2 \end{array}$

Somit ergibt sich:

$Formula: \mathbb{D}=\mathbb{R} \setminus\{-1 ; 0 ; 2\}$ $Formula: \mathbb{D}=\mathbb{R} \setminus\{-1 ; 0 ; 2\}$

Für die Lösungsmenge folgt:

$Formula: \begin{array}{rlll} \dfrac{60}{x}-\dfrac{32}{x+1}&=&\dfrac{26}{x-2} &\mid\;\cdot x(x+1)(x-2) \\[5pt] 60(x+1)(x-2)-32 x(x-2) &=&26 x(x+1)\\[5pt] 28 x^2+4 x-120&=&26 x^2+26 x &\mid\;-26x^2\\[5pt] 2x^2 + 4 x-120&=&26 x &\mid\;-26x\\[5pt] 2 x^2-22 x-120&=&0 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} \dfrac{60}{x}-\dfrac{32}{x+1}&=&\dfrac{26}{x-2} &\mid\;\cdot x(x+1)(x-2) \\[5pt] 60(x+1)(x-2)-32 x(x-2) &=&26 x(x+1)\\[5pt] 28 x^2+4 x-120&=&26 x^2+26 x &\mid\;-26x^2\\[5pt] 2x^2 + 4 x-120&=&26 x &\mid\;-26x\\[5pt] 2 x^2-22 x-120&=&0 \end{array}$

Mit der Formula: abc -Formel gilt:

$Formula: \begin{array}{rlll} x_{1 ;2}&=&\dfrac{22\pm \sqrt{\left(-22\right)^2-4\cdot2\cdot(-120)}}{2\cdot2} \\[5pt] x_{1 ;2}&=&\dfrac{22\pm \sqrt{1444}}{4} \\[5pt] x_{1 ;2}&=&\dfrac{22\pm 38}{4} \\[5pt] x_1&=&\dfrac{22- 38}{4} \\[5pt] &=&-4 \\[5pt] x_2&=&\dfrac{22+ 38}{4} \\[5pt] &=&15 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} x_{1 ;2}&=&\dfrac{22\pm \sqrt{\left(-22\right)^2-4\cdot2\cdot(-120)}}{2\cdot2} \\[5pt] x_{1 ;2}&=&\dfrac{22\pm \sqrt{1444}}{4} \\[5pt] x_{1 ;2}&=&\dfrac{22\pm 38}{4} \\[5pt] x_1&=&\dfrac{22- 38}{4} \\[5pt] &=&-4 \\[5pt] x_2&=&\dfrac{22+ 38}{4} \\[5pt] &=&15 \end{array}$

Somit ergibt sich:

$Formula: \mathbb{L}=\{-4 ; 15\}$ $Formula: \mathbb{L}=\{-4 ; 15\}$

Für den durchschnittlichen jährlichen Abnahmefaktor folgt:

$Formula: \begin{array}{rlll} 63\,750&=&85\,000 \cdot q^{19}&\mid\;:85\,000 \\[5pt] 0,75&=&q^{19} &\mid\;\sqrt[19]{\; } \\[5pt] 0,98497 &\approx&q \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} 63\,750&=&85\,000 \cdot q^{19}&\mid\;:85\,000 \\[5pt] 0,75&=&q^{19} &\mid\;\sqrt[19]{\; } \\[5pt] 0,98497 &\approx&q \end{array}$

Für die Prozentschreibweise gilt:

$Formula: \begin{array}{rlll} q&=&1-\dfrac{p}{100} \\[5pt] 0,98497&=&1-\dfrac{p}{100}&\mid\;-1\\[5pt] -0,01503&=&-\dfrac{p}{100} &\mid\;\cdot (-100\,\%) \\[5pt] 1,5\,\%&\approx&p\,\% \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} q&=&1-\dfrac{p}{100} \\[5pt] 0,98497&=&1-\dfrac{p}{100}&\mid\;-1\\[5pt] -0,01503&=&-\dfrac{p}{100} &\mid\;\cdot (-100\,\%) \\[5pt] 1,5\,\%&\approx&p\,\% \end{array}$

