Aufgabengruppe 2

Die Gerade Formula: g_1 ist durch die Funktionsgleichung Formula: y=-x+3,5 bestimmt.

Berechne die Koordinaten des Schnittpunkts Formula: N der Geraden Formula: g_1 mit der Formula: x -Achse und gib an.

Die folgenden Wertepaare sind Punkte der Geraden Formula: g_2:

$Formula: \boldsymbol{x}$ $Formula: \boldsymbol{x}$
$Formula: \boldsymbol{y}$ $Formula: \boldsymbol{y}$

Ermittle die Funktionsgleichung von Formula: g_2.

Die Gerade Formula: g_3:y=-0,2 x-1,5 schneidet die Gerade Formula: g_1 im Punkt Formula: T.

Berechne die Koordinaten des Schnittpunkts Formula: T und gib diesen an.

Die Gerade Formula: g_1 wird zuerst an der Formula: x -Achse und dann an der Formula: y -Achse gespiegelt.

Dadurch entsteht die Gerade Formula: g_4.

Gib die Funktionsgleichung von Formula: g_4 an.

Die Gerade Formula: g_5 hat die Funktionsgleichung $Formula: y=\tfrac{1}{3} x+4.$ $Formula: y=\tfrac{1}{3} x+4.$ Die Gerade Formula: g_6 steht senkrecht auf und verläuft durch den Punkt $Formula: P(-1\mid 5).$ $Formula: P(-1\mid 5).$

Bestimme rechnerisch die Funktionsgleichung von Formula: g_6.

Zeichne die Geraden Formula: g_1, g_5 und Formula: g_6 in ein Koordinatensystem mit der Längeneinheit $Formula: 1\;\text{cm}.$ $Formula: 1\;\text{cm}.$

8 P

Martina stellt Vogelfutter her. Für die Herstellung des Teigs verwendet sie einen Topf in Form eines Zylinders. Dieser hat im Inneren einen Durchmesser von $Formula: 26\;\text{cm}$ $Formula: 26\;\text{cm}$ und eine Höhe von $Formula: 28\;\text{cm}.$ $Formula: 28\;\text{cm}.$ Die Teigmasse füllt den Topf bis $Formula: 8\;\text{cm}$ $Formula: 8\;\text{cm}$ unter den Rand. Martina formt damit Kugeln mit einem Durchmesser von $Formula: 5\;\text{cm},$ $Formula: 5\;\text{cm},$ solange dies möglich ist. Aus der übrigen Teigmasse fertigt sie eine letzte, kleinere Kugel.

Berechne den Durchmesser dieser kleineren Kugel.

4 P

In der folgenden Skizze gilt: $Formula: x_1\left\|x_2\right\| x_3$ $Formula: x_1\left\|x_2\right\| x_3$

Dreieck mit drei parallelen Geraden x₁, x₂ und x₃ sowie markierten Abschnitten a bis i.

Hinweis: Skizze nicht maßstabsgetreu

Schreibe die folgenden Aussagen auf und ersetze jeweils den Platzhalter $Formula: \square$ $Formula: \square$ so, dass die Beziehungen richtig wiedergegeben werden.

$Formula: \text{I}.\quad \dfrac{a+b+c}{\square}=\dfrac{a}{g}$ $Formula: \text{I}.\quad \dfrac{a+b+c}{\square}=\dfrac{a}{g}$

$Formula: \text{II}.\quad \dfrac{c}{f}=\dfrac{\square}{e}$ $Formula: \text{II}.\quad \dfrac{c}{f}=\dfrac{\square}{e}$

$Formula: \text{III}. \quad \dfrac{\square}{h}=\dfrac{d}{g}$ $Formula: \text{III}. \quad \dfrac{\square}{h}=\dfrac{d}{g}$

Folgende Streckenlängen sind gegeben:

$Formula: a = 4\;\text{cm}; \;b=6\;\text{cm}; \;g=2\;\text{cm}$ $Formula: a = 4\;\text{cm}; \;b=6\;\text{cm}; \;g=2\;\text{cm}$

Berechne die Länge der Strecke Formula: h.

4 P

In einem Behälter befinden sich acht gelbe und drei weiße Spielbälle für ein Kickerturnier.

Serkan nimmt nacheinander drei Spielbälle ohne Zurücklegen aus dem Behälter.

Dies geschieht nach dem Zufallsprinzip.

Stelle diesen Ablauf in einem Baumdiagramm dar und beschrifte die Äste mit den entsprechenden Wahrscheinlichkeiten.

Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass bei dreimaligem Ziehen mindestens zwei gelbe Spielbälle gezogen werden.

Die Bälle sind mit den Zahlen eins bis elf durchnummeriert.

Serkan nimmt die restlichen Bälle aus dem Behälter und legt alle Formula: 11 Bälle vor sich in einer Reihe hin.

Berechne die Anzahl aller möglichen verschiedenen Reihenfolgen, in der die Bälle gelegt werden könnten.

4 P

Die nach oben geöffnete Normalparabel Formula: p_1 verläuft durch die Punkte $Formula: A(-3\mid 1)$ $Formula: A(-3\mid 1)$ und $Formula: B(2 \mid 6).$ $Formula: B(2 \mid 6).$

Gib die Funktionsgleichung von Formula: p_1 in der Normalform an.

Die Normalparabel Formula: p_2 ist nach unten geöffnet und hat den Scheitelpunkt $Formula: S_2(3 \mid 4).$ $Formula: S_2(3 \mid 4).$

Gib die Funktionsgleichung von Formula: p_2 in der Normalform an.

Zeichne die Parabeln Formula: p_1 und Formula: p_2 in ein Koordinatensystem mit der Längeneinheit $Formula: 1\;\text{cm}.$ $Formula: 1\;\text{cm}.$

Der Punkt $Formula: C(7 \mid y)$ $Formula: C(7 \mid y)$ liegt auf der Normalparabel Formula: p_3: y=-x^2+7 x+14.

Berechne die fehlende Formula: y -Koordinate.

Überprüfe rechnerisch, ob der Punkt $Formula: D(-3\mid 16)$ $Formula: D(-3\mid 16)$ auf der Parabel Formula: p_3 liegt.

Bestimme durch Rechnung den Scheitelpunkt Formula: S_3 der Parabel Formula: p_3.

Die Parabel Formula: p_4: y=x^2-20 x+96 schneidet die Formula: x -Achse in den Punkten Formula: N_1 und Formula: N_2.

Ermittle die Formula: x -Koordinaten von Formula: N_1 und Formula: N_2 rechnerisch.

Zeige rechnerisch, dass die Gerade Formula: g: 2 y+6 x=38 keinen gemeinsamen Punkt mit der Parabel Formula: p_4 hat.

8 P

Ersetze den Platzhalter $Formula: \square$ $Formula: \square$ durch einen Term so, dass eine wahre Aussage entsteht.

Dabei sind Formula: m und Formula: b beliebige, positive, reelle Zahlen.

Schreibe die korrekte Gleichung auf.

$Formula: \sqrt{\square}=m^4 b$ $Formula: \sqrt{\square}=m^4 b$

Ersetze die Platzhalter Formula: ♦️ (Rechenzeichen) und $Formula: \square$ $Formula: \square$ (Terme) in der folgenden Gleichung so, dass eine korrekte Anwendung einer binomischen Formel entsteht.

Schreibe diese Gleichung vollständig auf.

$Formula: (\square-\square)^2=0,64a^4 ♦️ 4a^2b^9+\square$ $Formula: (\square-\square)^2=0,64a^4 ♦️ 4a^2b^9+\square$

3 P

Die folgende Skizze zeigt die Fläche einer Werbetafel für eine Surfschule.

Es gilt:

$Formula: \overline{CD}=2,25 \mathrm{~m} ; \quad \overline{CE}=6,25 \mathrm{~m} ; \quad \overline{BE}=1,5 \cdot \overline{CE}$ $Formula: \overline{CD}=2,25 \mathrm{~m} ; \quad \overline{CE}=6,25 \mathrm{~m} ; \quad \overline{BE}=1,5 \cdot \overline{CE}$

Geometrische Skizze mit den Punkten A bis F, einem schrägen Dreieck und gestrichelter Verbindung zu D.

Hinweis: Skizze nicht maßstabsgetreu

Das Trapez Formula: ABCF der Werbetafel soll rot lackiert werden.

Berechne den Flächeninhalt dieses Trapezes.

Der Umfang der Tafel soll entlang des Dreiecks Formula: ABE mit einem speziellen LED-Lichtschlauch beleuchtet werden. Diesen kann man nur bis zu einem Winkel von $Formula: 25^{\circ}$ $Formula: 25^{\circ}$ biegen, damit er nicht bricht.

Überprüfe, ob der Lichtschlauch für dieses Dreieck geeignet ist.

5 P

Gegeben ist folgende Gleichung:

$Formula: \dfrac{-32}{(-2 x-8)}=4+\dfrac{5 x}{(8+2 x)}$ $Formula: \dfrac{-32}{(-2 x-8)}=4+\dfrac{5 x}{(8+2 x)}$

Gib die Definitionsmenge an, löse die Gleichung nach Formula: x auf und bestimme die Lösungsmenge.

4 P

Die Bevölkerungszahl in deutschen Städten hat sich in den letzten Jahren verändert.

Am 1. Januar 2010 wohnten in einer Stadt $Formula: 460\,725$ $Formula: 460\,725$ Einwohner.

Diese Einwohnerzahl stieg in neun Jahren um insgesamt $Formula: 30\,800.$ $Formula: 30\,800.$

Berechne das durchschnittliche jährliche Bevölkerungswachstum dieser Stadt in Prozent.

In einer Großstadt betrug am 1. Januar 2019 die Einwohnerzahl $Formula: 1\,847\,253.$ $Formula: 1\,847\,253.$

Bestimme rechnerisch den Zeitraum in Jahren, in dem diese Großstadt bei einem durchschnittlichen jährlichen Wachstum von $Formula: 0,38\,\%$ $Formula: 0,38\,\%$ die Grenze von zwei Millionen Einwohnern überschreiten würde.

In anderen Städten sinken die Einwohnerzahlen.

Berechne die Anzahl der Einwohner einer Stadt nach zehn Jahren, wenn diese momentan $Formula: 246\,334$ $Formula: 246\,334$ Einwohner zählt und man von einem jährlichen durchschnittlichen Rückgang von $Formula: 1,01\,\%$ $Formula: 1,01\,\%$ ausgeht.

In vielen ländlichen Gebieten sinken die Einwohnerzahlen noch stärker.