Für den Wachstumsfaktor folgt:

$Formula: \begin{array}{rlll} q&=&1+0,029 \\[5pt] &=&1,029 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} q&=&1+0,029 \\[5pt] &=&1,029 \end{array}$

Für die Anzahl der Jahre ergibt sich:

$Formula: \begin{array}{rlll} W_n&=&W_0 \cdot q^n \\[5pt] 85\,000&=&67\,800 \cdot 1,029^n &\mid\;:67\,800 \\[5pt] \dfrac{85\,000}{67\,800}&=&1,029^n &\mid\;\log _{1,029} \\[5pt] \log _{1,029} \dfrac{85\,000}{67\,800}&=& n \\[5pt] 8&\approx&n \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} W_n&=&W_0 \cdot q^n \\[5pt] 85\,000&=&67\,800 \cdot 1,029^n &\mid\;:67\,800 \\[5pt] \dfrac{85\,000}{67\,800}&=&1,029^n &\mid\;\log _{1,029} \\[5pt] \log _{1,029} \dfrac{85\,000}{67\,800}&=& n \\[5pt] 8&\approx&n \end{array}$

Für den Wachstumsfaktor gilt:

$Formula: \begin{array}{rlll} q&=&1+0,033 \\[5pt] &=&1,033 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} q&=&1+0,033 \\[5pt] &=&1,033 \end{array}$

Für die voraussichtliche Mitgliederanzahl folgt:

$Formula: \begin{array}{rlll} W_n&=&W_0 \cdot q^n \\[5pt] W_{11}&=&67\,800 \cdot 1,033^{11} \\[5pt] W_{11}&\approx&96\,902 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} W_n&=&W_0 \cdot q^n \\[5pt] W_{11}&=&67\,800 \cdot 1,033^{11} \\[5pt] W_{11}&\approx&96\,902 \end{array}$

Für die Länge der Strecke $Formula: \overline{AE}$ $Formula: \overline{AE}$ gilt:

$Formula: \begin{array}{rlll} \sin \alpha&=&\dfrac{\text { Gegenkathete }}{\text { Hypotenuse }} \\[5pt] \sin 60^{\circ}&=&\dfrac{\overline{AE}}{16 \;\mathrm{dm}} &\mid\;\cdot 16\;\text{dm} \\[5pt] 16 \mathrm{dm} \cdot \sin 60^{\circ}&=&\overline{AE} \\[5pt] 13,9\;\text{dm}&=&\overline{AE} \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} \sin \alpha&=&\dfrac{\text { Gegenkathete }}{\text { Hypotenuse }} \\[5pt] \sin 60^{\circ}&=&\dfrac{\overline{AE}}{16 \;\mathrm{dm}} &\mid\;\cdot 16\;\text{dm} \\[5pt] 16 \mathrm{dm} \cdot \sin 60^{\circ}&=&\overline{AE} \\[5pt] 13,9\;\text{dm}&=&\overline{AE} \end{array}$

Für die Länge der Strecke $Formula: \overline{FE}$ $Formula: \overline{FE}$ folgt:

$Formula: \begin{array}{rlll} \cos \alpha&=&\dfrac{\text { Ankathete }}{\text { Hypotenuse }} \\[5pt] \cos 60^{\circ}&=&\dfrac{\overline{FE}}{16\; \mathrm{dm}} &\mid\;\cdot 16\;\text{dm} \\[5pt] 16 \;\mathrm{dm} \cdot \cos 60^{\circ}&=&\overline{FE}\\[5pt] 8\;\text{dm}&=&\overline{FE} \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} \cos \alpha&=&\dfrac{\text { Ankathete }}{\text { Hypotenuse }} \\[5pt] \cos 60^{\circ}&=&\dfrac{\overline{FE}}{16\; \mathrm{dm}} &\mid\;\cdot 16\;\text{dm} \\[5pt] 16 \;\mathrm{dm} \cdot \cos 60^{\circ}&=&\overline{FE}\\[5pt] 8\;\text{dm}&=&\overline{FE} \end{array}$