Am 1. Januar 2021 hatte eine kleine Gemeinde $Formula: 2\,510$ $Formula: 2\,510$ Einwohner.

Seit dem 1. Januar 2000 nahm die Einwohnerzahl durchschnittlich um jährlich $Formula: 2,8\,\%$ $Formula: 2,8\,\%$ ab.

Berechne die Anzahl der Einwohner am 1. Januar 2000.

5 P

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Für die Formula: x -Koordinate des Schnittpunkts Formula: N von Formula: g_1 mit der -Achse folgt:

$Formula: \begin{array}{rlll} 0&=&-x+3,5 &\mid\;-3,5 \\[5pt] -3,5&=&-x &\mid\;\cdot (-1) \\[5pt] 3,5&=&x \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} 0&=&-x+3,5 &\mid\;-3,5 \\[5pt] -3,5&=&-x &\mid\;\cdot (-1) \\[5pt] 3,5&=&x \end{array}$

Somit gilt:

$Formula: N(3,5 \mid 0)$ $Formula: N(3,5 \mid 0)$

Für die Steigung folgt mit $Formula: B(2\mid 3,5)$ $Formula: B(2\mid 3,5)$ und $Formula: C(4\mid 6,5):$ $Formula: C(4\mid 6,5):$

$Formula: \begin{array}{rlll} m_2&=&\dfrac{6,5-3,5}{4-2} \\[5pt] &=&1,5 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} m_2&=&\dfrac{6,5-3,5}{4-2} \\[5pt] &=&1,5 \end{array}$

Für den Formula: y -Achsenabschnitt ergibt sich mit den Koordinaten von Formula: B:

$Formula: \begin{array}{rlll} y&=&m_2 \cdot x+t_2 \\[5pt] 3,5&=&1,5 \cdot 2+t_2 \\[5pt] 3,5&=&3+t_2 &\mid\;-3 \\[5pt] 0,5&=&t_2 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} y&=&m_2 \cdot x+t_2 \\[5pt] 3,5&=&1,5 \cdot 2+t_2 \\[5pt] 3,5&=&3+t_2 &\mid\;-3 \\[5pt] 0,5&=&t_2 \end{array}$

Damit gilt:

Formula: g_2: y=1,5 x+0,5

Für die Formula: x -Koordinate des Schnittpunkts Formula: T der Geraden Formula: g_1 und Formula: g_3 folgt:

$Formula: \begin{array}{rlll} -x+3,5&=&-0,2 x-1,5 &\mid\;+x \\[5pt] 3,5&=&0,8x-1,5 &\mid\;+1,5 \\[5pt] 5&=&0,8x &\mid\;:0,8 \\[5pt] 6,25&=&x \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} -x+3,5&=&-0,2 x-1,5 &\mid\;+x \\[5pt] 3,5&=&0,8x-1,5 &\mid\;+1,5 \\[5pt] 5&=&0,8x &\mid\;:0,8 \\[5pt] 6,25&=&x \end{array}$

Für das Einsetzen in die Gleichung von Formula: g_1 gilt:

$Formula: \begin{array}{rlll} y&=&-6,25+3,5 \\[5pt] &=&-2,75 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} y&=&-6,25+3,5 \\[5pt] &=&-2,75 \end{array}$

Somit ergibt sich:

$Formula: T(6,25 \mid-2,75)$ $Formula: T(6,25 \mid-2,75)$

Für die Formula: 1. Spiegelung von Formula: g_1 folgt:

Formula: y=x-3,5

Für die Formula: 2. Spiegelung gilt:

Formula: y=-x-3,5

Somit ergibt sich für die Gleichung von Formula: g_4:

Formula: g_4: y=-x-3,5

Für die Steigung folgt:

$Formula: \begin{array}{rlll} m_5 \cdot m_6&=&-1 \\[5pt] \dfrac{1}{3} \cdot m_6&=&-1 &\mid\;:\dfrac{1}{3} \\[5pt] m_6&=&-3 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} m_5 \cdot m_6&=&-1 \\[5pt] \dfrac{1}{3} \cdot m_6&=&-1 &\mid\;:\dfrac{1}{3} \\[5pt] m_6&=&-3 \end{array}$

Für den Formula: y -Achsenabschnitt gilt mit den Koordinaten von Formula: P:

$Formula: \begin{array}{rlll} y&=&m_6 \cdot x+t_6 \\[5pt] 5&=&-3 \cdot(-1)+t_6 \\[5pt] 5&=&3+t_6 &\mid\;-3 \\[5pt] 2&=&t_6 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} y&=&m_6 \cdot x+t_6 \\[5pt] 5&=&-3 \cdot(-1)+t_6 \\[5pt] 5&=&3+t_6 &\mid\;-3 \\[5pt] 2&=&t_6 \end{array}$

Damit ergibt sich:

Formula: g_6: y=-3 x+2

Koordinatensystem mit drei Geraden g1, g5 und g6 sowie gestrichelten Steigungsdreiecken.

Für die Höhe des Teigs folgt:

$Formula: 28 \mathrm{~cm}-8 \mathrm{~cm}=20 \mathrm{~cm}$ $Formula: 28 \mathrm{~cm}-8 \mathrm{~cm}=20 \mathrm{~cm}$

Für das Volumen gilt:

$Formula: \begin{array}{rlll} V_T&=&r^2 \cdot \pi \cdot h_T \\[5pt] &\approx&13^2 \cdot 3,14 \cdot 20 \\[5pt] &\approx&10\,613,2 \mathrm{~cm}^3 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} V_T&=&r^2 \cdot \pi \cdot h_T \\[5pt] &\approx&13^2 \cdot 3,14 \cdot 20 \\[5pt] &\approx&10\,613,2 \mathrm{~cm}^3 \end{array}$

Für das Volumen einer Kugel ergibt sich:

$Formula: \begin{array}{rlll} V_K&=&\dfrac{4}{3} \cdot r_K^3 \cdot \pi \\[5pt] &\approx&\dfrac{4}{3}\cdot 2,5^3 \cdot 3,14 \\[5pt] &\approx&65,4 \mathrm{~cm}^3 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} V_K&=&\dfrac{4}{3} \cdot r_K^3 \cdot \pi \\[5pt] &\approx&\dfrac{4}{3}\cdot 2,5^3 \cdot 3,14 \\[5pt] &\approx&65,4 \mathrm{~cm}^3 \end{array}$

Für die Anzahl der möglichen Kugeln folgt:

$Formula: \begin{array}{rlll} n&=&\dfrac{V_T}{V_K} \\[5pt] &=&\dfrac{10\,613,2 \mathrm{~cm}^3}{65,4 \mathrm{~cm}} \\[5pt] &\approx&162 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} n&=&\dfrac{V_T}{V_K} \\[5pt] &=&\dfrac{10\,613,2 \mathrm{~cm}^3}{65,4 \mathrm{~cm}} \\[5pt] &\approx&162 \end{array}$

Für das Volumen des restlichen Teigs gilt:

$Formula: \begin{array}{rlll} V_{rT}&=&V_T-162 \cdot V_K \\[5pt] &=&10\,613,2 \mathrm{~cm}^3-162 \cdot 65,4 \mathrm{~cm}^3 \\[5pt] &=&18,4 \mathrm{~cm}^3 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} V_{rT}&=&V_T-162 \cdot V_K \\[5pt] &=&10\,613,2 \mathrm{~cm}^3-162 \cdot 65,4 \mathrm{~cm}^3 \\[5pt] &=&18,4 \mathrm{~cm}^3 \end{array}$

Für den Durchmesser der kleineren Kugel ergibt sich somit:

$Formula: \begin{array}{rlll} V&=&\dfrac{1}{6}d^3 \cdot \pi \\[5pt] 18,4 \mathrm{~cm}^3&=&\dfrac{1}{6}d^3 \cdot 3,14 &\mid\;\cdot 6 \\[5pt] 110,4 \mathrm{~cm}^3&=&d^3 \cdot 3,14 &\mid\;:3,14 \\[5pt] \dfrac{110,4 \mathrm{~cm}^3}{3,14}&=&d^3 &\mid\;\sqrt[3]{\; } \\[5pt] 3,3\;\text{cm}&\approx&d \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} V&=&\dfrac{1}{6}d^3 \cdot \pi \\[5pt] 18,4 \mathrm{~cm}^3&=&\dfrac{1}{6}d^3 \cdot 3,14 &\mid\;\cdot 6 \\[5pt] 110,4 \mathrm{~cm}^3&=&d^3 \cdot 3,14 &\mid\;:3,14 \\[5pt] \dfrac{110,4 \mathrm{~cm}^3}{3,14}&=&d^3 &\mid\;\sqrt[3]{\; } \\[5pt] 3,3\;\text{cm}&\approx&d \end{array}$

$Formula: \text{I.}\quad \dfrac{a+b+c}{i}=\dfrac{a}{g}$ $Formula: \text{I.}\quad \dfrac{a+b+c}{i}=\dfrac{a}{g}$

$Formula: \text{II.}\quad \dfrac{c}{f}=\dfrac{b}{e}$ $Formula: \text{II.}\quad \dfrac{c}{f}=\dfrac{b}{e}$

$Formula: \text{III.} \quad \dfrac{d+e}{h}=\dfrac{d}{g}$ $Formula: \text{III.} \quad \dfrac{d+e}{h}=\dfrac{d}{g}$

Für die Länge der Strecke Formula: h gilt:

$Formula: \begin{array}{rlll} \dfrac{g}{a}&=&\dfrac{h}{b+a} \\[5pt] \dfrac{2 \mathrm{~cm}}{4 \mathrm{~cm}}&=&\dfrac{\mathrm{h}}{6 \mathrm{~cm}+4 \mathrm{~cm}} \\[5pt] \dfrac{1}{2}&=&\dfrac{\mathrm{h}}{10 \mathrm{~cm}} &\mid\;\cdot 10\;\text{cm} \\[5pt] 5\;\text{cm}&=&h \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} \dfrac{g}{a}&=&\dfrac{h}{b+a} \\[5pt] \dfrac{2 \mathrm{~cm}}{4 \mathrm{~cm}}&=&\dfrac{\mathrm{h}}{6 \mathrm{~cm}+4 \mathrm{~cm}} \\[5pt] \dfrac{1}{2}&=&\dfrac{\mathrm{h}}{10 \mathrm{~cm}} &\mid\;\cdot 10\;\text{cm} \\[5pt] 5\;\text{cm}&=&h \end{array}$

Baumdiagramm mit Ergebnissen g und w sowie zugehörigen Wahrscheinlichkeiten.