Für die Länge der Strecke $Formula: \overline{FD}$ $Formula: \overline{FD}$ ergibt sich:

$Formula: \begin{array}{rlll} \overline{FD}&=&\overline{FE}+\overline{ED} \\[5pt] &=&8 \;\mathrm{dm}+22 \;\mathrm{dm} \\[5pt] &=&30\;\text{dm} \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} \overline{FD}&=&\overline{FE}+\overline{ED} \\[5pt] &=&8 \;\mathrm{dm}+22 \;\mathrm{dm} \\[5pt] &=&30\;\text{dm} \end{array}$

Für die Länge der Strecke $Formula: \overline{BD}$ $Formula: \overline{BD}$ folgt mit dem Höhensatz:

$Formula: \begin{array}{rlll} h^2&=&p \cdot q \\[5pt] (\overline{BD})^2&=&\overline{FD} \cdot \overline{DC} \\[5pt] (\overline{BD})^2&=&30 \;\mathrm{dm} \cdot 2 \;\mathrm{dm} &\mid\;\sqrt{\;} \\[5pt] \overline{BD}&\approx&7,7\;\text{dm} \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} h^2&=&p \cdot q \\[5pt] (\overline{BD})^2&=&\overline{FD} \cdot \overline{DC} \\[5pt] (\overline{BD})^2&=&30 \;\mathrm{dm} \cdot 2 \;\mathrm{dm} &\mid\;\sqrt{\;} \\[5pt] \overline{BD}&\approx&7,7\;\text{dm} \end{array}$

Für den Flächeninhalt gilt:

$Formula: \begin{array}{rlll} A&=&\dfrac{\overline{AE}+\overline{BD}}{2} \cdot \overline{ED} \\[5pt] &=&\dfrac{13,9\; \mathrm{dm}+7,7 \;\mathrm{dm}}{2} \cdot 22 \;\mathrm{dm}\\[5pt] &=&237,6\;\text{dm}^2 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} A&=&\dfrac{\overline{AE}+\overline{BD}}{2} \cdot \overline{ED} \\[5pt] &=&\dfrac{13,9\; \mathrm{dm}+7,7 \;\mathrm{dm}}{2} \cdot 22 \;\mathrm{dm}\\[5pt] &=&237,6\;\text{dm}^2 \end{array}$

Für eine mögliche Lösung zur Anwendung des Kathetensatzes folgt:

$Formula: (\overline{BC})^2=\overline{DC} \cdot \overline{FC}$ $Formula: (\overline{BC})^2=\overline{DC} \cdot \overline{FC}$

Einsetzen der Punkte Formula: A und Formula: B in die allgemeine Gleichung Formula: y=x^2+px+q liefert:

$Formula: \begin{array}{rlll} \text{I} \quad -3&=&(-2)^2+p \cdot(-2)+q \\[5pt] \text{II} \quad\quad 5&=&2^2+p \cdot 2+q \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} \text{I} \quad -3&=&(-2)^2+p \cdot(-2)+q \\[5pt] \text{II} \quad\quad 5&=&2^2+p \cdot 2+q \end{array}$

Somit folgt:

$Formula: \begin{array}{rlll} \text{I} \quad -3&=&4-2p+q \\[5pt] \text{II} \quad\quad 5&=&4+2p+q \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} \text{I} \quad -3&=&4-2p+q \\[5pt] \text{II} \quad\quad 5&=&4+2p+q \end{array}$

Für Gleichung $Formula: \text{I}$ $Formula: \text{I}$ folgt:

$Formula: \begin{array}{rlll} -3&=&4-2p+q &\quad\scriptsize\mid\;-(4-2p) \\[5pt] -7+2p&=&q \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} -3&=&4-2p+q &\quad\scriptsize\mid\;-(4-2p) \\[5pt] -7+2p&=&q \end{array}$