Für das Ereignis „mindestens zwei gelbe Bälle“ folgt für die einzelnen Wahrscheinlichkeiten:

$Formula: \begin{array}{rlll} p(ggg)&=&\dfrac{8}{11} \cdot \dfrac{7}{10} \cdot \dfrac{6}{9} \\[5pt] &=&\dfrac{56}{165} \\[5pt] p(g g w)&=&\dfrac{8}{11} \cdot \dfrac{7}{10} \cdot \dfrac{3}{9} \\[5pt] &=&\dfrac{28}{165} \\[5pt] p(g w g)&=&\dfrac{8}{11} \cdot \dfrac{3}{10} \cdot \dfrac{7}{9} \\[5pt] &=&\dfrac{28}{165} \\[5pt] p(w g g)&=&\dfrac{3}{11} \cdot \dfrac{8}{10} \cdot \dfrac{7}{9} \\[5pt] &=&\dfrac{28}{165} \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} p(ggg)&=&\dfrac{8}{11} \cdot \dfrac{7}{10} \cdot \dfrac{6}{9} \\[5pt] &=&\dfrac{56}{165} \\[5pt] p(g g w)&=&\dfrac{8}{11} \cdot \dfrac{7}{10} \cdot \dfrac{3}{9} \\[5pt] &=&\dfrac{28}{165} \\[5pt] p(g w g)&=&\dfrac{8}{11} \cdot \dfrac{3}{10} \cdot \dfrac{7}{9} \\[5pt] &=&\dfrac{28}{165} \\[5pt] p(w g g)&=&\dfrac{3}{11} \cdot \dfrac{8}{10} \cdot \dfrac{7}{9} \\[5pt] &=&\dfrac{28}{165} \end{array}$

Zusammengefasst gilt:

$Formula: \begin{array}{rlll} p\text{(min. zwei gelbe)}&=&\dfrac{56}{165}+\dfrac{28}{165}+\dfrac{28}{165}+\dfrac{28}{165} \\[5pt] &=&\dfrac{28}{33} \\[5pt] &\approx&0,848 \\[5pt] &\approx&84,8\,\% \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} p\text{(min. zwei gelbe)}&=&\dfrac{56}{165}+\dfrac{28}{165}+\dfrac{28}{165}+\dfrac{28}{165} \\[5pt] &=&\dfrac{28}{33} \\[5pt] &\approx&0,848 \\[5pt] &\approx&84,8\,\% \end{array}$

Für die Anzahl der möglichen Reihenfolgen folgt:

$Formula: 11!=39\,916\,800$ $Formula: 11!=39\,916\,800$

Einsetzen der Koordinaten $Formula: A(-3 \mid 1)$ $Formula: A(-3 \mid 1)$ und $Formula: B(2 \mid 6)$ $Formula: B(2 \mid 6)$ in die allgemeine Gleichung Formula: y=x^2+px+q liefert:

$Formula: \begin{array}{rlll} \text{I} \quad 1&=&9-3 p+q \\[5pt] \text{II} \quad 6&=&4+2 p+q \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} \text{I} \quad 1&=&9-3 p+q \\[5pt] \text{II} \quad 6&=&4+2 p+q \end{array}$

Umformen von der ersten Gleichung liefert:

Formula: -8+3 p=q

Einsetzen in die zweite Gleichung liefert:

$Formula: \begin{array}{rlll} 6&=&4+2 p-8+3 p \\[5pt] 6&=&-4+5 p &\mid\;+4 \\[5pt] 10&=&5p &\mid\;:5 \\[5pt] 2&=&p \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} 6&=&4+2 p-8+3 p \\[5pt] 6&=&-4+5 p &\mid\;+4 \\[5pt] 10&=&5p &\mid\;:5 \\[5pt] 2&=&p \end{array}$

Einsetzen in Gleichung $Formula: \text{I}$ $Formula: \text{I}$ liefert:

$Formula: \begin{array}{rlll} -8+3 \cdot 2&=&q \\[5pt] -2&=&q \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} -8+3 \cdot 2&=&q \\[5pt] -2&=&q \end{array}$

Somit ergibt sich:

Formula: p_1: y=x^2+2 x-2

Für die Funktionsgleichung der Normalparabel Formula: p_2 in der Normalform gilt:

$Formula: \begin{array}{rlll} y&=&-\left(x-x_S\right)^2+y_S \\[5pt] &=&-(x-3)^2+4 \\[5pt] &=&-\left(x^2-6 x+9\right)+4 \\[5pt] &=&-x^2+6 x-5 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} y&=&-\left(x-x_S\right)^2+y_S \\[5pt] &=&-(x-3)^2+4 \\[5pt] &=&-\left(x^2-6 x+9\right)+4 \\[5pt] &=&-x^2+6 x-5 \end{array}$

Damit folgt:

Formula: p_2: y=-x^2+6 x-5

Koordinatensystem mit zwei Parabeln p₁ und p₂ sowie den markierten Punkten A, B und S₂.

Für die Formula: y -Koordinate des Punktes Formula: C mit $Formula: C(7\mid y)$ $Formula: C(7\mid y)$ gilt:

$Formula: \begin{array}{rlll} y&=&-7^2+7 \cdot 7+14 \\[5pt] &=&-49+49+14 \\[5pt] &=&14 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} y&=&-7^2+7 \cdot 7+14 \\[5pt] &=&-49+49+14 \\[5pt] &=&14 \end{array}$

Die Überprüfung, ob der Punkt Formula: D auf der Parabel Formula: p_3 liegt, liefert:

$Formula: \begin{array}{rlll} 16&=&-(-3)^2+7 \cdot(-3)+14 \\[5pt] 16 &=&-9-21+14 \\[5pt] 16 &=&-16 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} 16&=&-(-3)^2+7 \cdot(-3)+14 \\[5pt] 16 &=&-9-21+14 \\[5pt] 16 &=&-16 \end{array}$

Formula: D liegt somit nicht auf Formula: p_3.

Für die Scheitelpunktform der Gleichung von Formula: p_3 ergibt sich:

$Formula: \begin{array}{rlll} y&=&-\left(x^2-7 x-14\right) \\[5pt] &=&-\left(x^2-2 \cdot 3,5 x+3,5^2-3,5^2-14\right) \\[5pt] &=&-\left((x-3,5)^2-12,25-14\right) \\[5pt] &=&-(x-3,5)^2+26,25 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} y&=&-\left(x^2-7 x-14\right) \\[5pt] &=&-\left(x^2-2 \cdot 3,5 x+3,5^2-3,5^2-14\right) \\[5pt] &=&-\left((x-3,5)^2-12,25-14\right) \\[5pt] &=&-(x-3,5)^2+26,25 \end{array}$

Damit folgt:

$Formula: S_3(3,5 \mid 26,25)$ $Formula: S_3(3,5 \mid 26,25)$

Für die Formula: x -Koordinaten der Schnittpunkte Formula: N_1 und Formula: N_2 von Formula: p_4 mit der -Achse gilt:

Formula: x^2-20 x+96=0

Mit der Formula: abc -Formel folgt:

$Formula: \begin{array}{rlll} x_{1;2}&=&\dfrac{20\pm \sqrt{\left(-20\right)^2-4\cdot1\cdot96}}{2\cdot1} \\[5pt] x_{1;2}&=&\dfrac{20\pm \sqrt{16}}{2} \\[5pt] x_{1;2}&=&10 \pm 2 \\[5pt] x_1&=&10+2 \\[5pt] &=&12 \\[5pt] x_2&=&10-2 \\[5pt] &=&8 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} x_{1;2}&=&\dfrac{20\pm \sqrt{\left(-20\right)^2-4\cdot1\cdot96}}{2\cdot1} \\[5pt] x_{1;2}&=&\dfrac{20\pm \sqrt{16}}{2} \\[5pt] x_{1;2}&=&10 \pm 2 \\[5pt] x_1&=&10+2 \\[5pt] &=&12 \\[5pt] x_2&=&10-2 \\[5pt] &=&8 \end{array}$

Für die Funktionsgleichung der Geraden Formula: g in der Normalform gilt:

$Formula: \begin{array}{rlll} 2 y+6 x&=&38 &\mid\;-6x \\[5pt] 2 y&=&-6 x+38 &\mid\;:2 \\[5pt] y&=&-3 x+19 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} 2 y+6 x&=&38 &\mid\;-6x \\[5pt] 2 y&=&-6 x+38 &\mid\;:2 \\[5pt] y&=&-3 x+19 \end{array}$

Für das Gleichsetzen mit der Gleichung der Parabel Formula: p_4 gilt:

$Formula: \begin{array}{rlll} -3 x+19&=&x^2-20 x+96 &\mid\;+3x \\[5pt] 19&=&x^2-17x+96 &\mid\;-19 \\[5pt] 0&=&x^2-17x+77 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} -3 x+19&=&x^2-20 x+96 &\mid\;+3x \\[5pt] 19&=&x^2-17x+96 &\mid\;-19 \\[5pt] 0&=&x^2-17x+77 \end{array}$

Mit der Formula: abc -Formel ergibt sich:

$Formula: \begin{array}{rlll} x_{1; 2}&=&\dfrac{17\pm \sqrt{\left(-17\right)^2-4\cdot1\cdot77}}{2\cdot1} \\[5pt] &=&\dfrac{17\pm \sqrt{-19}}{2} \\[5pt] &=&8,5 \pm \sqrt{-4,75} \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} x_{1; 2}&=&\dfrac{17\pm \sqrt{\left(-17\right)^2-4\cdot1\cdot77}}{2\cdot1} \\[5pt] &=&\dfrac{17\pm \sqrt{-19}}{2} \\[5pt] &=&8,5 \pm \sqrt{-4,75} \end{array}$

Da der Wert unter der Wurzel negativ ist, hat die Gleichung keine Lösung und es gibt somit keinen Schnittpunkt.