Für das Einsetzen von $Formula: \text{I}$ $Formula: \text{I}$ in $Formula: \text{II}$ $Formula: \text{II}$ ergibt sich:

$Formula: \begin{array}{rlll} 5&=&4+2 p-7+2 p \\[5pt] 5&=&-3+4 p &\mid\;+3\\[5pt] 8&=&4p &\mid\;:4\\[5pt] 2&=&p \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} 5&=&4+2 p-7+2 p \\[5pt] 5&=&-3+4 p &\mid\;+3\\[5pt] 8&=&4p &\mid\;:4\\[5pt] 2&=&p \end{array}$

Für das Einsetzen von Formula: p=2 in $Formula: \text{I}$ $Formula: \text{I}$ folgt:

$Formula: \begin{array}{rlll} -7+2 \cdot 2&=&q \\[5pt] -3&=&q \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} -7+2 \cdot 2&=&q \\[5pt] -3&=&q \end{array}$

Somit gilt:

Formula: p_1: y=x^2+2 x-3

Für die Scheitelpunktform der Parabel Formula: p_2 folgt:

$Formula: \begin{array}{rlll} y&=&x^2-5 x+2,25 \\[5pt] &=&x^2-5 x+2,5^2-2,5^2+2,25 \\[5pt] &=&(x-2,5)^2-6,25+2,25 \\[5pt] &=&(x-2,5)^2-4 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} y&=&x^2-5 x+2,25 \\[5pt] &=&x^2-5 x+2,5^2-2,5^2+2,25 \\[5pt] &=&(x-2,5)^2-6,25+2,25 \\[5pt] &=&(x-2,5)^2-4 \end{array}$

Für den Scheitelpunkt gilt:

$Formula: S_2(2,5 \mid-4)$ $Formula: S_2(2,5 \mid-4)$

Für die Nullstellen Formula: N_1 und Formula: N_2 wird die Funktionsgleichung von Formula: p_2 nullgesetzt. Es folgt:

Formula: x^2-5 x+2,25=0

Mit der Formula: abc -Formel gilt:

$Formula: \begin{array}{rlll} x_{1 ; 2}&=&\dfrac{5\pm \sqrt{\left(-5\right)^2-4\cdot1\cdot2,25}}{2\cdot1} \\[5pt] x_{1 ; 2}&=&\dfrac{5\pm \sqrt{16}}{2} \\[5pt] x_{1 ; 2}&=&\dfrac{5\pm 4}{2} \\[5pt] x_1&=&\dfrac{5- 4}{2} \\[5pt] &=&0,5 \\[5pt] x_2&=&\dfrac{5+ 4}{2} \\[5pt] &=&4,5 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} x_{1 ; 2}&=&\dfrac{5\pm \sqrt{\left(-5\right)^2-4\cdot1\cdot2,25}}{2\cdot1} \\[5pt] x_{1 ; 2}&=&\dfrac{5\pm \sqrt{16}}{2} \\[5pt] x_{1 ; 2}&=&\dfrac{5\pm 4}{2} \\[5pt] x_1&=&\dfrac{5- 4}{2} \\[5pt] &=&0,5 \\[5pt] x_2&=&\dfrac{5+ 4}{2} \\[5pt] &=&4,5 \end{array}$

Die Parabel Formula: p_3 ist nach unten geöffnet mit $Formula: y=-\left(x-x_S\right)^2+y_S.$ $Formula: y=-\left(x-x_S\right)^2+y_S.$ Mit dem Punkt Formula: S folgt:

$Formula: \begin{array}{rlll} y&=&-(x-3)^2+4 \\[5pt] &=&-\left(x^2-6 x+9\right)+4 \\[5pt] &=&-x^2+6 x-5 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} y&=&-(x-3)^2+4 \\[5pt] &=&-\left(x^2-6 x+9\right)+4 \\[5pt] &=&-x^2+6 x-5 \end{array}$

Damit gilt:

Formula: p_3: y=-x^2+6 x-5

Koordinatensystem mit Parabel p₁ und p₃ sowie markierten Punkten A, B, S₃ und S₄.

Der Punkt Formula: D liegt auf der Formula: y -Achse bei Formula: y=1. Der -Achsenabschnitt Formula: t von Formula: g ist jedoch bei Formula: t=-3 , daher kann nicht auf liegen. Die Aussage ist damit falsch.

Für den Scheitelpunkt der Normalparabel Formula: p_4 gilt:

$Formula: S_4(2 \mid-3)$ $Formula: S_4(2 \mid-3)$

Der Punkt $Formula: S_4(2 \mid-3)$ $Formula: S_4(2 \mid-3)$ wird an der Formula: x -Achse gespiegelt. Der erhaltene Punkt $Formula: S_4^{\prime}(2 \mid 3)$ $Formula: S_4^{\prime}(2 \mid 3)$ liefert:

Formula: p_5: y=-(x-2)^2+3

Mit der Formula: 1. binomischen Formel gilt:

$Formula: 25 x^6 y^2+60 x^3 y z^4+36 z^8=\left(5 x^3 y+6 z^4\right)^2$ $Formula: 25 x^6 y^2+60 x^3 y z^4+36 z^8=\left(5 x^3 y+6 z^4\right)^2$

Für den Term $Formula: \text{(I)}$ $Formula: \text{(I)}$ folgt:

$Formula: \begin{array}{rlll} \dfrac{0,5 \cdot\left(y^4\right)^{-2} \cdot 4 y^3 \cdot 6 y^6}{12 y}&=&\dfrac{0,5 \cdot 4 \cdot 6 \cdot y^{-8} \cdot y^3 \cdot y^6}{12 y} \\[5pt] &=&\dfrac{12 \cdot y^1}{12 y} \\[5pt] &=&1 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} \dfrac{0,5 \cdot\left(y^4\right)^{-2} \cdot 4 y^3 \cdot 6 y^6}{12 y}&=&\dfrac{0,5 \cdot 4 \cdot 6 \cdot y^{-8} \cdot y^3 \cdot y^6}{12 y} \\[5pt] &=&\dfrac{12 \cdot y^1}{12 y} \\[5pt] &=&1 \end{array}$

Für den Term $Formula: \text{(II)}$ $Formula: \text{(II)}$ gilt:

$Formula: \begin{array}{rlll} \dfrac{\left(y^{12}\right)^{0,5}}{\sqrt[4]{y^{16}}}&=&\dfrac{y^6}{\left(y^{16}\right)^{\tfrac{1}{4}}} \\[5pt] &=&\dfrac{y^6}{y^4} \\[5pt] &=&y^2 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} \dfrac{\left(y^{12}\right)^{0,5}}{\sqrt[4]{y^{16}}}&=&\dfrac{y^6}{\left(y^{16}\right)^{\tfrac{1}{4}}} \\[5pt] &=&\dfrac{y^6}{y^4} \\[5pt] &=&y^2 \end{array}$

Für die Länge der Strecke $Formula: \overline{AB}$ $Formula: \overline{AB}$ gilt:

$Formula: \begin{array}{rlll} \overline{AB}&=&\overline{BD}-\overline{EZ} \\[5pt] &=&4 \mathrm{~m}-1,2 \mathrm{~m} \\[5pt] &=&2,8\;\text{m} \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} \overline{AB}&=&\overline{BD}-\overline{EZ} \\[5pt] &=&4 \mathrm{~m}-1,2 \mathrm{~m} \\[5pt] &=&2,8\;\text{m} \end{array}$

Für die Länge der Strecke $Formula: \overline{A^{\prime}B^{\prime}}$ $Formula: \overline{A^{\prime}B^{\prime}}$ folgt:

$Formula: \begin{array}{rlll} \overline{A^{\prime} B^{\prime}}&=&\overline{B^{\prime} C}-\overline{EZ} \\[5pt] &=&6 \mathrm{~m}-1,2 \mathrm{~m} \\[5pt] &=&4,8\;\text{m} \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} \overline{A^{\prime} B^{\prime}}&=&\overline{B^{\prime} C}-\overline{EZ} \\[5pt] &=&6 \mathrm{~m}-1,2 \mathrm{~m} \\[5pt] &=&4,8\;\text{m} \end{array}$

Für den Streckungsfaktor Formula: k ergibt sich:

$Formula: \begin{array}{rlll} k&=&\dfrac{\overline{A^{\prime} B^{\prime}}}{\overline{A B}} \\[5pt] &=&\dfrac{4,8 \mathrm{~m}}{2,8 \mathrm{~m}} \\[5pt] &\approx&1,7 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} k&=&\dfrac{\overline{A^{\prime} B^{\prime}}}{\overline{A B}} \\[5pt] &=&\dfrac{4,8 \mathrm{~m}}{2,8 \mathrm{~m}} \\[5pt] &\approx&1,7 \end{array}$

Für die Länge der Strecke $Formula: \overline{BB}$ $Formula: \overline{BB}$ gilt:

$Formula: \begin{array}{rlll} \dfrac{\overline{BZ}}{\overline{AB}}&=&\dfrac{\overline{BZ}+\overline{BB^{\prime}}}{\overline{A^{\prime} B^{\prime}}} \\[5pt] \dfrac{56 \mathrm{~m}}{2,8 \mathrm{~m}}&=&\dfrac{56 \mathrm{~m}+\overline{BB^{\prime}}}{4,8 \mathrm{~m}} &\mid\;\cdot 4,8\;\text{m} \\[5pt] 96 \mathrm{~m}&=&56 \mathrm{~m}+\overline{BB^{\prime}} &\mid\;-56\;\text{m} \\[5pt] 40 \mathrm{~m}&=&\overline{BB^{\prime}} \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} \dfrac{\overline{BZ}}{\overline{AB}}&=&\dfrac{\overline{BZ}+\overline{BB^{\prime}}}{\overline{A^{\prime} B^{\prime}}} \\[5pt] \dfrac{56 \mathrm{~m}}{2,8 \mathrm{~m}}&=&\dfrac{56 \mathrm{~m}+\overline{BB^{\prime}}}{4,8 \mathrm{~m}} &\mid\;\cdot 4,8\;\text{m} \\[5pt] 96 \mathrm{~m}&=&56 \mathrm{~m}+\overline{BB^{\prime}} &\mid\;-56\;\text{m} \\[5pt] 40 \mathrm{~m}&=&\overline{BB^{\prime}} \end{array}$

Da nur die halbe Kugel betrachtet wird, folgt für die Oberfläche der unteren Halbkugel:

$Formula: \begin{array}{rlll} O_{HK}&=&\dfrac{4 \cdot r^2 \cdot \pi}{ 2} \\[5pt] &=&\dfrac{4 \cdot(30 \mathrm{~cm})^2 \cdot \pi}{ 2} \\[5pt] &\approx&5\,654,9 \mathrm{~cm}^2 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} O_{HK}&=&\dfrac{4 \cdot r^2 \cdot \pi}{ 2} \\[5pt] &=&\dfrac{4 \cdot(30 \mathrm{~cm})^2 \cdot \pi}{ 2} \\[5pt] &\approx&5\,654,9 \mathrm{~cm}^2 \end{array}$

Für das Volumen der Granitkugel gilt:

$Formula: \begin{array}{rlll} V_K&=&\dfrac{1}{6} \cdot d^3 \cdot \pi \\[5pt] &=&\dfrac{1}{6} \cdot(44 \mathrm{~cm})^3 \cdot \pi \\[5pt] &\approx&44\,602,2 \mathrm{~cm}^3 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} V_K&=&\dfrac{1}{6} \cdot d^3 \cdot \pi \\[5pt] &=&\dfrac{1}{6} \cdot(44 \mathrm{~cm})^3 \cdot \pi \\[5pt] &\approx&44\,602,2 \mathrm{~cm}^3 \end{array}$