$Formula: \sqrt{m^8{b}^{2}}=m^4 b$ $Formula: \sqrt{m^8{b}^{2}}=m^4 b$

Mit der Formula: 2. binomischen Formel folgt:

$Formula: (0,8 a^2-2,5b^9)^2=0,64 a^4-4 a^2 b^9+6, 2 5 b^{18}$ $Formula: (0,8 a^2-2,5b^9)^2=0,64 a^4-4 a^2 b^9+6, 2 5 b^{18}$

Für die Länge der Strecke $Formula: \overline{DE}$ $Formula: \overline{DE}$ ergibt sich:

$Formula: \begin{array}{rlll} \overline{DE}&=&\overline{CE}-\overline{CD} \\[5pt] &=&6,25 \mathrm{~m}-2,25 \mathrm{~m} \\[5pt] &=&4\;\text{m} \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} \overline{DE}&=&\overline{CE}-\overline{CD} \\[5pt] &=&6,25 \mathrm{~m}-2,25 \mathrm{~m} \\[5pt] &=&4\;\text{m} \end{array}$

Für die Länge der Strecke $Formula: \overline{DF}$ $Formula: \overline{DF}$ folgt mit dem Höhensatz:

$Formula: \begin{array}{rlll} \overline{DF}^2&=&4 \mathrm{~m} \cdot 2,25 \mathrm{~m} \\[5pt] \overline{DF}^2&=&9\;\mathrm{m}^2 &\mid\;\sqrt{\;} \\[5pt] \overline{DF}&=&3\;\text{m} \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} \overline{DF}^2&=&4 \mathrm{~m} \cdot 2,25 \mathrm{~m} \\[5pt] \overline{DF}^2&=&9\;\mathrm{m}^2 &\mid\;\sqrt{\;} \\[5pt] \overline{DF}&=&3\;\text{m} \end{array}$

Für den Flächeninhalt des Dreiecks Formula: FCE gilt:

$Formula: \begin{array}{rlll} A_{FCE}&=&\dfrac{\overline{CE} \cdot \overline{DF}}{2} \\[5pt] &=&\dfrac{6,25 \mathrm{~m} \cdot 3 \mathrm{~m}}{2} \\[5pt] &=&9,375 \mathrm{~m}^2 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} A_{FCE}&=&\dfrac{\overline{CE} \cdot \overline{DF}}{2} \\[5pt] &=&\dfrac{6,25 \mathrm{~m} \cdot 3 \mathrm{~m}}{2} \\[5pt] &=&9,375 \mathrm{~m}^2 \end{array}$

Aus der Aufgabenstellung ergibt sich der Streckungsfaktor Formula: 1,5. Für den Flächeninhalt des Dreiecks Formula: ABE folgt somit:

$Formula: \begin{array}{rlll} A_{ABE}&=&A_{FCE} \cdot 1,5^2 \\[5pt] &=&9,375 \mathrm{~m}^2 \cdot 1,5^2 \\[5pt] &\approx&21,1 \mathrm{~m}^2 \\[5pt] \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} A_{ABE}&=&A_{FCE} \cdot 1,5^2 \\[5pt] &=&9,375 \mathrm{~m}^2 \cdot 1,5^2 \\[5pt] &\approx&21,1 \mathrm{~m}^2 \\[5pt] \end{array}$

Für den Flächeninhalt des Trapezes Formula: ABCF ergibt sich:

$Formula: \begin{array}{rlll} A_{ABCF}&=&A_{ABE}-A_{FCE} \\[5pt] &=&21,1 \mathrm{~m}^2-9,375 \mathrm{~m}^2 \\[5pt] &=&11,725\;\text{m}^2 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} A_{ABCF}&=&A_{ABE}-A_{FCE} \\[5pt] &=&21,1 \mathrm{~m}^2-9,375 \mathrm{~m}^2 \\[5pt] &=&11,725\;\text{m}^2 \end{array}$

Für das Überprüfen des Winkels des Dreiecks Formula: ABE gilt:

$Formula: \begin{array}{rlll} \tan (\sphericalangle {DCF})&=&\dfrac{\overline{DF}}{\overline{CD}} \\[5pt] \tan (\sphericalangle {DCF})&=&\dfrac{3 \mathrm{~m}}{2,25 \mathrm{~m}} &\mid\;\tan^{-1} \\[5pt] \sphericalangle {DCF}&\approx& 53^{\circ} \\[5pt] \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} \tan (\sphericalangle {DCF})&=&\dfrac{\overline{DF}}{\overline{CD}} \\[5pt] \tan (\sphericalangle {DCF})&=&\dfrac{3 \mathrm{~m}}{2,25 \mathrm{~m}} &\mid\;\tan^{-1} \\[5pt] \sphericalangle {DCF}&\approx& 53^{\circ} \\[5pt] \end{array}$

Das entspricht aufgrund der Lage der Dreiecke genau dem Winkel $Formula: \sphericalangle {EBA}.$ $Formula: \sphericalangle {EBA}.$

Für die Größe von $Formula: \sphericalangle{AEB}$ $Formula: \sphericalangle{AEB}$ folgt somit:

$Formula: \begin{array}{rlll} \sphericalangle {AEB}&=&180^{\circ}-90^{\circ}-53^{\circ} \\[5pt] &=&37^{\circ} \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} \sphericalangle {AEB}&=&180^{\circ}-90^{\circ}-53^{\circ} \\[5pt] &=&37^{\circ} \end{array}$

Da beide Winkel größer als $Formula: 25^{\circ}$ $Formula: 25^{\circ}$ sind, ist der Lichtschlauch geeignet.