Für die Masse folgt:

$Formula: \begin{array}{rlll} m&=&44\,602,2 \mathrm{~cm}^3 \cdot 2,8\;\dfrac{\text{g}}{\mathrm{cm}^3} \\[5pt] &=&124\,886,16 \mathrm{~g} \\[5pt] &\approx& 125 \mathrm{~kg} \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} m&=&44\,602,2 \mathrm{~cm}^3 \cdot 2,8\;\dfrac{\text{g}}{\mathrm{cm}^3} \\[5pt] &=&124\,886,16 \mathrm{~g} \\[5pt] &\approx& 125 \mathrm{~kg} \end{array}$

Für das Volumen des verdrängten Wassers ergibt sich:

$Formula: \begin{array}{rlll} V_{W}&=&r^2 \cdot \pi \cdot h_W \\[5pt] &=&(7,5 \mathrm{~cm})^2 \cdot \pi \cdot 5 \mathrm{~cm} \\[5pt] &\approx&883,6 \mathrm{~cm}^3 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} V_{W}&=&r^2 \cdot \pi \cdot h_W \\[5pt] &=&(7,5 \mathrm{~cm})^2 \cdot \pi \cdot 5 \mathrm{~cm} \\[5pt] &\approx&883,6 \mathrm{~cm}^3 \end{array}$

Für den Durchmesser der Deko-Kugel ergibt sich:

$Formula: \begin{array}{rlll} V_{DK}&=&\dfrac{1}{6} \cdot d^3 \cdot \pi \\[5pt] 883,6 \mathrm{~cm}^3&=&\dfrac{1}{6} \cdot d^3 \cdot \pi &\mid\;\cdot \dfrac{6}{\pi}\\[5pt] 1\,687,551 \mathrm{~cm}^3&\approx&d^3 &\mid\;\sqrt[3]{\;}\\[5pt] 11,9\;\text{cm}&\approx&d \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} V_{DK}&=&\dfrac{1}{6} \cdot d^3 \cdot \pi \\[5pt] 883,6 \mathrm{~cm}^3&=&\dfrac{1}{6} \cdot d^3 \cdot \pi &\mid\;\cdot \dfrac{6}{\pi}\\[5pt] 1\,687,551 \mathrm{~cm}^3&\approx&d^3 &\mid\;\sqrt[3]{\;}\\[5pt] 11,9\;\text{cm}&\approx&d \end{array}$

Es gibt Formula: 40 Kekse, Formula: 40-24-12=4 davon haben ein Glückssymbol. Damit folgt für die Wahrscheinlichkeit:

$Formula: \begin{array}{rlll} p(G)&=&\dfrac{4}{40} \\[5pt] &=&0,1 \\[5pt] &=&10\,\% \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} p(G)&=&\dfrac{4}{40} \\[5pt] &=&0,1 \\[5pt] &=&10\,\% \end{array}$

Baumdiagramm mit Wahrscheinlichkeiten für W und kein W.

$Formula: \begin{array}{rlll} p{\text{(min. ein W)}}&=&\dfrac{24}{40}\cdot1+\dfrac{16}{40}\cdot\dfrac{24}{39} \\[5pt] &=&\dfrac{55}{65} \\[5pt] &=&\dfrac{11}{13} \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} p{\text{(min. ein W)}}&=&\dfrac{24}{40}\cdot1+\dfrac{16}{40}\cdot\dfrac{24}{39} \\[5pt] &=&\dfrac{55}{65} \\[5pt] &=&\dfrac{11}{13} \end{array}$

Für die Anzahl der möglichen Reihenfolgen gilt:

$Formula: 12!=479\,001\,600$ $Formula: 12!=479\,001\,600$

Für die Sprüche gibt es $Formula: 479\,001\,600$ $Formula: 479\,001\,600$ verschiedene Reihenfolgen, diese vorzulesen.