Es gilt:

$Formula: \begin{array}{rlll} -2 x-8 &\neq& 0 &\mid\;+8 \\[5pt] -2x&\neq&8 &\mid\;:(-2) \\[5pt] x&\neq&-4 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} -2 x-8 &\neq& 0 &\mid\;+8 \\[5pt] -2x&\neq&8 &\mid\;:(-2) \\[5pt] x&\neq&-4 \end{array}$

Weiter ergibt sich:

$Formula: \begin{array}{rlll} 8+2 x &\neq&0 &\mid\; -8\\[5pt] 2x&\neq&-8 &\mid\;:2\\[5pt] x&\neq&-4 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} 8+2 x &\neq&0 &\mid\; -8\\[5pt] 2x&\neq&-8 &\mid\;:2\\[5pt] x&\neq&-4 \end{array}$

Damit ergibt sich:

$Formula: \mathbb{D}=\mathbb{R} \setminus\{-4\}$ $Formula: \mathbb{D}=\mathbb{R} \setminus\{-4\}$

Für die Lösungsmenge gilt:

$Formula: \begin{array}{rlll} \dfrac{-32}{-(2 x+8)}&=&4+\dfrac{5 x}{(8+2 x)} &\mid\;\cdot (8+2 x) \\[5pt] 32&=&4 \cdot(8+2 x)+5 x \\[5pt] 32&=&32+8 x+5 x &\mid\;-32 \\[5pt] 0&=&13x &\mid\;:13 \\[5pt] 0&=&x \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} \dfrac{-32}{-(2 x+8)}&=&4+\dfrac{5 x}{(8+2 x)} &\mid\;\cdot (8+2 x) \\[5pt] 32&=&4 \cdot(8+2 x)+5 x \\[5pt] 32&=&32+8 x+5 x &\mid\;-32 \\[5pt] 0&=&13x &\mid\;:13 \\[5pt] 0&=&x \end{array}$

Es folgt:

$Formula: \mathbb{L}=\{0\}$ $Formula: \mathbb{L}=\{0\}$

Für den Wachstumsfaktor gilt:

$Formula: \begin{array}{rlll} 491\,525&=&460\,725 \cdot q^9 &\mid\;:460\,725 \\[5pt] \dfrac{491\,525}{460\,725}&=& q^9 &\mid\;\sqrt[9] {\;} \\[5pt] 1,0072&\approx& q \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} 491\,525&=&460\,725 \cdot q^9 &\mid\;:460\,725 \\[5pt] \dfrac{491\,525}{460\,725}&=& q^9 &\mid\;\sqrt[9] {\;} \\[5pt] 1,0072&\approx& q \end{array}$

Für die durchschnittliche jährliche Zunahme in Prozent folgt:

$Formula: \begin{array}{rlll} q&=&1+p \\[5pt] 1,0072&=&1+p &\mid\;-1 \\[5pt] 0,0072&=&p &\mid\;\cdot 100\,\%\\[5pt] 0,72\,\% &=&p\,\% \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} q&=&1+p \\[5pt] 1,0072&=&1+p &\mid\;-1 \\[5pt] 0,0072&=&p &\mid\;\cdot 100\,\%\\[5pt] 0,72\,\% &=&p\,\% \end{array}$

Für den Zeitraum in Jahren gilt:

$Formula: \begin{array}{rlll} 2\,000\,000&=&1\,847\,253 \cdot 1,0038^n &\mid\;: 1\,847\,253\\[5pt] \dfrac{2\,000\,000}{1\,847\,253}&=&1,0038^n &\mid\;\log_{1,0038}\\[5pt] \log _{1,0038} \dfrac{2\,000\,000}{1\,847\,253}&=&n\\[5pt] 21&\approx&n \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} 2\,000\,000&=&1\,847\,253 \cdot 1,0038^n &\mid\;: 1\,847\,253\\[5pt] \dfrac{2\,000\,000}{1\,847\,253}&=&1,0038^n &\mid\;\log_{1,0038}\\[5pt] \log _{1,0038} \dfrac{2\,000\,000}{1\,847\,253}&=&n\\[5pt] 21&\approx&n \end{array}$

Für den Abnahmefaktor ergibt sich:

$Formula: \begin{array}{rlll} q&=&1-p \\[5pt] &=&1-0,0101 \\[5pt] &=&0,9899 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} q&=&1-p \\[5pt] &=&1-0,0101 \\[5pt] &=&0,9899 \end{array}$

Für die Einwohnerzahl nach Formula: 10 Jahren folgt:

$Formula: \begin{array}{rlll} W_{10}&=&246\,334 \cdot 0,9899^{10} \\[5pt] &=&222\,555,126 \\[5pt] &\approx&222\,555 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} W_{10}&=&246\,334 \cdot 0,9899^{10} \\[5pt] &=&222\,555,126 \\[5pt] &\approx&222\,555 \end{array}$

Für den Abnahmefaktor ergibt sich:

$Formula: \begin{array}{rlll} q&=&1-p \\[5pt] &=& 1 – 0,028 \\[5pt] &=&0,972 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} q&=&1-p \\[5pt] &=& 1 – 0,028 \\[5pt] &=&0,972 \end{array}$

Für die Einwohnerzahl im Jahr 2000 folgt:

$Formula: \begin{array}{rlll} 2510&=&W_0 \cdot 0,972^{21} &\mid\;:0,972^{21}\\[5pt] 4 557&\approx&W_0 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} 2510&=&W_0 \cdot 0,972^{21} &\mid\;:0,972^{21}\\[5pt] 4 557&\approx&W_0 \end{array}$

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